Giải mã giấc mơ: Công thức & bài tập vận dụng mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Công thức & bài tập vận dụng. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Cách tính delta, delta phẩy trong phương trình bậc 2 là một kiến thức quan trọng và là nền tảng cho các bài toán từ cơ bản đến nâng cao của toán lớp 9. Bài viết này sẽ trình bày đến các bạn chi tiết công thức tính delta, delta phẩy ứng dụng giải phương trình bậc 2 và hàng loạt các bài tập mẫu vận dụng.

Công thức tính delta delta phẩy
Tổng hợp công thức tính delta delta phẩy

Giới thiệu về phương trình bậc 2

Phương trình bậc 2 là phương trình có dạng: ax² + bx + c = 0

→ Trong đó a # 0, a, b là hệ số, c là hằng số

Công thức nghiệm phương trình bậc 2

Để giải phương trình bậc 2 cơ bản, chúng ta sử dụng 2 công thức nghiệm delta và delta phẩy. Để ứng dụng giải các bài toán biện luận nghiệm, ta sử dụng định lý Vi-et.

Công thức tính delta

Ta xét phương trình: ax² + bx +c = 0, Với biệt thức delta: Δ = b² – 4ac. Sẽ có 3 trường hợp:

– Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm

– Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép:

– Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Trong trường hợp nếu b = 2b′ thì sử dụng công thức delta phẩy dưới đây.

Công thức tính delta phẩy

Ta xét phương trình: ax² + bx +c = 0. Với biệt thức delta phẩy: Δ′ = b′² – ac. Trong đó: b′ = b/2

→ Công thức trên còn được gọi là công thức nghiệm thu gọn.

Tương tự như delta thì delta phẩy chúng ta cũng có 3 trường hợp bao gồm:

– Nếu Δ′ < 0 thì phương trình vô nghiệm

– Nếu Δ′ = 0 thì phương trình có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \frac{{ - b'}}{a}\]

– Nếu Δ′ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Hệ thức Viet

Cho phương trình bậc 2 một ẩn: ax2 + bx + c = 0 (a≠0) (*) có 2 nghiệm x1 và x2. Khi đó 2 nghiệm này thỏa mãn hệ thức sau: thì ta có Công thức Vi-et như sau:

Hệ thức Viet dùng để giải quyết nhiều dạng bài tập khác nhau liên quan đến hàm số bậc 2 và các bài toán quy về hàm số bậc 2. Xong 3 công thức nghiệm bên trên thì chúng ta đã có thể thoải mái làm bài tập rồi. Hãy cùng đến các bài tập vận dụng ngay dưới đây.

Phân dạng bài tập

Ứng với 3 công thức trên, chúng ta có các dạng bài tập tương ứng: Giải phương trình bậc 2 một ẩn cơ bản và biện luận nghiệm phương trình bậc 2 một ẩn. Để giải các dạng bài tập này, chúng ta cần nắm vững công thức nghiệm delta, công thức nghiệm delta phẩy và định lý Vi-et (dùng để giải các bài toán biện luận tham số).

Dạng 1. Không dùng công thức nghiệm, giải phương trình bậc hai một ẩn cho trước

Phương pháp giải

Cách giải: Ta có thể sử dụng một trong các cách sau

Cách 1: Đưa phương trình đã cho về dạng tích

Cách 2: Đưa phương trình đã cho về phương trình mà vế trái là một bình phương còn vế phải là một hằng số.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải các phương trình sau

a) 5x2 – 7x = 0

b) –3x2 + 9 = 0

c) x2 – 6x + 5 = 0

d) 3x2 + 12x + 1 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: 5x2 – 7x = 0

⇔ x(5x – 7) = 0

⇔ x ∈ \[\left\{ {0;\frac{7}{5}} \right\}\]

b) Ta có: –3x2 + 9 = 0

⇔ 3x2 – 9 = 0

⇔ 3(x2 – 3) = 0

⇔ x ∈ \[\left\{ { \pm \sqrt 3 } \right\}\]

c) Ta có: x2 – 6x + 5 = 0

⇔ (x – 1)(x – 5) = 0

⇔ x ∈ {1; 5}

d) Ta có: 3x2 + 12x + 1 = 0

⇔ 3(x + 2)2 = 11

⇔ x = \[\frac{{ - 6 \pm \sqrt {33} }}{3}\]

Câu 2. Giải các phương trình sau

a) \[ - \sqrt 3 {x^2} - 7x = 0\]

b) \[ - \frac{3}{5}{x^2} - \frac{7}{2} = 0\]

c) x2 – x – 9 = 0

d) 3x2 + 6x + 5 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[ - \sqrt 3 {x^2} - 7x = 0\]

\[ \Leftrightarrow - x\left( {\sqrt 3 x + 7} \right) = 0 \Leftrightarrow x \in \left\{ {0;2\sqrt 3 } \right\}\]

b) Ta có: \[ - \frac{3}{5}{x^2} - \frac{7}{2} = 0\]

\[ \Leftrightarrow - 6{x^2} - 35 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = - \frac{{35}}{6} \Leftrightarrow x \in \emptyset \]

c) Ta có: x2 – x – 9 = 0

⇔ x ∈ \[\left\{ {\frac{{1 \pm \sqrt {37} }}{2}} \right\}\]

d) Ta có: \[3{x^2} + 6x + 5 = 0\]

\[ \Leftrightarrow 3\left( {{x^2} + 2x + \frac{5}{3}} \right) = 0 \Leftrightarrow 3{\left( {x + 1} \right)^2} + 2 = 0\] (vô lý)

Vậy phương trình vô nghiệm.

Câu 3. Giải các phương trình sau

a) \[{x^2} + 2\sqrt 2 x = 0\]

b) (m2 + 2)x2 – 5 = 0 với m ∈ ℝ

c) \[{\left( {2x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} = 0\]

d) x2 – 3x + 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[{x^2} + 2\sqrt 2 x = 0\]

\[ \Leftrightarrow x\left( {x + 2\sqrt 2 } \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 0 \hfill \\ x = 2\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {0;2\sqrt 2 } \right\}\]

b) Ta có:

\[\begin{gathered} \left( {{m^2} + 2} \right){x^2} - 5 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} = \frac{5}{{{m^2} + 2}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {\frac{5}{{{m^2} + 2}}} {\text{ }}\left( {{\text{do }}{m^2} + 2 > 0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\sqrt {\frac{5}{{{m^2} + 2}}} ; - \sqrt {\frac{5}{{{m^2} + 2}}} } \right\}\]

c) Ta có :

\[\begin{gathered} {\left( {2x - \frac{1}{2}} \right)^2} - \frac{1}{4} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {2x - \frac{1}{2}} \right)^2} = \frac{1}{4} \Leftrightarrow \left| {2x - \frac{1}{2}} \right| = \frac{1}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} 2x - \frac{1}{2} = \frac{1}{2} \hfill \\ \hfill \\ 2x - \frac{1}{2} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = \frac{1}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy tập nghiệm của phương trình là \[S = \left\{ {\frac{1}{2};0} \right\}\]

d) Ta có: x2 – 3x + 2 = 0

⇔ x2 – x – 2x + 2 = 0

⇔ (x – 1)(x – 2) = 0

⇔ x = 1 ∨ x = 2

Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {1; 2}.

Câu 4. Với giá trị nào của tham số m thì phương trình 4x2 + m2x + 4m = 0 có nghiệm x = 1

Hướng dẫn giải

Thay x = 1 vào phương trình ta có:

4⋅12 + m2⋅1 + 4m = 0 ⇔ m = –2

Vậy m = −2

Câu 5. Cho phương trình 4mx2 – x – 10m2 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để phương trình có nghiệm x = 2

Hướng dẫn giải

Thay x = 2 vào phương trình ta được:

4m⋅22 – 2 – 10m2 = 0

⇔ –10m2 + 16m – 2 = 0

⇔ m = \[\frac{{4 \pm \sqrt {11} }}{5}\]

Câu 6. Cho phương trình x2 – (2m + 1)x + m2 – 2m + 3 = 0 (1). Giải phương trình (1) biết phương trình (1) có một nghiệm x = 2.

Hướng dẫn giải

Vì phương trình có nghiệm x = 2 nên ta có:

22 – (2m + 1)⋅2 + m2 – 2m + 3 = 0

⇔ 4 – 4m – 2 + m2 – 2m + 3 = 0

⇔ m2 – 6m + 5 = 0

⇔ m ∈ {1; 5}

+) m = 1 ⇒ x2 – 3x + 2 = 0 ⇔ x ∈ {1; 2}

+) m = 5 ⇒ x2 – 11x + 18 = 0 ⇔ x ∈ {9; 2}

Dạng 2. Giải phương trình bậc hai bằng cách sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn

Phương pháp giải

Cách giải: Sử dụng công thức nghiệm, công thức nghiệm thu gọn của phương trình bậc hai để giải.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Xác định hệ số a, b, c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’ nếu b = 2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau

a) 2x2 – 3x – 5 = 0

b) 2x2 – 6x + 8 = 0

c) 9x2 – 12x + 4 = 0

d) –3x2 + 4x – 4 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x = 2; b = –3; c = –5 và ∆ = 49 > 0 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt:

\[{x_{1,2}} = \frac{{ - b \pm \sqrt \Delta }}{{2a}} \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;\frac{5}{2}} \right\}\]

b) Ta có: a = 1; b = –6; b’ = –3; c = 8; ∆’ = 1 > 0 ⇒ x ∈ {2; 4}

c) Ta có: a = 9; b = –12; c = 4; ∆ = 0 ⇒ phương trình có nghiệm kép: x1 = x2 = \[\frac{2}{3}\]

d) Ta có: a = –3; b = 4; c = –4; ∆ = –32 ⇒ phương trình vô nghiệm.

Câu 2. Xác định hệ số a, b, c; Tính biệt thức ∆ (hoặc ∆’ nếu b = 2b’) rồi tìm nghiệm của các phương trình sau

a) x2 – x – 11 = 0

b) x2 – 4x + 4 = 0

c) –5x2 – 4x + 1 = 0

d) –2x2 + x – 3 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a = 1; b = –1; c = –11; ∆ = 45 > 0 ⇒ x ∈ \[\left\{ {\frac{{1 \pm 3\sqrt 5 }}{2}} \right\}\]

b) Ta có: a = 1; b = –4; c = 4; ∆ = 0 ⇒ x = 2

c) Ta có: a = –5; b = –4; c = 1; ∆ = 36 > 0 ⇒ x ∈ \[\left\{ { - 1;\frac{1}{5}} \right\}\]

d) Ta có: a = –2; b = 1; c = –3; ∆ = –23 < 0 phương trình vô nghiệm.

Câu 3. Giải các phương trình sau

a) \[{x^2} + \sqrt 5 x - 1 = 0\]

b) \[2{x^2} - 2\sqrt 2 x + 1 = 0\]

c) \[\sqrt 3 {x^2} - \left( {1 - \sqrt 3 } \right)x - 1 = 0\]

d) \[ - 3{x^2} + 4\sqrt 6 x + 4 = 0\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} a = 1;b = \sqrt 5 ;c = - 1;\Delta = 9 > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \sqrt \Delta = 3 \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{ - 5 \pm \sqrt 3 }}{2}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Ta có:

\[a = 2;b = - 2\sqrt 2 ;c = 1;\Delta = 2 \Rightarrow x = \frac{{\sqrt 2 }}{2}\]

c) Ta có:

\[\begin{gathered} a = \sqrt 3 ;b = - \left( {1 - \sqrt 3 } \right);c = - 1;\Delta = 4 + 6\sqrt 3 > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow x \in \left\{ { - 1;\frac{{\sqrt 3 }}{3}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]

d) Ta có:

\[\begin{gathered} a = - 3;b = 4\sqrt 6 ;c = 4;\Delta = 144 > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{6 + 2\sqrt 6 }}{3};\frac{{ - 6 + 2\sqrt 6 }}{3}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 4. Giải các phương trình sau

a) \[2{x^2} + 2\sqrt {11} x - 7 = 0\]

b) 152x2 – 5x + 1 = 0

c) \[{x^2} - \left( {2 + \sqrt 3 } \right)x + 2\sqrt 3 = 0\]

d) \[3{x^2} - 2\sqrt 3 x + 1 = 0\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} a = 2;b = 2\sqrt {11} ;c = - 7;\Delta = 100 > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow x \in \left\{ {\frac{{ - \sqrt {11} \pm 5}}{2}} \right\} \hfill \\ \end{gathered} \]

b) Ta có: a = 152; b = –5; c = 1; ∆ = –583 < 0 ⇒ x ∈ ∅

c) Ta tính được: \[x \in \left\{ {2;\sqrt 3 } \right\}\]

d) Ta tính được: \[x = \frac{{\sqrt 3 }}{3}\]

Câu 5. Giải các phương trình sau

a) \[{x^2} + 2\sqrt 5 x + 4 = 0\]

b) \[\sqrt 2 {x^2} - 3x + 5 = 0\]

Hướng dẫn giải

a) Ta có: \[\Delta ' = {\left( {\sqrt 5 } \right)^2} - 4 = 1 \Rightarrow \sqrt {\Delta '} = 1\]

Vậy phương trình có hai nghiệm \[{x_1} = \frac{{ - \sqrt 5 - 1}}{2}\]\[{x_2} = \frac{{ - \sqrt 5 + 1}}{2}\]

b) Ta có: \[\Delta = {3^2} - 4 \cdot 5 \cdot \sqrt 2 = 9 - 20\sqrt 2 < 0\]

Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Câu 6. Cho phương trình 3x2 – (5 – m)x + 2 – m = 0 với m ∈ ℝ là tham số

a) Xác định các hệ số a, b, c của phương trình.

b) Giải phương trình trong các trường hợp mm = 2; m = 5; m = 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: a = 3; b = –(5 – m); c = 2 – m

b) Với m = 5 ta có phương trình:

3x2 – 3 = 0 ⇔ x2 = 1 ⇔ x = ±1

Với m = 2 ta có phương trình:

3x2 – 3x = 0 ⇔ 3x(x – 1) = 0 ⇔ x = 0 ∨ x = 1

Với m = 1 ta có phương trình:

3x2 – 4x + 1 = 0

⇔ 3x2 – 3x – x + 1 = 0

⇔ (3x – 1)(x – 1) = 0

⇔ x = \[\frac{1}{3}\] ∨ x = 1

Nhận xét: Trong cả 3 trường hợp phương trình đều có nghiệm x = 1

Ta có thể biến đổi phương trình ban đầu tương đương với

\[\left( {x - 1} \right)\left( {3x - 2 + m} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x = 1\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = \frac{{2 - m}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Dạng 3. Sử dụng công thức nghiệm, xác định số nghiệm của phương trình dạng bậc hai

Phương pháp giải

Cách giải: Xét phương trình bậc hai: ax2 + bx + c = 0

+) Phương trình có nghiệm kép \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

+) Phương trình có hai nghiệm phân biệt \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

+) Phương trình có đúng một nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 0;b \ne 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

+) Phương trình vô nghiệm \[ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 0;b = 0;c \ne 0 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} a \ne 0 \hfill \\ \Delta < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Chú ý: Nếu b = 2b’ ta có thể thay thế điều kiện của ∆ tương ứng bằng ∆’

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho phương trình 4x2 + 4mx + m + 6 = 0 (1). Tìm m để phương trình (1) có nghiệm kép

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = 4m2 – 4m – 24

Phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = 0

⇔ 4m2 – 4m – 24 = 0

⇔ m2 – m – 6 = 0

⇔ m = –2 ∨ m = 3

Vậy m ∈{–2; 3}.

Câu 2. Cho phương trình mx2 + (2m – 5)x + m – 2 = 0 (1) với m ∈ ℝ là tham số. Khi nào

a) Phương trình (1) có nghiệm

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt

Hướng dẫn giải

Xét 2 tường hợp

TH1: Với m = 0 phương trình trở thành –5x – 2 = 0 ⇔ x = \[ - \frac{2}{5}\]

TH2: Với m ≠ 0 phương trình mx2 + (2m – 5)x + m – 2 = 0 là một phương trình bậc hai và có

∆ = (2m – 5)2 – 4m(m – 2) = –12m + 25

+) Nếu ∆ = –12m + 25 > 0 ⇔ m < \[\frac{{25}}{{12}}\] thì phương trình có hai nghiệm phân biệt

+) Nếu ∆ = –12m + 25 = 0 ⇔ m = \[\frac{{25}}{{12}}\] thì phương trình có nghiệm kép x1 = x2

Vậy:

a) Phương trình (1) có nghiệm khi và chỉ khi m ≤ \[\frac{{25}}{{12}}\]

b) Phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi m ≠ 0 và m < \[\frac{{25}}{{12}}\]

Câu 3. Cho phương trình (2m – 3)x2 – 2(m – 2)x – 1 = 0 với m là tham số.

a) Giải phương trình với m = 2

b) Chứng minh rằng với mọi m ∈ ℝ, phương trình luôn có nghiệm. Với giá trị nào của m thì phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

a) Với m = 2, phương trình đã cho trở thành x2 – 1 = 0 ⇔ x = ±1

b) Xét hai trường hợp

TH1: Với m = \[\frac{3}{2}\] phương trình đã cho trở thành x – 1 = 0 ⇔ x = 1

TH2: Với m ≠ \[\frac{3}{2}\] phương trình (2m – 3)x2 – 2(m – 2)x – 1 = 0 là một phương trình bậc hai và có

∆’ = (m – 2)2 + (2m + 3) = (m – 1)2 ≥ 0, ∀m ∈ ℝ

Suy ra phương trình luôn có nghiệm với mọi m ∈ ℝ

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi

\[\left\{ \begin{gathered} m \ne \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \Delta = {\left( {m - 1} \right)^2} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Cách khác:

(2m – 3)x2 – 2(m – 2)x – 1 = 0

⇔ (2m – 3)x2 – (2m – 3)x + x – 1 = 0

⇔ (x – 1)[(2m – 3)x + 1] = 0

\[\left[ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ \left( {2m - 3} \right)x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Suy ra phương trình luôn có nghiệm x = 1 với mọi m ∈ ℝ.

Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (2m – 3)x + 1 có nghiệm khác 1 \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m - 3 \ne 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x = - \frac{1}{{2m - 3}} \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m \ne 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Câu 4. Cho phương trình mx2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có đúng một nghiệm

e) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = (m – 1)2 – m(m – 3) = m + 1

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ m > - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) Xét m ≠ 0. Phương trình có nghiệm kép khi

\[\left\{ \begin{gathered} m \ne 0 \hfill \\ \Delta ' = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = - 1\]

c) Ta tìm được m < −1

d) Ta tìm được m m = 0; m = –1

e) Ta tìm được m ≥ −1

Câu 5. Cho phương trình (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có đúng một nghiệm

e) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆’ = (m + 1)2 – m(m – 2) = 4m + 1

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 2 \hfill \\ \Delta ' > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m > - \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

b) Tìm được \[m = - \frac{1}{4}\]

c) Ta tìm được \[m < - \frac{1}{4}\]

d) Ta tìm được \[m = 2;m = - \frac{1}{4}\]

e) Ta tìm được \[m \geqslant - \frac{1}{4}\]

Câu 6. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau vô nghiệm x2 + 2x – 2m + 7 = 0; x2 + 6x + m2 + 6 = 0

Hướng dẫn giải

Đặt x2 + 2x – 2m + 7 = 0 là phương trình (1)

x2 + 6x + m2 + 6 = 0 là phương trình (2)

Ta có: ∆’1 = 1 + 2m – 7 = 2m – 6 và ∆’2 = 32 – (m2 + 6) = 3 – m2

Suy ra: ∆’1 + ∆’2

= 2m – 6 + 3 – m2

= –(m2 – 2m + 1) – 2

= –(m – 1)2 – 2 < 0 với mọi m ∈ ℝ

Vậy một trong hai ∆’1 và ∆’2 có ít nhất một số nhỏ hơn 0 (đpcm).

Câu 7. Với giá trị nào của m, hai phương trình sau có nghiệm chung

(1) 2x2 – (3m + 2)x + 12 = 0 và (2) 4x2 – (9m – 2)x + 36 = 0

Hướng dẫn giải

Gọi x0 là một nghiệm chung của hai phương trình, ta có:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 2x_0^2 - \left( {3m + 2} \right){x_0} + 12 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 4x_0^2 - \left( {9m - 2} \right){x_0} + 36 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow 4x_0^2 - \left( {9m - 2} \right){x_0} + 36 - 2\left[ {2x_0^2 - \left( {3m + 2} \right){x_0} + 12} \right] = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left( { - 3m + 6} \right){x_0} + 12 = 0{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

+) Nếu –3m + 6 = 0 ⇔ m = 2 thì phương trình (*) vô nghiệm

+) Nếu –3m + 6 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2 thì phương trình (*) có 1 nghiệm

\[{x_0} = \frac{{ - 12}}{{ - 3m + 6}} = \frac{4}{{m - 2}}\]

Thay vào phương trình (1) ta có:

\[\begin{gathered} 2{\left( {\frac{4}{{m - 2}}} \right)^2} - \frac{{\left( {3m + 2} \right)4}}{{m - 2}} + 12 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 16 - 2\left( {3m + 2} \right)\left( {m - 2} \right) + 6{\left( {m - 2} \right)^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 16 - 2\left( {3{m^2} - 4m - 4} \right) + 6\left( {{m^2} - 4m + 4} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow - 16m + 48 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow m = 3 \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy với m = 3 hai phương trình đã cho có một nghiệm chung x0 = 4.

Câu 8. Cho phương trình x2 + (m – 5)x – 3(m – 2) = 0 với m ∈ ℝ là tham số

a) Chứng minh rằng phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m ∈ ℝ

b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép

c) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn x1 = 3x2

Hướng dẫn giải

a) Ta có: x2 + (m – 5)x – 3(m – 2) = 0

⇔ x2 – 3x + (m – 2)x – 3(m – 2) = 0

⇔ x(x – 3) + (m – 2)(x – 3) = 0

⇔ (x – 3)(x + m – 2) = 0

⇔ x = 3 ∨ x = 2 – m

Vậy phương trình trên luôn có nghiệm x = 3 với mọi m ∈ ℝ

b) Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi hai nghiệm của phương trình trùng nhau

Theo câu a) suy ra: 2 – m = 3 ⇒ m = –1

Ta cũng có thể xét:

∆ = (m – 5)2 + 4⋅3(m – 2)

= m2 + 2m + 1 = (m + 1)2

Phương trình có nghiệm kép ⇔ ∆ = 0 ⇔ (m + 1)2 = 0 ⇔ m = –1

c) Xét 2 trường hợp

TH1: x1 = 3 và x2 = 2 – m

Khi đó: x1 = 3x2 ⇔ 3 = 3(2 – m) ⇔ 2 – m = 1 ⇔ m = 1

TH2: x1 = −2 và x2 = 3

Khi đó: x1 = 3x2 ⇔ 2 – m = 3m ⇔ 4m = 2 ⇔ m = \[\frac{1}{2}\]

Câu 9. Cho Parabol (P): y = 4x2 và đường thẳng d: y = 2mx – 1 với m ∈ ℝ là tham số. Tìm m để:

a) Đường thẳng d cắt parabol (P) tại hai điểm phân biệt

b) Đường thẳng d là tiếp tuyến của parabol (P)

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của (P) và d là:

4x2 = 2mx + 1 ⇔ 4x2 – 2mx – 1 = 0 (1)

a) Đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (1) có hai nghiệm phân biệt ⇔ ∆’ > 0 ⇔ m2 – 4 > 0 ⇔ m2 > 4 ⇔ |m| > 2 ⇔ m > 2 ∨ m < –2

Vậy đường thẳng d cắt (P) tại 2 điểm phân biệt khi m > 2 hoặc m < −2.

b) Đường thẳng d là một tiếp tuyến của (P) khi và chỉ khi phương trình (1) có nghiệm kép ⇔ ∆’ = m2 – 4 = 0 ⇔ m = ±2

Khi đó ta có đường thẳng y = 4m – 1 và y = –4m – 1 là các tiếp tuyến của Parabol (P).

Câu 10. Cho phương trình: mx2 – (2m + 1)x + m + 1 = 0

a) Chứng minh rằng phương trình luôn có nghiệm với ∀m ∈ ℝ

b) Tìm m để phương trình (1) có 1 nghiệm lớn hơn 2

Hướng dẫn giải

a)

+) m = 0 ⇒ x = 1

+) m ≠ 0 ⇒ ∆ = 1 > 0 ⇒ (1) luôn có nghiệm ∀m ∈ ℝ

b) Với m = 0 thì phương trình (1) có 1 nghiệm x = 1 < 2

Với m ≠ 0 ⇒ Phương trình (1) luôn có 2 nghiệm phân biệt:

\[{x_1} = \frac{{m + 1}}{m};{x_2} = \frac{{2m}}{{2m}} = 1 < 2\]

Vậy phương trình (1) có nghiệm lớn hơn 2 \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m \ne 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \frac{{m + 1}}{m} > 2{\text{ }}\left( 3 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

\[\begin{gathered} \left( 3 \right) \Leftrightarrow \frac{{m + 1}}{m} - \frac{{2m}}{m} > 0 \Leftrightarrow \frac{{1 - m}}{m} > 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 1 - m > 0 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} 1 - m < 0 \hfill \\ m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} m < 1 \hfill \\ m > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow 0 < m < 1 \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} m > 1 \hfill \\ m < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy 0 < m < 1.

Dạng 4. Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai

Phương pháp giải

Cách giải:

Giải và biện luận phương trình dạng bậc hai theo tham số m là tìm tập nghiệm của phương trình tùy theo sự thay đổi của m.

Xét phương trình bậc hai dạng: ax2 + bx + c = 0 với ∆ = b2 – 4ac (hoặc ∆’ = b’2 – ac).

+) Nếu a = 0, ta đưa về biện luận phương trình bậc nhất

+) Nếu a ≠ 0, ta biện luận phương trình bậc hai theo ∆.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giải và biện luận phương trình

(m – 2)x2 – (2m – 1)x + m + 2 = 0

Hướng dẫn giải

+) m = 2 ⇒ x = \[\frac{4}{3}\]

+) m ≠ 2 ⇒ ∆ = –4m + 17

m > \[\frac{{17}}{4}\] → ∆ < 0 → (1) vô nghiệm

m = \[\frac{{17}}{4}\] → ∆ = 0 → (1) có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \frac{{2m - 1}}{{2\left( {m - 2} \right)}} = \frac{5}{3}\]

m < \[\frac{{17}}{4}\] → ∆ > 0 → (1) có hai nghiệm phân biệt: \[{x_{1,2}} = \frac{{2m - 1 \pm \sqrt { - 4m + 17} }}{{2\left( {m - 2} \right)}}\]

Vậy m = 2 phương trình có nghiệm x = \[\frac{4}{3}\]

m > \[\frac{{17}}{4}\] ⇒ phương trình vô nghiệm

m = \[\frac{{17}}{4}\] ⇒ phương trình có nghiệm kép x = \[\frac{5}{3}\]

m < \[\frac{{17}}{4}\] và m ≠ 2 ⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt

Câu 2. Cho phương trình mx2 – 2mx + m + 1 = 0 (m là tham số)

a) Giải phương trình khi m = –2

b) Giải và biện luận phương trình theo m

Hướng dẫn giải

a) \[m = - 2 \Rightarrow x = \frac{{2 \pm \sqrt 2 }}{2}\]

b) Ta xét hai trường hợp sau:

TH1: m = 0 ⇒ 1 = 0 (vô nghiệm)

TH2: m ≠ 0 ⇒ ∆’ = –m ≠ 0

+) m < 0 ⇒ ∆’ > 0 ⇒ \[{x_{1,2}} = \frac{{m \pm \sqrt { - m} }}{m}\]

+) m > 0 ⇒ ∆’ < 0 ⇒ vô nghiệm

Kết luận:

m ≥ 0 ⇒ phương trình vô nghiệm

m < 0 ⇒ \[{x_{1,2}} = \frac{{m \pm \sqrt { - m} }}{m}\]

Câu 3. Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)

a) x2 + (1 – m)x – m = 0

b) (m – 3)x2 – 2mx + m – 6 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∆ = m2 + 2m + 1 =(m + 1)2 ≥ 0, ∀m ⇒ \[\sqrt \Delta = \left| {m + 1} \right|\]

+) ∆ = 0 ⇔ m = –1: m Phương trình đã cho có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \frac{{m - 1}}{2}\]

+) ∆ > 0 ⇔ m ≠ –1: m Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt: x1 = m; x2 = –1

b) Với m = 3 ⇒ Phương trình có dạng: –6x – 3 = 0 ⇔ x = \[ - \frac{1}{2}\]

Với m ≠ 3 ⇒ ∆’ = 9m – 18

+) ∆’ < 0 ⇔ 9m – 18 < 0 ⇔ m < 2: Phương trình vô nghiệm

m

+) ∆’ = 0 ⇔ 9m – 18 = 0⇔ m = 2: Phương trình có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \frac{m}{{m - 3}}\]

+) ∆’ > 0 ⇔ \[\left\{ \begin{gathered} m \ne 3 \hfill \\ m > 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{x_{1,2}} = \frac{{m \pm \sqrt {9m - 18} }}{{m - 3}}\]

Câu 4. Giải và biện luận các phương trình sau (m là tham số)

a) mx2 + (2m – 1)x + m + 2 = 0

b) (m – 2)x2 – 2(m + 1)x + m = 0

Hướng dẫn giải

a) Với m = 0 ⇒ x = 2

Với m ≠ 0 ⇒ ∆ = –12m + 1

+) ∆ < 0 ⇔ \[m > \frac{1}{{12}}\]: Phương trình vô nghiệm

+) ∆ = 0 ⇔ \[m = \frac{1}{{12}}\]: Phương trình có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \frac{{1 - 2m}}{{2m}}\]

+) ∆ > 0 ⇔ \[\left\{ \begin{gathered} m \ne 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m < \frac{1}{{12}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{x_{1,2}} = \frac{{1 - 2m \pm \sqrt {1 - 12m} }}{{2m}}\]

b) Với m = 2 ⇔ x = \[\frac{1}{3}\]

Với m ≠ 2 ⇒ ∆’ = 4m + 1

+) ∆’ < 0 ⇔ \[m < - \frac{1}{4}\]: Phương trình vô nghiệm

+) ∆’ = 0 ⇔ \[m = - \frac{1}{4}\]: Phương trình có nghiệm kép: \[{x_1} = {x_2} = \frac{{m + 1}}{{m - 2}}\]

+) ∆’ > 0 ⇔ \[\left\{ \begin{gathered} m \ne 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m > - \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.\] : Phương trình có hai nghiệm phân biệt: \[{x_{1,2}} = \frac{{m + 1 \pm \sqrt {4m + 1} }}{{m - 2}}\]

Dạng 5. Dạng toán liên quan đến tính có nghiệm của phương trình bậc hai, nghiệm chung của phương trình bậc hai

Phương pháp giải

Cách giải:

+) Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm ⇔ ∆ ≥ 0 (hoặc ∆’ ≥ 0 ).

+) Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2 + bx + c = 0 và a’x2 + b’x + c’ = 0 có nghiệm chung ta làm như sau:

Bước 1: Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Thay x0 vào 2 phương trình để tìm được điều kiện của tham số.

Bước 2: Với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình có nghiệm chung hay không và kết luận.

+) Muốn tìm điều kiện của tham số để hai phương trình dạng bậc hai ax2 + bx + c = 0 và a’x2 + b’x + c’ = 0 tương đương, ta xét hai trường hợp:

Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm

Trường hợp 2: Hai phương trình cùng có nghiệm. Khi đó:

– Điều kiện cần để hai phương trình tương đương là chúng có nghiệm chung. Từ đó tìm được điều kiện của tham số

– Điều kiện đủ với giá trị của tham số vừa tìm được, thay trở lại để kiểm tra xem 2 phương trình tập nghiệm bằng nhau không và kết luận.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hai phương trình:

x2 + x + a = 0; x2 + ax + 1 = 0

a) Tìm a để hai phương trình có nghiệm chung

b) Tìm a để hai phương trình tương đương

Hướng dẫn giải

a) Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x_0^2 + {x_0} + a = 0{\text{ }}\left( 1 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x_0^2 + a{x_0} + 1 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow \left( 1 \right) - \left( 2 \right) = \left( {1 - a} \right)\left( {{x_0} - 1} \right) = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} a = 1 \hfill \\ {x_0} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

+) Với a = 1 ⇒ x2 + x + 1 = 0 (vô nghiệm)

+) x0 = 1 ⇒ (1): a = –2

\[ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x^2} + x - 2 = 0 \hfill \\ {x^2} - 2x + 1 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left[ \begin{gathered} {x_1} = 1 \hfill \\ {x_2} = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ x = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]

Vậy với a = –2 thì hai phương trình có nghiệm chung x = 1.

b) Theo câu a hai phương trình có tập nghiệm khác nhau. Vậy để chúng tương đương khi và chỉ khi chúng cùng vô nghiệm

\[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\Delta _1} = 1 - 4a < 0 \hfill \\ {\Delta _2} = {a^2} - 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \frac{1}{4} < a < 2\]

Câu 2. Giả sử hai phương trình: x2 + ax + b = 0; x2 + mx + n = 0 có nghiệm chung. Chứng minh rằng:

(n – b)2 = (m – a)(an – bm) (1)

Hướng dẫn giải

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ:

\[\left\{ \begin{gathered} x_0^2 + a{x_0} + b = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ x_0^2 + m{x_0} + n = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left( {a - m} \right){x_0} = n - b{\text{ }}\left( * \right)\]

+) a – m = 0 ⇔ a = m ⇒ (*) ⇒ n = b ⇒ (1) đúng

+) a ≠ m ⇒ (*) ⇒ \[{x_0} = \frac{{n - b}}{{a - m}}\], thay vào phương trình ban đầu ta được:

\[\begin{gathered} {\left( {\frac{{n - b}}{{a - m}}} \right)^2} + a\left( {\frac{{n - b}}{{a - m}}} \right) + b = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {n - b} \right)^2} + a\left( {n - b} \right)\left( {a - m} \right) + b{\left( {a - m} \right)^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {n - b} \right)^2} + \left( {a - m} \right)\left( {an - bm} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {n - b} \right)^2} = \left( {m - a} \right)\left( {an - bm} \right) \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 3. Tìm m để hai phương trình: x2 – (2m – 3)x + 6 = 0; 2x2 + x + m – 5 = 0 có duy nhất nghiệm chung.

Hướng dẫn giải

Giả sử x0 là nghiệm chung của hai phương trình → ta có hệ:

\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x_0^2 - \left( {2m - 3} \right){x_0} + 6 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ 2x_0^2 + {x_0} + m - 5 = 0\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \frac{{x_0^2 - 3{x_0} + 6}}{{2{x_0}}}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ m = - 2x_0^2 - {x_0} + 5\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \frac{{x_0^2 - 3{x_0} + 6}}{{2{x_0}}} = - 2x_0^2 - {x_0} + 5 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 4x_0^3 + 3x_0^2 - 7{x_0} + 6 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {{x_0} + 2} \right)\left( {4x_0^2 - 5{x_0} + 3} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x_0} = - 2 \Rightarrow m = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \]

+) m = −1 hai phương trình ban đầu trở thành:

x2 + 5x + 6 = 0; 2x2 + x – 6 = 0

Hai phương trình này có nghiệm chung x = –2. Vậy m = –1 là giá trị cần tìm.

Câu 4. Cho a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình b2x2 – (b2 + c2 – a2)x + c2 = 0 luôn vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆ = (b – c – a)(b – c + a)(b + c – a)(b + c + a)

Vì a, b, c là ba cạnh của một tam giác nên:

b – c – a < 0; b + c – a > 0; b – c + a > 0; b + c + a > 0 ⇒ ∆ < 0

⇒ Phương trình luôn vô nghiệm.

Câu 5. Cho phương trình x2 + (a + b + c)x + (ab + bc + ca) = 0 với a, b, c là ba cạnh của một tam giác. Chứng minh phương trình trên luôn vô nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆ = a2 + b2 + c2 – 2ab – 2bc – 2ca

Vì a < b + c ⇒ a2 < ab + ca.

Tương tự ta có: b2 < ab + bc; c2 < ca + cb ⇒ ∆ < 0

⇒ Phương trình luôn vô nghiệm.

Câu 6. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0; x2 + cx + d = 0. Chứng minh nếu hai phương trình trên có nghiệm chung thì: (b – d)2 + (a – c)(ad – bc) = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình. Ta có: (a – c)x0 = d – b

+) Nếu \[a \ne c \Rightarrow {x_0} = \frac{{d - b}}{{a - c}}\]. Thay x0 vào phương trình ta được đpcm.

+) Nếu a = c ⇒ b = d ⇒ đpcm.

Câu 7. Cho hai phương trình x2 + ax + b = 0 và x2 + bx + a = 0 trong đó \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2}\]. Chứng minh rằng có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆1 + ∆2 = a2 + b2 – 4(a + b)

Từ \[\frac{1}{a} + \frac{1}{b} = \frac{1}{2} \Rightarrow a + b = \frac{1}{2}ab\]

\[{\Delta _1} + {\Delta _2} = {a^2} + {b^2} - 2ab = {\left( {a + b} \right)^2} \geqslant 0\]

⇒ đpcm.

Câu 8. Cho hai phương trình x2 + x – m = 0 và x2 – mx + 1 = 0. Tìm các giá trị của tham số m để:

a) Hai phương trình có nghiệm chung

b) Hai phương trình tương đương

Hướng dẫn giải

a) Gọi x0 là nghiệm chung của hai phương trình.

Ta biến đổi được (1 + m)x0 = m + 1.

Tìm được m = −1 hoặc m = 2

b) Ta xét 2 trường hợp:

Trường hợp 1: Hai phương trình cùng vô nghiệm

\[ \Rightarrow - 2 < m < - \frac{1}{4}\]

Trường hợp 2 : Hai phương trình cùng có nghiệm và tập nghiệm giống nhau ⇒ m = –1.

Vậy \[ - 2 < m < - \frac{1}{4}\] thì hai phương trình tương đương.

Câu 9. Cho hai phương trình x2 – 2ax + 3 = 0 và x2 – x + a = 0 (a là tham số). Với giá trị nào của tham số a thì:

a) Hai phương trình có nghiệm chung

b) Hai phương trình trên tương đương

Hướng dẫn giải

a) Ta tìm được a ∈ ∅

b) Tìm được \[\frac{1}{4} < a < \sqrt 3 \]

Dạng 6. Chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm, vô nghiệm

Phương pháp giải

Để chứng minh một phương trình bậc hai vô nghiệm ta chứng minh phương trình có ∆ < 0. Để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta chứng minh phương trình bậc hai có ∆ ≥ 0. Ngoài ra để chứng minh phương trình bậc hai có nghiệm ta còn có cách dựa vào tính chất sau:

Cho f(x) = ax2 + bx + c (1)

Nếu có 1 số thực m sao cho a⋅f(m) < 0 thì (1) có hai nghiệm phân biệt

Chứng minh tính chất:

Ta có:

\[\begin{gathered} f\left( x \right) = a{\left( {x + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{\Delta }{{4a}} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow a \cdot f\left( m \right) = {a^2}{\left( {m + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} - \frac{\Delta }{4} < 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{\Delta }{4} > {a^2}{\left( {m + \frac{b}{{2a}}} \right)^2} \geqslant 0 \Rightarrow \Delta > 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh rằng với ∀m các phương trình sau luôn có nghiệm:

a) x2 – 2(m + 2)x – m – 7 = 0

b) x2 – 4m2x – 4m – 2 = 0

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

\[\begin{gathered} \Delta ' = {\left( {m + 2} \right)^2} - \left( {m - 7} \right) = {m^2} + 5m + 11 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left( {m + \frac{5}{2}} \right)^2} + \frac{{19}}{4} > 0,\forall m \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \Delta ' > 0,\forall m \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m.

b) Ta có: ∆’ = 4m4 + 4m + 2 = 2(2m4 + 2m + 1). Mà:

\[\begin{gathered} 2{m^4} + 2m + 1 \hfill \\ \hfill \\ = 2\left( {{m^4} - {m^2} + \frac{1}{4}} \right) + 2\left( {{m^2} + m + \frac{1}{4}} \right) \hfill \\ \hfill \\ = 2{\left( {{m^2} - \frac{1}{2}} \right)^2} + 2{\left( {m + \frac{1}{2}} \right)^2} \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

Dấu “=” xảy ra \[ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} - \frac{1}{2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ m + \frac{1}{2} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\] (vô nghiệm) ⇒ ∆’ > 0, ∀m

Vậy phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 2. Chứng minh rằng nếu a, b, c là độ dài các cạnh của 1 tam giác thì phương trình sau vô nghiệm: a2x2 + (a2 + b2 + c2)x + b2 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: a2 ≠ 0

\[\begin{gathered} \Delta = \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2}} \right) - 4{a^2}{b^2} \hfill \\ \hfill \\ = \left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} - 2ab} \right)\left( {{a^2} + {b^2} - {c^2} + 2ab} \right) \hfill \\ \hfill \\ = \left[ {{{\left( {a - b} \right)}^2} - {c^2}} \right]\left[ {{{\left( {a + b} \right)}^2} - {c^2}} \right] \hfill \\ \hfill \\ = \underbrace {\left( {a - b + c} \right)}_{ > 0}\underbrace {\left( {a - b - c} \right)}_{ < 0}\underbrace {\left( {a + b + c} \right)}_{ > 0}\underbrace {\left( {a + b - c} \right)}_{ > 0} \hfill \\ \end{gathered} \]

⇒ ∆ < 0 ⇒ Phương trình vô nghiệm

Câu 3. Cho các số thực a, b, c thoả mãn 4a2 + (a + b)2 + a(c + 2) + 1 < 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Hướng dẫn giải

Phân tích:

Vì bài toán yêu cầu chứng minh phương trình có hai nghiệm phân biệt nên phương trình đã cho phải là phương trình bậc hai, tức là a ≠ 0. Điều này dễ thấy luôn đúng, vì nếu a = 0 thì từ giả thiết ta có b2 + 1 < 0 (vô lí). Do vậy để chứng minh yêu cầu bài toán, chúng ta cần chứng minh ∆ = b2 – 4ac > 0 hoặc chỉ ra số thực m sao cho a⋅f(m) < 0 với f(x) = ax2 + bx + c.

Cách 1: Để chứng minh ∆ = b2 – 4ac > 0, ta biến đổi giả thiết bài toán như sau:

16a2 + 4(a + b)2 + 4ac + 8a + 4 < 0

⇔ b2 – 4ac > 16a2 + 4(a + b)2 + 4ac + 8a + 4

⇔ b2 – 4ac > 12a2 + 4(a + b)2 + b2 + 4(a + 1)2 ≥ 0

⇒ ∆ = b2 – 4ac > 0

Vậy phương trình đã cho luôn có hai nghiệm phân biệt

Cách 2: Để chỉ ra có một số thực m sao cho a⋅f(m) = a(am2 + bm + c) < 0

Ta viết lại giả thiết bài toán như sau:

4a2 + a2 + 2ab + b2 + ac + 2a + 1 < 0

⇔ a(4a + 2b + c) < –(a + 1)2 – b2 ≤ 0

⇔ a(4a + 2b +c) < 0

⇔ a⋅f(2) < 0

Do đó phương trình f(x) = 0 luôn có hai nghiệm phân biệt.

Câu 4. Cho các sô thực a, b, c thỏa mãn 3a + 5b + 15c = 0. Chứng minh rằng phương trình ax2 + bx + c = 0 luôn có nghiệm.

Hướng dẫn giải

Phương trình đã cho chưa phải là phương trình bậc hai vì ta chưa biết a = 0 hay a ≠ 0. Do đó ta xét các trường hợp sau:

+) Xét a = 0, khi đó:

b = 0, từ giả thiết có c = 0. Do đó, phương trình đã cho có vô số nghiệm

b ≠ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm \[x = - \frac{c}{b}\]

+) Xét a ≠ 0, khi đó phương trình đã cho là phương trình bậc hai. Để chứng minh phương trình có nghiệm, ta có thể chứng minh ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 hoặc chỉ ra số thực m thỏa mãn a⋅f(m) < 0 với f(x) = ax2 + bx + c.

Cách 1: Để chứng minh ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 ta biến đổi như sau:

Ta có:

\[\begin{gathered} \Delta = {b^2} - 4ac \hfill \\ \hfill \\ = {\left( {\frac{{3a + 15c}}{5}} \right)^2} - 4ac \hfill \\ \hfill \\ = \frac{{9{a^2} - 10ac + 225{c^2}}}{{25}} \hfill \\ \end{gathered} \]

Vì 9a2 – 10ac + 225c2

= 25c2 – 10ac + a2 + 8a2 + 200c2

= (5c – a)2 + 8a2 + 200c2 ≥ 0

⇒ ∆ ≥ 0 với mọi a, b, c. Vậy phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Cách 2: Để chỉ ra số thực m thỏa mãn a⋅f(m) < 0 ta xử lý như sau

Ta có: \[f\left( 0 \right) = c\]; \[f\left( 1 \right) = a + b + c\]; \[f\left( {\frac{1}{2}} \right) = \frac{1}{4}a + \frac{1}{2}b + c\]

Giả sử:

\[\begin{gathered} x \cdot f\left( 0 \right) + y \cdot f\left( 1 \right) + z \cdot f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 3a + 5b + 15c \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {y + \frac{1}{4}z} \right)a + \left( {y + \frac{1}{2}z} \right)b + \left( {x + y + z} \right)c = 3a + 5b + 15c \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} y + \frac{1}{4}z = 3 \hfill \\ \hfill \\ y + \frac{1}{2}z = 5 \hfill \\ \hfill \\ x + y + z = 15 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 1 \hfill \\ z = 8 \hfill \\ x = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]

Vậy ta có: \[6 \cdot f\left( 0 \right) + f\left( 1 \right) + 8 \cdot f\left( {\frac{1}{2}} \right) = 0\]

Do đó trong ba số \[f\left( 0 \right),f\left( 1 \right),f\left( {\frac{1}{2}} \right)\] luôn có một số không âm và một số không dương. Giả sử hai số đó là f(0), f(1) tức là: f(0)⋅f(1) ≤ 0 ⇒ a⋅f(0)⋅a⋅f(1) ≤ 0

Do đó, ta suy ra a⋅f(0) ≤ 0 hoặc \[a \cdot f\left( {\frac{1}{2}} \right) \leqslant 0\]. Từ đây, ta có phương trình đã cho luôn có nghiệm.

Chú ý: Khi đề bài cho a, b, c thỏa mãn ma + nb + pc = 0 và yêu cầu chứng minh phương trình ax2 + bx + c có nghiệm, ta có thể chứng minh như sau

Cách 1: Chứng minh ∆ = b2 – 4ac ≥ 0 (khi a ≠ 0 )

Cách 2: Chỉ ra tồn tại x, y, z thỏa mãn: x⋅f(α) + y⋅f(β) + z⋅f(γ) = ma + nb + pc khi đó trong ba số f(α), f(β), f(γ) luôn có hai số trái dấu. Từ đó ta có đpcm.

Câu 5. Cho các sô a, b, c thỏa mãn a + 2b + 3c = 1. Chứng minh rằng ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm: 4x2 – 4(2a + 1)x + 4a2 + 192abc + 1 = 0 và 4x2 – 4(2b + 1)x + 4b2 + 96abc + 1 = 0

Hướng dẫn giải

Hai phương trình trên lần lượt có ∆’1 = 16a(1 – 48bc); ∆’2 = 16(1 – 24ac). Vì a, b là các số dương nên ∆’1, ∆’2 lần lượt cùng dấu với 1 – 48bc và 1 – 24ac. Để chứng minh bài toán, ta cần chứng minh trong hai biệt thức ∆’1, ∆’2 luôn có ít nhất một số không âm. Để chứng minh điều này, ta đi xét tổng ∆’1 + ∆’2. Nếu ∆’1 + ∆’2 ≥ 0 thì trong hai số ∆’1, ∆’2 có ít nhất một số không âm. Ta có:

1 – 48bc + 1 – 24ac

= 2 – 24c(a + 2b)

= 2 – 24c(1 – 3c)

= 2(6c – 1)2 ≥ 0

Hay ∆’1 + ∆’2 ≥ 0

Vậy có ít nhất một trong hai phương trình trên có nghiệm.

Câu 6. Cho phương trình ax2 + bcx + b3 + c3 – 4abc = 0 (1) (a ≠ 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có 1 phương trình vô nghiệm, 1 phương trình có hai nghiệm phân biệt: ax2 + bx + c = 0 (2); ax2 + cx + b = 0 (3).

Hướng dẫn giải

Phương trình (1) vô nghiệm

⇒ ∆1 = b2c2 – 4a( b3 + c3 – 4abc) < 0 (*)

Ta có: ∆2 = b2 – 4ac; ∆3 = c2 – 4ab

Ta đi chứng minh ∆2⋅∆3 < 0

\[\left( * \right) \Leftrightarrow \left( {{b^2} - 4ac} \right)\left( {{c^2} - 4ab} \right) < 0\]

\[ \Rightarrow {\Delta _2} \cdot {\Delta _3} < 0 \Rightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {\Delta _2} > 0 \hfill \\ {\Delta _3} < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} {\Delta _2} < 0 \hfill \\ {\Delta _3} > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \rlap{--} Dpcm\]

Câu 7. Cho a, b, c là các số thực có tổng khác 0. Chứng minh rằng phương trình sau luôn có nghiệm:

a(x – b)(x – c) + b(x – c)(x – a) + c(x – a)(x – b) = 0 (1)

Hướng dẫn giải

(1) ⇔ (a + b + c)x2 – 2(ab + bc + ca)x + 3abc = 0

∆’ = (ab + bc + ca)2 – 3abc(a + b + c)

= a2b2 + b2c2 + c2a2 – abc(a + b + c)

= \[\frac{1}{2}\] [(ab – bc)2 + (bc – ca)2 + (ca – ab)2] ≥ 0

⇒ đpcm

Câu 8. Cho các số a, b, c thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng có ít nhất 1 trong ba phương trình sau có nghiệm: x2 + ax + 1 = 0; x2 + bx + 1 = 0; x2 + cx + 1 = 0

Hướng dẫn giải

\[\begin{gathered} {\Delta _1} = {a^2} - 4;{\Delta _2} = {b^2} - 4;{\Delta _3} = {c^2} - 4 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} = {a^2} + {b^2} + {c^2} - 12 \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} \geqslant {a^2} + \frac{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}{2} - 12 \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = {a^2} + \frac{{{{\left( {6 - a} \right)}^2}}}{2} - 12 = \frac{{3{{\left( {a - 2} \right)}^2}}}{2} \geqslant 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {\Delta _1} + {\Delta _2} + {\Delta _3} \geqslant 0 \Rightarrow \rlap{--} Dpcm \hfill \\ \end{gathered} \]

Câu 9. Cho phương trình ax2 + bcx + b3 + c3 – 4abc = 0 (1) (a ≠ 0) vô nghiệm. Chứng minh rằng trong hai phương trình sau có một phương trình vô nghiệm và một phương trình có hai nghiệm phân biệt ax2 + bx + c = 0 (2); ax2 + cx + d = 0 (3)

Hướng dẫn giải

Vì phương trình (1) vô nghiệm nên ta có: ∆1 = b2c2 – 4a(b3 + c3 – 4abc) < 0 (*)

Hai phương trình (2), (3) có ∆2 = b2 – 4ac; ∆3 = c2 – 4ab

Để chứng minh bài toán ta cần chứng minh trong hai số ∆2, ∆3 luôn có một số âm và một số dương.

Điều này gợi ý ta đi chứng minh ∆2⋅∆3 < 0

(*) ⇔ (b2 – 4ac)(c2 – 4ab) < 0 ⇔ ∆2⋅∆3 < 0

⇒ Trong hai số ∆2, ∆3 có một số âm và một số dương dẫn đến trong hai phương trình (2), (3) luôn có một phương trình có hai nghiệm phân biệt và một phương trình vô nghiệm.

Bài tập tự luyện

Câu 1. Giải các phương trình sau

a) \[2{x^2} - \left( {1 - 2\sqrt 2 } \right)x - \sqrt 2 = 0\]

b) 3x2 + 3 = 2(x + 1)

c) \[{\left( {2x - \sqrt 2 } \right)^2} - 1 = \left( {x + 1} \right)\left( {x - 1} \right)\]

d) \[\frac{1}{2}x\left( {x + 1} \right) = {\left( {x - 1} \right)^2}\]

Hướng dẫn giải

a) Ta tìm được: \[x \in \left\{ {\frac{1}{2}; - \sqrt 2 } \right\}\]

b) Ta tìm được: x ∈ ∅

c) Ta tìm được: \[x \in \left\{ {\sqrt 2 ;\frac{{\sqrt 2 }}{3}} \right\}\]

d) Ta tìm được: \[x \in \left\{ {\frac{{5 \pm \sqrt {17} }}{2}} \right\}\]

Câu 2. Cho phương trình 2x2 – (4m + 3)x + 2m2 – 1 = 0 (m là tham số). Tìm các giá trị của m để phương trình:

a) Có hai nghiệm phân biệt

b) Có nghiệm kép

c) Vô nghiệm

d) Có đúng một nghiệm

e) Có nghiệm

Hướng dẫn giải

Ta có: ∆ = (4m + 3)2 – 4⋅2(2m2 – 1)

= 16m2 + 24m + 9 – 16m2 + 8

= 24m + 7

a) Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi m > \[ - \frac{{17}}{{24}}\]

b) Phương trình có nghiệm kép khi m = \[ - \frac{{17}}{{24}}\]

c) Phương trình vô nghiệm khi m < \[ - \frac{{17}}{{24}}\]

d) Không có giá trị nào của m để phương trình có đúng một nghiệm

e) Phương trình có nghiệm khi m ≥ \[ - \frac{{17}}{{24}}\]

Câu 3. Biện luận theo m số nghiệm phương trình mx2 – 4(m – 1)x + 4m + 8 = 0 (m là tham số).

Hướng dẫn giải

Ta chia ra làm các trường hợp sau:

+) m ≠ 0; m > –1

+) m = –1

+) m < −1

+) m = 0

+) m ≥ −1

Câu 4. Cho hai phương trình x2 + mx + 2 = 0 và x2 + 2x + m = 0. Xác định các giá trị của tham số m để hai phương trình:

a) Có nghiệm chung

b) Tương đương

Hướng dẫn giải

a) Ta tìm được m = 2 hoặc m = −3

b) Ta tìm được \[1 < m < 2\sqrt 2 \]

Bài tập tự làm

Câu 1. Cho phương trình x² – 2(m+1)x + m² + m +1 = 0

Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm

Trong trường hợp phương trình có nghiệm là x1, x2 hãy tính theo m

Câu 2. Chứng minh rằng phương trình sau có nghiệm với mọi a, b:

(a+1) x² – 2 (a + b)x + (b- 1) = 0

Câu 3. Giả sử phương trình bậc hai x² + ax + b + 1 = 0 có hai nghiệm dương. Chứng minh rằng a² + b² là một hợp số.

Câu 4. Cho phương trình (2m – 1)x² – 2(m + 4 )x +5m + 2 = 0 (m #½)

Tìm giá trị của m để phương trình có nghiệm.

Khi phương trình có nghiệm x1, x2, hãy tính tổng S và tích P của hai nghiệm theo m.

Tìm hệ thức giữa S và P sao cho trong hệ thức này không có m.

Câu 5. Cho phương trình x² – 6x + m = 0. Tính giá trị của m, biết rằng phương trình có hai nghiệm x1, x2 thỏa mãn điều kiện x1 – x2 = 4.

Câu 6. Cho phương trình bậc hai: 2x² + (2m – 1)x +m – 1 =0

Chứng minh rằng phương trình luôn luôn có nghiệm với mọi m.

Xác định m để phương trình có nghiệm kép. Tìm nghiệm đó.

Xác định m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn -1 < x1 < x2 < 1

Trong trường hợp phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2, hãy lập một hệ thức giữa x1, x2 không có m.

Câu 7. Cho f(x) = x² – 2(m +2)x+ 6m +1

Chứng minh rằng pt f(x) = 0 luôn nghiệm với mọi m.

Đặt x = t + 2; tính f(x) theo t. Từ đó tìm điều kiện của m để phương trình f(x) = 0 có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 2.

Câu 8. Cho tam thức bậc hai f(x) = ax² + bx +c thỏa mãn điều kiện Ι f(x)Ι =< 1 với mọi x ∈ { -1; 1 }. Tìm GTNN của biểu thức A= 4a² + 3b².

Câu 9. Cho phương trình (x²)² – 13 x² + m = 0. Tìm các giá trị của m để phương trình:

a. Có bốn nghiệm phân biệt.

b. Có ba nghiệm phân biệt.

c. Có hai nghiệm phân biệt.

d. Có một nghiệm

e. Vô nghiệm.

Trên đây là toàn bộ cách tính delta, delta phẩy thông qua những công thức đi kèm. Các dạng toán trên là dạng cơ bản nhất trong chương trình học, do đó bạn cần lưu ý tránh xảy ra các sai sót đáng tiếc.

Bạn đang xem bài viết Công thức & bài tập vận dụng xem thêm các bài viết khác về chủ đề Giải mã giấc mơ. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!

Related Posts