Toán lớp 12: 4 dạng cơ bản & cách giải mới nhất 2023

Ở bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ tổng hợp đến độc giả các phương pháp giải phương trình mũ, phương trình logarit thường gặp và một số bài tập vận dụng ở từng dạng chi tiết. Kiến thức thuộc chương trình đại số toán lớp 12 và là nền tảng để các bạn học sinh thi THPTQG.

Giải phương trình mũ

Phương pháp giải chung

Phương trình mũ cơ bản có dạng: a^x = b (1), (0 < a ≠ 1). Ngoài phương pháp giải chung giải quyết các bài toán cơ bản thì chúng ta còn ứng dụng nhiều phiên bản khác nhau khi làm bài tập.

Xét phương trình mũ: a^x = b (1)

Dựa vào tính chất của hàm số, tập giá trị của hàm số y = a^x là (0; +∞) nên ta chia thành 2 trường hợp như sau:

• b > 0: Phương trình (1) có nghiệm duy nhất là x = log_a b.
• b ≤ 0: Phương trình (1) vô nghiệm.

Tuy nhiên phương pháp này thường chỉ ứng dụng cho các bài toán tổng quát hoặc cái bài toán đơn giản. Và thường là xuất hiện trong bước giải toán cuối cùng của một phương trình.

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng cùng cơ số. Khi đó ta cho các số mũ bằng nhau được một phương trình tương đương mới.

a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x), với 0 < a ≠ 1

Chú ý: Nếu cơ số a có chứa biến thì cần xét thêm trường hợp a = 1 (Vì 1^f(x) = 1^g(x) luôn đúng)

Phương pháp đặt ẩn phụ

Thông thường, ta sẽ đặt t = a^x, Điều kiện t > 0

Một số phương trình thường gặp và cách đặt:

+) m.a^2f(x) + n.a^f(x) + p = 0 → Đặt t = a^f(x), (t > 0)

+) m.a^f(x) + n.b^f(x) + p = 0, trong đó a․b = 1 → Đặt t = a^f(x), (t > 0), suy ra

+) m.a^2f(x) + n.(a․b)^f(x) + p.b^2f(x) = 0 → Chia hai vế cho b^2f(x) và đặt

Chú ý: Nếu đặt t = a^x và x ∈ (m; n) thì

+) t ∈ (a^m; aⁿ) khi a >1.

+) t ∈ (aⁿ; a^m) khi 0 < a < 1.

Phương pháp logarit hoá

Phương trình

Phương trình a^f(x) = b^g(x) (*), với a,b không đưa được về cùng cơ số nên không sử dụng được phương pháp số 2. Ta thực hiện bằng cách lấy logarit cơ số a cho hai về của phương trình (*).

Từ đó ta được phương trình tương đương như sau:

(*) ⇔ log_a a^f(x) = log_a b^g(x) ⇔ f(x) = g(x)․log_a b

Đây sẽ là một phương trình cơ bản hơn rất nhiều so với phương trình (*) theo đầu bài cho.

Giải phương trình logarit

Định nghĩa phương trình logarit

Phương trình logarit cơ bản là phương trình có dạng sau:

log_a x = b, (Trong đó điều kiện được cho: 0 < a ≠ 1).

Để giải phương trình này với nhiều biến thể khác nhau, Cấp Nước Lào Cai giới thiệu đến các bạn 4 phương pháp phổ biến sau. Thử lần lượt các phương pháp bạn sẽ có cách giải bài toán một cách hoàn hảo nhất.

Phương pháp giải cơ bản

Xét lại phương trình logarit: log_a x = b (*)

Theo như bài hàm số logarit, tập giá trị của hàm số y = log_a x là ℝ. Do đó phương trình (*) có nghiệm duy nhất là:

x = a^b.

Ở phương pháp cơ bản này, bạn cần chú ý một số công thức như sau để có thể giải toán nhanh hơn:

+) ln x = b ⇒ x = e^b

+) log x = b ⇒ x = 10^b

+) log_a f(x) = b ⇔ f(x) = ab

Phương pháp đưa về cùng cơ số

Biến đối phương trình đã cho về dạng:

Một lưu ý quan trọng trong phương pháp này. Khi gặp phương trình có từ 2 biểu thức logarit trở lên thì chúng ta cần đặt điều kiện để tồn tại các biểu thức chứa logarit trước khi giải. Nếu không đặt điều kiện sẽ sai bản chất hoặc thừa nghiệm và mất điểm đáng tiếc.

Phương pháp đặt ẩn phụ

Ở các bài toán thường gặp, phép đặt phổ biến nhất là: t = log_a x, Điều kiện t ∈ ℝ. Điều kiện này dựa vào tập giá trị của hàm số logarit.

Chú ý:

Để xác định miền của t. Nếu đặt t = log_a x và x ∈ (m; n) thì:

+) t ∈ (log_a m; log_a n) khi a > 1

+) t ∈ (log_a n; log_a m) khi 0 < a < 1

Với 0 < x ≠ 1 ta có: . Do đó, nếu đặt t = log_a x thì

Phương pháp mũ hoá

Ta có:

Trường hợp phương trình logarit không thể xử lý được. Phương pháp cuối cùng là mũ hóa (có kèm theo điều kiện), sau đó vận dụng các kiến thức từ phương trình mũ để giải bài toán. Hướng đi này cần một tầm nhìn tốt để tránh làm bài toán trở nên phức tạp hơn.

Giải bằng phương pháp hàm số

Phương pháp chung

Ngoài 4 phương pháp trên ở mỗi loại phương trình, nếu vẫn chưa tìm được hướng giải thì phương pháp hàm số được coi là giải pháp cuối cùng. Phương pháp này có vận dụng một số tính chất như sau:

– Tính chất 1. Nếu hàm số y = f(x) luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên (a; b) thì phương trình f(x) = k trên (a; b) có tối đa 1 nghiệm hoặc f(u) = f(v) ⇔ u = v, ∀ u, v ∈ (a; b)

– Tính chất 2. Nếu hàm số y = f(x) liên tục và luôn đồng biến (hoặc luôn nghịch biến) trên D; hàm số y = g(x) liên tục và luôn nghịch biến (hoặc luôn đồng biến) trên D phương trình f(x) = g(x) có tối đa 1 nghiệm.

– Tính chất 3. Xét phương trình f(x) = 0 (4)

Nếu hàm số f có đạo hàm cấp 1 là f’(x) và đạo hàm cấp 2 là f’’(x) mà f’’(x) > 0, ∀ x ∈ K hoặc f’’(x) < 0, ∀ x ∈ K thì phương trình f’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm. Từ đó suy ra phương trình (4) có tối đa 2 nghiệm.

Lưu ý: Khi gặp bài toán trên ta có thề xử lí đến khi đạo hàm cấp n mang dấu dương hoặc dấu âm

→ f’’(x) = 0 có tối đa 1 nghiệm → f’(x) = 0 có tối đa 2 nghiệm → phương trình (4) có tối đa 3 nghiệm.

Lý thuyết cơ bản là như vậy, giờ chúng ta sẽ bắt tay vào từng dạng toán chi tiết.

Dạng 1.a^f(x) = g(x) hoặc log_a f(x) = g(x)

Những phương trình sẽ rất dễ nhẩm nghiệm, ta thực hiện theo 3 bước sau:

– Đoán (nhẩm) nghiệm

– Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của phương trình.

– Kết luận nghiệm (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm).

Dạng 2. a^f(x) + b^f(x) = c^f(x)

– Chia cả 2 vế cho c^f(x)

– Đoán (nhẩm) nghiệm.

– Xét tính đơn điệu của 2 hàm số ở 2 vế của phương trình.

– Kết luận nghiệm.

Dạng 3. a^f(x) + b^f(x) = g(x)

– Đoán (nhẩm) nghiệm

– Xét tính đơn điệu của hàm số y = a^f(x) + b^f(x) và y = g(x)

– Kết luận nghiệm (thường sẽ có 1 đến 2 nghiệm).

Dạng 4. với h(x) = g(x) – f(x)

– Biến đổi phương trình về dạng: log_a f(x) + f(x) = log_a g(x) + g(x)  (*)

– Xét hàm đặc trưng: y = log_a t + t

– Chứng minh hàm đặc trưng đơn điệu.

Từ (*) ⇒ f(x) = g(x)

Các dạng bài tập

Dạng 1. Phương trình mũ không chứa tham số

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tập hợp nghiệm của phương trình là

A. {0; 4}

B. ∅

C. {2; 1}

D. {0; 1}

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Câu 2. Tìm tọa độ giao điểm của đồ thị y = 2^–x + 3 với đường thẳng y = 11.

A. (3; 11)

B. (–3; 11)

C. (4; 11)

D. (–4; 11)

Hướng dẫn giải

Để giải quyết bài toán giao điểm của 2 đồ thị, bước đầu tiên là xét phương trình hoành độ giao điểm:

2^–x + 3 = 11

⇔ 2^–x = 8

⇔ 2^–x = 2³

⇔ –x = 3 ⇔ x = –3

Dễ dàng kết luận tọa độ của giao điểm là (–3; 11)

⟹ Chọn B

Câu 3. Tính tổng T tất cả các nghiệm của phương trình

A. T = 3

B. T = 1

C. T = 2

D. T = 0

Hướng dẫn giải

⇒ S = {1; 2} ⇒ T = 1 + 2 = 3

⟹ Chọn A

Câu 4. Nghiệm của phương trình 2^x + 2^x+1 = 3^x + 3^x+1  là

A.

B. x = 1

C. x = 0

D.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho phương trình: . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tích các nghiệm là một số âm.

B. Tổng các nghiệm là một số nguyên.

C. Nghiệm là các số vô tỉ.

D. Nghiệm của phương trình rỗng

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Câu 6. Số nghiệm của phương trình 7^x – 7^1–x = 6 là

A. Vô nghiệm

B. 3

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Câu 7. Đặt t = 2^x, phương trình 4^x+1 –12․2^x+1 – 7 = 0 có dạng nào?

A. t² – 3t – 7 = 0

B. 4t² – 12t – 7 = 0

C. 4t² – 3t – 7 = 0

D. t² – 12t – 7 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có

Kết luận: Khi đặt t = 2^x, (t > 0), bằng một số phép biến đổi cơ bản phương trình đã cho trở thành: 4t² – 3t – 7 = 0.

Câu này giới thiệu đến bạn đọc cách giải quyết một phương trình mũ bằng phương pháp đặt ẩn phụ.

⟹ Chọn C

Câu 8. Cho phương trình . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Phương trình có một nghiệm vô tỉ.

B. Phương trình có một nghiệm hữu tỉ.

C. Phương trình có hai nghiệm trái dấu.

D. Tích của hai nghiệm bằng –6.

Hướng dẫn giải

Đặt

Khi đó với

⟹ Chọn A

Câu 9. Từ phương trình đặt ta thu được phương trình nào sau đây?

A. t² – 3t + 2

B. 2t³ + 3t² – 1 = 0

C. 2t³ – 3t – 1 = 0

D. 2t³ + 3t² – 3 = 0

Hướng dẫn giải

Ta có: và

Do đó, phương trình đã cho trở thành

Vậy khi đặt ta có phương trình

⟹ Chọn B

Câu 10. Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 0

B. 1

C. 2

D. 4

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≠ 0

⟹ Chọn B

Câu 11. Tìm tổng nghiệm của phương trình sau: 6․4^x – 13․6^x + 6․9^x = 0

A. 0

B. 1

C. –2

D. 9

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Câu 12. Biết rằng phương trình 3^3+3x + 3^3–3x + 3^4+x + 3^4–x = 1000 có hai nghiệm a và b. Tính giá trị biểu thức T = log a + log₅ (4 – b)

A .T = 1

B. T = –1

C. T = 5

D. T = 2

Hướng dẫn giải

Đặt

Khi đó (thỏa mãn)

Với

Đặt y = 3^x > 0. Khi đó (thỏa mãn)

Với y = 3 ⇒ 3^x = 3 ⇔ x = 1

Với

⟹ Chọn A

Câu 13. Phương trình có tất cả bao nhiêu nghiệm?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Phương trình

Đặt , suy ra . Khi đó phương trình trở thành:

a + b = ab + 1 ⇔ a – ab + b – 1 = 0 ⇔ a(1 – b) + (b – 1) = 0

⇔ (1 – b)(a – 1) = 0 ⇔

Với a = 1, ta được

Với b = 1, ta được

Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm x = 0, x = ±1.

⟹ Chọn C

Câu 14. Số nghiệm của phương trình: 3․25^x–2 + (3x – 10)․5^x–2 + 3 – x = 0 là đáp án nào dưới đây?

A. 1

B. 2

C .3

D. 4

Hướng dẫn giải

Nhìn tổng quan về phương trình thì phương pháp đặt ẩn phụ là khả quan nhất.

Đặt t = 5^x–2 > 0. Phương trình đã cho sẽ trở thành 3t² + (3x – 10)t + 3 – x = 0 (*)

Để giải được phương trình này, chúng ta xem đây là phương trình bậc hai ẩn t và có ∆ = (3x – 10)² – 4․3(3 – x) = (3x – 8)²

Với sự đặc biệt của ∆, Suy ra phương trình (*) có hai nghiệm: hoặc t = 3 – x. Xét từng trường hợp ta được:

Với

Với t = 3 – x ⇒ 5^x–2 = 3 – x. Dễ thấy x = 2 là nghiệm duy nhất của trường hợp này do vế trái là hàm đồng biến, vế phải là hàm nghịch biến.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm:

⟹ Chọn B

Câu 15. Cho a, b là các số dương thỏa mãn log₁₆ a = log₂₀ b = log₂₅ (a + b). Tìm giá trị của .

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Tiến hành đặt ẩn phụ: Đặt log₁₆ a = log₂₀ b = log₂₅ (a + b) = x

Khi đó

⟹ Chọn C

Câu 16. Phương trình 4^x + 11x = 1 có nghiệm là bao nhiêu trong các phương án dưới đây?

A. {±1}

B. ∅

C. {0}

D. {0; 1}

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

– Nhẫm nghiệm thấy phương trình đã cho có nghiệm x = 0.

– Xét tính đồng biến nghịch biến: Ta có f(x) = 4^x + 11x luôn đồng biến trên ℝ.

Kết luận x = 0 là nghiệm duy nhất của phương trình.

Câu 17. Phương trình (3 + 5^x)(x + 1) = 8 có bao nhiêu nghiệm?

A. 0

B. 3

C. 1

D. 2

Hướng dẫn giải

là phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị

+) Hàm số có bảng biến thiên

Ta lại có hàm số y = f(x) = 5^x (5^x > 0, ∀x là hàm số đồng biến trên ℝ.

Vậy (C), (C’) có duy nhất 1 giao điểm chung

Suy ra phương trình đã cho có duy nhất 1 nghiệm.

⟹ Chọn C

Câu 18. Tổng các nghiệm của phương trình e^x = 1 + x là bao nhiêu?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 0

Hướng dẫn giải

Biến phương trình đã cho thành dạng: f(x) = e^x – 1 – x = 0.

Ta có f’(x) = e^x – 1; f’(x) = 0 ⇒ x = 0

Ta có bảng biến thiên:

Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất x = 0. Do đó đáp án đúng trong trường hợp này là D.

⟹ Chọn D

Câu 19. Cho hàm số f(x) = e^x + 2x³ – 2021. Tìm tập nghiệm của phương trình sau: f (4^x – 3) = f (2^x+1)

A. {0; log₂ 3}

B. {log₂ 3}

C. {–1; 3}

D. {log₃ 2}

Hướng dẫn giải

Xét hàm số f(x) = e^x + 2x³ – 2021 có tập xác định là D = ℝ

Đạo hàm: f(x) = e^x + 6x² > 0, ∀x ∈ ℝ ⇒ hàm số đơn điệu tăng trên ℝ.

Áp dụng tính chất hàm đơn điệu ta có:

f (4^x – 3) = f (2^x+1) ⇔ 4^x – 3 = 2^x+1 ⇔ 4^x – 2․2^x – 3 = 0

Suy ra:

⟹ Chọn B

Câu 20. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thuộc [–2020; 2020]?

A. 4034

B. 1285

C. 4035

D. 1287

Hướng dẫn giải

Ta có

Đặt sin² x = t với t ∈ [0; 1] ta có phương trình

Vì hàm số nghịch biến với t ∈ [0; 1] nên phương trình có nghiệm duy nhất t = 0.

Do đó sin x = 0 ⇔ x = kπ, k ∈ ℤ.

Vì x ∈ [–2020; 2020] nên ta có nên có 1285 giá trị nguyên của k thỏa mãn.

Vậy có 1285 nghiệm.

⟹ Chọn B

Dạng 2. Phương trình logarit không chứa tham số

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tập nghiệm của phương trình log₃ (x² + 2x + 3) = 1 là

A {–2}

B {0}

C {0; –2}

D {0; 2}

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Câu 2. Tập nghiệm của phương trình là

A. {–3}

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Câu 3. Phương trình có bao nhiêu nghiệm thực?

A .3

B. 0

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x ≥ 0

Vậy x = 16 là nghiệm duy nhất của phương trình đã cho.

⟹ Chọn D

Câu 4. Tập nghiệm của phương trình log₂ x = log₂ (x² – x)

A. {2}

B. {1}

C. {0; 1}

D. {0; 2}

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Bước tìm điều kiện là một bước quan trọng khi giải bài toán này. Nếu không tìm điều kiện chắc chắn bạn sẽ có Hướng dẫn giải sai.

Câu 5. Phương trình log₅ x + log₅ (x – 6) = log₅ 7 có bao nhiêu nghiệm?

A. 2

B. 1

C. 3

D. 0

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 6

log₅ x + log₅ (x – 6) = log₅ 7 ⇔ log₅ (x² – 6x) = log₅ 7

⇔ x² – 6x – 7 = 0 ⇔

So với Điều kiện, suy ra x = 7 là nghiệm của phương trình.

⟹ Chọn B

Câu 6. Gọi tập nghiệm của phương trình log_0,5 (x² – 10x + 23) + log₂ (x – 5) = 0 là S. Tìm S?

A. S = ∅

B. S = {7}

C. S = {4; 7}

D. S = {4}

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x – 5 > 0 và x² – 10x + 23 >0 (hiển nhiên). Ta biến đổi phương trình như sau:

log_0,5 (x² – 10x + 23) + log₂ (x – 5) = 0 ⇔ log₂ (x – 5) = log₂ (x² – 10x + 23)

⟹ Chọn B

Câu 7. Số nghiệm của phương trình là

A. 0

B. 4

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Điều kiện: –3 < x < 3.

Ta có

⇔ log₂ [16(x + 5)] = log₂ [(x + 3)(x – 3)]

⇔ 16(x + 5) = 9 – x² ⇔ x² + 16x + 71 = 0 (vô nghiệm).

Vậy số nghiệm của phương trình đã cho là 0.

Câu 8. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình là

A.

B. 0

C. 4

D.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Điều kiện: x > 0

Vậy

Câu 9. Tổng các nghiệm của phương trình log⁴ (x – 1)² + log² (x – 1)³ = 25 là bao nhiêu?

A.

B.

C. 11

D.

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x – 1 > 0 ⇔ x > 1

Biến đổi phương trình để thuận tiện cho việc đặt ẩn phụ nhất.

log⁴ (x – 1)² + log² (x – 1)³ = 25

⇔ [2 log(x – 1)]⁴ + [3 log(x – 1)]² – 25 = 0

⇔ 16 [log(x – 1)]⁴ + 9 [log(x – 1)]² – 25 = 0.

Tuy nhiên tới đây thì không cần đặt ẩn phụ nữa, vì cơ bản ta thấy vế trái phương trình có dạng hằng đẳng thức cơ bản.

(TMĐK).

Giải xong nhớ xét lại điều kiện có nghĩa của hàm logarit.

⟹ Chọn B

Kết luận: Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho là .

Đây là một bài toán khá hay đòi hỏi kĩ năng nhìn bao quát và áp dụng các công thức logarit linh hoạt nhất.

Câu 10. Cho phương trình . Tính tổng các nghiệm nguyên của phương trình

A. 3

B. 14

C. 2

D. 7

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 2, x ∈ ℤ, x ≠ 4.

Khi đó:

Vậy tổng các nghiệm nguyên của phương trình là: 3. Chọn đáp án A.

⟹ Chọn C

Câu 11. Phương trình 2log² x – 5log x + log100 = 0 có bao nhiêu nghiệm thuộc khoảng (1; 100)?

A. 1

B. 0

C. 2

D. 10

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0

2log² x – 5log x + log100 = 0 ⇔ 2log² x – 5log x + 2 = 0

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm thuộc khoảng khoảng (1; 100)

⟹ Chọn A

Câu 12. Tìm tổng các nghiệm của phương log₂ (3․2^x – 1) = 2x + 1

A. 1

B. 4

C. 2

D. –1

Hướng dẫn giải

log₂ (3․2^x – 1) = 2x + 1 ⇔ 3․2^x – 1 = 2^2x+1 ⇔ 2․2^2x – 3․2^x + 1 = 0. Tới bước này bạn có thể đặt ẩn phụ cho dễ nhìn hoặc có thể biến đổi trực tiếp luôn. Phương trình đã cho tương đương với:

Vậy

⟹ Chọn D

Câu 13. Tổng tất cả các nghiệm của phương trình bằng

A. log₂₀₂₀ 10

B. 2 log₂₀₂₀ 10

C. log₂₀₂₀ 16

D. 2 log₂₀₂₀ 16

Hướng dẫn giải

(1)

Đặt

Tổng hai nghiệm là: 2 log₂₀₂₀ 2 + 2 log₂₀₂₀ 8 = 2 log₂₀₂₀ 16.

⟹ Chọn D

Câu 14. Tổng bình phương các nghiệm của phương trình log₅ (4x – 3)․log₂ x = log₂ x

A. 5

B. 10

C. 12

D. 15

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

Vậy

⟹ Chọn A

Câu 15. Phương trình có hai nghiệm a, b với a < b. Tính P = a2 – b

A. 0

B. 10

C. 9

D. 5

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 0 < x ≠ 1

Vậy P = 0

⟹ Chọn A

Câu 16. Phương trình có tích các nghiệm là

A. 20

B. 10

C. 90

D. 50

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 0 < x ≠ 1

Vậy tích các nghiệm là 20.

⟹ Chọn A

Câu 17. Tích các nghiệm của phương trình: 2․log₂₅ x = log₂ 25․log₅ 2 – log₅ (26 – x)

A. 25

B. 5

C. 4

D. 2

Hướng dẫn giải

Điều kiện: 0 < x < 26

2․log₂₅ x = log₂ 25․log₅ 2 – log₅ (26 – x)

⇔ log₅ x = 2․log₂ 5․log₅ 2 – log₅ – log₅ (26 – x)

⇔ log₅ x = 2 – log₅ (26 – x) ⇔ log₅ x + log₅ (26 – x) = log₅ 25

⇔ log₅ [x․(26 – x)] = log₅ 25 ⇔ x․(26 – x) = 25 ⇔ x² – 26x + 25 = 0

⇔

So với điều kiện phương trình có nghiệm x = 1; x = 25.

Do đó tích của hai nghiệm đó bằng x = 25

⟹ Chọn A

Câu 18. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình bằng

A. 9

B. 12

C. 24

D. 18

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0, x ≠ 1.

Ta có, phương trình tương đương với log_x 2 + log_x 3 + log_x 4 = 1 ⇔ log_x 24 = 1 ⇔ x = 24.

Phương trình có nghiệm duy nhất x = 24 nên tổng các nghiệm bằng 24.

⟹ Chọn C

Câu 19. Cho , biết log₂ (sin x) + log₂ (cos x) = –2 và . Giá trị của n bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Vì nên sin x > 0 và cos x > 0

Ta có: log₂ (sin x) + log₂ (cos x) = –2

Suy ra:

Câu 20. Tổng giá trị tất cả các nghiệm của phương trình là

A. 0

B.

C.

D. 9

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0

Vậy tổng tất cả các nghiệm của phương trình đã cho

⟹ Chọn B

Câu 21. Cho phương trình có nghiệm dạng x = 3ⁿ (n là số tự nhiên). Tổng tất cả các giá trị của n là đáp án nào dưới đây

A. 5

B. 6

C. 3

D. 9

Hướng dẫn giải

(1)

Đặt với t ≥ 0. Ta có log₉ x = t² – 4

Phương trình (1) trở thành

t² – 4 + t = 26 ⇔ t² + t – 30 = 0 ⇔

Với t = 5 ⇒ log₉ x = 21 ⇔ x = 9²¹ ⇔ x = 3⁴² ⇒ n = 42

Vậy tổng tất cả các chữ số của n là 4 + 2 = 6. Chọn ngay đáp án B.

⟹ Chọn B

Câu 22. Số nghiệm thực của phương trình:   là bao nhiêu?

A. 3

B. 2

C. 4

D. 1

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

⟹ Chọn B

Câu 23. Phương trình log₂ (log₄ x)․log₄ (log₂ x) = 3 có 2 nghiệm đặt là: x₁, x₂. Tính giá trị của biểu thức log₂ x₁․log₂ x₂

A.

B. –6

C. 2

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có log₂ (log₄ x)․log₄ (log₂ x) = 3

Tới đây ta có thể đặt ẩn phụ.

Đặt t = log₂ (log₂ x) thì

+ t = 3 ⇒ log₂ (log₂ x₁) = 3 ⇔ log₂ x₁ = 8

+ t = –2 ⇒ log₂ (log₂ x₂) = –2 ⇔

Vậy log₂ x₁․log₂ x₂ = 2.

Đây là một bài toán khá hay. Chúng ta không tìm chi tiết nghiệm của phương trình mà vẫn giải quyết bài toán.

⟹ Chọn C

Câu 24. Biết x₁ > x₂ là hai nghiệm của phương trình và với a, b là hai số nguyên dương. Tính a + b?

A. a + b = 9

B. a + b = 12

C. a + b = 7

D. a + b = 14

Hướng dẫn giải

Điều kiện:

⇔ log₃ (x – 1)² + x² – 2x + 1 = log₃ x + x

⇔ log₃ (x – 1)² + (x – 1)² = log₃ x + x (1)

Xét hàm số f
Bạn đang xem bài viết 4 dạng cơ bản & cách giải xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 12. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!