Toán lớp 12: Bất phương trình Mũ - Logarit: Cách giải & tài liệu tham khảo mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Bất phương trình Mũ – Logarit: Cách giải & tài liệu tham khảo. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Bài viết sau đây, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc tổng hợp các dạng toán về bất phương trình mũ, bất phương trình logarit và cách giải từng dạng toán một cách chi tiết nhất. Mảng kiến thức thuộc chương trình toán 12 và xuất hiện nhiều trong đề thi THPT Quốc Gia môn toán.

Tóm tắt

Cách giải bất phương trình mũ

1. Đưa về cùng cơ số

2. Đặt ẩn phụ

αa^2f(x) + βa^f(x) + λ = 0. Đặt t = a^f(x), (t > 0)

3. Phương pháp logarit hóa

Cách giải bất phương trình logarit

1. Đưa về cùng cơ số

2. Phương pháp mũ hóa

Phân loại và phương pháp giải bài tập

Dạng 1. Phương pháp biến đổi tương đương đưa về cùng cơ số

Phương pháp giải

Bất phương trình mũ cơ bản

– Bất phương trình hoặc

– Bất phương trình

Bất phương trình logarit cơ bản

– Bất phương trình hoặc

– Bất phương trình

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho bất phương trình log₇ (x² + 2x + 2) + 1 > log₇ (x² + 6x + 5 + m). Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình trên có tập ngiệm chứa khoảng (1; 3)?

A. 35

B. 36

C. 34

D. 33

Hướng dẫn giải

BPT

, với f(x) = –x² – 6x – 5; g(x) = 6x² + 8x + 9

Xét sự biến thiên của hai hàm số f(x) và g(x)

f’(x) = –2x – 6 < 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ f(x) luôn nghịch biến trên khoảng (1; 3)

g’(x) = 12x + 8 > 0, ∀ x ∈ (1; 3) ⇒ g(x) luôn đồng biến trên khoảng (1; 3)

Khi đó –12 < m < 23

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {–11; –10; …; 22}

Vậy có tất cả 34 giá trị nguyên của m thỏa mãn yêu cầu bài toán.

⟹ Chọn C

Câu 2. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình log₂ (7x² + 7) ≥ log₂ (mx² + 4x + m) có tập nghiệm là ℝ. Tổng các phần tử của S là

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

BPT có tập nghiệm ℝ

, ∀ x ∈ ℝ

Ta có:

Do đó

Mà m ∈ ℤ nên m ∈ {3; 4; 5}

Vậy S = 3 + 4 + 5 = 12.

Câu 3. Bất phương trình có tập nghiệm là . Hỏi M = a + b bằng?

A. M = 12

B. M = 8

C. M = 9

D. M = 10

Hướng dẫn giải

Ta có

Nên ⇒ M = a + b = 1 + 9 = 10

⟹ Chọn C

Câu 4. Tập nghiệm của bất phương trình là:

Hướng dẫn giải

ĐKXĐ:

Bất phương trình

Kết hợp điều kiện ta được:

⟹ Chọn B

Câu 5. Bất phương trình ln (2x² + 3) > ln (x² + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

C. 0 < a < 2

D. –2 < a < 2

Hướng dẫn giải

ln (2x² + 3) > ln (x² + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x

⟹ Chọn D

Câu 6. Bất phương trình (3^x – 1)(x² + 3x – 4) có bao nhiêu nghiệm nguyên nhỏ hơn 6?

A. 9

B. 5

C. 7

D. Vô số

Hướng dẫn giải

Kết hợp điều kiện nghiệm nguyên nhỏ hơn 6 ta thấy các giá trị thỏa là {–3; –2; –1; 2; 3; 4; 5}

⟹ Chọn C

Câu 7. Nghiệm của bất phương trình là

C. (–1; 0)

Hướng dẫn giải

Do nên

⟹ Chọn D

Câu 8. Số nghiệm nguyên của bất phương trình là

A. 1

B. 0

C. 9

D. 11

Hướng dẫn giải

Vậy tập tất cả các nghiệm nguyên của bất phương trình đã cho là {5; 6; 7; 8; 9; 10; 11; 12; 13}.

⟹ Chọn C

Câu 9. Tìm tập nghiệm S của bất phương trình log_m (2x² + x + 3) ≤ log_m (3x² – x) với m là tham số thực dương khác 1, biết x = 1 là một nghiệm của bất phương trình đã cho.

A. (–2; 0) ∪

B. [–1; 0] ∪

C. S = (–1; 0) ∪ (1; 3]

D. S = [–1; 0) ∪

Hướng dẫn giải

Do x = 1 là nghiệm nên ta có log_m 6 ≤ log_m 2 ⇒ 0 < m < 1.

Bất phương trình tương đương với

Vậy S = [–1; 0) ∪

⟹ Chọn D

Câu 10. Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình: 1 + log₅ (x² + 1) ≥ log₅ (mx² + 4x + m) thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ.

A. –1 < m ≤ 0

B. –1 < m < 0

C. 2 < m ≤ 3

D. 2 < m < 3

Hướng dẫn giải

Ta có:

1 + log₅ (x² + 1) ≥ log₅ (mx² + 4x + m) ⇔ log₅ (5x² + 5) ≥ log₅ (mx² + 4x + m)

Để bất phương trình đã cho thỏa mãn với x ∈ ℝ điều kiện là cả (1) và (2) đều thỏa mãn với mọi x ∈ ℝ.

Điều kiện là

⟹ Chọn C

Câu 11. Bất phương trình ln (2x² + 3) > ln (x² + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x khi:

C. 0 < a < 2

D. –2 < a < 2

Hướng dẫn giải

Ta có ln (2x² + 3) > ln (x² + ax + 1) nghiệm đúng với mọi số thực x

⟹ Chọn D

Câu 12. Gọi S là tập tất cả các giá trị nguyên không dương của m để phương trình có nghiệm. Tập S có bao nhiêu tập con?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó phương trình có nghiệm khi và chỉ khi

Mà m là số nguyên không dương nên m ∈ {–1; 0}. Suy ra S = {–1; 0}.

Vậy số tập con của S bằng 2² = 4 .

Chú ý:

Các tập con của S là: ∅, {–1}, {0}, S

Một tập hợp có n phần tử thì số tập con của nó là n = 2 .

⟹ Chọn D

Câu 13. Tìm các giá trị thực của tham số m để bất phương trình log_0,02 (log₂ (3^x +1)) > log_0,02 m có nghiệm với mọi x ∈ (–∞; 0)

A. m > 9

B. m < 2

C. 0 < m < 1

D. m ≥ 1

Hướng dẫn giải

log_0,02 (log₂ (3^x +1)) > log_0,02m

TXĐ: D = ℝ

ĐK tham số m: m > 0

Ta có: log_0,02 (log₂ (3^x +1)) > log_0,02 m ⇔ log₂ (3^x + 1) < m

Xét hàm số f(x) = log₂ (3^x + 1), ∀ x ∈ (–∞; 0) có H57, ∀ x ∈ (–∞; 0)

Bảng biến thiên f(x):

Khi đó với yêu cầu bài toán thì m ≥ 1.

⟹ Chọn D

Câu 14. Nghiệm của bất phương trình là

C. x ≤ 1

Hướng dẫn giải

Điều kiện

Ta có

⟹ Chọn A

Câu 15. Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số m để bất phương trình sau nghiệm đúng với mọi x thuộc ℝ: 1 + log₆ (x² + 1) ≥ log₆ (mx² + 2x + m).

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

Hướng dẫn giải

Điều kiện: mx² + 2x + m > 0

Ta có: 1 + log₆ (x² + 1) ≥ log₆ (mx² + 2x + m)

⇔ log₆ [6(x² + 1)] ≥ log₆ (mx² + 2x + m)

⇔ 6(x² + 1) ≥ mx² + 2x + m

⇔ (m – 6)x² + 2x + m – 6 ≤ 0

Điều kiện bài toán

Giải (1): Do m = 0 không thỏa (1) nên

Giải (2): Do m = 6 không thỏa (2) nên:

Suy ra 1 < m ≤ 5 .

Vậy có 4 giá trị nguyên của m.

⟹ Chọn C

Dạng 2. Phương pháp đặt ẩn phụ

Phương pháp

Bất phương trình mũ

Tổng quát:

Ta thường gặp các dạng:

– m․a^2f(x) + n․a^f(x) + p = 0

– m․a^f(x) + n․b^f(x) + p = 0, trong đó a․b = 1. Đặt t = a^f(x), t > 0. Suy ra

– m․a^2f(x) + n․(a․b)^f(x) + p․b^2f(x) = 0. Chia hai vế cho b^2f(x) và đặt

Bất phương logarit

– Tổng quát:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm số các nghiệm nguyên của bất phương trình

A. 10

B. 9

C. 8

D. 11

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0

Phương trình

Đặt thì phương trình trở thành:

Do đó

Số các nghiệm nguyên của bất phương trình là 8.

⟹ Chọn C

Câu 2. Xét bất phương trình . Tìm tất cả các giá trị của tham số m để bất phương trình có nghiệm thuộc khoảng .

A. m ∈ (0; +∞)

D. m ∈ (–∞; 0)

Hướng dẫn giải

Điều kiện: x > 0

⇔ (1 + log₂ x)² – 2(m + 1) log₂ x – 2 < 0 (1)

Đặt t = log₂ x .Vì x ∈ nên . Do đó t ∈

(1) thành (1 + t)² – 2(m + 1) t – 2 < 0 ⇔ t² – 2mt – 1 <0 (2)

Cách 1: Yêu cầu bài toán tương đương tìm m để bpt (2) có nghiệm thuộc

Xét bất phương trình (2) có: ∆’ = m2 + 1 > 0, ∀ m ∈ ℝ

f
Bạn đang xem bài viết Bất phương trình Mũ – Logarit: Cách giải & tài liệu tham khảo xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 12. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!