Toán lớp 12: Phân dạng bài tập & lời giải mới nhất 2023

Dạng 1: Thực hiện các phép toán của số phức, tìm phần thực phần ảo

Phương pháp giải

Cho hai số phức z = a + bi và z’ = a’+ b’i trong đó a, b, a’, b’ ∈ ℝ. Khi đó

z + z’ = (a + a’) + (b + b’)i

z – z’ = (a – a’) + (b – b’)i

zz’ = aa’ – bb’ + (ab’ + a’b)i

Ví dụ:

Hai số phức z₁ = 3 – 7i, z₂ = 4 + 3i có

z₁ + z₂ = (3 + 4) + (–7 + 3)i = 7 – 4i

z₁ – z₂ = (3 – 4) – (–7 – 3)i = – 1 – 10i

z₁ . z₂ = [3.4 – (–7).3] + [3.3 + 4. (–7)] i = 33 – 19i

Bài tập:

Bài tập 1: Tất cả các số phức z thỏa mãn 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3i là

A.

B. z = 4 – 2i

C.

D. z = 4 + 2i

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có: 2z – 3(1 + i) = iz + 7 – 3z ⇔ (2 – i)z = 10

Bài tập 2: Cho số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) thỏa mãn z + 1 + 3i – |z|i = 0. Giá trị S = a – 3b là

A.

B. S = 3

C. S = – 3

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: z + 1+ 3i – |z|i = 0

Bài tập 3: Tính C = 1 + (1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³ + … + (1 + i)²⁰.

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức cấp số nhân:

Ta có: C = 1 + (1 + i) + (1 + i)² + (1 + i)³ + … + (1 + i)²⁰

Ta có: (1 + i)² = 2i

⇒ (1 + i)²¹ = (1 + i)²⁰ . (1 + i) = (2i)¹⁰ . (1 + i) = −2¹⁰. (1 + i) = −2¹⁰ – i.2¹⁰

Do đó:

Bài tập 4: Tính tổng S = i + 2i² + 3i³ + … + 2012.i²⁰¹²

A. −1006 + 1006i

B. 1006 + 1006i

C. −1006 – 1006i

D. 1006 – 1006i

Hướng dẫn giải

Chọn D

Cách 1:

Ta có: iS = i² + 2i³ + 3i⁴ + … + 2012.i²⁰¹³

⇒ S – iS = i + i² + i³ + … + i²⁰¹² – 2012.i²⁰¹³

Dãy số i, i², i³, …, i²⁰¹² là một cấp số nhân có công bội q = 1 và có 2012 số hạng, suy ra:

Do đó: S – iS = −2012.i²⁰¹³ = –2012i

Cách 2: Dãy số 1, x, x², …, x²⁰¹² là một cấp số nhân gồm 2013 số hạng và có công bội bằng x.

Xét x ≠ 1, x ≠ 0 ta có:

(1)

Lấy đạo hàm hai vế của (1) ta được:

(2)

Nhân hai vế của (2) cho x ta được:

(3)

Thay x = i vào (3) ta được:

Với i²⁰¹⁴ = −1, i²⁰¹³ = i

Vậy

Bài tập 5: Cho α, β hai số phức liên hiệp thỏa mãn và . Tính |α|.

A.

B. 3

C. 2

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt α = x + iy ⇒ β = x – iy với x, y ∈ ℝ

Không giảm tính tổng quát, ta có y ≥ 0.

Vì nên

Do α, β hai số phức liên hợp nên α, β ∈ ℝ, mà do đó α³ ∈ ℝ.

Nhưng ta có α³ = x³ – 3xy² + (3x²y – y³).i nên α³ ∈ ℝ khi và chỉ khi

3x²y – y³ = 0 ⇔ y (3x² – y²) = 0 ⇒ x² = 1

Vậy .

Bài tập 6: Tìm c biết a, b và c các số nguyên dương thỏa mãn: c = (a + bi)³ −107i.

A. 400

B. 312

C. 198

D. 123

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có c = (a + bi)³ −107i = a³ – 3ab² + i.(3a²b – b³ – 107).

Nên c là số nguyên dương thì 3a²b – b³ – 107 = 0 hay b (3a² – b²) = 107.

Vì a, b ∈ Z⁺ và 107 số nguyên tố nên xảy ra:

b = 107; 3a² – b² ⇒ H26 (loại)

b = 1; 3a² – b² = 107 ⇒ a² =36 ⇒ a = 6 (thỏa mãn)

Vậy nên c = a³ – 3ab² = 6³ – 3.6.1² = 198

Dạng 2: Tìm số phức liên hợp, tính môđun số phức

Phương pháp giải

Số phức z = a+ bi có và

Chú ý: Nếu z = a + bi thì

Ví dụ: Số phức liên hợp của số phức z = (2 – 3i)(3 + 2i) là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Ta có: z = (2 – 3i)(3 + 2i) = 6 – 5i – 6i² = 12 – 5i ⇒

Chọn D

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức z = a + bi, với a, b là các số thực thỏa mãn a + bi + 2i(a – bi) + 4 = i, với i là đơn vị ảo. Môđun của ω = 1 + z + z² là

A. |ω| =

B. |ω| =

C. |ω| = 229

D. |ω| = 13

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có a + bi + 2i(a – bi) + 4 = i

Suy ra z = 2 – 3i

Do đó ω = 1 + z + z² = –2 – 15i.

Vậy

Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn . Môđun của số phức .là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

⇒ z = –1 – 2i ⇒ w = i. (–1 + 2i) + (–1 – 2i) = – 3 – 3i

⇒

Bài tập 3: Cho z₁, z₂ là các số phức thỏa mãn |z₁| = |z₂|= 1 và .

Giá trị của biểu thức P = |2z₁ + z₂| là

A. P = 2

B. P =

C. P = 3

D. P = 1

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đặt z₁ = a₁ + b₁i; a_1, b₁ ∈ ℝ, z₂ = a₂ + b₂i; a_2, b₂ ∈ ℝ

Suy ra a₁² + b₁² = a₂² + b₂² = 1 và

Ta có 2z₁ + z₂ = 2a₁ + a₂ + (2b₁ + b₂)i

Suy ra P = |2z₁ + z₂| = 2

Dạng 3: Bài toán liên quan đến điểm biểu diễn số phức

Bài tập 1: Cho A, B, C lần lượt là các điểm biểu diễn của các số phức . Số phức có điểm biểu diễn D sao cho ABCD là hình bình hành là

A. z = –6 – 4i

B. z = –6 + 3i

C. z = 6 – 5i

D. z = 4 – 2i

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: A là điểm biểu diễn của số phức 4 – 3i nên A(4; –3)

B là điểm biểu diễn của số phức (1 + 2i)i = –2 + i nên B(– 2; 1)

C là điểm biểu diễn của số phức nên C(0; –1)

Điều kiện để ABCD là hình bình hành là

Bài tập 2: Cho tam giác ABC có ba đỉnh A, B, C lần lượt là điểm biểu diễn hình học của các số phức z₁= 2 – i, z₂ = – 1 + 6i, z₃ = 8 + i. Số phức z₄ có điểm biểu diễn hình học là trọng tâm của tam giác ABC. Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. z₄ = 3– 2i

B. |z₄| = 5

C. (z₄)² = 13 + 12i

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có A(2; –1), B(–1; 6), C(8; 1)

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC.

⇒ G(3; 2) ⇔ z₄ = 3 + 2i ⇒

Bài tập 3: Cho các số phức z₁, z₂ thỏa mãn |z₁| = 3, |z₂|= 4 và |z₁ − z₂| = 5. Gọi A, B lần lượt là các điểm biểu diễn số phức z₁, z₂ trên mặt phẳng tọa độ. Diện tích S của ∆OAB (với O là gốc tọa độ) là

A. S =

B. S = 6

C. S =

D. S = 12

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có: |z₁| = OA = 3, |z₂|= OB = 4 và |z₁ − z₂| = AB = 5

⇒ ∆OAB vuông tại O (vì OA² + OB² = AB²)

⇒

Dạng 4: Tìm số phức thỏa mãn điều kiện cho trước

Bài tập 1: Có bao nhiêu số phức z thỏa mãn

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ)

Ta có hệ phương trình

Do đó z = 1 + i nên có một số phức thỏa mãn

Bài tập 2: Có bao nhiêu số phức z thỏa điều kiện và |z| = 2?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có

Suy ra điểm M biểu diễn số phức z là giao của hai đường tròn

(C₁): x² + y² = 4 và (C₂): (x + 4)² + y² = 4

Vì I₁I₂ = R₁ + R₂ (I₁, I₂ là tâm của các đường tròn (C₁), (C₂) nên (C₁) và (C₂) tiếp xúc nhau).

Suy ra: Có một số phức z thỏa mãn yêu cầu

Bài tập 3: Có bao nhiêu số phức thỏa mãn |z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z?

A. 2

B. 3

C. 1

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét: Từ giả thiết, ứng với mỗi |z| cho ta duy nhất một số phức z.

Đặt |z| = a ≥ 0, a ∈ ℝ, khi đó ta có

|z|(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)

⇔ a(z – 6 – i) + 2i = (7 – i)z

⇔ (a – 7 – i)z = 6a + ai –2i

⇔ (a – 7 – i)z = 6a + (a – 2)i

⇔ |(a – 7 – i)|.|z| = |6a + (a – 2)i|

⇔ [(a – 7)² + 1]a² = 36a² + (a – 2)³

⇔ a⁴ – 14a³ + 13a² + 4a – 4 = 0 ⇔ (a – 1)(a³ – 13a² + 4) = 0

Hàm số f(a) = a³ – 13a² (a ≥ 0) có bảng biến thiên

Đường thẳng y = –4 cắt đồ thị hàm số f(a) tại hai điểm nên phương trình a³ – 13a² + 4 = 0 có hai nghiệm khác 1 (do f(1) ≠0). Thay giá trị môđun của z vào giả thiết ta được 3 số phức thỏa mãn điều kiện

Bài tập 4: Có tất cả bao nhiêu giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn |z – (2m – 1) – i| = 10 và ?

A. 40

B. 41

C. 165

D. 164

Hướng dẫn giải

Chọn B

Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ) và M(x, y) là điểm biểu diễn số phức z.

Ta có: |z – (2m – 1) – i| = 10 ⇔ |z – (2m – 1) – i|² = 100

⇔ [x – (2m – 1)]² + (y – 1)² = 100

Khi đó điểm biểu diễn số phức z nằm trên đường tròn (C) có tâm I(2m – 1; 1), bán kính R = 10.

Lại có:

Khi đó điểm biểu diễn của số phức z cũng nằm trên đường thẳng ∆: 2x + 8y – 11 = 0

Có đúng hai số phức z thỏa mãn nếu đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại 2 điểm phân biệt.

Tức là

Vậy có 41 giá trị nguyên của m để có đúng hai số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài tập 5: Cho hai số phức z₁ và z₂ thỏa mãn |z₁|= 3, |z₂| = 4, . Hỏi có bao nhiêu số z mà ?

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Đặt z₁ = x + yi, z₂ = c + di (x, y, c, d ∈ ℝ). Ta có:

|z₁| = 3 ⇒ x² + y² = 9

|z₂| = 4 ⇒ c² + d² = 16

⇒ x² + y² + c² + d² – 2xc – 2yd = 37 ⇔ xc + yd = –6

Lại có:

Suy ra

Mà

Vậy có hai số phức z thỏa mãn

Bài tập 6: Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị thực của tham số m để tồn tại duy nhất số phức z thỏa mãn và . Số phần tử của S là

A. 2

B. 4

C. 1

D. 3

Hướng dẫn giải

Chọn A

Dễ thấy m > 0

Đặt z = a + bi; a, b ∈ ℝ ta có hệ phương trình

Phương trình a² + b² = 1 là đường tròn tâm O, bán kính R = 1

Phương trình là đường tròn tâm , bán kính R = m

Có duy nhất số phức thỏa mãn đề bài

⇔ Hệ phương trình có nghiệm duy nhất

⇔ Hai đường tròn này tiếp xúc với nhau

⇔ (thỏa mãn m > 0)

Vậy có hai số thực thỏa mãn.

Bài tập 7: Có tất cả bao nhiêu số phức z thỏa mãn |z| = 1 và

A. 3

B. 4

C. 6

D. 8

Hướng dẫn giải

Chọn D

Đặt z = a + bi, (a, b ∈ ℝ). Ta có

Ta có hệ

Suy ra

Vậy có 8 cặp số (a; b) do đó có 8 số phức thỏa mãn.

Dạng 5: Bài toán tập hợp điểm biểu diễn số phức

Phương pháp giải

Sử dụng các định nghĩa, tính chất hình học đã biết.

Cho trước các điểm cố định I, F₁, F₂; F₁F₂ = 2c (c > 0)

Tập hợp các điểm M thỏa mãn MI = R (R > 0) là đường tròn tâm I bán kính R

Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF₁ + MF₂ = 2a (a > c) là elip có hai tiêu điểm là F₁, F₂.

Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF₁ = MF₂ là đường trung trực của đoạn thẳng F₁F_2.

Ví dụ: Trên mặt phẳng Oxy tập hợp các điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn |z + 2 – 5i| = 4 là đường tròn tâm I(–2; 5), bán kính R = 2.

Bài tập

Chú ý: Trong mặt phẳng Oxy, (x – a)² + (y – b)² = R² là phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính R > 0.

Bài tập 1: Xét các số phức z thỏa mãn là số thực. Biết rằng tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là một đường tròn, có tâm I(a; b) và bán kính R. Giá trị a + b + R rằng

A. 6

B. 4

C. 12

D. 24

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ)

Vì là số thực nên

x(x – 6) + y(y + 8) = 0 ⇔ (x – 3)² + (y + 4)² = 25

Tập hợp tất cả các điểm biểu diễn của z là đường tròn có tâm I(3; –4), bán kính R = 5.

Vậy a + b + R = 4

Bài tập 2: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3| +|z + 3| = 10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

A. Một parabol

B. Một đường tròn

C. Một elip

D. Một hypebol

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z = x + yi (x, y ∈ ℝ) thì |z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ |(x – 3) + yi| + |(x + 3) + yi|= 10 (*)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z và các điểm F₁(3; 0), F₂(–3; 0). Dễ thấy F₁F₂ = 6 = 2c

Khi đó: |z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ MF₁ + MF₂ = 10 = 2a

Vậy tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z là elip có hai tiêu điểm F₁, F₂, độ dài trục lớn là 2a = 10

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 10 và . Tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn có tâm là

A. I(–3; –4)

B. I(3; 4)

C. I(1; –2)

D. I(6; 8)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn số phức w là đường tròn (C) có tâm I(–3; –4).

Bài tập 4: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn là đường thẳng có phương trình

A. x – 2y + 1 = 0

B. x + 2y = 0

C. x – 2y = 0

D. x + 2y + 1= 0

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ) ⇒

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn của số phức z.

Ta có

Vậy tập hợp các điểm biểu diễn các số phức z thỏa mãn yêu cầu bài toán là đường thẳng có phương trình là x – 2y = 0.

Bài tập 5: Giả sử M(z) là điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn số phức z. Tập hợp những điểm M(z) thỏa mãn điều |2 + z| = |i – z| là

A. Đường thẳng 4x + 2y + 3 = 0

B. Đường thẳng 4x – 2y + 3= 0

C. Đường thẳng x + 2y – 3 = 0

D. Đường thẳng x + 9y – 3 = 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Cách 1: Đặt z = x + yi; (x, y ∈ ℝ) là số phức đã cho và M(x, y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức

Ta có

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường thẳng 4x +2y + 3 = 0

Cách 2: |z + 2| = |i – z| ⇔|z – (–2)| = |i – z| (*)

Đặt z = x + yi; (x, y ∈ ℝ) là số phức đã cho và M(x; y) là điểm biểu diễn của z trong mặt phẳng phức.

Điểm A biểu diễn số –2 tức A(–2; 0) và điểm B biểu diễn số phức i tức B(0; 1).

Khi đó (*) ⇔ MA = MB.

Vậy tập hợp điểm M cần tìm là đường trung trực của AB: 4x + 2y + 3 = 0.

Bài tập 6: Tập hợp các điểm trên mặt phẳng tọa độ biểu diễn các số phức z thỏa mãn điều kiện là

A. Đường thẳng x + y + 3 = 0

B. Đường thẳng x – 2y + 3= 0

C. Đường thẳng x + 2y + 3 = 0

D. Đường thẳng x – y – 1 = 0

Hướng dẫn giải

Chọn D

Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ), điểm M(x, y) biểu diễn z. Theo bài ra ta có:

Suy ra M thuộc đường thẳng có phương trình x – y – 1 = 0.

Vậy tập hợp điểm biểu diễn các số phức z là đường thẳng có phương trình x – y – 1 = 0

Dạng 6: Giải phương trình. Tính toán biểu thức nghiệm số phức

Phương pháp giải

Cho phương trình

az² + bz + c = 0 (a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0)

Giải phương trình bậc hai với hệ số thực

Áp dụng các phép toán trên tập số phức để biến đổi biểu thức

Ví dụ: Xét phương trình z² – 2z + 5 = 0

a) Giải phương trình trên tập số phức

b) Tính |z₁| + |z₂|

Hướng dẫn giải

a) Ta có: ∆’ = 1 – 5 = –4 = (2i)²

Phương trình có hai nghiệm là z₁ = 2 + 2i; z₂ = 2 – 2i

b) Ta có

Suy ra

Bài tập

Bài tập 1: Trong các số sau, số nào là nghiệm của phương trình z² + 1= z (z ∈ ℂ)?

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có z² + 1 = z (z ∈ ℂ)

Bài tập 2: Phương trình z² + az + b = 0 (a, b ∈ ℝ) có nghiệm phức là 3 + 4i. Giá trị của a + b bằng

A. 31

B. 5

C. 19

D. 29

Hướng dẫn giải

Chọn C

Cách 1: Do z = 3 + 4i là nghiệm của phương trình z² + az + b = 0 nên ta có:

(3 + 4i)² + a(3 + 4i) + b = 0 ⇔ (3a + b – 7) + (4a + 24)i =0

Do đó a + b = 19

Cách 2: Vì z₁ = 3 + 4i là nghiệm phương trình z² + az + b = 0 nên z₂ = 3 – 4i cùng là nghiệm của phương trình đã cho

Áp dụng hệ thức Vi-ét vào phương trình trên ta có

Chú ý: Nếu z₀ là nghiệm của phương trình bậc hai với hệ số thực thì cũng là nghiệm của phương trình.

Bài tập 3: Gọi z₀ là nghiệm phức có phần ảo dương của phương trình z² + 6z + 34 = 0. Giá trị của |z₀ + 2 − i| = 0 là

A.

B. 17

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: ∆’ = −25 = (5i)². Phương trình có hai nghiệm là z = −3 + 5i; z = −3 – 5i

Do đó

Bài tập 4: Gọi z₁ là nghiệm phức có phần ảo âm của phương trình z² – 2z + 5 =0. Tọa độ điểm biểu diễn số phức trên mặt phẳng phức là

A. P(3; 2)

B. N(1; −2)

C. Q(3; −2)

D. M(1; 2)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Theo yêu cầu của bài toán ta chọn z₁ = 1− 2i. Khi đó:

Vậy điểm biểu diễn của số phức là P(3; 2)

Bài tập 5: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² −4z – 5 = 0. Giá trị biểu thức (z₁ – 1)²⁰¹⁹ + (z₂ – 1)²⁰¹⁹ bằng

A. 2¹⁰⁰⁹

B. 2¹⁰¹⁰

C. 0

D. −2¹⁰¹⁰

Hướng dẫn giải

Chọn D

Xét phương trình

Khi đó ta có: (z₁ – 1)²⁰¹⁹ + (z₂ – 1)²⁰¹⁹ = (1 + i)²⁰¹⁹ + (1 – i)²⁰¹⁹

= (1 + i)[(1 + i)²]¹⁰⁰⁹ + (1 – i)[(1 – i)²]¹⁰⁰⁹

= (1 + i)(2i)¹⁰⁰⁹ + (1 – i)(−2i)¹⁰⁰⁹

= (2i)¹⁰⁰⁹ [(1 + i) – (1 – i)] = (2i)¹⁰¹⁰ = (i²)⁵⁰⁵. 2¹⁰¹⁰ = −2¹⁰¹⁰

Dạng 7: Định lý Vi-ét và ứng dụng trong phương trình số phức

Phương pháp giải

Định lý Vi-ét: Cho phương trình az² + bz + c = 0; a, b, c ∈ ℝ; a ≠ 0 có hai nghiệm phức z_1, z₂ thì

Ví dụ: Phương trình z² − 4z + 24 = 0 có hai nghiệm phức z₁, z₂ nên z₁ + z₂ = 4; z₁.z₂= 24

Chú ý: Học sinh nhầm lẫn:

Bài tập

Bài tập 1: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² − 2z + 5 = 0. Giá trị của biểu thức z₁² + z₂² bằng

A. 14

B. −9

C. −6

D. 7

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z₁, z₂ là nghiệm của phương trình z² − 2z + 5 = 0.

Theo định lý Vi-ét, ta có

Suy ra z₁² + z₂² = (z₁ + z₂)² – 2z₁z₂ = 2² – 2.5 = −6

Bài tập 2: Phương trình bậc hai nào sau đây có nghiệm là 1 + 2i?

A. z² – 2z + 3 = 0

B. z² + 2z + 5 = 0

C. z² – 2z + 5 = 0

D. z² + 2z + 3 = 0

Hướng dẫn giải

Chọn C

Phương trình bậc hai có hai nghiệm phức là liên hợp của nhau nên phương trình bậc hai có nghiệm 1 + 2i thì nghiệm còn lại là 1 – 2i.

Khi đó tổng và tích của hai nghiệm lần lượt 2; 5

Vậy số phức 1 + 2i là nghiệm của phương trình z² − 2z + 5 = 0

Chúng ta có thể giải từng phương trình:

z² − 2z + 3 = 0

z² + 2z + 5 = 0 ⇔ (z + 1)² = 4i² ⇔ z + 1 = ± 2i ⇔ z = −1 ± 2i

z² − 2z + 5 = 0 ⇔ (z − 1)² = 4i² ⇔ z − 1 = ± 2i ⇔ z = 1 ± 2i

z² + 2z + 3 = 0

Bài tập 3: Kí hiệu z₁, z₂ là nghiệm phức của phương trình 2z² + 4z + 3 = 0. Tính giá trị biểu thức P = |z₁z₂ + i(z₁ + z₂)|

A. P = 1

B. P =

C. P =

D. P =

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình 2z² + 4z + 3 = 0

Theo định lý Vi-ét ta có

Ta có

Bài tập 4: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² − 4z + 7 = 0. Giá trị của P = z₁³ + z₂³ bằng

A. −20

B. 20

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Theo định lý Vi-ét ta có

Suy ra z₁³ + z₂³ = (z₁ + z₂)( z₁² – z₁z₂ + z₂²) = (z₁ + z₂) ((z₁ + z₂)² – 3z₁z₂) = 4.(4² – 3.7) = −20

Cách khác:

Ta có

Do đó:

Bài tập 5: Gọi z₁ và z₂ là hai nghiệm phức của phương trình 3z² − 2z + 27 = 0. Giá trị của z₁|z₂| + z₂|z₁| bằng

A. 2

B. 6

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Áp dụng định lý Vi-ét, ta có và z₁.z₂ = 9

Mà

Do đó

Bài tập 6: Cho số thực a > 2 và gọi z₁, z₂ là hai nghiệm phức của phương trình z² − 2z + a = 0. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. z₁ + z₂ là số thực

B. z₁ − z₂ là số ảo

C. là số ảo

D. là số thực

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có . Đáp án A đúng

Phương trình bậc hai với hệ số thực có hai nghiệm là số phức liên hợp. Gọi z₁= x + yi; x, y ∈ ℝ là một nghiệm, nghiệm còn lại là z₂ = x – yi

Suy ra z₁ − z₂ = 2yi là số ảo. Đáp án B đúng

Vậy C là đáp án sai và D đúng

Dạng 8: Phương trình số phức quy về phương trình bậc hai

Phương pháp giải

Nắm vững cách giải phương trình bậc hai với hệ số thực trên tập số phức

Nắm vững cách giải một số phương trình quy về bậc hai, hệ phương trình đại số bậc cao;…

Ví dụ: Giải phương trình: z⁴ – z² – 6 = 0 trên tập số phức

Hướng dẫn giải

Đặt z² = t, ta có phương trình

Với t = 3 ta có

Với t = −2 ta có

Vậy phương trình đã cho có bốn nghiệm

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình 2z⁴ – 3z² – 2 = 0 là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Khi đó, tổng môđun bốn nghiệm phức của phương trình đã cho bằng

Bài tập 2: Kí hiệu z₁, z₂, z₃, z₄ là bốn nghiệm phức của phương trình z⁴ + 4z² – 5 = 0. Giá trị của |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² + |z₄|² bằng

A.

B. 12

C. 0

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có

Phương trình có bốn nghiệm lần lượt là

Do đó

Bài tập 3: Gọi z₁, z₂, z₃, z₄ là các nghiệm phức của phương trình (z² + z)² + 4(z² + z) – 12 = 0. Giá trị của biểu thức S = |z₁|² + |z₂|² + |z₃|² + |z₄|² là

A. S = 18

B. S = 16

C. S = 17

D. S = 15

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có (z² + z)² + 4(z² + z) – 12 = 0

Đặt t = z² + z, ta có

Suy ra

Suy ra

Bài tập 4: Gọi z₁, z₂ là hai nghiệm của phương trình . Khi đó |z₁ + z₂| bằng

A. 1

B. 4

C. 8

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện: z ≠ 0

Ta có:

Vậy

Bài tập 5: Cho số thực a, biết rằng phương trình z⁴ + az² + 1 = 0 có bốn nghiệm z₁, z₂, z₃, z₄ thỏa mãn (z₁² + 4)(z₂² + 4) (z₃² + 4) (z₄² + 4) = 441. Tìm a

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn B

Nhận xét z² + 4 = z² – (2i)² = (z + 2i)(z – 2i)

Đặt f(x) = z⁴ + az² + 1, ta có:

Theo giải thiết, ta có

Dạng 9: Phương pháp hình học trong cực trị số phức

Phương pháp giải

Bước 1: Chuyển đổi ngôn ngữ bài toán số phức sang ngôn ngữ hình học.

Bước 2: Sử dụng một số kết quả đã biết để giải bài toán hình học.

Bước 3: Kết luận cho bài toán số phức.

Ví dụ: Cho số phức z thỏa mãn . Giá trị nhỏ nhất của |z + 3i| bằng

A. 3

B.

C.

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Giả sử z = x + yi (x, y ∈ ℝ) ⇒

Khi đó

Gọi M(x, y); A(0; −3) lần lượt là điểm biểu diễn cho số phức z; −3i thì |z + 3i| = MA

Parabol y = x² có đỉnh tại điểm O(0; 0), trục đối xứng là đường thẳng x = 0. Hơn nữa, điểm A thuộc trục đối xứng của parabol, nên ta có: MA ≥ OA = 3. Suy ra min_MA = 3 khi M ≡ O. Vậy min |z + 3i| = 3, khi z = 0.

Bài tập mẫu

Bài tập 1: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 − 4i| = 1. Môđun lớn nhất của số phức z bằng

A. 7

B. 6

C. 5

D. 4

Hướng dẫn giải

Chọn B

Gọi M(x; y), I(3; 4) là các điểm biểu diễn lần lượt cho các số phức z; 3 + 4i.

Từ giả thiết |z – 3 – 4i| = 1 ⇒ MI = 1.

Tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn giả thiết là đường tròn tâm I(3; 4), bán kính r = 1.

Mặt khác |z| = OM. Mà OM đạt giá trị lớn nhất OI + r, khi M là giao điểm của đường thẳng OM với đường tròn tâm I(3; 4), bán kính r = 1. Hay

Do đó, max|z| = OI + r = 5 + 1 = 6, khi

Nhận xét:

OI – r ≤ OM =|z| ≤ OI + r

Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn |z – 2 − 4i| = |z – 2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. z = 2 – 2i

B. z = 1 + i

C. z = 2 + 2i

D. z = 1 − i

Hướng dẫn giải

Chọn C

Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ).

Khi đó |z – 2 − 4i| = |z – 2i| ⇔ x + y – 4 = 0 (d).

Vậy tập hợp điểm M biểu diễn số phức z là đường thẳng d.

Do đó |z| = OM nhỏ nhất khi M là hình chiếu của O trên d.

Suy ra M(2; 2) hay z = 2 + 2i.

Nhận xét:

Trong tất cả các đoạn thẳng kẻ từ điểm O đến đường thẳng d, đoạn vuông góc OM ngắn nhất.

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn |z + 3| + |z – 3| = 10. Giá trị nhỏ nhất của |z| là

A. 3

B. 4

C. 5

D. 6

Hướng dẫn giải

Chọn B

Cách 1:

Gọi F₁(–1; 0), F₂(3; 0), có trung điểm là O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z.

Theo công thức trung tuyến thì

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi

Khi z = 4i hoặc z = –4i

Cách 2:

Gọi F₁(–3; 0), F₂(3; 0), M(x, y); (x, y ∈ ℝ) lần lượt là các điểm biểu diễn các số phức –3; 3; z.

Ta có F₁F₂ = 2c = 6 ⇒ c = 3.

Theo giả thiết ta có MF₁ + MF₂ = 10, tập hợp điểm M là đường elip có trục lớn 2a = 10 ⇒ a = 5; trục bé

Mặt khác OM = |z| nhỏ nhất bằng 4 khi z = 4i hoặc z = –4i

Vậy giá trị nhỏ nhất của |z| bằng 4.

Nhận xét:

+) Với mọi số thực a, b ta có bất đẳng thức

+) Với mọi điểm M nằm trên elip đoạn OM ngắn nhất là đoạn nối O với giao điểm của trục bé với elip.

Bài tập 4: Xét số phức z thỏa mãn 4|z + i| + 3|z – i| = 10. Tổng giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của |z| là

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi A(0; –1), B(0; 1) đoạn thẳng AB có trung điểm O(0; 0). Điểm M biểu diễn số phức z.

Theo công thức trung tuyến

Theo giả thiết 4MA + 3MB = 10. Đặt

Khi đó

Ta có

Do nên (Thiếu – nhớ thêm vô nghen ck)

Dạng 10: Phương pháp đại số trong cực trị số phức

Phương pháp giải

Các bất đẳng thức thường dùng

Cho các số phức z₁, z₂ ta có:

a) |z₁| + |z₂| ≥ |z₁ + z₂| (1)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

b) |z₁ + z₂| ≥ ||z₁| − |z₂|| (2)

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

Bất đẳng thức Cauchy – Schwarz

Cho các số thực a, b, x, y ta có

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi ay = bx.

Bài tập

Bài tập 1: Cho số phức z = a + (a −3)i, (a ∈ ℝ). Giá trị của a để khoảng cách từ điểm biểu diễn số phức z đến gốc tọa độ là nhỏ nhất bằng

A.

B.

C. a = 1

D. a = 2

Hướng dẫn giải

Chọn A

Đẳng thức xảy ra khi . Hay

Bài tập 2: Trong các số phức z thỏa mãn điều kiện |z – 2 – 4i| = |z – 2i|, số phức z có môđun nhỏ nhất là

A. z = 1 + 2i

B. z = −1 – I

C. z = 2 + 2i

D. z = −1 + i

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z = a + bi (a, b ∈ ℝ)

Suy ra

Bài tập 3: Cho số phức z thỏa mãn , biết đạt giá trị nhỏ nhất. Giá trị của |z| bằng

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z = a + bi (z ≠ 2i) (a, b ∈ ℝ)

Suy ra

Vậy

Bài tập 4: Cho hai số phức z₁, z₂ thỏa mãn z₁ – z₂ = 3 + 4i và |z₁ + z₂| = 5. Giá trị lớn nhất của biểu thức |z₁| +|z₂| là

A. 5

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Ta có 2(|z₁|² + |z₂|²) = |z₁ + z₂|² + |z₁ – z₂|² = 5² + 3²+ 4² = 50

Sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz, ta có:

Gọi z₁ = x + yi, z₂= z + bi; x, y, a, b ∈ ℝ

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi

và . Hay

Thay z₁, z₂ vào giả thiết thỏa mãn

Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức |z₁| +|z₂| bằng

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Bài tập 5: Cho số phức z thỏa mãn |z| = 1. Giá trị lớn nhất của biểu thức P = |1 + z| + 3|1 – z| bằng

A.

C.

B.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức Cauchy – Schwarz.

Bài tập 6: Cho số phức z thỏa mãn |z – 1 + 2i| = 2. Giá trị lớn nhất của |z + 3 – i| bằng

A. 6

B. 7

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

Chọn B

Ta có |z + 3 – i| = |( z – 1 + 2i) + (4 – 3i) ≤ |z – 1 + 2i| + |4 – 3i| = 7

Đẳng thức xảy ra khi

Vậy giá trị lớn nhất của |z + 3 – i| bằng 7.

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức |z₁| + |z₂| ≥ |z₁ + z₂|.

Bài tập 7: Cho số phức z thỏa mãn |z – 3 + 4i| = 4. Gọi M và m là giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của môđun số phức z. Giá trị của M. m bằng

A. 9

B. 10

C. 11

D. 12

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có: |z| = |(z – 3 + 4i) + (3 −4i)| ≤ |z – 3 + 4i| + |3 −4i| = 4 + 5 = 9 = M

Đẳng thức xảy ra khi

Mặt khác |z| = |(z – 3 + 4i) + (3 −4i)| ≥ ||z – 3 +4i| − |3 −4i|| = |4 – 5| = 1 = m.

Đẳng thức xảy ra khi

Nhận xét: Lời giải sử dụng bất đẳng thức.

|z₁| + |z₂| ≥ |z₁ +z₂| và ||z₁| − |z₂|| ≤ |z₁ – z₂|.

Bài tập 8: Cho số phức z thỏa mãn |z² + 4| = |z(z + 2i)|. Giá trị nhỏ nhất của |z + i| bằng

A. 2

B.

C. 1

D.

Hướng dẫn giải

Chọn C

Ta có: |z² + 4| = |z (z + 2i)| ⇔ |(z + 2i)(z – 2i)| = |z (z + 2i)|

⇔ |z + 2i|.|z – 2i| = |z|.|z + 2i|

Do đó

Chú ý: Với mọi số phức z₁, z₂: |z₁.z₂| = |z₁|.|z₂|.

Bài tập 9: Tìm số phức z thỏa mãn là số thực và |z| đặt giá trị nhỏ nhất

A.

B.

C.

D.

Hướng dẫn giải

Chọn D

Gọi z = a + bi; a,b ∈ ℝ.

Ta có:

Do đó là số thực ⇔ 2a+ b – 2 = 0 ⇔ b = 2 – 2a

Khi đó

Đẳng thức xảy ra khi

. Vậy

Bài tập 10: Cho số phức z thỏa mãn điều kiện . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức T = |z + i| + |z – 2 – i|.

A. maxT =

B. maxT = 4

C. maxT =

D. maxT = 8

Hướng dẫn giải

Chọn B

Đặt z = x + yi (x, y ∈ ℝ), ta có

Lại có:

Kết hợp với (*) ta được:

Đặt T = x + y, khi đó với t ∈ [–1; 3]

Cách 1: Sử dụng phương pháp hàm số

Ta có

Mà

Vậy max f
Bạn đang xem bài viết Phân dạng bài tập & lời giải xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 12. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!