Toán lớp 12: Toàn bộ công thức chi tiết (Có file PDF) mới nhất 2023

Công thức là một phần quan trọng giúp việc giải toán nhanh hơn và đúng bản chất hơn. Chương trình toán 12 khép lại với khá nhiều công thức khó nhớ khác nhau. Hiểu được vấn đề này, Cấp Nước Lào Cai giúp các bạn học sinh tổng hợp toàn bộ công thức toán 12 trong 1 bài viết, từ đó giúp cho việc tra cứu và học thuộc trở nên dễ dàng hơn.

Phần 1. Công thức giải tích lớp 12

Chương 1. Ứng dụng đạo hàm và khảo sát hàm số

1. Công thức đạo hàm

k’ = 0 với k là hằng số

(x^α)’ = αx^α–1 ⟶ (u^α)’ = αu^α–1.u’

(e^x)’ = e^x ⟶ (e^u)’ = e^u.u’

(a^x)’ = a^x.lna ⟶ (a^u)’ = a^u.lna.u’

(sinx)’ = cosx ⟶ (sinu)’ = u’.cosu

(cosx)’ = –sinx ⟶ (cosu)’ = –u’.sinu

2. Công thức khảo sát hàm số và các dạng toán

Xét tính đơn điệu của hàm số

Bước 1: Tìm tập xác định D.

Bước 2: Tính y’ = f’(x); cho y’ = 0 ⟶ tìm nghiệm x₁, x₂,…

Bước 3: Lập bảng biến thiên (nên chọn giá trị x đại diện cho từng khoảng thay vào y’ để tìm dấu của y’ trên khoảng đó).

Bước 4: Dựa vào bảng biến thiên để kết luận về sự đồng biến, nghịch biến của hàm số.

Hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 3ax² + 2bx + c

Hàm số đồng biến trên tập xác định ℝ

Hàm số nghịch biến trên tập xác định ℝ

Hàm nhất biến

Đạo hàm

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad – bc > 0

Hàm số nghịch biến trên từng khoảng xác định ⇔ ad – bc < 0

Điều kiện cực trị

Hàm số có điểm cực trị là (giả thiết là hàm số liên túc tại x₀)

Nếu thì hàm số f(x) đạt cực đại tại x = x₀

Nếu thì hàm số f(x) đạt cực tiểu tại x = x₀

Cực trị hàm bậc ba y = ax³ + bx² + cx + d (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 3ax² + 2bx + c

Hàm số có hai cực trị

Để tìm điều kiện cho hàm số không có cực trị:

Bước 1: làm theo công thức (*)

Bước 2: phủ định kết quả

Phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị:

Cực trị hàm bậc bốn y = ax⁴ + bx² + c (a ≠ 0)

Đạo hàm y’ = 4ax³ + 2bx

Điều kiện cực trị

Ba cực trị ab < 0

Một cực trị

Có cực trị a² + b² > 0

Cho A, B, C là ba điểm cực trị, ta có:

Tìm Max – Min trên đoạn

Tìm Max – Min của f(x) trên đoạn [a; b]

Bước 1: Tính y’ = f’(x)

Tìm các nghiệm x_i ∈ (a; b) khi cho f’(x) = 0

Bước 2: Tính các giá trị f(a), f(b) và f(x_i),… (nếu có)

Bước 3: So sánh tất cả các giá trị trong bước 2 để kết luận về giá trị lớn nhất, nhỏ nhất

Tìm Max – Min trên khoảng

Tìm Max – Min của f(x) trên đoạn (a; b)

Bước 1: Tính y’ = f’(x)

Tìm các nghiệm x_i ∈ (a; b) khi cho f’(x) = 0

Bước 2: Tính các giá trị (nếu thay (a; b) bằng (–∞; +∞) thì ta tính thêm )

Bước 3: Lập bảng biến thiên và suy ra giá trị lớn nhất, nhỏ nhất trên khoảng

Đặc biệt

Nếu hàm f(x) đồng biến trên [a; b] thì

Nếu hàm f(x) nghịch biến trên [a; b] thì

3. Tiệm cận của hàm số

Tiệm cận đứng

+) Định nghĩa: (x hữu hạn, y vô hạn) ta có tiệm cận đứng x = x₀. Lưu ý: điều kiện có thể được thay bằng (giới hạn bên trái) hoặc (giới hạn bên phải).

+) Cách tìm TCĐ: Nếu x = x₀ là một nghiệm của mẫu số mà không phải là nghiệm của tử số thì x = x₀ chính là một TCĐ của đồ thị.

Tiệm cận ngang

+) Định nghĩa: (x vô hạn, y hữu hạn), ta có tiệm cận ngang y = y₀

+) Cách tìm TCN: Đơn giản nhất là dùng casio

Bước 1: Nhập hàm số vào máy

Bước 2:

Bước 3: Nếu kết quả thu được là hữu hạn (tức là y₀) thì ta kết luận TCN: y = y₀.

Đồ thị hàm số với (c ≠ 0, ad – bc ≠ 0) có một TCĐ: và một TCN:

Nên nhớ đồ thị có thể có nhiều tiệm cận đứng nhưng chỉ có tối đa là 2 tiệm cận ngang

4. Tìm tọa đồ giao điểm hoặc số giao điểm hai đồ thị

Xét hai đồ thị (C₁): y = f(x) và (C₂): y = g(x)

Bước 1: Lập phương trình hoành độ giao điểm của (C₁) và (C₂): f(x) = g(x) (*)

Bước 2: Giải phương trình (*) để tìm các nghiệm x₁, x₂,… (nếu có), suy ra y₁, y₂,…

5. Phương trình tiếp tuyến

Dạng 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) tại điểm M(x₀; y₀) ∈ (C)

Bước 1: Tính đạo hàm y’, từ đó có hệ số góc k = y’(x₀)

Bước 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị dạng y = k(x – x₀) + y₀

Dạng 2: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến có hệ số góc k

Bước 1: Gọi M(x₀; y₀) là tiếp tuyến và tính đạo hàm y’

Bước 2: Cho y’(x₀) = k, từ đó tìm được tiếp điểm (x₀; y₀)

Bước 3: Viết phương trình tiếp tuyến: y = k(x – x₀) + y₀

Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C): y = f(x) biết tiếp tuyến đi qua A(x_A; y_A)

Bước 1: Tiếp tuyến có dạng: y = y’(x₀)(x – x₀) + y₀ (*) với y₀ = f(x₀)

Bước 2: Thay tọa độ điểm A vào (*) để tìm được x₀

Bước 3: Thay x₀ tìm được vào (*) để viết phương trình tiếp tuyến

Chương 2. Hàm Số Lũy Thừa, Hàm Số Mũ Và Hàm Số Lôgarit

1. Công thức lũy thừa

Cho các số dương a, b và m, n ϵ ℝ. Ta có:

với n ∈ ℕ*

2. Công thức logarit

Cho các số a, b > 0, a ≠ 1. Ta có:

3. Hàm số lũy thừa

Dạng: với u là đa thức đại số.

Tập xác định:

Nếu α ∈ ℤ⁺ ⟶ u ∈ ℝ

Nếu α ∈ ℤ^– ⟶ u ≠ 0

Nếu α ∉ ℤ⁺ ⟶ u > 0

Đạo hàm:

4. Hàm số mũ

Dạng: với

Tập xác định: D = ℝ

Đạo hàm:

Đặc biệt:

Sự biến thiên: y = a^x

Nếu a > 1 thì hàm đồng biến trên ℝ.

Nếu 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến trên ℝ

5. Hàm số logarit

Dạng: với

Đặc biệt:

a = e^x ⟶ y = lnx;

a = 10 ⟶ y = logx = lgx.

Điều kiện xác định: u > 0

Đạo hàm:

Đặc biệt:

Sự biến thiên: y = log_a x

Nếu a > 1 thì hàm đồng biến trên (0; +∞).

Nếu 0 < a < 1 thì hàm nghịch biến trên (0; +∞)

6. Đồ thị hàm số mũ

Ta thấy: a^x ↓ ⇒ 0 < a < 1; b^x ↓ ⇒ 0 < b < 1

Ta thấy: c^x ↑ ⇒ c > 1; d^x ↑ ⇒ d > 1

So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng a^x trước nên a > b

So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ trái sang phải, trúng c^x trước nên c > d

Vậy 0 < b < a < 1 < d < c

7. Đồ thị hàm số logarit

Ta thấy: log_ax ↓ ⇒ 0 < a < 1; log_bx ↓ ⇒ 0 < b < 1

Ta thấy: log_cx ↑ ⇒ c > 1; log_dx ↑ ⇒ d > 1

So sánh a với b: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log_bx trước nên b > a

So sánh c với d: Đứng trên cao, bắn mũi tên từ phải sang trái, trúng log_dx trước nên d > c

Vậy 0 < a < b < 1 < c < d

8. Phương trình mũ

Dạng cơ bản: a^f(x) = a^g(x) ⇔ f(x) = g(x)

Dạng logarit hóa:

a^f(x) = b ⇔ f(x) = log_ab

a^f(x) = b^g(x) ⇔ f(x) = g(x).log_ab

9. Phương trình logarit

Dạng cơ bản: log_af(x) = log_ag(x) ⇔ f(x) = g(x) > 0

Dạng logarit hóa: log_af(x) = b ⇔ f(x) = a^b (không cần điều kiện)

10. Bất phương trình mũ

Dạng cơ bản:

a^f(x) ≥ a^g(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) (a > 1)

a^f(x) ≥ a^g(x) ⇔ f(x) ≤ g(x) (0 < a < 1)

11. Bất phương trình logarit

log_af(x) ≥ log_ag(x) ⇔ f(x) ≥ g(x) > 0 (a > 1)

log_af(x) ≥ log_ag(x) ⇔ 0 < f(x) ≤ g(x) (0 < a < 1)

Chương 3. Nguyên hàm – Tích phân và Ứng dụng

1. Công thức nguyên hàm

+) ∫f(x)dx = F(x) + C ⇔ F’(x) = f(x)

∫k.f(x)dx = k∫f(x)dx

∫[f(x) ± g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx

∫kdx = kx + C

1) ∫kdx = kx + C

∫2dx = 2x + C

∫(–3)dx = –3x + C

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

2. Ứng dụng trong diện tích và thể tích

+) Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), trục Ox, x = a, x = b thì có diện tích:

Khi xoay hình phẳng quanh Ox, ta được khối trụ tròn có thể tích:

+) Hình phẳng giới hạn bởi các đường y = f(x), y = g(x), x = a, x = b thì có diện tích:

Khi xoay hình phẳng quanh Ox, ta được khối trụ tròn có thể tích:

Xét hình khối được giới hạn bởi hai mặt phẳng x = a, x = b. Khi cắt khối này ta được thiết diện có diện tích S(x) (là hàm liên tục trên [a; b]). Thể tích khối này trên [a; b] là:

3. Ứng dụng trong công thức chuyển động

Xét hàm quảng đường S
Bạn đang xem bài viết Toàn bộ công thức chi tiết (Có file PDF) xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 12. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!