Toán lớp 12: Biểu diễn số phức – Cách tìm và ứng dụng vào bài tập mới nhất 2023

Ở bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ hướng dẫn cách biểu diễn hình học số phức và ứng dụng phương pháp này để giải một số dạng baì tập viết phương trình đường thẳng.

Tập hợp điểm biểu diễn số phức

Kiến thức trọng tâm

Số phức z thỏa mãn điều kiện về môđun ta sử dụng công thức

Trong mặt phẳng phức Oxy (Oy là trục ảo; Ox là trục thực), mỗi số phức z = a + bi (a, b ∈ ℝ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b).

Các dạng phương trình đường thẳng

Dạng tổng quát: ax + by + c = 0

Dạng đại số: y = ax + b

Dạng tham số:

Dạng chính tắc:

Phương trình Parabol: y = ax² + bx + c.

Phương trình đường tròn tâm I(a; b) bán kính R:

(x – a)² + (y – b)² = R² ⇔ x² + y² – 2ax – 2by + c = 0 với c = a² + b² – R²

Lưu ý: Điều kiện để phương trình: x² + y² + 2ax + 2by + c = 0 là phương trình đường tròn: a² + b² – c > 0 có tâm I(–a; –b) và bán kính

Phương trình elip:

Với hai tiêu điểm F₁(–c; 0), F₂ (c; 0), F₁F₂ = 2c

Trục lớn 2a , trục bé 2b và a² = b² + c²

Ví dụ 1. Xét các số phức z thỏa mãn . Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp điểm biểu diễn của các số phức là một đường tròn có bán kính bằng

A.

B. 26

C. 34

D.

Hướng dẫn giải

Chọn A

Ta có

Đặt w = x + yi (x, y ∈ ℝ)

Ta có

⇔ 2(x² + y² – 2y + 1) = x² – 8x +16 + y²

⇔ x² + y² + 8x – 4y – 14 = 0

⇔ (x + 4)² + (y – 2)² = 34

Vậy tập hợp điểm biểu diễn của các số phức w là đường tròn có bán kính bằng H8

Ví dụ 2. Gọi M là điểm biểu diễn số phức z thỏa mãn . Tập hợp tất cả các điểm M như vậy là

A. Một parabol

B. Một đường thẳng

C. Một đường tròn

D. Một elip

Hướng dẫn giải

Chọn A

Gọi M(x; y) là điểm biểu diễn số phức z = x + yi (∀x, y ∈ ℝ)

Vậy tập hợp tất cả các điểm M thỏa mãn đề bài là một đường parabol.

Ví dụ 3. Cho số phức z thỏa mãn |z − 3| + |z + 3| = 10. Tập hợp các điểm biểu diễn số phức z là

A. Một parabol

B. Một đường tròn

C. Một elip

D. Một hypebol

Hướng dẫn giải

Chọn C

Gọi z = x + yi (∀x, y ∈ ℝ) thì

|z – 3| + |z + 3| = 10 ⇔ |(x − 3) + yi| + |(x + 3) + yi| = 10 (*)

Gọi M là điểm biểu diễn số phức z, gọi F₁(3; 0) và F₂(−3; 0) ⇒ F₁.F₂ = 6 = 2C

Thì (*) ⇔ MF₁ + MF₂ = 10 =2a

Vậy các điểm M biểu diễn số phức z là Elip có hai tiêu điểm là F₁, F₂, độ dài trục lớn là 10.