Toán lớp 12: Tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng toán mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Tổng hợp lý thuyết và cách giải các dạng toán. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Đường tiệm cận là một kiến thức quan trọng trong hình học giải tích thuộc chương trình toán lớp 12. Bài viết này Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu cơ bản về lý thuyết đường tiệm cận và các bài tập từ nhận biết thông hiểu đến vận dụng cao trong các đề thi.

Tóm tắt

Lý thuyết

Đường thẳng y = y₀được gọi là đường tiệm cận ngang (gọi tắt là tiệm cận ngang) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc

Đường thẳng x = x₀ được gọi là đường tiệm cận đứng (gọi tắt là tiệm cận đứng) của đồ thị hàm số y = f(x) nếu ít nhất một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Phân dạng bài tập

Để làm các bài tập về đường tiệm cận thì việc hiểu bản chất và các công thức đường tiệm cận là điều bắt buộc.

Dạng 1. Xác định các đường tiệm cận dựa vào định nghĩa

Phương pháp giải

– Tiệm cận ngang

Đường thẳng y = y₀ là đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) nếu hoặc

– Tiệm cận đứng

Đường thẳng x = x₀ là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số y = f(x) nếu một trong các điều kiện sau được thỏa mãn:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Các đường tiệm cận của đồ thị hàm số tạo với hai trục tọa độ một hình chữ nhật có diện tích bằng

A. 2 (đvdt)

B. 3 (đvdt)

C. 1 (đvdt)

D. 4 (đvdt)

Hướng dẫn giải

Chọn A

Tập xác định D = ℝ \{1}

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận đứng x = 1 và tiệm cận ngang là y = 2. Khi đó hình chữ nhật tạo bởi hai đường tiệm cận và hai trục tọa độ có các kích thước là 1 và 2 nên có diện tích S = 1․2 = 2 (đvdt)

Câu 2. Biết các đường tiệm cận của đường cong (C): và trục tung cắt nhau tạo thành một đa giác (H). Mệnh đề nào dưới đây đúng?

A. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 8

B. (H) là một hình vuông có diện tích bằng 4

C. (H) là một hình vuông có diện tích bằng 25

D. (H) là một hình chữ nhật có diện tích bằng 10

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định

Ta có ⇒ y = 5 là tiệm cận ngang của (C)

⇒ y = 7 là tiệm cận ngang của (C)

⇒ x = 5 là tiệm cận đứng của (C)

Vậy đồ thị có ba đường tiệm cận là y = 5; y = 7; x = 5 cùng với trục tung tạo thành một hình chữ nhật có kích thước 2 × 5 nên có diện tích bằng 10.

Dạng 2: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức

Phương pháp giải

Cho hàm số:

Để tồn tại các đường tiệm cận của đồ thị hàm số thì c ≠ 0 và ad – bc ≠ 0

Khi đó phương trình các đường tiệm cận là

+ Tiệm cận đứng

+ Tiệm cận ngang

Bài tập vận dụng

Câu 1. Giá trị của tham số thực m để đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang y = 3 là

A. m = 1

B. m = 0

C. m = 2

D. m = 3

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

– m(2m – 1) – 1 ≠ 0 ⇔ 2m² – m + 1 ≠ 0 ⇒ ∀ x ∈ ℝ

Phương trình đường tiệm cận ngang là y = 2m – 1 nên có 2m – 1 = 3 ⇔ m = 2

Câu 2. Tập hợp các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

A. ℝ

B. ℝ \{0}

C. ℝ \{1}

D. ℝ \{0; 1}

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là

Bài tập 3. Tập hợp các giá trị của tham số m để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

A. ℝ

D. {0}

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số không có tiệm cận đứng là

Câu 4. Cho hàm số . Biết đồ thị hàm số đã cho đi qua điểm A(0; -1) và có đường tiệm cận ngang là y = 1. Giá trị a + b bằng

A. 1

B. 0

C. 3

D. 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là a – b ≠ 0

Do đồ thị hàm số đi qua điểm A(0; -1) nên b = -1

Đồ thị hàm số có đường tiệm cận ngang là y = a ⇒ a = 1 (thỏa mãn điều kiện)

Vậy a + b = 0

Câu 5. Biết rằng đồ thị của hàm số nhận trục hoành làm tiệm cận ngang và trục tung làm tiệm cận đứng. Khi đó giá trị của a + b bằng

A. 3

B. -3

C. 6

D. 0

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -(a – 3)(b + 3) – (a + 2019) ≠ 0

Phương trình các đường tiệm cận là

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy a + b = 0

Câu 6. Giá trị thực của tham số m để đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số đi qua điểm A(1; 2) là

A. m = 4

B. m = -2

C. m = -4

D. m = 2

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là m – 2 ≠ 0 ⇔ m ≠ 2

Đường tiệm cận đứng là (thỏa mãn)

Câu 7. Cho hàm số với tham số m ≠ 0. Giao điểm của hai đường tiệm cận của đồ thị hàm số thuộc đường thẳng nào dưới đây?

A. x + 2y = 0

B. 2x + y = 0

C. x – 2y = 0

D. y = 2x

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện để đồ thị hàm số có đường tiệm cận là -2m² – 1 ≠ 0 ⇒ ∀ m ∈ ℝ

Phương trình các đường tiệm cận là x = 2x; y = m nên tọa độ giao điểm của hai đường tiệm cận là I(2m; m) thuộc đường thẳng x = 2y

Câu 8. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung là

A. m > 0 và

B. m > 0

C. m > 0 và

D. m < 0

Hướng dẫn giải

Chọn A

Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận là -4m + 5 ≠ 0 ⇔

Phương trình đường tiệm cận đứng là x = m

Để tiệm cận đứng nằm bên phải trục tung thì m > 0

Vậy điều kiện cần tìm là

Dạng 3: Tiệm cận của đồ thị hàm số phân thức hữu tỷ

Phương pháp giải

– Tiệm cận của đồ thị hàm số với A là số thực khác 0 và f(x) là đa thức bậc n > 0

– Đồ thị hàm số luôn có tiệm cận ngang y = 0

– Đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số khi và chỉ khi x₀ là nghiệm của f(x) hay f(x₀) = 0

– Tiệm cận của đồ thị hàm số với f(x), g(x) là các đa thức bậc khác 0

– Điều kiện để đồ thị hàm số có tiệm cận ngang là bậc f(x) ≤ bậc g(x)

– Điều kiện để đường thẳng x = x₀ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số là x₀ là nghiệm của g(x) nhưng không là nghiệm của f(x) hoặc x₀ là nghiệm bội n của g(x), đồng thời là nghiệm bội m của f(x) và m < n

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tất cả các giá trị thực của tham số m để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng là

A. m = 8

B. m = 0

C. m ≠ 4

D. m ≠ -8

Hướng dẫn giải

Chọn D

Tập xác định

Đặt g(x) = mx² – 2x + 1

Để đồ thị hàm số có tiệm cận đứng thì không là nghiệm của g(x)

Câu 2. Biết đồ thị hàm số (m, n là tham số) nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng, giá trị của m + n bằng

A. 6

B. 10

C. -4

D. -7

Hướng dẫn giải

Chọn C

Điều kiện: x² – 2mx + n + 6 ≠ 0

Đặt g(x) = x² – 2mx + n + 6

Do x = 1 là nghiệm của f(x) = x – 1 nên đồ thị hàm số đã cho nhận đường thẳng x = 1 là tiệm cận đứng thì x = 1 phải là nghiệm kép của phương trình

Vậy m + n = -4

Câu 3. Biết đồ thị hàm số nhận trục hoành và trục tung làm hai tiệm cận. Giá trị m + n bằng

A. 8

B. 9

C. 6

D. -6

Hướng dẫn giải

Chọn B

Điều kiện x² + mx + n – 6 ≠ 0

Phương trình đường tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là y = 2m – n ⇒ 2m – n = 0 (1)

Đặt f(x) = (2m – n) x² + mx +1 và g(x) = x² + mx + n – 6

Nhận thấy f (0) ≠ 0 với mọi m, n nên đồ thị nhận trục tung x = 0 là tiệm cận đứng thì g(0) = 0 ⇔ n – 6 = 0 ⇔ n = 6 . Kết hợp với (1) suy ra m = 3.

Vậy m + n = 9

Câu 4. Cho hàm số có đồ thị (C) (a, b là các số thực dương và ab = 4). Biết rằng (C) có tiệm cận ngang y = c và có đúng một tiệm cận đứng. Giá trị của tổng T = 3a + b – 24c bằng

A. 8

B. 9

C. 6

D. 11

Hướng dẫn giải

Chọn D

Điều kiện 4x² + bx + 9 ≠ 0

Phương trình tiệm cận ngang của đồ thị hàm số là

Đồ thị (C) có một tiệm cận đứng nên ta có các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Phương trình 4x² + bx + 9 = 0 có nghiệm kép x = x₀ và không là nghiệm của ax² + bx + 1 = 0

⇔ b² – 144 = 0 ⇔ b = ±12

Vì b > 0 nên b = 12

Thử lại ta có hàm số (thỏa mãn)

Vậy

Trường hợp 2: 4x² + bx + 9 = 0 có hai nghiệm phân biệt và một trong hai nghiệm thỏa mãn ax² + bx – 1 = 0. Điều này không xảy ra vì ab = 4.

Chú ý: a, b > 0 nên mẫu số (nếu có) hai nghiệm đều âm, tử số hai nghiệm trái dấu.

Dạng 4. Tiệm cận của đồ thị hàm số vô tỷ

Phương pháp giải

Cho hàm số vô tỷ y = f(x)

Tìm tập xác định D của hàm số.

Để tồn tại tiệm cận ngang của đồ thị hàm số y = f(x) thì trong tập xác định D của hàm số phải chứa ít nhất một trong hai kí hiệu -∞ hoặc +∞ và tồn tại ít nhất một trong hai giới hạn hoặc hữu hạn.