Toán lớp 12: Thể tích khối chóp - Công thức tính và 5 dạng bài tập đặc trưng mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Thể tích khối chóp – Công thức tính và 5 dạng bài tập đặc trưng. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Ở bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc tổng hợp công thức tính thể tích khối chóp và 5 dạng bài đặc trưng: Khối chóp cạnh bên vuông góc đáy, mặt bên vuông góc đáy, …

Tóm tắt

Công thức thể tích khối chóp

Công thức chung:

Trong đó: B là diện tích đáy, h là chiều cao

Dạng 1: Khối chóp có cạnh bên vuông góc đáy

Một số chú ý khi giải toán

+) Một hình chóp có một cạnh bên vuông góc với đáy thì cạnh bên đó chính là đường cao.

+) Một hình chóp có hai mặt bên kề nhau cùng vuông góc với đáy thì cạnh bên là giao tuyến của hai mặt đó vuông góc với đáy.

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác đều cạnh a. SA vuông góc với mặt phẳng (ABC). Góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) bằng 30°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta có góc giữa đường thẳng SB và mặt phẳng (ABC) là SBA = 30°.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có chiều cao SA bằng a. Mặt đáy ABCD là hình thoi cạnh a, góc ABC bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD theo a.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC đều cạnh a nên

⇒ Diện tích đáy:

Thể tích khối chóp:

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông với . Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABCD), cạnh bên SB hợp với mặt phẳng (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có: AB là hình chiếu của SB lên mặt phẳng (ABCD)

Nên (SB, (ABCD)) = SBA = 60°;

SA ⊥ (ABCD) ⇒ SA là chiều cao của khối chóp S.ABCD

Tính được

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4: Cho tứ diện OABC có đáy OBC là tam giác vuông tại O, OB = a, , (a > 0) và đường cao . Tính thể tích khối tứ diện theo a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Thế tích khối tứ diện

Vậy chọn đáp án A.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, ABC = 60° cạnh SA vuông góc với đáy và SC tạo với đáy một góc 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Ta có ∆ABC đều nên AC = a.

Có:

Suy ra

Mặt khác

Vậy

Vậy ta chọn đáp án A.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi có cạnh bằng , BAD = 120° và cạnh bên SA vuông góc với đáy. Biết mặt phẳng (SBC) và đáy bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Do đáy ABCD là hình thoi có BAD = 120° nên các tam giác ABC, ADC đều cạnh .

Gọi H là trung điểm của BC, ta có:

AH ⊥ BC, SA ⊥BC ⇒ BC ⊥ SH

Do đó: ((SBC); (ABCD)) = (AH; SH) = SHA = 60°

Tam giác SAH vuông tại A:

Ta có:

Suy ra:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = 2a, BAC = 60°. Cạnh bên SA vuông góc với mặt phẳng (ABC) và . Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 2a³

B. V = 3a³

C. V = a³

D. V = 4a³

Hướng dẫn giải

Xét tam giác ABC có:

Chọn đáp án A

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B có góc BAC = 30°, SA = a, SCA = 45° và SA vuông góc với đáy. Thể tích khối chóp S.ABC là V. Tỉ số gần giá trị nào nhất trong các giá trị sau:

A. 0,01

B. 0,05

C. 0,08

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có SCA = 45°

⇒ AC = SA.tanSCA = a

Vậy

Chọn đáp án C

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD, đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = 2a, AD = a. Hai mặt phẳng (SAB) và (SAD) cùng vuông góc với đáy, góc giữa hai mặt phẳng (SAB) và (SBD) bằng 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số gần nhất giá trị nào dưới đây:

A. 0,25

B. 0,5

C. 0,75

D. 1,5

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = AB.AD = 2a²

(SAB) ⊥ (ABCD) và (SAD) ⊥ (ABCD)

(SAB) ⋂ (SAD) = SA ⇒ SA ⊥ (ABCD)

Ta có:

AD ⊥ AB, AD ⊥ SA ⇒ AD ⊥ (SAB)

⇒ AD ⊥ SB. Kẻ AH ⊥ SB ⇒ SB ⊥ (AHD)

⇒ SB ⊥ HD.

Ta có:

⇒ AH = AD = a

Xét tam giác SAB vuông tại S có:

Vậy

Chọn đáp án C

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có cạnh bên SA vuông góc với đáy và AB = a, AC = 2a, BAC = 120°. Mặt phẳng (SBC) tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi F là hình chiếu vuông góc của A lên BC.

Khi đó SF ⊥ BC, suy ra

((SBC), (ABC)) = SFA = 60°

Vậy chọn đáp án A.

Dạng 2: Khối chóp có hình chiếu của đỉnh lên mặt phẳng đáy

Câu 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật có AB = a, , H là trung điểm của cạnh AB. Biết hai mặt phẳng (SHC) và (SHD) cùng vuông góc với mặt đáy, đường thẳng SD tạo với mặt đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp a.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⇒ SH ⊥ (ABCD)

⇒ SH là chiều cao của hình chóp S.ABCD

Ta có HD là hình chiếu vuông góc của SD lên (ABCD)

⇒ (SD, ABCD) = (SD, HD) = SDH = 60°

⇒

Vậy

Chọn đáp án A.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của đoạn AB, góc giữa đường thẳng SC và mặt phẳng (ABC) bằng 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Ta có: (SC, (ABC)) = SCH = 60°

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABC có góc giữa SC và mặt đáy bằng 45°, đáy ABC là tam giác vuông tại A có AB = 2a , góc ABC = 60° và hình chiếu của S lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm AB. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC vuông tại A:

Tam giác AHC vuông tại H:

SCH = (SC, (ABC)) = 45°.

Xét tam giác SHC vuông tại H:

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B; AB = 2a, AC = 4a. Hình chiếu vuông góc của đỉnh S trên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của đoạn AC. Góc giữa cạnh bên SA và mp (ABC) bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

A. V = 3a³

B. V = a³

C. V = 4a³

D. V =

Hướng dẫn giải

Ta có: SH ⊥ (ABC)

⇒ Góc giữa SA và (ABC) là SAH = 60°

Vậy

Chọn đáp án C.

Câu 5: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật, biết AB = 2a, AD = a. Trên cạnh AB lấy điểm M sao cho , cạnh AC cắt MD tại H. Biết SH vuông góc với mặt phẳng (ABCD) và SH = a. Tính thể tích khối chóp S.HCD.

Hướng dẫn giải

Hai tam giác vuông AMD và DAC có nên đồng dạng,

Suy ra ADH = DCH, mà ADH + HDC = 90° ⇒ DHC = 90°

∆ADC vuông tại D:

Hệ thức lượng ∆ADC: DH.AC = DA.DC

Suy ra:

∆DHC vuông tại H:

Do đó diện tích

Thể tích khối chóp

Vậy chọn đáp án C.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có ABC là tam giác vuông tại B, , ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC biết . Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

Theo giả thiết có SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông tại B

Có

Ta có

Xét tam giác SGE vuông tại G có

Vậy thể tích khối chóp S.ABC là

Chọn đáp án A.

Câu 7: Cho ABCD là hình vuông cạnh bằng 1, gọi M là trung điểm AB. Qua M dựng đường thẳng vuông góc (ABCD) và trên đó lấy điểm S sao cho . Thể tích khối chóp S.ADCM, khối chóp S.BCM và khối chóp S.BCD lần lượt là x, y, z. Giá trị là:

A. −17,2

B. −247,6

C. 8,4

D. 5,2

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy

Chọn đáp án C

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, , ACB = 60°, hình chiếu vuông góc của S lên mặt phẳng (ABC) là trọng tâm tam giác ABC, gọi E là trung điểm AC, góc giữa SE và mặt phẳng đáy là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét tam giác ABC vuông tại B có

Do ABC vuông tại B nên:

Vậy

Chọn đáp án B

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, mặt bên SAB là tam giác đều, mặt bên SCD là tam giác vuông cân tại S. Thể tích khối chóp S.ABCD là V. Tỉ số gần nhất giá trị nào dưới đây:

A. 5

B. 7

C. 8

D. 9

Hướng dẫn giải

S_ABCD = a²

Gọi M, N lần lượt là trung điểm AB và CD.

Kẻ SH ⊥ MN

Ta có: CD ⊥ MN, CD ⊥ SN

⇒ CD ⊥ (SMN)

⇒ CD ⊥ SH mà SH ⊥ MN ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Ta có SAB là tam giác đều, SCD là tam giác vuông cân tại S

⇒

Tam giác SMN có:

⇒ Tam giác SMN vuông tại S ⇒

Do vậy

Chọn đáp án B

Câu 10: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAC = 60°, hình chiếu vuông góc của S trên mặt phẳng (ABCD) trùng với trọng tâm của tam giác ABC. Mặt phẳng (SAC) hợp với mặt phẳng (ABCD) góc 45°. Thể tích khối chóp S.ABCD bằng V. Giá trị là:

Hướng dẫn giải

Ta có BAC = 60° nên tam giác ABC đều

Gọi O = AC ⋂ BD.

Ta có AC ⊥ BD, AC ⊥ SG ⇒ AC ⊥ (SBD)

⇒ AC ⊥ SO. Mặt khác OB ⊥ AC

⇒ ((SAC), (ABCD)) = SOB = 45°

Xét tam giác SOG vuông tại G:

Vậy

Chọn đáp án C

Dạng 3: Khối chóp có mặt bên vuông góc với đáy

Để xác định đường cao hình chóp ta vận dụng định lí sau

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại B, BA = 3a, BC = 4a; mặt phẳng (SBC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết và SBC = 30°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

B. V = a³

Hướng dẫn giải

Kẻ SH vuông góc BC suy ra SH vuông góc mp (ABC)

Vậy chọn đáp án D.

Câu 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh bằng 4, mặt bên SAB là tam giác đều và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SD, CD, BC. Thể tích khối chóp S.ABPN là x, thể tích khối tứ diện CMNP là y. Giá trị x, y thoả mãn bất đẳng thức nào dưới đây:

A. x² + 2xy − y² > 160

B. x² − 2xy + 2y² < 109

C. x² + xy − y⁴ < 145

D. x² − xy + y⁴ > 125

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB. Do ∆ABC đều và (SAB) ⊥ (ABCD)

Xét ∆ABC đều:

Ta có:

Gọi AN ∩ HD = {K} ta có MK là đường trung bình của ∆DHS

Thay vào các đáp án

⇒ Chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông có cạnh a. Mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy ABCD. Thể tích khối chóp S.ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB.

∆SAB đều ⇒ SH ⊥ AB mà

(SAB) ⊥ (ABCD) ⇒ SH ⊥ (ABCD)

Vậy H là chân đường cao của khối chóp.

Ta có tam giác SAB đều nên

Suy ra

Vậy chọn đáp án B.

Câu 4: Cho tứ diện ABCD có ABC là tam giác đều, BCD là tam giác vuông cân tại D, (ABC) ⊥ (BCD) và AD hợp với (BCD) một góc 60°, AD = a. Thể tích tứ diện ABCD là

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có tam giác ABC đều nên AH ⊥ (BCD)

Suy ra: (AD, (BCD)) = ADH = 60°

Ta có

Suy ra

Vậy chọn đáp án C.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B, có BC = a. Mặt bên SAC vuông góc với đáy, các mặt bên còn lại đều tạo với mặt đáy một góc 45°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Kẻ SH ⊥ BC vì mp (SAC) ⊥ mp (ABC) nên SH ⊥ mp (ABC).

Gọi I, J là hình chiếu của H trên AB và BC ⇒ SI ⊥ AB, SJ ⊥ BC, theo giả thiết SIH = SJK = 45°

Ta có: ∆SHI = ∆SHJ ⇒ HI ⊥ HJ.

Tứ giác HIBJ là hình thoi nên BH là đường phân giác của ∆ABC từ đó suy ra H là trung điểm của AC.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 6: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC đều cạnh a, tam giác SBC vuông cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của BC. Ta có:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 7: Tứ diện ABCD có ABC và BCD là hai tam giác đều lần lượt nằm trong hai mặt phẳng vuông góc với nhau biết AD = a. Tính thể tích tứ diện.

Hướng dẫn giải

Ta có

Ta để ý: ∆ABC = ∆DBC ⇒ AH = DH

Do đó tam giác AHD vuông cân tại H.

Suy ra: mà

Do đó:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có BAC = 90°; ABC = 30°; SBC là tam giác đều cạnh a và (SBC) ⊥ (ABC). Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Ta có:

Do đó:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông, gọi M là trung điểm của AB. Tam giác SAB cân tại S và nằm trong mặt phẳng vuông góc với đáy (ABCD), biết , SC tạo với mặt đáy (ABCD) một góc 60°. Tính theo a thể tích khối chóp S.ABCD

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có SM ⊥ (ABCD)

MC là hình chiếu của SC trên (ABCD) nên góc giữa SC với mặt phẳng (ABCD) là SCM = 60°

Trong tam giác vuông SMC và SMD ta có:

mà ABCD là hình vuông nên MC = MD

Lại có

Vậy

Vậy chọn đáp án A.

Câu 10: Cho hình chóp S.ABC có đáy ABC là tam giác vuông tại A, mặt bên SAB là tam giác đều nằm trong mặt phẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC). Biết AB = a, . Tính thể tích khối chóp S.ABC

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm của AB ⇒ SH ⊥ AB

Do (SAB) ⊥ (ABC) nên SH ⊥ (ABC)

Do SAB là tam giác đều cạnh a nên

Thể tích khối chóp S.ABC là

Vậy chọn đáp án C.

Dạng 4: Khối chóp đều

Định nghĩa: Một hình chóp được gọi là hình chóp đều nếu đáy của nó là một đa giác đều và các cạnh bên bằng nhau

Kết quả: Trong hình chóp đều

+) Đường cao hình chóp qua tâm của đa giác đáy

+) Các cạnh bên tạo với đáy các góc bằng nhau

+) Các mặt bên tạo với đáy các góc bằng nhau

Chú ý:

+) Đề bài cho hình chóp tam giác đều (tứ giác đều) ta hiểu là hình chóp đều

+) Hình chóp tam giác đều khác với hình chóp có đáy là đa giác đều vì hình chóp tam giác đều thì bản thân nó có đáy là tam giác đều và các cạnh bên bằng nhau, nói một cách khác, hình chóp tam giác đều thì suy ra hình chóp có đáy là tam giác đều nhưng điều ngược lại là không đúng

+) Hình chóp tứ giác đều là hình chóp đều có đáy là hình vuông

Câu 1: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, góc giữa cạnh bên và mặt đáy bằng 60°. Tính thể tích khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Vì S.ABC là hình chóp đều nên ABC là tam giác đều tâm G và SG ⊥ (ABC)

Tam giác ABC đều cạnh a nên

Có AG là hình chiếu của AS trên (ABC) nên góc giữa cạnh bên SA với đáy là (SA, AG) = SAG = 60° (vì SG ⊥ AG ⇒ SAG nhọn)

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên

Trong tam giác SAG có SG = AG.tan60° = a

Vậy

Chọn đáp án B.

Câu 2: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy ABCD có diện tích là 16cm², diện tích một mặt bên là cm². Thể tích khối chóp S.ABCD là:

A. cm³

B. cm³

C. cm³

D. 4cm³

Hướng dẫn giải

Ta có S_ABCD = 16cm² ⇒ CD = 4cm

Xét ∆SOH vuông tại O có:

Vậy:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 3: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có các cạnh bên bằng và tạo với mặt phẳng đáy góc 60°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm ∆ABC

⇒ SG ⊥ (ABC)

Xét ∆SGA vuông tại G có:

∆ABC đều

Vậy

Chọn đáp án A

Câu 4: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 30°. Thể tích khối chóp S.ABC là:

Hướng dẫn giải

Do ABC đều nên

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)

⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM

⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°

Xét tam giác SGM vuông tại M có:

Do vậy

Chọn đáp án D

Câu 5: Cho chóp tam giác đều S.ABC cạnh đáy bằng a và cạnh bên bằng 2a. Tính thể tích chóp đều S.ABC

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABC) Ta có SA = SB = SC suy ra OA = OB = OC

Vậy O là tâm của tam giác đều ABC.

Ta có tam giác ABC đều nên

Vậy

Vậy chọn đáp án A.

Câu 6: Cho khối tứ diện đều ABCD cạnh bằng a. Tính thể tích khối tứ diện đều ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của ∆ABC

⇒ DO ⊥ (ABC)

∆DOC vuông có:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có cạnh đáy bằng 2a, cạnh bên bằng . Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều ABCD là hình vuông cạnh 2a, tâm O; SO ⊥ (ABCD);

Diện tích hình vuông ABCD

⇒ S.ABC_D = (2a²) = 4a²; ∆SAO vuông tại O có

Thể tích khối chóp S.ABCD:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 8: Cho khối chóp tứ giác S.ABCD có tất cả các cạnh có độ dài bằng a. Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Dựng SO ⊥ (ABCD).

Ta có SA = SB = SC = SD nên OA = OB = OC = OD

⇒ ABCD là hình thoi có đường tròn ngoại tiếp nên ABCD là hình vuông.

Ta có:

Vậy

Vậy chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a, các cạnh bên SA, SB, SC đều tạo với đáy một góc 60°. Tính thể tích của khối chóp S.ABC.

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của S lên mp (ABC), ta có H là trọng tâm tam giác ABC, AH là hình chiếu của SA lên mp (ABC) nên (SAH) = 60°

Ta có:

Vậy

Vậy chọn đáp án A.

Câu 10: Cho hình chóp đều S.ABC có cạnh bên bằng a hợp với đáy ABC một góc 60°. Tính thể tích hình chóp.

Hướng dẫn giải

. Tính AO. Từ đó suy ra được AH

⇒ Cạnh của tam giác đáy đều.

Vậy chọn đáp án A.

Dạng 5: Tỉ lệ thể tích

Việc tính thể tích của một khối chóp thường học sinh giải bị nhiều sai sót. Tuy nhiên trong các đề thi lại yêu cầu học sinh tính thể tích của một khối chóp “nhỏ” của khối chóp đã cho. Khi đó học sinh có thể thực hiện các cách sau:

Cách 1:

+) Xác định đa giác đáy

+) Xác định đường cao (phải chứng minh đường cao vuông gới với mặt phẳng đáy)

+) Tính thể tích khối chóp theo công thức

Cách 2

+) Xác định đa giác đáy

+) Tính các tỷ số độ dài của đường cao (nếu cùng đa giác đáy) hoặc diện tích đáy (nếu cùng đường cao) của khối chóp “nhỏ” và khối chóp đã cho và kết luận thể tích khối cần tìm bằng k lần thể tích khối đã cho.

Cách 3: Dùng tỷ số thể tích (Chỉ áp dụng cho khối chóp (tứ diện))

Hai khối chóp S.MNK và S.ABC có chung đỉnh S và góc ở đỉnh S

Ta có:

Câu 1: Cho hình chóp S.ABC có tam giác ABC vuông cân ở B, , SA vuông góc với đáy ABC, SA = a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, mặt phẳng (α) qua AG và song song với BC cắt SC, SB lần lượt tại M, N. Tính thể tích của khối chóp S.AMN

Hướng dẫn giải

Ta có: và SA = a

∆ABC cân có:

Vậy:

Gọi I là trung điểm BC. G là trọng tâm, ta có:

Vậy:

Vậy chọn đáp án A.

Câu 2: Cho tam giác ABC vuông cân ở A và AB = a. Trên đường thẳng qua C và vuông góc với mặt phẳng (ABC) lấy điểm D sao cho CD = a. Mặt phẳng qua C vuông góc với BD, cắt BD tại F và cắt AD tại E. Tính thể tích khối tứ diện CDEF.

Hướng dẫn giải

Tính

Ta có: AB ⊥ AC, AB ⊥ CD ⇒ AB ⊥ (ACD)

⇒ AB ⊥ EC

Ta có: DB ⊥ EC

⇒ EC ⊥ (ABD)

Tính V_DCEF: Ta có:

(*)

Mà DE.DA = DC², chia cho DA² ⇒

Tương tự:

Từ (*) ⇒ . Vậy

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Cho khối chóp tứ giác đều S.ABCD. Một mặt phẳng (α) qua A, B và trung điểm M của SC. Tính tỉ số thể tích của hai phần khối chóp bị phân chia bởi mặt phẳng đó.

Hướng dẫn giải

Kẻ MN // CD (N ∈ SD) thì hình thang ABMN là thiết diện của khối chóp khi cắt bởi mặt phẳng (ABM).

Mà

Do đó:

Câu 4: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD, đáy là hình vuông cạnh a, cạnh bên tạo với đáy góc 60°. Gọi M là trung điểm SC. Mặt phẳng đi qua AM và song song với BD, cắt SB tại E và cắt SD tại F. Tính thể tích khối chóp S.AEMF

Hướng dẫn giải

Gọi I = SO ∩ AM. Ta có (AEMF) // BD ⇒ EF // BD

với S_ABCD= a²

∆SOA có:

Phân chia chóp tứ giác ta có:

Do đó: V_{S .AEMF} = V_SAMF + V_SAME = 2V_SAMF; V_S.ABCD= 2V_SACD = 2V_S.ABC

Xét khối chóp S.AMF và S.ACD

; ∆SAC có trọng tâm I, EF // BD nên:

Vậy chọn đáp án D.

Câu 5: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a, SA vuông góc đáy, . Gọi B’, D’ là hình chiếu của A lần lượt lên SB, SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp S.AB’C’D’

Hướng dẫn giải

Ta có:

Ta có BC ⊥ (SAB) ⇒ BC ⊥ AB’; SB ⊥ AB’.

Suy ra: AB’ ⊥ (SBC) nên AB’ ⊥ SC. Tương tự AD’ ⊥ SC.

Vậy SC ⊥ (AB’D’)

Tính V_{S.AB’C’D’}

Tính V_S.AB’C’: Ta có: (*)

∆SAC vuông cân nên

Ta có:

Từ (*) ⇒

Ta có:

Vậy chọn đáp án A.

Câu 6: Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi B’, C’ lần lượt là trung điểm của SB và SD. Mặt phẳng AB’D’ cắt SC tại C’. Tính tỉ số thể tích của hai khối chóp SAB’C’D’ và S.ABCD.

Hướng dẫn giải

Gọi O = AC ∩ BD. Ta có AC’, B’D’, SO đồng quy tại I và I là trung điểm của SO.

Kẻ OC” // AC’. Ta có SC’ = C’C” = C”C nên

Ta có

Tương tự ta cũng có:

Vậy

Vậy chọn đáp án C.

Câu 7: Cho khối chóp S.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, SA vuông góc với mặt phẳng đáy và SA = 2a. Gọi B’, D’ lần lượt là hình chiếu của A lên SB và SD. Mặt phẳng (AB’D’) cắt SC tại C’. Tính thể tích khối chóp SAB’C’D’.

Hướng dẫn giải

Ta có AB’ ⊥ SB, AB’ ⊥ CB ⇒ AB’ ⊥(SBC)

⇒ AB’ ⊥ SC (a)

Tương tự AD’ ⊥ SC (b)

Từ (a) và (b) suy ra SC ⊥ (AB’C’D’) ⇒ SC ⊥ AC’

Do tính đối xứng, ta có V_{SAB’C’D’} = 2V_SAB’C’

Vậy

Vậy chọn đáp án D.

Câu 8: Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = a, SC = 2a, ASB = BSC = 60°, ASC = 90°. Thể tích của khối chóp S.ABC bằng V. Tỉ số là:

Hướng dẫn giải

Gọi M là trung điểm SC, ta có SM = a

⇒ ∆SAM vuông cân tại S. Gọi H là trung điểm của AM.

Ta có

Ta có SM = BM = a và BSC = 60° ⇒ ∆BSM đều ⇒ BM = a ⇒ ∆BSM đều

Ta có AB = BM = a ⇒ ∆ABM cân tại B.

Mặt khác: AB² + BM² = 2a² và AM² = 2a² ⇒ AB² + BM² = AM²

⇒ ABM vuông cân tại B (định lý pitago đảo) ⇒

Ta có

⇒ ∆SHB vuông cân tại H (định lý pitago đảo)

Ta có SH ⊥ AM, SH ⊥ HB ⇒ SH ⊥ (ABM)

Chọn đáp án B

*Cách khác: Sử dụng công thức giải nhanh

Tổng quát: Cho chóp S.ABC có SA = a, SB = b, SC = c và ASB =α, BSC = β, ASC = γ.

Thể tích khối chóp S.ABC là:

Áp dụng vào bài này ta được:

Chọn đáp án B.

Câu 9: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α thoả mãn . Mặt phẳng (P) qua AC và vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là gần nhất với giá trị nào trong các giá trị sau:

A. 0,11

B. 0,13

C. 0,7

D. 0,9

Hướng dẫn giải

S.ABCD là hình chóp tứ giác đều SO ⊥ (ABCD). Gọi N là trung điểm CD

Kẻ CM ⊥ SD. Ta có

Nên mặt phẳng (P) là (ACM)

Xét tam giác SON vuông tại N có:

Xét tam giác SOD vuông tại O có:

Ta có

Xét tam giác MCD vuông tại M có:

Ta có:

Mặt phẳng (P) chia khối chóp S.ABCD thành 2 khối MACD và S.ABCM

Do đó:

Chọn đáp án A

Tổng quát: Cho hình chóp tứ giác đều S.ABCD có đáy là hình vuông ABCD cạnh a, góc giữa mặt bên và mặt phẳng đáy là α. Mặt phẳng (P) qua AC vuông góc với mặt phẳng (SAD) chia khối chóp S.ABCD thành hai khối đa diện. Tỉ lệ thể tích hai khối đa diện là .

Chứng minh:

Ta có:

Do vậy:

Câu 10: Cho hình chóp tam giác đều S.ABC có cạnh đáy bằng a. Gọi G là trọng tâm tam giác ABC, góc giữa SG và mặt phẳng (SBC) là 30°. Mặt phẳng (P) chứa BC và vuông góc với SA chia khối chóp S.ABC thành hai phần. Tỉ số thể tích hai phần là:

Hướng dẫn giải

Do S.ABC là hình chóp tam giác đều

⇒ SG ⊥ (ABC) ⇒ SG ⊥ BC, mà BC ⊥ AM ⇒ BC ⊥ (SAM)

⇒ (SBC) ⊥ (SAM)

nên hình chiếu vuông góc của SG lên (SBC) là SM

⇒ (SG, (SBC)) = (SG, SM) = GSM = 30°

Kẻ MN ⊥ SA, ta có BC ⊥ (SAM) ⇒ SA ⊥ BC ⇒ SA ⊥ (NBC) nên mặt phẳng (P) là (NBC).

Xét tam giác SGM vuông tại M có:

Xét tam giác SGA vuông tại G có:

Xét tam giác SNM vuông tại N có:

Ta có:

Mặt phẳng (P) chia khối chóp thành 2 khối SNBC và NABC

Do vậy

Chọn đáp án A.

Bạn đang xem bài viết Thể tích khối chóp – Công thức tính và 5 dạng bài tập đặc trưng xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 12. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!