Toán lớp 12: Thể tích khối lăng trụ mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Thể tích khối lăng trụ. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Ở bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ gúp bạn đọc tổng các công thức hình học không gian theo chủ đề thể tích khối lăng trụ và các bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.

Tóm tắt

Công thức thể tích khối lăng trụ

Định nghĩa: Cho hai mặt song song (α) và (α’). Trên (α) ta lấy đa giác lồi A₁A₂…A_n qua các đỉnh này ta dựng các đường thẳng song song cắt (α’) tại A’₁A’₂…, A’_n.

Hình bao gồm hai đa giác A₁A₂…A_n, A’₁A’₂…A’_n và các hình bình hành A₁A₂ A’₂A’₁,…

Được gọi là hình lăng trụ. Kí hiệu là: A₁A₂…A_n.A’₁A’₂…A’_n.

Nhận xét:

+) Các mặt bên của hình lăng trụ bằng nhau và song song với nhau

+) Các mặt bên là các hình bình hành

+) Hai đáy hình lăng trụ là hai đa giác bằng nhau

Hình lăng trụ đứng – hình lăng trụ đều, hình hộp chữ nhật và hình lập phương

+) Hình lăng trụ đứng: là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với đáy. Độ dài cạnh bên được gọi chiều cao của hình lăng trụ. Lúc đó các mặt bên của hình lăng trụ đứng là các hình chữ nhật

+) Hình lăng trụ đều: là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều. Các mặt bên của lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau. Ví dụ: hình lăng trụ tam giác đều, tứ giác đều… thì ta hiểu là hình lăng trụ đều

+) Hình hộp: Là hình lăng trụ có đáy là hình bình hành

+) Hình hộp đứng: là hình lăng trụ đứng có đáy là hình bình hành

+) Hình hộp chữ nhật: là hình hộp đứng có đáy là hình chữ nhật

+) Hình lăng trụ đứng có đáy là hình vuông và các mặt bên đều là hình vuông được gọi là hình lập phương (hay hình chữ nhật có ba kích thước bằng nhau được gọi là hình lập phương)

Nhận xét:

+) Hình hộp chữ nhật ⇒ hình lăng trụ đứng (Có tất cả các mặt là hình chữ nhật)

+) Hình lập phương ⇒ hình lăng trụ đều (tất cả các cạnh bằng nhau)

+) Hình hộp đứng ⇒ hình lăng trụ đứng (mặt bên là hình chữ nhật, mặt đáy là hình bình hành)

Thể tích khối lăng trụ:

V = B.h: Với B là diện tích đáy và h là chiều cao

So sánh khối lăng trụ đứng và khối lăng trụ đều:

Khối lăng trụ đứng:

+) Định nghĩa: Hình lăng trụ đứng là hình lăng trụ có cạnh bên vuông góc với mặt đáy

+) Tính chất:

Các mặt bên hình lăng trụ đứng là hình chữ nhật

Các mặt bên hình lăng trụ đứng vuông góc với mặt đáy

Chiều cao là cạnh bên

Khối lăng trụ đều:

+) Định nghĩa: Hình lăng trụ đều là hình lăng trụ đứng có đáy là đa giác đều

+) Tính chất:

Các mặt bên của hình lăng trụ đều là các hình chữ nhật bằng nhau

Chiều cao là cạnh bên

Dạng 1: Khối lăng trụ đứng

Câu 1: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có thể tích là V. Trong các khối chóp dưới đây, khối chóp có thể tích là:

A. A.A’B’C’

B. C’.ABC

C. A’.BCC’B’

D. I.ABB’A’

Hướng dẫn giải

Ta có: V_{ABC.A’B’C’}= V_{A’.BCC’B’}+ V_A’.ABC.

Mà

Vậy chọn đáp án C.

Câu 2: Cho hình hộp đứng có các cạnh AB = 3a; AD = 2a; AA’ = 2a như hình vẽ. Thể tích của khối A’.ACD’ là:

A. a³

B. 2a³

C. 3a³

D. 6a³

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có , đường thẳng B’C tạo với mặt phẳng (ABB’A’) một góc α thỏa mãn . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Hướng dẫn giải

Ta có

Kẻ CH ⊥ AB ⇒ CH ⊥ (ABB’A’) nên B’H là hình chiếu vuông góc của B’C lên (ABB’A’)

⇒ (B’C, (ABB’A’)) = (B’C, B’H) = CB’H = α

Xét ∆BB’C vuông tại B có:

Do đó

Chọn đáp án A

Câu 4: Khối lập phương có độ dài đường chéo bằng d thì thể tích của khối lập phương là:

A. V = d³

B. V =

C. V = 3d³

D. V =

Hướng dẫn giải

Khối lập phương có cạnh là .

Do đó khối lập phương có thể tích là .

Vậy chọn đáp án D.

Câu 5: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy là tam giác cân, AB = AC = a, BAC = 120°. Mặt phẳng (AB’C’) tạo với mặt đáy góc 60°. Tính thể tích lăng trụ ABC.A’B’C’.

Hướng dẫn giải

Xác định góc giữa (AB’C’) và mặt đáy là AKA’ ⇒ AKA’ = 60°.

Tính

Vậy chọn đáp án B.

Câu 6: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân tại A, BC = a, và . Tính thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’.

Hướng dẫn giải

Đặt AB = x thì A’B² = A’C² = x² + 2a²

Áp dụng định lí hàm số cosin trong ∆A’BC, ta có:

Suy ra ∆ABC đều nên

Vậy thể tích hình lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Vậy chọn đáp án A.

Câu 7: Cho hình lăng trụ đứng ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình thoi cạnh a, BAD = 45°, . Thể tích của khối lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ là

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = 2S_ABD

Do ABCD.A’B’C’D’ là hình lăng trụ đứng nên

→ Vậy chọn đáp án D.

Câu 8: Cho lăng trụ đứng ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông cân tại B. Biết AB = 3cm, cm. Thể tích khối lăng trụ đã cho là

A. 27 (cm³)

B. (cm³)

C. (cm³)

D. (cm³)

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của khối lăng trụ:

Chiều cao của khối lăng trụ:

Thể tích của khối lăng trụ đã cho:

Vậy chọn đáp án C.

Câu 9: Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ có AB = a, BC = b, AA’ = c. Gọi M và N theo thứ tự là trung điểm của A’B’ và B’C’. Tính tỉ số giữa thể tích khối chóp D’.DMN và thể tích khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’

Hướng dẫn giải

Thể tích khối chóp D’.DMN bằng thể tích khối chóp D.D’MN

Ta có

Thể tích khối chóp D’.DMN là:

Thể tích của khối hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’ là V = abc

. Vậy chọn đáp án C.

Câu 10: Cho hình lăng trụ đứng ABC.A’B’C’, có đáy ABC là tam giác cân tại A, AB = AC = a, BAC = α. Gọi M là trung điểm của AA’, tam giác C’MB vuông. Thể tích của khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

Diện tích đáy của khối lăng trụ là:

Đặt A’A = x. Ta có:

Trong đó: . Tam giác C’MB vuông tại M, ta có:

Thể tích của khối lăng trụ là

Vậy chọn đáp án A.

Dạng 2: Khối lăng trụ đều

Câu 1: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng:

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (A’BC) chia khối lăng trụ ABC.A’B’C’ thành hai phần là A’.ABC và A’B’C’BC

Ta có:

Suy ra tỉ số thể tích của hai phần đó bằng .

Vậy chọn đáp án A.

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’. Gọi M là trung điểm cạnh AA’. Mặt phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai phần. Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng:

Hướng dẫn giải

Mặt phẳng (MBC) chia khối lăng trụ thành hai phần M.ABC và MA’B’C’BC.

Ta có:

Suy ra:

Tỉ số thể tích của hai phần đó bằng

Vậy chọn đáp án B.

Câu 3: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a và chiều cao bằng . Thể tích khối tứ diện ACA’B’ là

Hướng dẫn giải

Ta có CM ⊥ AB (vì tam giác ABC là tam giác đều)

⇒ CM ⊥ (AA’B’B) hay CM ⊥ (AA’B’)

⇒ CM = d(C, (AA’B’))

Vậy chọn đáp án A.

Câu 4: Cho khối lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và A’D bằng 2 và độ dài đường chéo của mặt bên bằng 5. Vẽ AK ⊥ A’D (K ∈ A’D). Lúc đó độ dài AK là

A. 1

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

AB // A’B’ ⇒ AB // (A’B’D)

⇒ d(A, (A’B’D)) = d(AB, A’D)

Ta có A’B’ ⊥ (AA’D’D)

⇒ A’B’ ⊥ AK

Ta còn có A’D ⊥ AK (giả thiết)

⇒ AK ⊥ (A’B’D)

Vậy AK = d(A, (A’B’D)) = d(AB, A’D) = 2.

Vậy chọn đáp án B.

Câu 5: Cho hình lăng trụ tam giác đều ABC.A’B’C’ có cạnh đáy bằng a. Mặt phẳng (ABC’) hợp với mặt phẳng (BCC’B’) một góc α. Diện tích xung quanh của khối lăng trụ là

Hướng dẫn giải

Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A lên BC, BC’.

Ta có AH ⊥ (BCC’B’) ⇒ AH ⊥ BC’

Do đó (AKH) ⊥ (BC’) ⇒ α = AKH

Tam giác AKH vuông tại H và nên

Đặt AA’ = x. Xét tam giác C’AB có:

Nên từ ta tính được

Diện tích xung quanh của khối lăng trụ .

Vậy chọn đáp án C.

Câu 6: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bên bằng 4a và đường chéo 5a. Tính thể tích khối lăng trụ này

A. 8a³

B. 9a³

C. 18a³

D. 21a³

Hướng dẫn giải

ABCD.A’ B’C’D’ là lăng trụ đứng nên BD² = BD’² − DD’² = 9a² ⇒ BD = 3a

ABCD là hình vuông

Suy ra

Vậy V = B.h = S_ABCD. AA’ = 18a³

Vậy chọn đáp án C.

Câu 7: Cho lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có cạnh đáy a và mặt phẳng (BDC’) hợp với đáy (ABCD) một góc 60°. Tính thể tích khối hộp chữ nhật.

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm của ABCD. Ta có ABCD là hình vuông nên OC ⊥ BD

CC’ ⊥(ABCD) nên OC’ ⊥ BD (đl 3 ⊥).

Vậy góc [(BDC’); (ABCD)] = COC’ = 60°

Ta có V = B.h = S_ABCD.CC’

ABCD là hình vuông nên SABCD = a²

∆OCC’ vuông nên . Vậy

Vậy chọn đáp án A.

Câu 8: Cho hình lăng trụ tứ giác đều ABCD.A’B’C’D’ có chiều cao bằng h và góc của hai đường chéo của hai mặt bên kề nhau phát xuất từ một đỉnh là α. Tính thể tích của lăng trụ theo h và α là

Hướng dẫn giải

Gọi x là cạnh của đáy, ta có

∆AB’D’:

Vậy

Vậy chọn đáp án C.

Câu 9: Tính thể tích lăng trụ đều ABC.A’B’C’ biết (ABC’) hợp với đáy góc 60° và diện tích tam giác ABC bằng

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm AB

⇒

⇒ ((ABC’), (ABC)) = (CH, C’H) = CHC’ = 60°

Xét ∆HCC’ vuông tại C:

Từ (1), (2) ⇒

(đvtt)

Vậy chọn đáp án C.

Dạng 3: Khối lăng trụ xiêng

Câu 1: Gọi V là thể tích khối hộp ABCD.A’B’C’D’ và V₁ là thể tích của khối tứ diện có cùng đáy và chiều cao với khối hộp. Hệ thức nào sau đây là đúng:

A. V = 6V₁

B. V = 5V₁

C. V = 4V₁

D. V = 3V₁

Hướng dẫn giải

Ta có:

Hay V = 6V₁.

Vậy chọn đáp án A.

Câu 2: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có thể tích V. Trên đáy A’B’C’ lấy điểm M bất kỳ. Thể tích khối chóp M.ABC tính theo V bằng

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vậy chọn đáp án C

Câu 3: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, đáy ABC có , BC = 3a, ACB = 30°. Cạnh bên hợp với mặt phẳng đáy góc 60° và mặt phẳng (A’BC) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Điểm H trên cạnh BC sao cho HC = 3BH và mặt phẳng (A’AH) vuông góc với mặt phẳng (ABC). Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

Suy ra A’AH = 60°

AH² = AC² + HC² − 2AC.HC.cos30° = a²⇒ AH = a

Vậy chọn đáp án B.

Câu 4: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’, ∆ABC đều có cạnh bằng a, AA’ = a và đỉnh A’ cách đều A, B, C. Gọi M là trung điểm của cạnh BC. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm tam giác đều ABC ⇒ A’O ⊥ (ABC)

Ta có

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 5: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác vuông tại B, AB = a, ACB = 30°; M là trung điểm cạnh AC. Góc giữa cạnh bên và mặt đáy của lăng trụ bằng 60°. Hình chiếu vuông góc của đỉnh A’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm H của BM. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là

Hướng dẫn giải

A’H ⊥ (ABC) ⇒ A’H là đường cao của hình lăng trụ.

AH là hình chiếu vuông góc của AA’ lên (ABC) ⇒ A’AH = 60°

V_{ABC.A ‘B’C’}= A’H.S_ABC

AC = 2a, MA = MB = AB = a

Vậy chọn đáp án A.

Câu 6: Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’ có AB = 2a, AC = a, , BAC = 120°. Hình chiếu vuông góc của C’ lên mặt phẳng (ABC) là trung điểm của cạnh BC. Tính thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a và tính số đo góc giữa hai mặt phẳng (ABC) và (ACC’A’).

Hướng dẫn giải

Gọi H là trung điểm BC. Từ giả thiết suy ra C’H ⊥ (ABC). Trong ∆ABC ta có:

Suy ra thể tích lăng trụ

Vậy chọn đáp án B.

Câu 7: Cho hình lăng trụ ABCD.A’B’C’D’ có đáy ABCD là hình vuông cạnh bằng a. Hình chiếu vuông góc của điểm A’ trên mặt phẳng ABCD là trung điểm I của cạnh AB. Biết A’C tạo với mặt phẳng đáy một góc α với . Thể tích khối chóp A’.ICD là

Hướng dẫn giải

Theo bài ra ta có IC là hình chiếu vuông góc của A’C trên mặt phẳng (ABCD). Suy ra (A’C, (ABCD)) = (A’C, CI) = A’CI = α

Xét tam giác vuông A’IC:

Thể tích khối chóp A’.ICD là:

(đvtt)

Vậy chọn đáp án A.

Câu 8: Cho khối lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ mà mặt bên ABB’A’ có diện tích bằng 4. Khoảng cách giữa cạnh CC’ và mặt (ABB’A’) bằng 7. Thể tích khối lăng trụ là

A. 10

B. 12

C. 14

D. 16

Hướng dẫn giải

Dựng khối hộp ABCD.A’B’C’D’ ta có:

Xem khối hộp ABCD.A’B’C’D’ là khối lăng trụ có hai đáy là ABB’A’ và DCC’D’.

Vậy V_{ABCD.A’B’C’D’}= S_ABB’A’.h

Trong đó: h = d((CDD’C’), (ABB’A’)) = d(CC’, (ABB’A’)) = 7

và S_ABB’A’ = 4 ⇒ .

Vậy chọn đáp án C.

Câu 9: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác đều cạnh a, và . Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ theo a là

Hướng dẫn giải

Gọi H là hình chiếu của A trên (ABC)

Vì A’A = A’B = A’C nên HA = HB = HC, suy ra H là tâm của tam giác đều ABC. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của BC, AB.

Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là:

Vậy chọn đáp án B.

Câu 10: Cho lăng trụ ABC.A’B’C’ có đáy ABC là tam giác cân AB = AC = a, BAC = 120° và AB’ vuông góc với đáy (A’B’C’). Mặt phẳng (AA’C’) tạo với mặt phẳng (ABC) một góc 30°. Thể tích khối lăng trụ ABC.A’B’C’ là