Toán lớp 10: Lý thuyết & 8 dạng bài tập viết PTĐT mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Lý thuyết & 8 dạng bài tập viết PTĐT. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Bài học phương trình đường thẳng dưới đây sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu tổng quan lý thuyết PTĐT như: Khái niệm vecto chỉ phương, vecto pháp tuyến, phương trình tham số – phương trình tổng quát của đường thẳng, góc giữa hai đường thẳng, khoảng cách và vị trí tương đối. Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp đọc giả nắm chắc thông qua 8 dạng bài tập đặc trưng, thiết kế từ cơ bản đến nâng cao phù hợp cho chương trình toán học lớp 10 hiện tại.

Tóm tắt

Lý thuyết phương trình đường thẳng

Vectơ chỉ phương của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆ nếu và giá của song song hoặc trùng với ∆.

Nhận xét. Một đường thẳng có vô số vectơ chỉ phương.

Phương trình tham số của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và có VTCP

⟶ Phương trình tham số của đường thẳng ∆ có dạng

Nhận xét. Nếu đường thẳng ∆ có VTCP thì có hệ số góc .

Vectơ pháp tuyến của đường thẳng

Vectơ được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆ nếu và vuông góc với vectơ chỉ phương của ∆.

Nhận xét.

– Một đường thẳng có vô số vectơ pháp tuyến.

– Nếu là một VTCP của ∆ ⟶ là một VTPT của ∆.

– Nếu là một VTPT của ∆ ⟶ là một VTPCT của ∆.

Phương trình tổng quát của đường thẳng

Đường thẳng ∆ đi qua điểm M₀(x₀; y₀) và có VTPT

⟶ Phương trình tổng quát của đường thẳng ∆ có dạng:

A(x – x₀) + B(y – y₀) hay Ax + By + C = 0 với C = –Ax₀ – By₀

Nhận xét.

– Nếu đường thẳng ∆ có VTPT thì có hệ số góc

– Nếu A, B, C đều khác 0 thì ta có thế đưa phương trình tổng quát về dạng:

với

Phương trình này được gọi là phương trình đường thẳng the đoạn chắn, đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a₀; 0) và N(0; b₀).

Vị trí tương đối của hai đường thẳng

Xét hai đường thẳng có phương trình tổng quát là:

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0

Tọa độ giao điểm của ∆₁ và ∆₂ là nghiệm của hệ phương trình:

– Nếu hệ có một nghiệm (x₀; y₀) thì ∆₁ cắt ∆₂ tại điểm M₀(x₀; y₀).

– Nếu hệ có vô số nghiệm thì ∆₁ trùng với ∆₂.

– Nếu hệ vô nghiệm thì ∆₁ và ∆₂ không có điểm chung, hay ∆₁ song song với ∆₂.

Cách khác: Xét tỉ số

– Nếu thì ∆₁ trùng với ∆₂.

– Nếu thì ∆₁ song song với ∆₂.

– Nếu thì ∆₁ cắt ∆₂.

Góc giữa hai đường thẳng

Cho hai đường thẳng

∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 có VTPT ;

∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 có VTPT .

Gọi α là góc tạo bởi giữa hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂.

Khi đó:

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng

Khoảng cách từ M₀(x₀; y₀) đến đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 được tính theo công thức:

Nhận xét

Cho hai đường thẳng ∆₁: a₁x + b₁y + c₁ = 0 và ∆₂: a₂x + b₂y + c₂ = 0 cắt nhau thì phương trình hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường thẳng trên là:

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Viết phương trình đường thẳng khi biết vectơ chỉ phương

Phương pháp giải

Đường thẳng đi qua điểm M(x₀; y₀; z₀) vectơ chỉ phương có:

– Phương trình tham số:

– Phương trình chính tắc là: với điều kiện abc ≠ 0

– Đường thẳng d có vectơ chỉ phương đã biết.

– Đường thẳng d song song đường thẳng ∆, suy ra .

– Đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P), suy ra .

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, phương trình đường thẳng qua điểm A(1; –2; 3) và trung điểm của BC với B(2; 1; –3) và C(2; 3; 5) là

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Trung điểm của BC là M(2; 2; 1) ⇒

⇒ d:

Câu 2. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(0; –1; 2); B(–2; 3; 5); C(4; 0; –7). Điểm M thuộc cạnh BC sao cho S_ABM = 2S_ACM. Phương trình đường thẳng AM là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta có: S_ABM = 2S_ACM và M thuộc cạnh BC nên

Phương trình đường thẳng AM là:

Dạng 2. Viết phương trình đường thẳng khi biết cặp vectơ pháp tuyến

Phương pháp giải

Nếu đường thẳng d có cặp vectơ pháp tuyến là và tức là thì .

Một số các trường hợp thường gặp:

– Đường thẳng d vuông góc hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂, suy ra .

– Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và (Q), suy ra .

– Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với thường thẳng ∆, suy ra .

– Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và song song với mặt phẳng (Q), suy ra .

– Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng ∆, suy ra .

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (P): x – y – z – 1 = 0. Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 1; −2), song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d.

Hướng dẫn giải

Suy ra phương trình đường thẳng ∆ là:

Câu 2. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho (P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x – y + z – 2 = 0 và điểm A(1; –2; 3). Phương trình nào đưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P) và (Q)?

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Đường thẳng cần tìm song song với (P) và (Q) nên

Do đó d:

Câu 3. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(–1; 0; 2) và song song với hai mặt phẳng (P): 2x – 3y + 6z + 4 = 0 và (Q): z + y – 2z + 4 = 0.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Ta có:

Đường thẳng d qua A(–1; 0; 2) và nhận là một VTCP.

Câu 4. Cho mặt phẳng (P): 4x – y – z – 1 = 0 và đường thẳng d: . Phương trình đường

thẳng qua A(1; 2; 3) song song với (P) đồng thời vuông góc với d là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta có:

Suy ra:

Do vậy ∆:

Câu 5. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho ba điểm A(1; 3; 2); B(1; 2; 1); C(1; 1; 3). Viết phương trình tham số của đường thẳng đi qua ∆ trọng tâm G của tam giác ABC và vuông góc với mặt phẳng (ABC).

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Giả sử G(x_G; y_G; z_G).

Khi đó:

Ta có:

Đường thẳng qua G và nhận là vtcp ⇒ ∆:

Câu 6. Trong không gian toạ độ Oxyz cho điểm M (–1; 1; 3) và hai đường thẳng ∆: ; ∆’: . Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua M, vuông góc với ∆ và ∆’?

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Các vtcp của ∆ và ∆’ lần lượt là: ⇒ vtcp của đường thẳng cần tìm là:

Câu 7. Trong không gian toạ độ Oxyz, cho điểm A(1; –2; 3) và hai mặt phẳng (P): x + y + z + 1 = 0, (Q): x – y + z – 2 = 0. Phương trình nào dưới đây là phương trình đường thẳng đi qua A, song song với (P), (Q)?

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Các vtpt của (P) và (Q) là: , vtcp của đường thẳng cần tìm là:

Câu 8. Cho 2 đường thẳng d₁: và d₂: . Phương trình đường thẳng đi qua A(−2; 3; 0) và vuông góc với cả d₁ và d₂?

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Gọi d là đường thẳng cần tìm. Ta có:

Khi đó:

Dạng 3. Lập phương trình đường thẳng d’ qua A cắt d và vuông góc với ∆ (hoặc song song với (P)

Phương pháp giải

Giả sử d’ cắt d tại điểm B, gọi tọa độ điểm B ∈ d theo tham số, ta có ⇒ tọa độ điểm B, phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý: Trong trường hợp d’ // (P) ta có

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆: . Lập phương trình đường thẳng d đi qua M, cắt và vuông góc với ∆.

Hướng dẫn giải

Ta có: . Gọi H(1 + 2t; –1 + t; –t) ∈ ∆ là giao điểm của d và ∆

Suy ra: , do

Do đó:

Câu 2. Cho điểm A(1; 2; –1) và đường thẳng d: . Phương trình đường thẳng qua A cắt và vuông góc với d là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Gọi H(2 + 2t; 1 + t; 3 + 2t) ∈ d

Ta có:

Câu 3. Trong không gian tọa độ, cho điểm A(1; 2; 3) và đường thẳng d: . Đường thẳng qua A, vuông góc với d và cắt Ox có phương trình là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi ∆ là đường thẳng cần tìm, ta có B = ∆ ∩ Ox ⇒ B(x; 0; 0)

Khi đó:

Do ∆ ⊥ d

Vậy ∆:

Câu 4. Cho đường thẳng d: . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0; 2), vuông góc và cắt d.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi H(1 + t; t; –1 + 2t) ∈ d là hình chiếu của điểm A trên đường thẳng d

Ta có: suy ra

Suy ra:

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0) và đường thẳng ∆: . Phương trình tham số của đường thẳng d đi qua điểm M, cắt và vuông góc với ∆ là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Giả sử d cắt và vuông góc với ∆ tại H(1 + 2t; –1 + t; –t) ∈ ∆

Khi đó: , do

Vậy d:

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho điểm A(1; 2; 3) và mặt phẳng (P): 2x + y – 4z + 1 = 0. Đường thẳng (d) qua điểm A, song song với mặt phẳng (P), đồng thời cắt trục Oz. Viết phương trình tham số của đường thẳng (d).

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Giả sử đường thẳng cắt trục Oz tại B(0; 0; a). Ta có:

Mà d song song với (P)

Khi đó:

Câu 7. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho các điểm A(1; 2; 3) và hai đường thẳng d₁: ; d₂: . Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A, vuông góc với d₁ và cắt d₂:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Gọi (P) là mặt phẳng qua A(1; 2; 3) và vuông góc với d₁

Khi đó gọi B = (P) ∩ d₂. Tọa độ điểm B là nghiệm của hệ PT sau:

⇒ B(2; –1; –2)

Đường thẳng cần lập chính là đường thẳng AB: qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương

là đường thẳng cần tìm.

Chú ý: Đối với bài toán viết phương trình đường thằng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d ta làm như sau:

– Bước 1: Tìm giao điểm A của d và mặt phẳng (P)

– Bước 2: Do , đường thẳng cần tìm đi qua A và có vectơ chỉ phương là

Câu 8. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + 2y + z – 4 = 0 và đường thẳng có phương trình d: . Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi M = ∆ ∩ (d) ⇒ M ∈ d ⇒ M(2t – 1; t; 3t – 2)

Mà M ∈ (P)

⇔ 2t – 1 + 2t + 3t – 2 – 4 = 0

⇔ t = 1 ⇒ M(1; 1; 1)

Ta có:

⇒ Phương trình ∆:

Câu 9. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho mặt phẳng (P): x + y – z + 1 = 0 và đường thẳng có phương trình d: . Phương trình đường thẳng ∆ nằm trong mặt phẳng (P), đồng thời cắt và vuông góc với đường thẳng d là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Gọi M = ∆ ∩ (d) ⇒ M ∈ d ⇒ M(–1 + 2t; –t; –2 + 2t)

Mà M ∈ (P)

⇔ (–1 + 2t) + (–t) – (–2 + 2t) + 1 = 0

⇔ t = 2 ⇒ M(3; –2; 2)

Ta có:

⇒ Phương trình ∆:

Câu 10. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho đường thẳng d: và mặt phẳng (α): x + y – z – 2 = 0. Đường thẳng nào dưới đây nằm trong (α), đồng thời vuông góc và cắt d.

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi d’ là đường thẳng cần tìm, gọi A = d ∩ (α) ⇒ A ∈ d’

Ta có d:

⇒ A(t + 1; 2t + 2; t + 3)

Mà A ∈ (α)

⇒ (t + 1) + (2t + 2) – (t + 3) – 2 = 0

⇔ t = 1 ⇒ A(2; 4; 4)

Lại có:

là một VTCP của d’

Kết hợp với d’ qua A(2; 4; 4)

Dạng 4. Lập phương trình đường thẳng ∆ cắt d₁ và d₂ đồng thời song song với d (hoặc vuông góc với (P), hoặc đi qua điểm M).

Phương pháp giải

Giả sử ∆ cắt d₁ và d₂ lần lượt tại A và B, ta tham số hóa 2 điểm A ∈ d₁; B ∈ d₂ theo ẩn t và u.

⇒ Tọa độ các điểm A,B.

Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Chú ý:

– Trường hợp: ∆ ⊥ (P) ⇒ ⇒ t và u

– Trường hợp: ∆ đi qua điểm M ⇒ M, A, B thẳng hàng ta giải ⇒ t, u và k.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, viết phương trình đường thẳng d vuông góc với mặt phẳng (P): x + y + z – 1 = 0 đồng thời cắt cả hai đường thẳng d₁: và d₂:

Hướng dẫn giải

Lấy M ∈ d₁ ⇒ M(1 + 2t; –1 – t; t), N ∈ d₂ ⇒ N(–1 + u; –1; –u)

Suy ra:

Do d ⊥ (P)

Phương trình đường thẳng d là d₁:

Câu 2. Phương trình đường thẳng d đi qua A(1; –1; 1) biết d cắt cả hai đường d₁: và d₂:

Hướng dẫn giải

Gọi B(1 + 2u; –3 – u; –1 + 2u) ∈ d₁ và C(2 – t; t; 3t) ∈ d₂

Ta có: ;

Do A, B, C thẳng hàng nên

Suy ra:

Câu 3. Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng d₁: và d₂: và mặt phẳng (P): x + 2y + 3z – 5 = 0. Đường thẳng vuông góc với (P) cắt d₁ và d₂ có phương trình là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Giả sử đường thẳng d cắt d₁, d₂ lần lượt tại M, N

⇒ M(1 – t₁; 3 – 2t₁; –2 + t₁), N(5 – 3t₂; –1 + 2t₂; 2 + t₂)

Ta có:

Và

Mà d vuông góc với (P) nên

Câu 4. Phương trình đường thằng song song với đường thẳng d: và cắt hai đường thẳng d₁: và d₂:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Gọi A(–1 + 2t; –1 + t; 2 – t) ∈ d₁ và B(1 – u; 2 + u; 3 + 3u) ∈ d₂

Khi đó:

Do AB // d

Câu 5. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz , cho hai đường thẳng d₁, d₂ có phương trình lần lượt là và (t ∈ ℝ). Phương trình đường thẳng vuông góc với (P): 7x + y – 4z = 0 và cắt cả hai đường thẳng d₁, d₂ là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Giả sử d ∩ d₁ = A ⇒ A ∈ d₁ nên A(2u; 1 – u; u – 2)

d ∩ d₂ = B ⇒ B ∈ d₂ nên B(2t – 1; t + 1; 3)

Vì thế là vectơ chỉ phương của d.

Do d ⊥ (P) nên ở đây là vectơ pháp tuyến của mp (P)

Từ đó có hệ phương trình:

và đường thẳng d đi qua điểm A(2; 0; –1) nên (d):

Câu 6. Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz, cho bốn đường thẳng d₁: ; d₂: ; d₃: ; d₄: . Gọi ∆ là đường thẳng cắt cả bốn đường thẳng. Vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương của ∆?

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Ta có: và

Suy ra:

Phương trình mặt phẳng (P) chứa (d₁), (d₂) là y + z – 2 = 0

Gọi A = (d₃) ∩ (P) ⇒

Và B = (d₄) ∩ (P) ⇒ B(4; 2; 0) →

Khi đó: và không cùng phương ⇒ AB cắt đường thẳng (d₁), (d₂)

Vậy là vectơ chỉ phương của đường thẳng cắt (d₁), (d₂), (d₃), (d₄).

Câu 7. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho điểm M(3; 3; –2) và hai đường thẳng d₁: ; d₂: . Đường thẳng d qua M và cắt d₁, d₂ lần lượt tại A và B. Độ dài đoạn thẳng AB bằng:

A 3

B 2

C 6

D 5

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi A(1 + t; 2 + 3t; t) ∈ d₁; B(–1 – u; 1 + 2u; 2 + 4u) ∈ d₂

Ta có:

Giải hệ với ẩn t, k và ku

Dạng 5. Viết phương trình đường phân giác của 2 đường thẳng

Phương pháp giải

Giả sử cần viết phương trình đường phân giác d’ của góc nhọn tạo bởi d và ∆

– Bước 1: Tìm giao điểm A = d ∩ ∆

Tính và

Kiểm tra góc giữa , nếu là góc nhọn và nếu là góc tù.

– Bước 2: Nếu là góc nhọn thì

Nếu là góc tù thì

Cách 2: Lấy điểm B thuộc d, tìm điểm C trên ∆ sao cho AB = AC

Ta được 2 điểm C ∈ ∆ thỏa mãn AB = AC

⟹ Chọn Diểm C sao cho là góc nhọn, đường thẳng d’ qua trung điểm I của BC và có vectơ chỉ phương là .

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng d: . Gọi ∆ là đường thẳng qua A(1; 1; 1) và có vectơ chỉ phương . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại A(1; 1; 1)

Ta có: và

Do là góc tù

Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:

Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là d’: hay

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho đường thẳng d: . Gọi ∆ là đường thẳng qua A(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương . Đường phân giác của góc nhọn tạo bởi d và ∆ có phương trình là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Đường thẳng d và ∆ cắt nhau tại A(1; 2; 3)

Ta có: và

Do là góc tù

Một VTCP của đường phân giác d’ cần lập là:

Vậy phương trình đường phân giác cần tìm là hay

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình đường phân giác ∆ của góc nhọn tạo bởi hai đường thẳng cắt nhau d₁: và d₂:

C hoặc

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Dễ thấy d₁, d₂ cắt nhau tại A(2; –1; 1). Lấy điểm B(4; 1; 2) ∈ d₁ khi đó AB = 3

Gọi C(2 + 2t; –1 – 2t; 1 + t) ∈ d₂. Giải: AB = AC

Ta lấy điểm C(4; –3; 2) nên nhọn (như vậy trường hợp C(0; 1; 0) sẽ bị loại)

Trung điểm của BC là I(4; –1; 2) suy ra phân giác góc nhọn là

Câu 4. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho hai đường thẳng ∆₁: và ∆₂: cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (P). Lập phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi ∆₁ và ∆₂ nằm trong mặt phẳng (P).

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn D

Gọi A(1; 1; 1) là giao điểm của (∆₁),( ∆₂)

Ta có: và

Phương trình đường phân giác d của góc nhọn tạo bởi ∆₁ và ∆₂ là:

Dạng 6. Viết phương trình đường thẳng liên quan đến góc và khoảng cách

Phương pháp giải

– Giả sử đường thẳng cần lập có một vectơ chỉ phương là

– Đường thẳng d song song với (P) hoặc vuông góc với ∆

Khi đó ta có:

– Từ các dữ liệu về góc, khoảng cách ta được một phương trình đẳng cấp bậc hai theo các ẩn a, b, c.

Thay a = f(b, c) vào phương trình này, giải ra được b = m.c hoặc b = n.c

⟹ Chọn C = 1, từ đó tìm được các giá trị tương ứng của a và b ⇒ phương trình mặt phẳng (P) cần lập.

Chú ý: Phương trình đẳng cấp bậc hai là phương trình có dạng

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, lập phương trình đường thẳng ∆ đi qua điểm A(–9; 0; 0), nằm trong mặt phẳng (P): x + 2y – 2z + 9 = 0 và tiếp xúc với mặt cầu có phương trình (S): x² + y² + z² – 4x + 2y – 4 = 0.

Hướng dẫn giải

Đường thẳng ∆ có vectơ chỉ phương

Mặt (S): x² + y² + z² – 4x + 2y – 4 = 0 có tâm I(2; –1;0), R = 3.

Do ∆ ∈ (P)

Ta có: và

Điều kiện để ∆ tiếp xúc với (S):

Suy ra: , phương trình đường thẳng ∆ là

Câu 2. Cho hai đường thẳng d: và d’: . Phương trình đường thẳng thuộc mặt phẳng chứa d và d’ đồng thời cách đều hai đường thẳng đó là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Dễ thấy d // d’, đường thẳng ∆ cần tìm cách đều d và d’ nên ∆ // d ⇒

Đường thẳng d đi qua điểm A(2; –3; 4), đường thẳng d’ qua điểm B(4; –1; 0)

Trung điểm của AB là: I(3; –2; 2)

Khi đó ∆ qua I(3; –2; 2) và có VTCP: nên ∆:

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, cho mặt cầu (S): (x + 1)² + (y – 1)² + z² = 9 và điểm A(1; 0; –2). Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A và tạo với trục Ox một góc α sao cho là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆

Mặt cầu (S) có tâm I(–1; 1; 0). Vì đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại A nên:

Mặt khác đường thẳng ∆ tạo với trục Ox một góc α với nên

Từ (1) và (2) ta có phương trình 85a² + 8ac – 5c² = 0 (3)

Với c = 0, suy ra a = 0, b = 0 (không thỏa mãn)

Với c ≠ 0 , ta có:

– Với , ta ⟹ Chọn A = 1, c = 5 ⇒ b = –8. Suy ra phương trình

– Với , ta ⟹ Chọn A = 5, c = –17 ⇒ b = 44. Suy ra phương trình

Câu 4. Trong không gian tọa độ cho mặt cầu (S): (x – 1)² + (y + 2)² + z² = 9 và điểm M(2; 0; –2). Phương trình đường thẳng d tiếp xúc với (S) tại M và tạo với mặt phẳng (P): x + y – 3 = 0 một góc 30° là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Gọi là vectơ chỉ phương của đường thẳng d

Mặt cầu (S) có tâm I(1; –2; 0). Vì đường thẳng d tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M nên:

Ta có:

Mặt khác đường thẳng d tạo với mặt phẳng (P) một góc 30° nên:

Ta có:

– Với b = c ⟹ Chọn B = c = 1; a = 0 ta có d:

– Với b = –c ⟹ Chọn B = –1; c = 1; a = 4 ta có d:

Câu 5. Trong không gian tọa độ cho mặt cầu x² + y² + z² – 4x + 2y + 6z – 12 = 0 và đường thẳng (d): . Phương trình đường thẳng ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại điểm M(5; 0; 1) và ∆ tạo với d góc φ sao cho là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta có (S): (x – 2)² + (y + 1)² + (z + 3)² = 26

⇒ (S) có tâm I(2; –1; –3) và bán kính

là 1 VTCP của d.

Giả sử là 1 VTCP của đường thẳng ∆, (a² + b² + c² ≠ 0)

Do ∆ tiếp xúc với mặt cầu (S) tại M

Mà góc giữa đường thẳng ∆ và đường thẳng d bằng φ

Thay (1) và (2) ta được:

Với a = –3c, do a² + b² + c² ≠ 0 ⇒ c ≠ 0. ⟹ Chọn C = –1 ⇒ a = 3; b = –5 ⇒ ∆:

Với a = c. ⟹ Chọn C = –11 ⇒ a = 13; b = 5 ⇒ ∆:

Dạng 7. Viết phương trình đường thẳng vuông góc chung của 2 đường thẳng chéo nhau

Phương pháp giải

Giả sử lập phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng d₁; d₂. Ta thực hiện như sau:

– Chuyển đường d₁ và d₂ về dạng tham số t và u

– Tham số hóa 2 điểm A ∈ d₁ và B ∈ d₂ theo 2 ẩn t và u.

– Do d là đường vuông góc chung của d₁; d₂ nên

Phương trình đường thẳng cần tìm là AB.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Viết phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ biết d₁: và d₂:

Hướng dẫn giải

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là và

Gọi A(1 + t; 0; –5 + t) ∈ d₁ và B(0; 4 – 2u; 5 + 3u) ∈ d₂ suy ra

Do d là đường vuông góc chung của d₁, d₂ nên

Phương trình đường thẳng AB là d:

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng d₁: và d₂: . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ là:

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là và

Gọi M(2 + 2t; 1 – t; 2 + t) ∈ d₁ và N(u; 4 – u; 1 + u) ∈ d₂

Khi đó:

Suy ra:

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz cho hai đường thẳng d₁: và d₂: . Phương trình đường vuông góc chung của hai đường thẳng chéo nhau d₁ và d₂ đi qua điểm nào trong các điểm sau:

A A(3; 1; –4)

B B(1; –1; –4)

C C(2; 0; 1)

D D(0; –2; –5)

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn A

Vectơ chỉ phương của đường thẳng d₁ và d₂ lần lượt là và

Gọi M(–1 + 2t; –2 + t; 1 + t) ∈ d₁ và N(–2 – 4u; 1 + u; –2 – u) ∈ d₂

Khi đó:

Suy ra:

Dạng 8. Viết phương trình đường thẳng ∆ là hình chiếu vuông góc của d lên mặt phẳng (P)

Phương pháp giải

Cách 1:

– Bước 1: Viết phương trình mặt phẳng (α) chứa d và vuông góc với (P)

Khi đó:

– Bước 2: Viết phương trình đường thẳng ∆ = (α) ∩ (P)

Cách 2: Lấy điểm A ∈ d, tìm tọa độ hình chiếu H của A trên d, khi đó ∆ qua H

Do ∆ ⊥ (α) và ∆ ⊂ (P)

Chú ý: Trong trường hợp d cắt (P) ta lấy điểm A = d ∩ (P)

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d: trên mặt phẳng (P): x – y + z – 1 = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi A(1 – t; 2 + 2t; –1 – t) = d ∩ (P) ⇒ A ∈ (P)

⇒ 1 – t – 2 – 2t – 1 – t – 1 = 0 ⇒ t =

Suy ra: và

Vậy ∆:

Câu 2. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, viết phương trình hình chiếu của đường thẳng d: trên mặt phẳng (P): 2x + y – 3z + 5 = 0.

Hướng dẫn giải

Gọi A(2 + t; –1 + 3t; 3 + 2t) = d ∩ (P) ⇒ A ∈ (P)

⇒ 4 + 2t – 1 + 3t – 9 – 6t + 5 = 0

⇒ t = –1

Suy ra A(1; –4; 1) và

Vậy ∆:

Câu 3. Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxỵz, phương trình nào dưới đây là phương trình hình chiếu của đường thẳng d: H358 trên mặt phẳng (P): x – 3y + 2z + 6 = 0.