Toán lớp 10: Tổng hợp lý thuyết & các dạng toán mới nhất 2023

Hàm số bậc nhất (còn gọi là hàm tuyến tính) là hàm số của một hay nhiều biến dưới dạng đa thức với bậc cao nhất của các biến là 1. Trường hợp 3 biến hàm số sẽ ở dạng: y = ax + by + cz. Trong bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết về hàm số bậc nhất 1 biến có dạng y = ax + b thông qua phần lý thuyết và các dạng toán đặc trưng. Và hàm số này cũng là một điểm kiến thức quan trọng trong chương trình toán 10 theo phân phối chương trình chuẩn hiện nay.

Lý thuyết hàm y = ax + b

Định nghĩa 1

Hàm số y = ax + b với a ≠ 0 gọi là hàm số bậc nhất.

– Hàm số y = ax + b đồng biến trên ℝ nếu a > 0, nghịch biến trên ℝ nếu a < 0.

– Đồ thị của hàm số y = ax + b, a ≠ 0 là một đường thẳng không song song và không trùng với các trục toạ độ. Đồ thị hàm số y = ax + b còn gọi là đường thẳng y = ax + b, trong đó a gọi là hệ số góc của đường thẳng.

– Hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ song song với nhau nếu a = a’ và b ≠ b’.

– Hai đường thẳng y = ax + b, a ≠ 0 và y = a’x + b’, a’ ≠ 0 vuông góc với nhau nếu aa’ = −1.

Định nghĩa 2

Hàm số y = b gọi là hàm số hằng.

– Hàm số y = b có giá trị không đổi trên ℝ.

– Đồ thị của hàm số y = b là một đường thẳng song song hoặc trùng với trục hoành.

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Phương pháp giải

Để vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất y = ax + b, ta tìm hai điểm phân biệt mà đồ thị đi qua. Sau đó vẽ một đường thẳng đi qua hai điểm đó. Thông thường ta chọn hai điểm (0; b) và .

Đặc biệt: Đồ thị của hàm số hằng y = b là một đường thẳng vuông góc và cắt trục tung tại điểm (0; b).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3x − 4.

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm (0; −4) và .

Câu 2. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm (0; 2) và (3; 0).

Câu 3. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số đã cho đi qua hai điểm (0; 0) và .

Câu 4. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số đã cho vuông góc với trục tung tại điểm .

Câu 5. Vẽ đồ thị của hàm số y = −2x + 5.

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 6. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 7. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 8. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 9. Vẽ đồ thị của hàm số .

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 10. Vẽ đồ thị của hàm số y = −2(x − 1) + 1.

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 11. Vẽ đồ thị của hàm số

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Dạng 2. Xác định hệ số a và b của số bậc nhất

Phương pháp giải

Dựa vào các yếu tố điểm thuộc đường, lý thuyết hai đường song song, vuông góc, hệ số góc, giao điểm của hai đường để tìm ra mối quan hệ giữa a và b.

Những điểm cần chú ý:

– Nếu có hai tham số a, b chưa biết thì ta cần tìm hai quan hệ của a, b độc lập để giải hệ phương trình tìm a, b.

– Nếu điểm M(x_M; y_M) thuộc đường thẳng d: y = ax + b thì ta có y_M = ax_M + b.

– Cho (d): y = ax + b và (d’): y = a’x + b’.

Nếu (d) // (d’) thì

Nếu (d) ⊥ (d’) thì

– Nếu cho hệ số góc k tức là cho hệ số a của đường thẳng (d): y = ax + b.

– Nếu cho góc của đường thẳng (d): y = ax + b tạo với trục hoành là α thì ta hiểu là cho a = tan(α).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = x + b. Tìm b biết (d) đi qua điểm M(1; 2).

Hướng dẫn giải

Vì M ∈ (d) nên ta có 2 = 1 + b ⇔ b = 1.

Vậy: b = 1 tức là (d) có phương trình là y = x + 1.

Câu 2. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(−1; 2) và B(2; 3).

Hướng dẫn giải

Vì A, B ∈ (d) nên ta có

Vậy: a = và b = tức là (d) có phương trình là

Câu 3. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(−1; −2) và có hệ số góc là 3.

Hướng dẫn giải

Vì A ∈ (d) nên ta có −2 = a⋅(−1) + b

Mặt khác ta có hệ số góc là 3 nên a = 3 ⇒ b = 1.

Vậy: a = 3 và b = 1 tức là (d) có phương trình là y = 3x + 1.

Câu 4. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm A(−3; 2) và song song với (∆): y = −x + 2.

Hướng dẫn giải

Vì A ∈ (d) nên ta có 2 = a⋅(−3) + b

Mặt khác ta có ∆ // (d) nên a = −1 ⇒ b = −1 (nhận vì b ≠ 2).

Vậy: (d) có phương trình là y = −x − 1.

Câu 5. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm M(2; 5) và vuông góc với (∆): .

Hướng dẫn giải

Vì M ∈ (d) nên ta có 5 = a⋅2 + b

Mặt khác ta có ∆ ⊥ (d) nên

Vậy: (d) có phương trình là y = 2x + 1.

Câu 6. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là 3 và đi qua điểm A(1; 2).

Hướng dẫn giải

Vì (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là

và A ∈ (d) nên 2 = a⋅1 + b

Do đó:

Vậy: (d) có phương trình là y = −x + 3.

Câu 7. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = f(x) = ax + b. Tìm a, b biết đường thẳng d đi qua giao điểm của (d₁): y = x + 1 và (d₂): y = −2x + 1 và điểm B(−1; 2).

Hướng dẫn giải

Gọi A là giao điểm của d₁ và d₂.

Ta có:

Nên 1 = a⋅0 + b ⇔ b = 1.

Mặt khác B ∈ (d) ⇒ 2 = a(−1) + b ⇒ a = −1.

Vậy: a = ; b = tức là (d) có phương trình là .

Câu 8. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = f(x) = ax + b. Tìm a, b biết phương trình f(x + 1) = 0 có nghiệm là x = 2 và f(2x + 1) = 3 là có nghiệm là x = −1.

Hướng dẫn giải

Vì phương trình f(x + 1) = 0 có nghiệm là x = 2 nên a(2 + 1) + b = 0 ⇔ 3a + b = 0

Và phương trình f(2x + 1) = 3 là x = −1 nên a[2⋅(−1) + 1] + b = 3 ⇔ −a + b = 3.

Do đó:

Vậy: a = ; b = tức là (d) có phương trình là .

Câu 9. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất và đi qua điểm A(3; 1).

Hướng dẫn giải

Vì A ∈ (d) nên ta có 1 = a⋅3 + b và (d) song song với đường phân giác góc phần tư thứ nhất (y = x) nên a = 1 ⇒ b = −2.

Vậy: a = 1, b = −2.

Câu 10. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(1; 2) và gốc toạ độ O.

Hướng dẫn giải

Vì A, O ∈ (d) nên ta có:

Vậy: a = 2 và b = 0.

Câu 11. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm a, b biết (d) đi qua điểm A(1; −2) và (d) tạo với Ox một góc là 45°.

Hướng dẫn giải

Vì A ∈ (d) nên ta có −2 = a.1 + b.

Mặt khác ta có hệ số góc là a = tan(45°) = 1 ⇒ b = −3.

Vậy: a = 1 và b = −3 tức là (d) có phương trình là y = x − 3.

Câu 12. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm A(3; 2) và song song với Ox.

Hướng dẫn giải

Vì A ∈ (d) nên ta có 2 = a⋅3 + b.

Mặt khác ta có (Ox) // (d) nên a = 0 ⇒ b = 2 (nhận vì b ≠ 0).

Vậy: (d) có phương trình là y = 2.

Câu 13. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) đi qua điểm M(2; 1) và vuông góc với (∆): y = 3x + 2.

Hướng dẫn giải

Vì M ∈ (d) nên ta có 1 = a⋅2 + b.

Mặt khác ta có ∆ ⊥ (d) nên

Vậy: (d) có phương trình là .

Câu 14. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = ax + b. Tìm phương trình (d) biết (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là 2 và cắt trục Oy với tung độ là 3.

Hướng dẫn giải

Vì (d) cắt Ox tại điểm có hoành độ là

Và (d) cắt Oy tại điểm có tung độ là .

Do đó:

Vậy: (d) có phương trình là

Câu 15. Cho đường thẳng (d) có phương trình y = f(x) = ax + b. Tìm phương trình a, b biết phương trình f(x + 1) = 0 có nghiệm là x = 1 và f(2) = 3.

Hướng dẫn giải

Vì phương trình f(x + 1) = 0 có nghiệm là x = 1 nên a(1 + 1) + b = 0 ⇔ 2a + b = 0

Và f(−1) = 3 ⇔ −a + b = 3.

Do đó:

Vậy: a = −1; b = 2 tức là (d) có phương trình là y = −x + 2.

Dạng 3. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số bậc nhất có chứa giá trị tuyệt đối

Phương pháp giải

Để vẽ đồ thị hàm số y = |x| ta sử dụng định nghĩa của giá trị tuyệt đối:

Sau đó ta xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho trên từng khoảng (−∞; 0) và (0; +∞).

Bài tập vận dụng

Câu 1. Vẽ đồ thị của hàm số y = 3|x| − 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; −2), (−1; 1) và (1; 1).

Câu 2. Vẽ đồ thị của hàm số y = |x| − 2x.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Đồ thị hàm số đi qua các điểm (0; 0), (−1; 3) và (1; −1).

Câu 3. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = |2x + 3|.

Hướng dẫn giải

Ta có:

Bảng biến thiên

Đồ thị hàm số đi qua các điểm , (0; 3) và (−3; 3).

Câu 4. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2|x| + 1.

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 5. Vẽ đồ thị của hàm số y = 2x + |x|.

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 6. Vẽ đồ thị của hàm số y = |3x − 4|.

Hướng dẫn giải

Đồ thị như hình vẽ

Câu 7. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −3|x + 1|.

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên

Câu 8. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −12|2x + 1| + 32.

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên

Câu 9. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = |x| − 2|x + 1| + 1.

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên

Câu 10. Lập bảng biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = 2|x + 1| − |x − 1|.

Hướng dẫn giải

Bảng biến thiên

Dạng 4. Vẽ đồ thị hàm số cho bởi hệ nhiều công thức

Phương pháp giải

Vẽ đồ thị hàm số trùng với từng đồ thị hàm số thành phần tương ứng với điều kiện x ở phía sau.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Vẽ đồ thị hàm số:

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số là sự “lắp ghép” của 2 đồ thị:

– Đồ thị hàm số y = x (chỉ lấy phần ứng với x ≥ 0).

– Đồ thị hàm số y = −x (chỉ lấy phần ứng với x < 0).

Ta dễ dàng thấy được, đồ thị của hàm số đã cho là sự lắp ghép của 2 tia phân giác của góc phần tư thứ (I) và (II), chúng đối xứng với nhau qua trục Oy.

Câu 2. Vẽ đồ thị hàm số:

Hướng dẫn giải

Đồ thị hàm số

– Trùng với đồ thị hàm số y = −2x + 3 trên (2; +∞].

– Trùng với đồ thị hàm số y = −1 trên [−3; 2].

– Trùng với đồ thị hàm số y = x + 2 trong (–∞; –3).

Câu 3. Cho hàm số:

a) Tìm tập xác định và vẽ đồ thị hàm số trên.

b) Cho biết sự biến thiên của hàm số đã cho trên mỗi khoảng (−∞; 1);(−1; 1);(1; +∞) và lập bảng biến thiên.

Hướng dẫn giải

a) TXĐ: D = ℝ

Đồ thị hàm số

– Trùng với đồ thị hàm số y = 2x + 4 nếu x ≤ −1.

– Trùng với đồ thị hàm số y = −2x nếu −1 < x ≤ 1.

– Trùng với đồ thị hàm số y = x − 3 nếu x > 1.

b) Trên khoảng (−2; −1) và (1; 3) hàm số đồng biến.

Trên khoảng (−1; 1) hàm số nghịch biến.

Bảng biến thiên

Câu 4. Vẽ đồ thị hàm số:

Hướng dẫn giải

Với x ≥ 2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 3x − 6.

Với x < 2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 6 − 3x.

Câu 5. Vẽ đồ thị hàm số:

Hướng dẫn giải

Với 0 ≤ x < 2: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = x + 1.

Với 2 ≤ x ≤ 4: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng

Với 4 < x ≤ 5: Đồ thị hàm số trùng với đường thẳng y = 2x − 6.

Dạng 5. Sự tương giao giữa các đường thẳng

Phương pháp giải

– Cho 2 đường thẳng d₁: y = a₁x + b₁ và d₂: y = a₂x + b₂ (a₁ ≠ 0; a₂ ≠ 0)

– d₁ cắt d₂ ⇔ a₁ ≠ a₂.

– d₁ // d₂ ⇔ a₁ = a₂ và b₁ ≠ b₂.

– d₁ ≡ d₂ ⇔ a₁ = a₂ và b₁ = b₂.

– d₁ ⊥ d₂ ⇔ a₁⋅a₂ = −1.

– d₁ cắt d₂ tại một điểm trên trục tung ⇔ a₁ ≠ a₂ và b₁ = b₂.

– Để chứng minh 3 đường thẳng đồng quy, ta chứng minh 2 trong 3 đường thẳng cắt nhau và giao điểm của chúng thuộc đường còn lại.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm các cặp đường thẳng song song trong các đường thẳng đã cho sau đây.

a) d₁:

b) d₂: 3y − 6x + 1 = 0.

c) d₃: y = −0,5x − 4.

d) d₄: 2y + x = 6.

e) d₅: 2x − y = 1.

f) d₆: y = 0,5x + 1.

Hướng dẫn giải

Đưa mỗi đường thẳng về dạng: y = ax + b

a) d₁:

b) d₂:

c) d₃: y = −0,5x − 4.

d) d₄:

e) d₅: y = 2x − 1.

f) d₆: y = 0,5x + 1.

Các cặp đường thẳng song song là d₁ và d₆; d₂ và d₅; d₃ và d₄.

Câu 2. Tìm giao điểm của 2 đường thẳng d₁: y = x − 5 và d₂: y = 1 + 3x.

Hướng dẫn giải

Phương trình hoành độ giao điểm của d₁ và d₂:

x − 5 = 1 + 3x ⇔ 2x = −6 ⇔ x = −3.

Giao điểm của d₁ và d₂ là (−3; −8).

Câu 3. Tìm giao điểm của đường thẳng d: y = 1 + 2x với

a) Trục Ox.

b) Trục Oy.

Hướng dẫn giải

a) Trục Ox: y = 0.

Giao điểm của đường thẳng d: y = 1 + 2x với Ox là

b) Trục Oy: x = 0.

Giao điểm của đường thẳng d: y = 1 + 2x với Oy là B(0; 1).

Câu 4. Cho 2 đường thẳng: d₁: y = mx + 3 và d₂: y = (2m + 1)x − 5. Tìm m để

a) d₁ // d₂.

b) d₁ cắt d₂.

Hướng dẫn giải

a) d₁ // d₂

b) d₁ cắt d₂ ⇔ m ≠ 2m + 1 ⇔ m ≠ −1.

Câu 5. Cho d₁: y = mx − m + 2; d₂: y = (m − 3)x + m. Tìm m để d₁ cắt d₂ tại 1 điểm trên trục tung.

Hướng dẫn giải

d₁ cắt d₂ tại 1 điểm trên trục tung

Câu 6. Cho d₁: y = 2x − 6; d₂: y = −x + 3.

a) Tìm tọa độ giao điểm A của d₁ và d₂.

b) d₁ và d₂ cắt trục tung tại B và C. Tính diện tích ∆ABC.

Hướng dẫn giải

a) Phương trình hoành độ giao điểm của d₁ và d₂ là

2x − 6 = −x + 3 ⇔ x = 3.

Với x = 3 ⇒ y = 0.

Vậy tọa độ giao điểm A của d₁ và d₂ là (3; 0).

b) d₁ và d₂ lần lượt cắt trục tung tại B và C.

Dễ dàng suy ra được tọa độ của B và C là B(0; −6) và C(0; 3).

Diện tích (đvdt).

Câu 7. Cho đường thẳng d: y = (m² − 2)x + m − 1. Xác định giá trị của m sao cho

a) d song song với d₁: y = 2x + 1.

b) d cắt d₂: y = m(2x − 1) + 3 + x.

Hướng dẫn giải

a) m = −2.

b)

Câu 8. Cho 2 đường thẳng: (d₁): y = (m + 2)x − 3; (d₂): y = 4x + 2m + 1. Tìm m để d₁ cắt d₂ tại 1 điểm trên trục tung.

Hướng dẫn giải

Không tồn tại giá trị m thỏa mãn điều kiện bài toán.

Câu 9. Cho 3 đường thẳng: (d₁): y = 2x; (d₂): y = x + 1; (d₃): y = (m − 2)x + 2m + 1. Tìm m để

a) d₁ ⊥ d₃.

b) d₁, d₂, d₃ đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) m = .

b) m = 1.

Câu 10. Tìm m để 3 đường thẳng sau phân biệt và đồng quy.

a) d₁: y = 2x, d₂: y = −3 − x, d₃: y = mx + 5.

b) d₁: y = −5(x + 1), d₂: y = mx + 3, d₃: y = 3x + m.

c) d₁: y = x + 2m, d₂: y = 3x + 2, d₃: y = −mx + 2.

Hướng dẫn giải

a) m = 7.

b) m = −13.

c) m = 1.

Câu 11. Cho (d) có phương trình y = ax + b và (d₁): y = x + 1;(d₂): y = 2x + 1.

a) Tìm giao điểm M của (d₁) và (d₂).

b) Tìm phương trình đường thẳng (d), biết (d) cắt (d₁) tại A(1; 2) và cắt (d₂) tại B(−1; 3).

Hướng dẫn giải

a) Xét

Vậy: M(0; 1) là giao điểm cửa (d₁) và (d₂).

b) Vì (d) cắt (d₁) tại A(1; 2) ⇒ A(1; 2) ∈ (d) ⇒ 2 = a + b.

Và (d) cắt (d₁) tại B(−1; 3) ⇒ B(−1; 3) ∈ (d) ⇒ 3 = −a + b.

Do đó:

Vậy (d):

Câu 12. Cho (d) có phương trình y = ax + b và (d₁): y = x − 1; (d₂): y = −2x − 1.

a) Tìm giao điểm N của (d₁) và (d₂).

b) Xác định phương trình đường thẳng d, biết (d); (d₁); (d₂) đồng qui và (d) đi qua A(1; −5).

Hướng dẫn giải

a) Xét

Vậy: N(0; −1) là giao điểm cửa (d₁) và (d₂).

b) Vì (d); (d₁); (d₂) đồng qui nên N(0; −1) ∈ (d) ⇒ −1 = a⋅0 + b ⇒ b = −1.

Và A ∈ (d) ⇒ −5 = a + b ⇒ a = −4.

Vậy (d): y = −4x − 1.

Câu 13. Cho (d) có phương trình y = ax + b và A(6; −2).

a) Tìm d sao cho d đi qua A và gốc toạ độ O.

b) Xác định phương trình đường thẳng d, biết (d) đi qua A và cắt Ox, Oy lần lượt tại B, C sao cho tam giác OBC có diện tích là 3.

Hướng dẫn giải

a) Vì O ∈ (d) nên b = 0.

Mặt khác: A ∈ (d) nên −2 = 6a + b ⇒ a = .

Vậy (d):

b) Ta có: A ∈ (d) nên −2 = 6a + b và

Do đó: Diện tích tam giác OCB là

Vì vậy ta được

Vậy (d): hay (d):