Bạn đang xem bài viết Tổng hợp công thức và các dạng bài. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Tổng hợp lý thuyết, công thức và các dạng toán quan trọng của phương trình đường tròn – điểm kiến thức quan trọng trong hệ tọa độ Oxy lớp 10. Bài viết này, Cấp Nước Lào Cai giới thiệu đến độc giả với 10 dạng bài tập phổ biến nhất bao gồm phương pháp giải và bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
Lý thuyết phương trình đường tròn
Phương trình đường tròn
Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, phương trình đường tròn nhận điểm I(a; b) làm tâm và có bán kính R là (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
Dạng khác của phương trình đường tròn:
Phương trình dạng x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 là phương trình của một đường tròn khi và chỉ khi
a2 + b2 − c > 0
Khi đó, tâm là I(a; b), bán kính là 
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn
Sau đây, ta có 2 công thức phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm thuộc đường tròn (công thức tách đôi).
– Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (x − a)2 + (y − b)2 = R2 tại điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn là
(x0 − a)⋅(x − a) + (y0 − a)⋅(y − a) = R2
– Phương trình tiếp tuyến của đường tròn x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 tại điểm M(x0; y0) thuộc đường tròn là
x0x + y0y − a(x0 + x) − b(y0 + y) + c = 0.
Không dùng công thức tách đôi này, ta vẫn có thể viết được phương trình tiếp tuyến bằng cách tìm toạ đoạ độ vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến này là 
.
Phân dạng bài tập phương trình đường tròn
Dạng 1. Tìm tâm và bán kính đường tròn
Phương pháp giải
Cách 1. Đưa phương trình về dạng
(C): x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 (1).
Xét dấu biểu thức P = a2 + b2 − c.
– Nếu P > 0 thì (1) là phương trình đường tròn (C) có tâm I(a; b) và bán kính .
– Nếu P ≤ 0 thì (1) không phải là phương trình đường tròn.
Cách 2. Đưa phương trình về dạng:
(x − a)2 + (y − b)2 = P (2).
– Nếu P > 0 thì (2) là phương trình đường tròn có tâm I(a; b) và bán kính 
.
– Nếu P ≤ 0 thì (2) không phải là phương trình đường tròn.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).
a) x2 + y2 + 2x − 4y + 9 = 0 (1).
b) x2 + y2 − 6x + 4y + 13 = 0 (2).
c) 2x2 + 2y2 − 6x − 4y − 1 = 0 (3).
d) 2x2 + y2 + 2x − 3y + 9 = 0 (4).
Hướng dẫn giải
a) Phương trình (1) có dạng x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0 với a = −1;b = 2; c = 9.
Ta có: a2 + b2 − c = 1 + 4 − 9 < 0.
Vậy phương trình (1) không phải là phương trình đường tròn.
b) Ta có: a2 + b2 − c = 9 + 4 − 13 = 0.
Suy ra phương trình (2) không phải là phương trình đường tròn.
c) Ta có:
Vậy phương trình (3) là phương trình đường tròn tâm 
bán kính 
.
d) Phương trình (4) không phải là phương trình đường tròn vì hệ số của x2 và y2 khác nhau.
Câu 2. Xét xem các phương trình sau có là phương trình của đường tròn không? Hãy xác định tâm và bán kính của các đường tròn đó (nếu có).
a) x2 + y2 + 2x − 6y − 15 = 0 (1).
b) 2x2 + 2y2 + 4x + 8y + 14 = 0 (2).
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Vậy phương trình (1) là phương trình của đường tròn (C) có tâm I(−1; 3) và bán kính R = 5.
b) Ta có:
Vậy phương trình (2) không là phương trình của đường tròn.
Câu 3. Cho phương trình x2 + y2 − 2mx − 4(m − 2)y + 6 − m = 0 (1). Tìm điều kiện của m để (1) là phương trình đường tròn.
Hướng dẫn giải
Phương trình (1) là phương trình đường tròn khi và chỉ khi a2 + b2 − c > 0, với a = m; b = 2(m − 2); c = 6 − m.
Hay: m2 + 4(m − 2)2 – 6 + m > 0
⇔ 5m2 − 15m + 10 > 0
⇔ m > 2 ∨ m < 1.
Dạng 2. Lập phương trình đường tròn
Phương pháp giải
Cách 1.
– Tìm toạ độ tâm I(a; b) của đường tròn (C)
– Tìm bán kính R của đường tròn (C)
– Viết phương trình của (C) theo dạng (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
Cách 2.
– Giả sử phương trình đường tròn (C) là:
x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0
(hoặc x2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0).
– Từ điều kiện của đề bài thiết lập hệ phương trình với ba ẩn là a, b, c.
– Giải hệ để tìm a, b, c, từ đó tìm được phương trình đường tròn (C).
Chú ý:
– Cho đường tròn (C) có tâm I và bán kính R. A ∈ (C) ⇔ IA = R.
– (C) tiếp xúc với đường thẳng ∆ tại A ⇔ IA = d(I; ∆) = R.
– (C) tiếp xúc với hai đường thẳng ∆1 và ∆2 ⇔ d(I; ∆1) = d(I; ∆2) = R.
– (C) cắt đường thẳng ∆3 theo dây cung có độ dài a ⇔ 
Bài tập vận dụng
Câu 1. Lập phương trình đường tròn có tâm I(3; −5) bán kính R = 2.
Hướng dẫn giải
Ta có phương trình đường tròn là:
(x − 3)2 + (y + 5)2 = 22
⇔ x2 + y2 − 6x + 10y + 30 = 0.
Câu 2. Lập phương trình đường tròn đường kính AB với A(1; 6), B(−3; 2).
Hướng dẫn giải
Đường tròn đường kính AB có:
– Tâm I(−1; 4) là trung điểm AB.
– Bán kính 
Do đó phương trình đường tròn là:
Câu 3. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm I(−1; 2) và tiếp xúc với đường thẳng ∆: x − 2y + 7 = 0.
Hướng dẫn giải
Bán kính đường tròn (C) chính là khoảng cách từ I tới đường thẳng ∆ nên
Vậy phương trình đường tròn (C) là: (x + 1)2 + (y − 2)2 = 
.
Câu 4. Viết phương trình đường tròn tâm I(−2; 1), cắt đường thẳng ∆: x − 2y + 3 = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 2.
Hướng dẫn giải
Gọi h là khoảng cách từ I đến đường thẳng ∆. Ta có:
Gọi R là bán kính đường tròn, từ giả thiết suy ra:
Vậy phương trình đường tròn là: (x + 2)2 + (y − 1)2 = 
.
Câu 5. Lập phương trình đường tròn đi qua ba điểm: M (−2; 4), N (5; 5), P(6; −2).
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Gọi phương trình đường tròn (C) có dạng là: x2 + y2 − 2ax − 2by + c = 0. Do đường tròn đi qua ba điểm M, N, P nên ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là: x2 + y2 − 4x − 2y − 20 = 0.
Cách 2.
Gọi I(x; y) và R là tâm và bán kính đường tròn cần tìm. Ta suy ra:
Nên ta có hệ:
Suy ra I(2; 1), bán kính IA = 5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C): (x−2)2 + (y−1)2 = 25.
Câu 6. Cho hai điểm A(8; 0) và B(0; 6).
a) Viết phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB.
b) Viết phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB.
Hướng dẫn giải
a) Ta có tam giác OAB vuông ở O nên tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác là trung điểm của cạnh huyền AB suy ra I(4; 3) và bán kính 
.
Vậy phương trình đường tròn ngoại tiếp tam giác OAB là: (x − 4)2 + (y − 3)2 = 25.
b) Ta có: OA = 8; OB = 6; 
Mặt khác: 
OA⋅OB = pr (vì cùng bằng diện tích tam giác ABC).
Suy ra: 
Dễ thấy đường tròn cần tìm có tâm thuộc góc phần tư thứ nhất và tiếp xúc với hai trục tọa độ nên tâm của đường tròn có tọa độ là (2; 2).
Vậy phương trình đường tròn nội tiếp tam giác OAB là (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4.
Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x − y − 5 = 0 và hai điểm A(1; 2), B(4; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d và đi qua hai điểm A, B.
Hướng dẫn giải
Cách 1.
Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d nên I(t; 2t −5).
Hai điểm A, B cùng thuộc (C) nên
IA = IB
⇔ (1 − t)2 + (7 − 2t)2 = (4 − t)2 + (6 − 2t)2
⇔ t = 1
Suy ra I(1; −3) và bán kính R = IA = 5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là:
(C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Cách 2.
Gọi 
là trung điểm AB. Đường trung trực của đoạn AB đi qua M và nhận 
làm vectơ pháp tuyến nên có phương trình ∆: 3x – y − 6 = 0.
Tọa độ tâm I của (C) là nghiệm của hệ
Bán kính của đường tròn bằng R = IA = 5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d1: x + 3y + 8 = 0, d2: 3x − 4y + 10 = 0 và điểm A(−2; 1). Viết phương trình đường tròn (C) có tâm thuộc d1, đi qua điểm A và tiếp xúc với d2.
Hướng dẫn giải
Gọi I là tâm của (C). Do I ∈ d1 nên I(−3t −8; t).
Theo giả thiết bài toán, ta có:
Suy ra: I(1; −3) và bán kính R = IA = 5.
Vậy phương trình đường tròn cần tìm là (C): (x − 1)2 + (y + 3)2 = 25.
Câu 9. Viết phương trình đường tròn (C) có tâm nằm trên đường thẳng d: x − 6y − 10 = 0 và tiếp xúc với hai đường thẳng có phương trình d1: 3x + 4y + 5 = 0 và d2: 4x − 3y − 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Vì đường tròn cần tìm có tâm K nằm trên đường thẳng d nên gọi K(6a + 10; a)
Mặt khác đường tròn tiếp xúc với d1,d2 nên khoảng cách từ tâm K đến hai đường thẳng này bằng nhau và bằng bán kính R suy ra:
– Với a = 0 thì K(10; 0) và R = 7
Suy ra (C): (x − 10)2 + y2 = 49
– Với a = 
thì 
và R = 
Suy ra (C): 
Vậy có hai đường tròn thỏa mãn có phương trình là (C): (x − 10)2 + y2 = 49 và (C):
Câu 10. Viết phương trình đường tròn tâm I thuộc đường thẳng d1: x – y + 1 = 0, bán kính R = 2 và cắt đường thẳng d2: 3x − 4y = 0 tại hai điểm A, B thỏa mãn AB = 
.
Hướng dẫn giải
Tâm I thuộc đường thẳng d1 nên suy ra I(a; a + 1).
Do đó:
– Với a = 1 ta có I(1; 2), phương trình đường tròn là: (x − 1)2 + (y − 2)2 = 4.
– Với a = −9 ta có I(−9; −8), phương trình đường tròn là: (x + 9)2 + (y + 8)2 = 4.
Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn tại một điểm
Phương pháp giải
Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) tâm I(a, b), tại điểm M(x0, y0) ∈ (C).
Ta có: 
là vectơ pháp tuyến của ∆.
Do đó: ∆ có phương trình là (x0 − a)(x − x0) + (y0 − b)(y − y0) = 0.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 2)2 + (y + 3)2 = 5 tại điểm M(3; −1).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(2; −3).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là:
(3 − 2)(x − 3) + (−1 + 3)(y + 1) = 0
⇔ x + 2y − 1 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(3; −1) là x + 2y − 1 = 0.
Câu 2. Cho đường tròn (Cm) : x2 + y2 + 2(m − 1)x − 2my − 4 = 0. Biết rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I cố định có hoành độ dương. Tìm giá trị của m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Giả sử đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm I(x0; y0) cố định khi m thay đổi. Khi đó ta có:
Vậy ta có điểm I(2; 2).
Đường tròn (Cm) có tâm J(1 − m; m).
Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến của (Cm) tại I là 
Để tiếp tuyến tại I song song với (d): x − 2y − 1 = 0 thì tồn tại k sao cho:
Vậy m = −4 thỏa mãn yêu cầu đề bài.
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x + 2)2 + (y − 3)2 = 5 tại điểm M(−1; 1).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(−2; 3).
Phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại điểm M(−1; 1) là: 1(x + 1) − 2(y − 1) = 0 hay x − 2y + 3 = 0.
Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x = 0 tại điểm M(1; 1).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 0).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm M(1; 1) là y = 1.
Câu 5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 và đường thẳng (∆): y – x + 1 = 0. Gọi M, N là giao điểm của (C) và (∆). Tìm tọa độ giao điểm của tiếp tuyến của đường tròn (C) kẻ tại M, N.
Hướng dẫn giải
Tọa độ M, N là giao điểm của hệ phương trình sau:
Không mất tổng quát, ta giả sử M(1; 0) và N(3; 2).
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2).
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại M là y = 0.
Phương trình tiếp tuyến của (C) tại N là x = 3.
Tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là nghiệm của hệ phương trình 
Vậy tọa độ giao điểm của hai tiếp tuyến là A(3; 0).
Câu 6. Cho hai đường tròn:
(C1) : x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0
(C2) : x2 + y2 − 4x − 14y + 33 = 0.
a) Chứng minh rằng (C1) và (C2) tiếp xúc với nhau.
b) Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại tiếp điểm.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C1) có tâm I(−1; 1) và bán kính R1 = 
.
Đường tròn (C2) có tâm J(2; 7) và bán kính R2 = 
Ta có:
Do đó (C1) tiếp xúc ngoài với (C2).
b) Gọi M là tiếp điểm của (C1) và (C2).
Khi đó ta có:
Suy ra: 
Phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn tại M là x + 2(y − 3) = 0 hay x + 2y − 6 = 0.
Câu 7. Cho đường tròn (Cm) : x2 + y2 − (m − 2)x + 2my −1 = 0.
a) Chứng minh rằng khi m thay đổi, đường tròn (Cm) luôn đi qua điểm cố định.
b) Gọi I là điểm cố định ở câu trên sao cho I có hoành độ âm. Tìm m sao cho tiếp tuyến của đường tròn (Cm) tại I song song với đường thẳng (d): x + 2y = 0.
Hướng dẫn giải
a) Giả sử I(x0; y0) là điểm cố định thuộc đường tròn (Cm) khi m thay đổi. Khi đó ta có:
Điều này tương đương với:
Do đó (x0; y0) là nghiệm của hệ:
Giải hệ trên ta được hai nghiệm (−2; −1) và 
Vậy (Cm) luôn đi hai điểm cố định là (−2; −1) và khi m thay đổi.
b) Vì xI < 0 nên I(−2; −1). Đường tròn (Cm) có tâm 
Vectơ pháp tuyến của tiếp tuyến tại I là 
Để tiếp tuyến tại I song song với (d): x + 2y = 0 thì 
cùng phương với 
, điều này tương đương với:
Dạng 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn đi một điểm
Phương pháp giải
Cho đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) đi qua điểm M(x0, y0).
a) Nếu IM < R thì không có tiếp tuyến nào đi qua M.
b) Nếu IM = R thì ta giải theo dạng 1.
c) Nếu IM > R thì ta thực hiện theo các bước bên dưới.
– Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) đi qua M có dạng m(x − x0) + n(y − y0) = 0, trong đó m2 + n2 ≠ 0.
– Sử dụng điều kiện tiếp xúc của tiếp tuyến với đường tròn ta có d(I, ∆) = R. Giải phương trình trên ta tìm được quan hệ giữa a, b.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 8 biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3; −2).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = 
.
Ta có: 
Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) và đi qua M(3; −2) là:
a(x − 3) + b(y + 2) = 0 (a2 + b2 ≠ 0)
Ta có:
Phương trình trên tương đương với:
– Nếu 
thì ta chọn a = 2 ⇒ b = 
Khi đó phương trình của tiếp tuyến (∆) là:
Hay 
– Nếu 
thì ta chọn a = 2 ⇒ b = 
Khi đó phương trình của tiếp tuyến (∆) là:
Hay 
Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 − 2x + 2y + 1 = 0 và (C2): x2 + y2 + 4x − 2y + 1 = 0 sao cho (C1) và (C2) nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là tiếp tuyến đó (tiếp tuyến này được gọi là tiếp tuyến chung ngoài).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C1) có tâm I(1; −1) và bán kính R1 = 1.
Đường tròn (C2) có tâm J(−2; 1) và bán kính R2 = 2.
Gọi S là giao điểm của tiếp tuyến ngoài và IJ. Gọi C,D lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (C1) và (C2).
Theo định lý Thales ta có: 
Vì vậy ta có: 
Do đó: 
Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) tiếp xúc với (C1), (C2) và đi qua S là a(x − 4) + b(y + 3) = 0 trong đó a2 + b2 > 0.
Ta có:
Nếu 
thì ta chọn b = 4 ⇒ a = 
. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là: 
Nếu 
thì ta chọn b = 4 ⇒ a = 
. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là: 
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): (x − 3)2 + y2 = 9 biết tiếp tuyến đi qua điểm M(3; 5).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = 3.
Ta có: 
Gọi tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) và đi qua M là a(x − 3) + b(y − 5) = 0 với a2 + b2 > 0.
Ta có:
– Nếu b = 
a thì ta chọn a = 4, b = −3. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là: 4x − 3y + 3 = 0.
– Nếu b = 
a thì ta chọn a = 4, b = 3. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là: 4x + 3y − 27 = 0.
Câu 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 + 2x − 4y + 3 = 0 biết tiếp tuyến đi qua điểm M(−2; 5).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(−1; 2) và bán kính R = 
.
Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) đi qua điểm M(−2; 5) là a(x + 2) + b(y − 5) = 0 với a2 + b2 > 0.
Khi đó ta có:
– Nếu a = b thì ta chọn a = b = 1.
Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là x + y − 3 = 0.
– Nếu a = −7b thì ta chọn a = 7; b = −1.
Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là 7x − y + 19 = 0.
Câu 5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 + 2x − 2y − 2 = 0. Qua điểm A(1; 2) kẻ hai tiếp tuyến đến đường tròn (C). Gọi tiếp điểm của hai tiếp tuyến đó là M, N. Tính MN.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(−1; 1) và bán kính R = 2.
Gọi tiếp tuyến (∆) đi qua A(1; 2) của đường tròn (C) là a(x − 1) + b(y − 2) = 0 với a2 + b2 > 0.
Ta có:
– Nếu b = 0 thì ta chọn a = 1.
Khi đó phương trình (∆1) là x = 1.
Tiếp điểm của (∆1) và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
– Nếu 4a = 3b thì ta chọn a = 3, b = 4.
Khi đó phương trình của (∆2) là 3x + 4y − 11 = 0.
Tiếp điểm của (∆2) và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy: 
Câu 6. Viết phương trình tiếp tuyến chung trong của hai đường tròn (C1): x2 + y2 − 2x + 2y + 1 = 0 và (C2): x2 + y2 + 4x − 2y + 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C1) có tâm I(1; −1) và bán kính R1 = 1.
Đường tròn (C2) có tâm J(−2; 1) và bán kính R2 = 2.
Gọi S là giao điểm của tiếp tuyến ngoài và IJ và C, D lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (C1) và (C2).
Theo định lý Thales ta có:
Vì vậy ta có: 
Do đó: 
Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) tiếp xúc với (C1), (C2) và đi qua S là 
trong đó a2 + b2 > 0.
Ta có:
– Nếu b = 0 thì ta chọn a = 1. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là x = 0.
– Nếu 5b = −12a thì ta chọn b = −12; a = 5. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là
Câu 7. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 6x − 7 = 0 và (C2): (x − 2)2 + y2 = 4.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C1) có tâm I(−3; 0) và bán kính R1 = 4.
Đường tròn (C2) có tâm J(2; 0) và bán kính R2 = 2.
Ta có: IJ = 5 < R1 + R2 nên hai đường tròn cắt nhau.
Do đó chúng chỉ có hai tiếp tuyến chung ngoài.
Gọi S là giao điểm của tiếp tuyến ngoài và IJ và C,D lần lượt là tiếp điểm của tiếp tuyến với đường tròn (C1) và (C2).
Theo định lý Thales ta có: 
Vì vậy ta có: 
. Do đó: 
Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) tiếp xúc với (C1), (C2) và đi qua S là a(x − 7) + by = 0 trong đó a2 + b2 > 0.
Ta có:
– Nếu b = 
a thì ta chọn a = 2; b = 
. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là:
– Nếu b = 
a thì ta chọn a = 2; b = 
. Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) là:
Dạng 5. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Cho đường tròn (C) có tâm I(a, b) và bán kính R. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của (C) có phương xác định trước.
– Viết dạng phương trình tổng quát của ∆.
– Sử dụng điều kiện cho trước và d(I, ∆) = R để tìm phương trình tổng quát của ∆.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm điều kiện của tham số a để đường thẳng (∆): x + (a − 1)y − a = 0 tiếp xúc với đường tròn (C): x2 + y2 − 2x + 4y + 2 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính 
Để đường thẳng (∆) là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì:
Vậy 
hoặc 
thỏa mãn đề bài.
Câu 2. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x + 4y + 4 = 0 biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 1.
Vì ∆ vuông góc với đường thẳng x + 2y + 5 = 0 nên phương trình ∆ có dạng 2x – y + m = 0.
Vì ∆ là tiếp tuyến của (C) nên ta có:
Nếu m = 
thì phương trình của ∆ là 
Nếu m = 
thì phương trình của ∆ là 
Câu 3. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y + 4 = 0 biết rằng tiếp tuyến hợp với đường thẳng (d): x + y − 5 = 0 một góc 45°.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính 
Gọi vectơ pháp tuyến của ∆ là 
trong đó a2 + b2 ≠ 0.
Vectơ pháp tuyến của d là 
.
Vì (∆) tạo với d một góc 60° nên ta có:
– Với a = 0, phương trình ∆ có dạng y + m = 0.
Có 
Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là y − 1 = 0 hoặc y − 3 = 0.
– Với b = 0, phương trình ∆ có dạng x + m = 0.
Có 
Khi đó phương trình tiếp tuyến ∆ là x = 0 hoặc x − 2 = 0.
Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm ∆ là y − 1 = 0 hoặc y − 3 = 0 hoặc x = 0 hoặc x − 2 = 0.
Câu 4. Tìm giá trị của tham số m sao cho đường thẳng (∆): (m − 1)y + mx − 2 = 0 là tiếp tuyến của đường tròn (C): x2 + y2 − 6x + 5 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(3; 0) và bán kính R = 2.
Để (∆) là tiếp tuyến của đường tròn (C) thì ta phải có:
Câu 5. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 6y − 12 = 0 và đường thẳng (d): 3x + 4y − 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của (C) thỏa mãn:
a) Song song với đường thẳng d.
b) Vuông góc với đường thẳng d.
Hướng dẫn giải
(C) có tâm I(2; 3), bán kính R = 5.
a) Phương trình đường thẳng ∆1 song song với d có dạng: 3x + 4y + c1 = 0.
∆1 tiếp xúc với (C) nên d(I, ∆1) = R. Hay:
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) song song với d là 3x + 4y + 7 = 0 hoặc 3x + 4y − 43 = 0.
b) Phương trình đường thẳng ∆2 song song với d có dạng: 4x − 3y + c2 = 0.
∆2 tiếp xúc với (C) nên d(I, ∆2) = R. Hay:
Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) vuông góc với d là 4x − 3y + 26 = 0 hoặc 4x − 3y − 24 = 0.
Câu 6. Cho đường tròn (C): (x − 1)2 + y2 = 9. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn (C) biết rằng tiếp tuyến song song với đường thẳng y = 2x − 1.
Hướng dẫn giải
Gọi phương trình tiếp tuyến (∆) song song với y = 2x − 1 là y − 2x + n = 0.
Đường tròn (C) có tâm I(1; 0) và bán kính R = 3.
Ta có:
Phương trình tiếp tuyến (∆) là 
hoặc 
.
Câu 7. Cho đường tròn (C): x2 + y2 = 25. Viết phương trình tiếp tuyến (∆) của đường tròn (C) biết tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền và cạnh góc vuông nằm trên Ox lớn hơn cạnh góc vuông nằm trên (Oy).
Hướng dẫn giải
Vì tiếp tuyến tạo với hai trục tọa độ một tam giác vuông có cạnh góc vuông bằng nửa cạnh huyền và cạnh góc vuông nằm trên Ox lớn hơn cạnh góc vuông nằm trên (Oy) nên ta suy ra tiếp tuyến tạo với trục Ox góc 30°.
Đường tròn (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 5.
Gọi vectơ pháp tuyến của (∆) là 
với a2 + b2 > 0.
Ta có:
– Nếu a = 
b thì ta chọn a = ; b = 1.
Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) có dạng 
. Ta có:
Vậy phương trình tiếp tuyến (∆) trong trường hợp này là 
hoặc 
.
– Nếu a = −b thì ta chọn a = −; b = 1.
Khi đó phương trình tiếp tuyến (∆) có dạng 
. Ta có:
Vậy phương trình tiếp tuyến (∆) trong trường hợp này là 
hoặc 
.
Câu 8. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 4y = 0. Viết phương trình tiếp tuyến của đường tròn sao cho tiếp tuyến đó cắt các trục tọa độ tạo thành một tam giác cân.
Hướng dẫn giải
Phương trình đường tròn (C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = .
Để tiếp tuyến cùng với các trục tọa độ tạo thành tam giác cần thì tiếp tuyến phải có hệ số góc là 1 hoặc −1.
a) Nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng −1 thì ta có thể giả sử phương trình tiếp tuyến (∆) là x + y + m = 0.
Ta có:
Do đó phương trình tiếp tuyến là 
hoặc 
b) Nếu tiếp tuyến có hệ số góc bằng 1 thì ta có thể giả sử phương trình tiếp tuyến (∆) là x – y + m = 0.
Ta có:
Do đó phương trình tiếp tuyến là 
hoặc 
Câu 9. Cho đường tròn (C1): x2 + y2 − 6x − 8y − 11 = 0 và đường tròn (C2): x2 + y2 − 2x − 6y – 6 = 0. Viết phương trình tiếp tuyến chung của (C1) và (C2).
Hướng dẫn giải
(C1) có tâm I1(3; 4), bán kính R1 = 6.
(C2) có tâm I2(1; 3), bán kính R2 = 4.
Có: 
Do đó (C1) và (C2) cắt nhau và có 2 tiếp tuyến chung.
Phương trình tiếp tuyến chung ∆ có dạng ax + by + c = 0, (a2 + b2 ≠ 0) (*).
∆ tiếp xúc với (C1) và (C2) khi và chỉ khi: 
Hay 
– Thế c = 3a − b vào (2) ta được:
Với b = 0 thì c = 3a, (*) trở thành ax + 3a = 0 hay x + 3 = 0.
Với b = 
a thì c = 
a, (*) trở thành ax + ay + a = 0 hay 3x + 4y + 5 = 0.
– Thế c = 
vào (2) ta được
Vậy (C1) và (C2) có tiếp tuyến chung là x + 3 = 0 và 3x + 4y + 5 = 0.
Câu 10. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường tròn (C1): x2 + y2 + 2x − 2y − 3 = 0 và (C2): x2 + y2 − 4x − 14y + 48 = 0 sao cho 2 đường tròn nằm cùng một nửa mặt phẳng bờ là tiếp tuyến chung đó.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C1) có tâm I1(−1; 1) và bán kính R1 = .
Đường tròn (C2) có tâm I2(2; 7) và bán kính R2 = .
Do đó tiếp tuyến chung cần tìm của hai đường tròn song song với đường thẳng I1I2.
Ta có: 
. Suy ra vectơ pháp tuyến của I1I2 là 
Do đó phương trình tiếp tuyến chung cần tìm (∆) của (C1); (C2) có dạng 2x – y + m = 0.
Ta có:
Vì vậy phương trình tiếp tuyến chung cần tìm của (C1) và (C2) là 2x – y − 2 = 0 hoặc 2x – y + 8 = 0.
Dạng 6. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn
Phương pháp giải
Cho đường thẳng ∆: ax + by + c = 0 và đường tròn (C) có tâm I(x0; y0), bán kính R. Đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có ba vị trí tương đối.
– Đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có hai điểm chung, ta nói ∆ và (C) cắt nhau.
⨂ Hệ thức liên hệ giữa bán kính và khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆:
– Đường thẳng ∆ và đường tròn (C) có một điểm chung, ta nói ∆ tiếp xúc với (C). Đường thẳng ∆ còn được gọi là tiếp tuyến của đường tròn (C).
⨂ Hệ thức liên hệ giữa bán kính và khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆:
– Đường thẳng ∆ và đường tròn (C) không có điểm chung nào, ta nói ∆ và (C) không cắt nhau.
⨂ Hệ thức liên hệ giữa bán kính và khoảng cách từ tâm đường tròn (C) đến đường thẳng ∆:
⨂ Khi đường thẳng ∆ cho bởi phương trình tham số 
. Để xét vị trí tương đối với đường tròn (C) ta có thể làm hai cách:
a) Từ phương trình tham số chuyển về phương trình tổng quát, xét vị trí tương đối giống như trên.
b) Thế phương trình tham số vào phương trình của đường tròn (C) ta được phương trình bậc hai có ẩn t, kí hiệu phương trình (*).
- Phương trình (*) vô nghiệm. Ta nói ∆ và (C) không cắt nhau.
- Phương trình (*) có một nghiệm. Ta nói ∆ tiếp xúc với (C).
- Phương trình (*) có hai nghiệm. Ta nói ∆ và (C) cắt nhau.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho đường thẳng ∆: x − 2y + 5 = 0 và đường tròn (C): (x − 2)2 + y2 = 4. Xét vị trí tương đối của ∆ và (C).
Hướng dẫn giải
(C) có tâm I(2; 0) và bán kính R = 2.
Ta có: 
Vậy ∆ và (C) không cắt nhau.
Câu 2. Cho đường thẳng ∆: 
và đường tròn (C): x2 + y2 − 4x + 2y = 0. Xét vị trí tương đối của ∆ và (C).
Hướng dẫn giải
Thế phương trình của ∆ vào phương trình (C) ta được phương trình:
(−5 − 2t)2 + t2 − 4(−5 − 2t) + 2t = 0
⇔ 5t2 + 30t + 45 = 0
⇔ t = −3.
Vậy ∆ tiếp xúc với (C).
Câu 3. Cho đường thẳng ∆: 
và đường tròn (C): (x − 3)2 + (y − 1)2 = 10. Xét vị trí tương đối của ∆ và (C), tìm tọa độ giao điểm nếu có.
Hướng dẫn giải
Thế phương trình của ∆ vào phương trình (C) ta được phương trình:
Vậy ∆ cắt (C).
Với 
và 
Vậy tọa độ giao điểm của ∆ và (C) là: A(0; 2), B(4; 4).
Câu 4. Cho đường thẳng ∆: 6x + 8y − 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 − 2mx + 4y + m2 −5 = 0. Tìm m để ∆ cắt (C).
Hướng dẫn giải
(C) có tâm I(m; −2) và bán kính R = 3.
Để ∆ cắt (C) thì d(I, ∆) < R
Vậy 
Câu 5. Cho đường thẳng ∆: 4x + 3y + 1 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 − 6x − 8y = 0. Xét vị trí tương đối của ∆ và (C).
Hướng dẫn giải
(C) có tâm I(3; 4) và bán kính R = 5.
Ta có: 
Vậy ∆ tiếp xúc với (C).
Câu 6. Cho đường thẳng ∆: 
và đường tròn (C): (x + 3)2 + (y − 1)2 = 2. Xét vị trí tương đối của ∆ và (C).
Hướng dẫn giải
Thế phương trình của ∆ vào phương trình (C) ta được phương trình:
(4 − 4t)2 + (1 + t)2 = 2
⇔ 17t2 − 30t + 15 = 0 (vô nghiệm).
Vậy ∆ không cắt (C).
Câu 7. Cho đường thẳng ∆: x – y + 5 = 0 và đường tròn (C): x2 + y2 + 6x − 2y − 3 = 0. Tìm tọa độ giao điểm của ∆ và (C).
Hướng dẫn giải
Tọa độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy tọa độ giao điểm của ∆ và (C) là: A(−1; 4), B(−6; −1).
Câu 8. Cho đường thẳng ∆: x − 2y + m = 0 và đường tròn (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 5. Tìm m để ∆ không cắt (C) .
Hướng dẫn giải
(C) có tâm I(1; 2) và bán kính R = .
Để ∆ không cắt (C) thì d(I, ∆) > R
Vậy m < –2 hoặc m > 8.
Câu 9. Cho đường thẳng ∆ đi qua A(−6; 0) và đường tròn (C): (x − 3)2 + (y − 2)2 = 25. Viết phương trình đường thẳng ∆, biết ∆ cắt (C) tại hai điểm E, F sao cho EF = 
.
Hướng dẫn giải
(C) có tâm I(3; 2) và bán kính R = 5.
Đường thẳng ∆ đi qua A(−6; 0) có phương trình a(x + 6) + by = 0 (a2 + b2 > 0).
Gọi H là trung điểm của EF, xét tam giác IEH vuông tại H, ta có:
Theo đề ta có:
Do b = 0 không là nghiệm của (*)
Chọn a = 1 ⇒ b = −2 hoặc b = 38.
Với 
Với 
Vậy ∆: x − 2y + 6 = 0, ∆: x + 38y + 6 = 0.
Với t = 2 ⇒ I(1; 2) ⇒ (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9.
Vậy (C): (x + 7)2 + y2 = 9 hoặc (C): (x − 1)2 + (y − 2)2 = 9.
Dạng 7. Vị trí tương đối của hai đường tròn
Phương pháp giải
Cho đường tròn (C) có tâm I, bán kính R và đường tròn (C’) có tâm I’, bán kính R’.
– Nếu II’ > R + R’ suy ra hai đường tròn không cắt nhau và ở ngoài nhau.
– Nếu II’ < |R − R’| suy ra hai đường tròn không cắt nhau và lồng vào nhau.
– Nếu II’ = |R − R’| suy ra hai đường tròn tiếp xúc trong với nhau.
– Nếu |R − R’| < II’ < R + R’ suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 6y − 15 = 0 và (C’): x2 + y2 − 6x − 2y − 3 = 0. Chứng minh rằng hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm phân biệt A, B.
Hướng dẫn giải
Cách 1.
(C) có tâm I(1; 3) và bán kính R = 5, (C’) có tâm I'(3; 1) và bán kính R = 
.
Ta có: 
Ta thấy |R1 − R2| < I1I2 < |R1 + R2| suy ra hai đường tròn cắt nhau.
Cách 2.
Xét hệ phương trình:
Suy ra hai đường tròn cắt nhau tại hai điểm có tọa độ là A(1; −2) và B(6; 3).
Câu 2. Cho hai đường tròn (C): x2 + y2 = 1 và (Cm): x2 + y2 − 2(m + 1)x + 4my − 5 = 0. Xác định m để (Cm) tiếp xúc với (C).
Hướng dẫn giải
Dễ thấy (C) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1.
(Cm) có tâm I(m + 1; −2m) và bán kính 
Ta thấy: 
điểm O nằm trong đường tròn tâm I suy ra (C) và (Cm) chỉ có thể tiếp xúc trong nhau.
Điều kiện để hai đường tròn tiếp xúc trong là:
Giải phương trình ta được m = −1 hoặc m = 
.
Câu 3. Cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x + 4y − 4 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆: 
.
a) Tìm m để đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm m để diện tích tam giác IAB là lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm I(1; −2), bán kính R = 3
∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt khi và chỉ khi
b) Ta có: 
.
Suy ra 
khi và chỉ khi 
.
Gọi H là hình chiếu của I lên ∆ khi đó:
Ta có:
Vậy với m = −4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Dạng 8. Phương trình đường thẳng chứa tham số
Phương pháp giải
Đối với bài toán tìm m: Ta dựa vào điều kiện bài ra đưa về phương trình ẩn m.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm m biết đường thẳng (d): (m + 1)x – my + 2m − 1 = 0 đi qua điểm A(−1; 2).
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d đi qua điểm A(−1; 2) khi và chỉ khi
−(m + 1) − 2m + 2m − 1 = 0 ⇔ m = −2.
Câu 2. Tìm m biết đường thẳng (d): mx − (m − 2)y + 3 = 0 song song với đường thẳng ∆: 2x + 3y − 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d song song với đường thẳng ∆ khi và chỉ khi
Câu 3. Tìm m biết đường thẳng (d): x + (2m + 1)y + m vuông góc với đường thẳng ∆: x – y + 1 = 0.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d có vectơ pháp tuyến là 
. Đường thẳng ∆ có vectơ pháp tuyến là 
.
Đường thẳng d vuông góc với đường thẳng ∆ khi và chỉ khi
Câu 4. Tìm m biết đường thẳng (d): 2x – my + 2 = 0 tạo với đường thẳng ∆: x + y + 1 = 0 một góc 60°.
Hướng dẫn giải
Đường thẳng d và ∆ có vectơ pháp tuyến lần lượt là 
và 
.
Theo bài ra ta có:
Câu 5. Tìm m để đường thẳng dm: mx + (m − 3)y + m2 − 3m = 0 tạo với hai trục tọa độ một tam giác có diện tích bằng 1.
Hướng dẫn giải
Điều kiện để đường thẳng dm cắt hai trục tọa độ là m(m − 3) ≠ 0.
Tọa độ giao điểm của đường thẳng dm với Ox và Oy lần lượt là A(3 − m; 0) và B(0; −m).
Ta có:
Câu 6. Tìm điểm cố định của họ đường thẳng dm: (2m − 1)x − (m + 1)y + 3 − m = 0.
Hướng dẫn giải
Gọi A(x0; y0) là điểm cố định của họ đường thẳng, khi đó ta có:
Vậy 
Dạng 9. Phương trình đường tròn chứa tham số
Phươn pháp giải
Dựa theo điều kiện bài toán, ta đưa về phương trình theo tham số nào đó, từ đó giải ra tìm được điều kiện của tham số.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho đường tròn (Cm) : x2 + y2 − (m + 2)x − (m + 4)y + m + 1 = 0.
a) Chứng minh rằng (Cm) luôn là đường tròn với mọi giá trị của tham số m.
b) Tìm m để đường tròn (Cm) đi qua điểm A(2; −3).
c) Tìm tập hợp tâm các đường tròn (Cm) khi m thay đổi.
d) Chứng minh rằng khi m thay đổi, họ các đường tròn (Cm) luôn đi qua hai điểm cố định.
e) Tìm những điểm trong mặt phẳng tọa độ mà họ (Cm) không đi qua với mọi giá trị của tham số m.
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
Điều đó chứng tỏ (Cm) luôn là phương trình đường tròn.
b) Để (Cm) đi qua điểm A(2; −3) khi và chỉ khi
22 + (−3)2 −2(m + 2) − (m + 4)(−3) + m + 1 = 0
⇔ 2m + 22 = 0
⇔ m = −11.
c) Tọa độ tâm của họ đường tròn (Cm) là 
Đặt 
Vậy quỹ tích tâm I là đường thẳng y = x + 1.
d) Giả sử A(x0; y0) là điểm cố định của họ (Cm), khi đó ta có:
e) Giả sử A(x0; y0) là điểm mà họ (Cm) không đi qua với mọi m, khi đó ta có:
Điều đó tương đương với họ (Cm) không đi qua mọi điểm nằm trong hình tròn x2 + y2 − 2x − 4y + 1 = 0 trừ hai điểm A1(−1; 2) và A2(1; 0).
Câu 2. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 − 2x − 2my + m2 – 24 = 0 có tâm I và đường thẳng ∆: mx + 4y = 0 (ở đó m là tham số). Tìm m biết đường thẳng ∆ cắt đường tròn (C) tại hai điểm phân biệt A, B thỏa mãn diện tích tam giác IAB bằng 12.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; m), bán kính R = 5.
Gọi H là trung điểm của dây cung AB.
Ta có: IH là đường cao của tam giác IAB và
Theo bài ra ta có:
Câu 3. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho họ đường thẳng phụ thuộc tham số α là dα có phương trình: (x + 1)cosα + (y − 1)sinα − 1 = 0. Chứng minh rằng họ đường thẳng đã cho luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định.
Hướng dẫn giải
Lấy A(−1; 1), ta có:
Vậy họ đường thẳng luôn tiếp xúc với đường tròn (A; R = 1) cố định.
Câu 4. Cho họ đường tròn (Cm) có phương trình
a) Tìm tập hợp tâm của (Cm) khi m thay đổi.
b) Chứng minh rằng (Cm) luôn tiếp xúc với hai đường thẳng cố định.
c) Tìm m để (Cm) tiếp xúc với đường thẳng ∆: x + y − 2.
Hướng dẫn giải
a) Quỹ tích tâm là đường thẳng x − 2y = 0.
b) Họ đường tròn (Cm) có tâm I(2m; m) và bán kính 
Giả sử đường thẳng cố định cần tìm là (d): Ax + By + C = 0.
Suy ra: d(I; d) = R, ∀m.
Điều đó tương đương với:
Giải ra ta được:
c) Để đường thẳng ∆ tiếp xúc với (Cm) thì
Giải ra ta được: 
và 
Câu 5. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x + 8y − 5 = 0. Tìm điều kiện của tham số m để đường thẳng ∆: x + (m − 1)y + m = 0 tiếp xúc với đường tròn (C).
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(2; −4) và bán kính 
Để đường thẳng ∆ tiếp xúc với (C) khi và chỉ khi:
Vậy đường thẳng ∆ không thể tiếp xúc đường tròn.
Câu 6. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho đường tròn (C): (x − 1)2 + (y + 2)2 = 9 và đường thẳng (d): x + y + m = 0. Tìm m để trên đường thẳng d có duy nhất một điểm A mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến AB, AC tới đường tròn (C) (B, C là hai tiếp điểm) sao cho tam giác ABC vuông.
Hướng dẫn giải
Đường tròn (C) có tâm I(1; −2) và bán kính R = 3.
Nếu tam giác ABC vuông góc tại A thì khi đó tứ giác ABIC là hình vuông.
Theo tính chất hình vuông ta có IA = IB. (1)
Nếu A nằm trên d thì A(t; −m − t) suy ra 
Thay vào (1) ta có:
Để trên d có đúng một điểm A thì (2) có đúng một nghiệm t, từ đó ta có:
∆ = −(m2 + 10m + 25) = 0 ⇔ −(m + 5)2 = 0 ⇔ m = −5.
Khi đó (2) có nghiệm kép là:
Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ với hệ tọa độ Oxy, cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 − 2(m + 1)x − 2(m + 2)y + 6m + 7 = 0 (với m là tham số). Xác định tọa độ tâm đường tròn thuộc họ đã cho tiếp xúc với trục tung.
Hướng dẫn giải
Họ đường tròn (Cm) có tâm I(m + 1; m + 2) và bán kính
Để (Cm) tiếp xúc với trục tung thì
Thử lại ta được m = 3 thỏa mãn, từ đó ta được I(4; 5).
Câu 8. Cho đường tròn (C): (x − 2)2 + (y − 1)2 = 9 và đường thẳng ∆: (m + 1)x + my − 1 = 0, với m là tham số.
a) Chứng minh rằng đường thẳng ∆ luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Tìm m để độ dài đoạn thẳng AB đạt giá trị lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm I(2; 1) và bán kính R = 3.
Ta có:
Xét 
Vậy d(I; ∆) < R, ∀m, suy ra đường thẳng ∆ luôn cắt đường tròn tại hai điểm phân biệt A, B.
b) Gọi M là trung điểm của dây AB suy ra:
Từ đó ta có:
9m2 + 12m + 8 = 2ym2 + 2ym + y
⇔ (2y − 9)m2 + (2y − 12)m + (y − 8) = 0 (*)
Để tồn tại m thì phương trình (*) phải có nghiệm.
Khi y = 
thì ta có phương trình 
có nghiệm.
Khi y ≠ ta xét ∆’ = (y − 6)2 − (2y − 9)(y − 8) ≥ 0
⇔ 
Câu 9. Tìm tất cả các giá trị của tham số a để hệ phương trình sau có đúng hai nghiệm
Hướng dẫn giải
Phương trình thứ hai tương đương với:
Nhận thấy d1: x + y − 2 = 0 và d2: x + y + 2 = 0 là hai đường thẳng đối xứng nhau qua gốc tọa độ, mặt khác đường tròn (C): x2 + y2 = 2(1 + a) (a > −1) cũng đối xứng qua gốc tọa độ.
Vì vậy để hệ có đúng hai nghiệm thì đường tròn (C) phải tiếp xúc với d1. Từ đó ta có:
Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho họ đường tròn (Cm): x2 + y2 − 2mx − 2(1 − m)y + 2m2 − 2m − 3 = 0. Tìm quỹ tích tâm của họ đường tròn (Cm).
Hướng dẫn giải
Quỹ tích tâm đường tròn (Cm) là đường thẳng y = 1 − x.
Dạng 10. Tìm tọa độ một điểm thỏa một điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Ở đây, ta xét bài toán tìm tọa độ một điểm thỏa một điều kiện cho trước về độ dài, về góc, về khoảng cách, diện tích, liên quan đến đường tròn, tạo hình vuông, tam giác đều,…
Trong mặt phẳng Oxy, xét đường tròn (C): (x − a)2 + (y − b)2 = R2.
Tìm điểm M ∈ (C), ta làm như sau:
Cách 1:
– Gọi M(x0; y0) ∈ (C), ta có: (x0 − a)2 + (y0 − b)2 = R2.
– Dựa vào điều kiện cho trước ta có thêm hệ thức liên hệ giữa x0 và y0. Từ đó tìm được tọa độ của điểm M.
Cách 2:
– Chuyển phương trình đường tròn (C) về dạng tham số: 
với t ∈ [0; 360°).
– Gọi M(x0; y0) ∈ (C), ta có: 
với t ∈ [0; 360°).
– Sử dụng điều kiện cho trước để xác định sint và cost. Từ đó tìm được tọa độ của điểm M.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC vuông cân tại A. Biết M(1; −1) là trung điểm cạnh BC và 
là trọng tâm tam giác ABC. Tìm tọa độ các đỉnh A, B, C của tam giác ABC.
Hướng dẫn giải
Vì G là trọng tâm tam giác ABC và M là trung điểm cạnh BC nên ta có 
.
Vì tam giác ABC vuông cân tại A nên AM ⊥ BC và MA = MB = MC.
Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm M(1; −1) và nhận 
làm vectơ pháp tuyến là:
1(x − 1) − 3(y + 1) = 0 hay x − 3y − 4 = 0.
Vì MA = MB = MC = 
nên hai điểm B, C thuộc đường tròn (C): (x − 1)2 + (y + 1)2 = 10.
Do đó, tọa độ hai điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy A(0; 2), B(4; 0), C(−2; −2) hoặc A(0; 2), B(−2; −2), C(4; 0).
Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 6y + 5 = 0.
a) Tìm các điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên.
b) Xác định tọa độ các đỉnh B, C của tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (C), biết điểm A(4; 5).
Hướng dẫn giải
a) Ta xem phương trình đường tròn (C) đã cho là phương trình bậc hai với ẩn số là y:
y2 − 6y + x2 − 4x + 5 = 0 (1)
Phương trình (1) có nghiệm ⇔ ∆’ ≥ 0
⇔ −x2 + 4x + 4 ≥ 0
⇔ 
≤ x ≤ 
(2)
Từ (2) suy ra các điểm thuộc (C) có hoành độ nguyên là: 0; 1; 2; 3; 4 (3)
Lần lượt thay các hoành độ nguyên ở (3) vào (1) ta tìm được các điểm thuộc (C) có tọa độ nguyên là: (0; 1), (0; 5), (4; 1), (4; 5).
b) Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = 
.
Vì tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (C) nên tâm I của (C) là trọng tâm, đồng thời là trực tâm của tam giác ABC.
Gọi H(x; y) là hình chiếu vuông góc của A lên cạnh BC, ta có:
Phương trình đường thẳng BC đi qua điểm H(1; 2) và nhận 
làm vectơ pháp tuyến có dạng: x + y − 3 = 0.
Do đó, tọa độ hai điểm B, C là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy 
hoặc 
Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0 và đường thẳng (d): x + y − 2 = 0.
a) Chứng minh rằng (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A, B. Tính độ dài đoạn thẳng AB.
b) Tìm điểm C thuộc (C) sao cho tam giác ABC có diện tích lớn nhất.
Hướng dẫn giải
a) Xét hệ phương trình:
Hệ phương trình trên có hai nghiệm (2; 0) và (0; 2) nên suy ra (d) luôn cắt (C) tại hai điểm phân biệt A(2; 0), B(0; 2).
Ta có: 
b) Ta có (C): x2 + y2 − 4x − 4y + 4 = 0
⇔ (x − 2)2 + (y − 2)2 = 4.
Phương trình của (C) được viết dưới dạng tham số là: 
với t ∈ [0; 360°).
Vì C ∈ (C) nên suy ra C(2 + 2 sint; 2 + 2 cost).
Gọi H là hình chiếu vuông góc của C lên AB, ta có:
Suy ra tam giác ABC có diện tích lớn nhất khi và chỉ khi CH có độ dài lớn nhất.
Ta có:
Do đó, CH lớn nhất ⇔ sin(t + 45°) = 1 ⇔ t = 45°.
Vậy 
Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C): (x − 2)2 + (y − 3)2 = 2 và đường thẳng (d): x – y − 2 = 0.
a) Tìm trên (C) điểm P sao cho khoảng cách từ P đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
b) Tìm điểm M(x0; y0) thuộc (C) sao cho x0 + y0 đạt giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.
Hướng dẫn giải
a) Đường tròn (C) có tâm I(2; 3) và bán kính R = .
Ta có:
⇒ (d) không cắt (C).
Gọi ∆ là đường thẳng đi qua tâm I của (C) và vuông góc với (d).
Khi đó phương trình đường thẳng ∆ là:
1(x − 2) + 1(y − 3) = 0 hay x + y − 5 = 0.
Tọa độ giao điểm của ∆ và (C) là nghiệm của hệ phương trình:
Suy ra ∆ cắt (C) tại hai điểm phân biệt P1(1; 4) và P2(3; 2). Ta có:
Vậy khi P ≡ P1 thì khoảng cách từ P đến đường thẳng (d) đạt giá trị lớn nhất và khi P ≡ P2 thì khoảng cách từ P đến đường thẳng (d) đạt giá trị nhỏ nhất.
b) Phương trình của (C) được viết dưới dạng tham số là: 
với t ∈ [0; 360°).
Vì M(x0; y0) ∈ (C) nên suy ra 
. Ta có:
Do đó, ta có:
x0 + y0 đạt giá trị lớn nhất ⇔ sin(t + 45°) = 1 ⇔ t = 45° ⇒ M(1; 2).
x0 + y0 đạt giá trị nhỏ nhất ⇔ sin(t + 45°) = −1 ⇔ t = 225° ⇒ M(3; 4).
Bạn đang xem bài viết Tổng hợp công thức và các dạng bài xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 10. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
