Bạn đang xem bài viết Bất phương trình – Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn [PDF]. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Bất phương trình và hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn là một trong những điểm kiến thức trọng tâm của chương trình đại số thuộc toán học lớp 10. Ở bài học này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp độc giả tìm hiểu chi tiết và cách làm một số dạng bài tập cơ bản.
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa
Bất phương trình bậc nhất hai ẩn x, y có dạng tổng quát là
ax + by ≤ c (1) (ax + by < c; ax + by ≥ c; ax + by > c)
Trong đó a, b, c là những số thực đã cho, a và b không đồng thời bằng 0, x và y là các ẩn số.
Biểu diễn tập nghiệm
Cũng như bất phương trình bậc nhất một ẩn, các bất phương trình bậc nhất hai ẩn thường có vô số nghiệm và để mô tả tập nghiệm của chúng, ta sử dụng phương pháp biểu diễn hình học.
Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình (1) được gọi là miền nghiệm của nó.
Từ đó ta có quy tắc thực hành biểu diễn hình học tập nghiệm (hay biểu diễn miền nghiệm) của bất phương trình ax + by ≤ c như sau (tương tự cho bất phương trình ax + by ≥ c)
Bước 1. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, vẽ đường thẳng ∆: ax + by = c.
Bước 2. Lấy một điểm M0(x0; y0); không thuộc ∆ (ta thường lấy gốc tọa độ O)
Bước 3. Tính ax0 + by0 và so sánh ax0 + by0 với c.
Bước 4. Kết luận
Nếu ax0 + by0 < c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa M0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ≤ c.
Nếu ax0 + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ ∆ không chứa M0 là miền nghiệm của ax0 + by0 ≤ c.
Chú ý
Miền nghiệm của bất phương trình ax0 + by0 ≤ c bỏ đi đường thẳng ax + by = c là miền nghiệm của bất phương trình ax0 + by0 < c.
Ví dụ. Biểu diễn hình học tập nghiệm của bất phương trình 2x + y ≤ 3
Hướng dẫn giải
Vẽ đường thẳng ∆: 2x + y = 3
Lấy gốc tọa độ O(0; 0), ta thấy O ∉ ∆ và có 2⋅0 + 0 < 3 nên nửa mặt phẳng bờ ∆ chứa gốc tọa độ O là miền nghiệm của bất phương trình đã cho (miền không bị tô đậm trong hình).
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Định nghĩa
Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn gồm một số bất phương trình bậc nhất hai ẩn x y, mà ta phải tìm các nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệm chung đó được gọi là một nghiệm của hệ bất phương trình đã cho.
Biểu diễn tập nghiệm
Cũng như bất phương trình bậc nhất hai ẩn, ta có thể biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
Ví dụ: Biểu diễn hình học tập nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 3x + y \leqslant 6 \hfill \\ x + y \leqslant 4 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ y \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-1.svg)
.
Vẽ các đường thẳng
d1: 3x + y = 6
d2: x + y = 4
d3: x = 0 (Oy)
d4: y = 0 (Ox)
Vì điểm M0(1; 1) có tọa độ thỏa mãn tất cả các bất phương trình trong hệ trên nên ta tô đậm các nửa mặt phẳng bờ (d1), (d2), (d3), (d4) không chứa điểm M0.
Miền không bị tô đậm (hình tứ giác OCIA kể cả bốn cạnh AI, IC, CO, OA) trong hình vẽ là miền nghiệm của hệ đã cho.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Tìm nghiệm bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Câu 1. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0) không được gọi là miền nghiệm của nó.
B. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình 2x – 3y + 1 < 0 trên hệ trục Oxy là đường thẳng 2x – 3y + 1 = 0
C. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tập hợp các điểm có tọa độ là nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0) được gọi là miền nghiệm của nó.
D. Nghiệm của bất phương trình ax + by ≤ c (các hệ số a, b, c là những số thực, a và b không đồng thời bằng 0) là tập rỗng.
Hướng dẫn giải
⟹ Chọn C.
Câu 2. Câu nào sau đây sai?
Miền nghiệm của bất phương trình –x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x) là nửa mặt phẳng chứa điểm
A. (0; 0)
B. (1; 1)
C. (4; 2)
D. (1; −1)
Hướng dẫn giải
Ta có: –x + 2 + 2(y – 2) < 2(1 – x)
⇔ –x + 2 + 2y – 4 < 2 – 2x
⇔ x + 2y < 4
Dễ thấy tại điểm (4; 2) ta có: 4 + 2⋅2 = 8 > 4
⟹ Chọn C.
Câu 3. Câu nào sau đây đúng?
Miền nghiệm của bất phương trình 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3 là nửa mặt phẳng chứa điểm
A. (0; 0)
B. (−4; 2)
C. (−2; 2)
D. (−5; 3)
Hướng dẫn giải
Ta có: 3(x – 1) + 4(y – 2) < 5x – 3
⇔ 3x – 3 + 4y – 8 < 5x – 3
⇔ 2x – 4y + 8 > 0
⇔ x – 2y + 4 > 0
Dễ thấy tại điểm (0; 0) ta có: 0 – 2⋅0 + 4 = 4 > 0
⟹ Chọn A.
Câu 4. Câu nào sau đây sai?
Miền nghiệm của bất phương trình x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 – x) là nửa mặt phẳng chứa điểm
A. (−3; −4)
B. (−2; −5)
C. (−1; −6)
D. (0; 0)
Hướng dẫn giải
Ta có: x + 3 + 2(2y + 5) < 2(1 – x)
⇔ x + 3 + 4y + 10 < 2 – 2x
⇔ 3x + 4 y + 8 < 0
Dễ thấy tại điểm (0; 0) ta có: 3⋅0 + 4⋅0 + 8 > 0 (mâu thuẫn).
⟹ Chọn D.
Câu 5. Câu nào sau đây đúng?
Miền nghiệm của bất phương trình 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9 là nửa mặt phẳng chứa điểm
A. (0; 0)
B. (1; 1)
C. (−1; 1)
D. (2; 5)
Hướng dẫn giải
Ta có: 4(x – 1) + 5(y – 3) > 2x – 9
⇔ 4x – 4 + 5y – 15 > 2x – 9
⇔ 2x + 5y – 10 > 0
Dễ thấy tại điểm (2; 5) ta có: 2⋅2 + 5⋅5 – 10 > 0 (đúng).
⟹ Chọn D.
Câu 6. Miền nghiệm của bất phương trình 3x + 2(y + 3) > 4(x + 1) – y + 3 là phần mặt phẳng chứa điểm nào?
A. (3; 0)
B. (3; 1)
C. (1; 1)
D. (0; 0)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có cặp số (1; 1) thỏa bất phương trình.
⟹ Chọn C.
Câu 7. Miền nghiệm của bất phương trình 5(x + 2) – 9 < 2x – 2y + 7 là phần mặt phẳng không chứa điểm nào?
A. (−2; 1)
B. (2; 3)
C. (2; −1)
D. (0; 0)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có cặp số (2; 3) không thỏa bất phương trình.
⟹ Chọn C.
Câu 8. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình 2x + y < 1?
A. (−2; 1)
B. (3; −7)
C. (0; 1)
D. (0; 0)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có cặp số (0; 1) không thỏa bất phương trình.
⟹ Chọn C.
Câu 9. Trong các cặp số sau đây, cặp nào không là nghiệm của bất phương trình x – 4y + 5 ≥ 0?
A. (−5; 0)
B. (−2; 1)
C. (1; −3)
D. (0; 0)
Hướng dẫn giải
Ta thay cặp số (−2; 1) vào bất phương trình x – 4y + 5 ≥ 0 được –2 – 4 + 5 ≥ 0 (sai) do đó cặp số (−2; 1) không là nghiệm của bất phương trình x – 4y + 5 ≥ 0.
⟹ Chọn B.
Câu 10. Trong các bất phương trình sau, bất phương trình nào là bất phương trình bậc nhất hai ẩn?
A. 2x – 5y + 3z ≤ 0
B. 3x2 + 2x – 4 > 0
C. 2x2 + 5y > 3
D. 2x + 3y < 5
Hướng dẫn giải
Theo định nghĩa bất phương trình bậc nhất hai ẩn.
⟹ Chọn D.
Dạng 2. Tìm miền nghiệm của hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn
Câu 1. Trong các cặp số sau, cặp nào không là nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} x + y - 2 \leqslant 0 \hfill \\ 2x - 3y + 2 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-2.svg)
A. (0; 0)
B. (1; 1)
C. (−1; 1)
D. (−1; −1)
Hướng dẫn giải
Ta thay cặp số (−1; 1) vào hệ ta thấy không thỏa mãn.
⟹ Chọn C.
Câu 2. Câu nào sau đây đúng?
Miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} \frac{x}{2} + \frac{y}{3} - 1 \geqslant 0 \hfill \\ 2\left( {x - 1} \right) + \frac{{3y}}{2} \leqslant 4 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-3.svg)
là phần mặt phẳng chứa điểm
A. (2; 1)
B. (0; 0)
C. (1; 1)
D. (3; 4).
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có điểm (2; 1) thỏa mãn hệ.
⟹ Chọn A.
Câu 3. Điểm nào sau đây không thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 2x + 3y - 1 > 0 \hfill \\ 5x - y + 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-4.svg)
A. (−1; 4)
B. (−2; 4)
C. (0; 0)
D. (−3; 4)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có điểm (0; 0) không thỏa mãn hệ.
⟹ Chọn C.
Câu 4. Điểm nào sau đây thuộc miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 2x + 3y - 1 > 0 \hfill \\ 5x - y + 4 < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-5.svg)
A. (0; 0)
B. (1; 0)
C. (0; −2)
D. (0; 2)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có điểm (0; −2) thỏa mãn hệ.
⟹ Chọn C.
Câu 5. Miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} x - y > 0 \hfill \\ x - 3y + 3 < 0 \hfill \\ x + y - 5 > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-6.svg)
là phần mặt phẳng chứa điểm
A. (5; 3)
B. (0; 0)
C. (1; −1)
D. (−2; 2)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có điểm (5; 3) thỏa mãn hệ.
⟹ Chọn A.
Câu 6. Miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 3x + y \geqslant 9 \hfill \\ x \geqslant y - 3 \hfill \\ 2y \geqslant 8 - x \hfill \\ y \leqslant 6 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-7.svg)
là phần mặt phẳng chứa điểm
A. (0; 0)
B. (1; 2)
C. (2; 1)
D. (8; 4)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: chỉ có cặp số (8; 4) thỏa bất phương trình 3x + y ≥ 9.
⟹ Chọn D.
Câu 7. Cho hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} x + y > 0 \hfill \\ 2x + 5y < 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-8.svg)
có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. (1; 1) ∈ S
B. (−1; −1) ∈ S
C. ![\[\left( {1; - \frac{1}{2}} \right) \in {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-9.svg)
D. ![\[\left( { - \frac{1}{2};\frac{2}{5}} \right) \in {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-10.svg)
Hướng dẫn giải
Thế đáp án, chỉ có x = 1; y = ![\[ - \frac{1}{2}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-21.svg)
thỏa mãn hệ bất phương trình
⟹ Chọn C
Câu 8. Miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 3x + y \geqslant 6 \hfill \\ x \geqslant y - 3 \hfill \\ 2y \geqslant 8 - x \hfill \\ y \leqslant 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-11.svg)
là phần mặt phẳng chứa điểm:
A. (2; 1)
B. (6; 4)
C. (0; 0)
D. (1; 2)
Hướng dẫn giải
Nhận xét: Miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền mặt phẳng chứa tất cả các điểm có toạ độ thoả mãn tất cả các bất phương trình trong hệ.
Thế x = 6; y = 4 vào từng bất phương trình trong hệ, ta lần lượt có các mệnh đề đúng: 22 ≥ 6; 6 ≥ 1; 8 ≤ 2; 4 ≤ 4.
Vậy ta chọn đáp án B.
Đáp án A có toạ độ không thỏa bất phương trình thứ 3.
Đáp án C, D có toạ độ không thỏa bất phương trình thứ 1 và 3.
⟹ Chọn A.
Câu 9. Miền tam giác ABC kể cả ba cạnh sau đây là miền nghiệm của hệ bất phương trình nào trong bốn hệ bất phương trình dưới đây?
A. ![\[\left\{ \begin{gathered} y \geqslant 0 \hfill \\ 5x - 4y \geqslant 10 \hfill \\ 5x + 4y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-12.svg)
B. ![\[\left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ 5x - 4y \leqslant 10 \hfill \\ 4x + 5y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-13.svg)
C. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 4x - 5y \leqslant 10 \hfill \\ 5x + 4y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-14.svg)
D. ![\[\left\{ \begin{gathered} x \geqslant 0 \hfill \\ 5x - 4y \leqslant 10 \hfill \\ 4x + 5y \leqslant 10 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-15.svg)
Hướng dẫn giải
Cạnh AC có phương trình x = 0 và cạnh AC nằm trong miền nghiệm nên x ≥ 0 là một bất phương trình của hệ.
Cạnh AB qua hai điểm ![\[\left( {\frac{5}{2};0} \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-22.svg)
và (0; 2) nên có phương trình: ![\[\frac{x}{\begin{gathered} \frac{5}{2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } + \frac{y}{2} = 1 \Leftrightarrow 4x + 5y = 10\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-23.svg)
Vậy hệ bất phương trình cần tìm là
⟹ Chọn D.
Câu 10. Cho hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} x > 0 \hfill \\ x + \sqrt 3 y + 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-16.svg)
có tập nghiệm là S. Khẳng định nào sau đây là khẳng định đúng?
A. ![\[\left( {1; - 1} \right) \in {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-17.svg)
B. ![\[\left( {1; - \sqrt 3 } \right) \in {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-18.svg)
C. ![\[\left( { - 1;\sqrt 5 } \right) \in {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-19.svg)
D. ![\[\left( { - 4;\sqrt 3 } \right) \in {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-20.svg)
Hướng dẫn giải
Ta thấy ![\[\left( { - 1;\sqrt 5 } \right) \notin {\text{S}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-25.svg)
vì –1 < 0
⟹ Chọn C.
Dạng 3. Tìm giá trị nhỏ nhất – giá trị lớn nhất
Câu 1. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} y - 2x \leqslant 2 \hfill \\ 2x - y \geqslant 4 \hfill \\ x + y \leqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-26.svg)
là
A. min F = 1 khi x = 2, y = 3
B. min F = 2 khi x = 0, y = 2
C. min F = 3 khi x = 1, y = 4
D. min F = 0 khi x = 0, y = 0
Hướng dẫn giải
Miền nghiệm của hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} y - 2x \leqslant 2 \hfill \\ 2y - x \geqslant 4 \hfill \\ x + y \leqslant 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-41.svg)
là miền trong của tam giác ABC kể cả biên (như hình)
Ta thấy F = y − x đạt giá trị nhỏ nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C.
Tại A(0; 2) thì F = 2.
Tại B(1; 4) thì F = 3
Tại A(2; 3) thì F = 1.
Vậy min F = 1 khi x = 2, y = 3.
⟹ Chọn A.
Câu 2. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x trên miền xác định bởi hệ ![\[\left\{ \begin{gathered} 2x + y \leqslant 2 \hfill \\ x - y \leqslant 2 \hfill \\ 5x + y \geqslant - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-27.svg)
là
A. min F = −3 khi x = 1, y = –2
B. min F = 0 khi x = 0, y = 0
C. min F = −2 khi x = ![\[\frac{4}{3}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-28.svg){kind=small}
, y = ![\[ - \frac{2}{3}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-29.svg)
D. min F = 8 khi x = –2, y = 6
Hướng dẫn giải
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 2x + y \leqslant 2 \hfill \\ x - y \leqslant 2 \hfill \\ 5x + y \geqslant - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-42.svg)
trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F = y − x chỉ đạt được tại các điểm ![\[{\text{A}}\left( { - 2;6} \right),{\text{B}}\left( { - \frac{1}{3}; - \frac{7}{3}} \right),{\text{C}}\left( {\frac{4}{3}; - \frac{2}{3}} \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-43.svg)
Ta có: F(A) = 8; F(B) = –2; F(C) = –2
Vậy min F = –2 khi ![\[x = \frac{4}{3};y = - \frac{2}{3}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-44.svg)
⟹ Chọn C.
Câu 3. Cho hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} x - y \leqslant 2 \hfill \\ 3x + 5y \leqslant 15 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ y \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-30.svg)
. Khẳng định nào sau đây là khẳng định sai?
A. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình đã cho là miền tứ giác ABCO kể cả các cạnh với A(0; 3), ![\[{\text{B}}\left( {\frac{{25}}{8};\frac{9}{8}} \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-31.svg)
, C(2; 0) và O(0; 0).
B. Đường thẳng Δ: x + y = m có giao điểm với tứ giác ABCO kể cả khi ![\[ - 1 \leqslant m \leqslant \frac{{17}}{4}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-32.svg)
C. Giá trị lớn nhất của biểu thức x + y, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là ![\[\frac{{17}}{4}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-33.svg)
D. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức x + y, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình đã cho là 0
Hướng dẫn giải
Trước hết, ta vẽ bốn đường thẳng:
(d1): x – y = 2
(d2): 3x + 5y = 15
(d3): x = 0
(d4): y = 0
Miền nghiệm là phần không bị gạch, kể cả biên.
⟹ Chọn B.
Câu 4. Giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = x + 2y với điều kiện ![\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant y \leqslant 4 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ x - y - 1 \leqslant 0 \hfill \\ x + 2y - 10 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-34.svg)
là
A. 6
B. 8
C. 10
D. 12
Hướng dẫn giải
Vẽ đường thẳng d1: x – y – 1 = 0, đường thẳng d1 qua hai điểm (0; −1) và (1; 0)
Vẽ đường thẳng d2: x + 2y – 10 = 0, đường thẳng d2 qua hai điểm (0; 5) và (2; 4)
Vẽ đường thẳng d3: y = 4
Miền nghiệm là ngũ giác ABCOE với A(4; 3), B(2; 4), C(0; 4), E(1; 0)
Ta có: F(4; 3) = 10, F(2; 4) = 10, F(0; 4) = 8, F(1; 0) = 1, F(0; 0) = 0
Vậy giá trị lớn nhất của biểu thức F(x; y) = x + 2y bằng 10.
⟹ Chọn C.
Câu 5. Giá trị nhỏ nhất của biểu thức F(x; y) = x – 2y với điều kiện ![\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant y \leqslant 5 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ x + y - 2 \geqslant 0 \hfill \\ x - y - 2 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-35.svg)
là
A. −10
B. 12
C. −8
D. −6
Hướng dẫn giải
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant y \leqslant 5 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ x + y - 2 \geqslant 0 \hfill \\ x - y - 2 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-45.svg)
trên hệ trục tọa độ như dưới đây:.
Nhận thấy biểu thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B, C hoặc D.
Ta có: F(A) = 7 – 2 × 5 = –3; F(B) = –2 × 5 = –10
F(C) = –2 × 2 = –4; F(D) = 2 – 2 × 0 = 2
Vậy min F = –10 khi x = 0, y = 5.
⟹ Chọn A.
Câu 6. Biểu thức F = x – y đạt giá trị nhỏ nhất với điều kiện ![\[\left\{ \begin{gathered} - 2x + y \leqslant - 2 \hfill \\ x - 2y \leqslant 2 \hfill \\ x + y \leqslant 5 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-36.svg)
tại điểm S(x; y) có tọa độ là
A. (4; 1)
B. (3; 1)
C. (2; 1)
D. (1; 1)
Hướng dẫn giải
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} - 2x + y \leqslant - 2 \hfill \\ x - 2y \leqslant 2 \hfill \\ x + y \leqslant 5 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-46.svg)
trên hệ trục tọa độ như dưới đây:
Nhận thấy biểu thức F = y − x chỉ đạt giá trị nhỏ nhất tại các điểm A, B hoặc C.
Chỉ C(4; 1) có tọa độ nguyên nên thỏa mãn.
Vậy min F = –3 khi x = 4, y = 1
⟹ Chọn A.
Câu 7. Biểu thức L = y – x, với x và y thỏa mãn hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 2x + 3y - 6 \leqslant 0 \hfill \\ x \geqslant 0 \hfill \\ 2x - 3y - 1 \leqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-37.svg)
, đạt giá trị lớn nhất là a và đạt giá trị nhỏ nhất là b. Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau:
A. a = ![\[\frac{{25}}{8}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-38.svg)
và b = −2
B. a = 2 và b = ![\[ - \frac{{11}}{{12}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-39.svg)
C. a = 3 và b = 0
D. a = 3 và b = ![\[ - \frac{9}{8}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-40.svg)
Hướng dẫn giải
Trước hết, ta vẽ ba đường thẳng:
(d1): 2x + 3y – 6 = 0
(d2): x = 0
(d3): 2x – 3y – 1 = 0
Ta thấy (0; 0) là nghiệm của cả ba bất phương trình. Điều đó có nghĩa gốc tọa độ thuộc cả ba miền nghiệm của cả ba bất phương trình. Sau khi gạch bỏ các miền không thích hợp, miền không bị gạch là miền nghiệm của hệ (kể cả biên).
Miền nghiệm là hình tam giác ABC (kể cả biên), với ![\[{\text{A}}\left( { - 2;6} \right),{\text{B}}\left( {\frac{7}{4};\frac{5}{6}} \right),{\text{C}}\left( {0; - \frac{1}{3}} \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-47.svg)
Vậy ta có ![\[a = 2 - 0 = 2,{\text{ }}b = \frac{5}{6} - \frac{7}{4} = - \frac{{11}}{{12}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-48.svg)
⟹ Chọn B.
Dạng 4. Áp dụng bài toán thực tế
Câu 1. Trong một cuộc thi pha chế, hai đội A, B được sử dụng tối đa 24g hương liệu, 9 lít nước và 210g đường để pha chế nước cam và nước táo. Để pha chế 1 lít nước cam cần 30g đường, 1 lít nước và 1g hương liệu; pha chế 1 lít nước táo cần 10g đường, 1 lít nước và 4g hương liệu. Mỗi lít nước cam nhận được 60 điểm thưởng, mỗi lít nước táo nhận được 80 điểm thưởng. Đội A pha chế được a lít nước cam và b lít nước táo và dành được điểm thưởng cao nhất. Hiệu số a − b là
A. 1
B. 3
C. −1
D. −6
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là số lít nước cam và nước táo mà mỗi đội cần pha chế (x ≥ 0; y ≥ 0).
Để pha chế x lít nước cam cần 30x (g) đường, x lít nước và x (g) hương liệu.
Để pha chế y lít nước táo cần 10y (g) đường, y lít nước và 4y (g) hương liệu.
Theo bài ra ta có hệ bất phương trình:
![\[\left\{ \begin{gathered} 30x + 10y \leqslant 210 \hfill \\ x + y \leqslant 9 \hfill \\ x + 4y \leqslant 24 \hfill \\ x \geqslant 0;y \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-50.svg)
Số điểm đạt được khi pha x lít nước cam và y lít nước táo là M(x; y) = 60x + 80y.
Bài toán trở thành tìm x, y để M(x; y) đạt giá trị lớn nhất.
Ta biểu diễn miền nghiệm của hệ (*) trên mặt phẳng tọa độ như sau:
Miền nghiệm là ngũ giác ABCDE.
Tọa độ các điểm: A(4; 5), B(6; 3), C(7; 0), D(0; 0), E(0; 6).
M(x; y), sẽ đạt giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất tại các đỉnh của miền nghiệm nên thay tọa độ các điểm vào biểu thức M(x; y), ta được:
M(4; 5) = 640, M(6; 3) = 600, M(7; 0) = 420, M(0; 0) = 0, M(0; 6) = 480.
Vậy giá trị lớn nhất của M(x; y) bằng 640 khi:
x = 4; y = 5 ⇒ a = 4; b = 5 ⇒ a – b = –1
⟹ Chọn C.
Câu 2. Một hộ nông dân định trồng đậu và cà trên diện tích 800m2. Nếu trồng đậu trên diện tích 100m2 thì cần 20 công làm và thu được 3,000,000 đồng. Nếu trồng cà thì trên diện tích 100m2 cần 30 công làm và thu được 4,000,000 đồng. Hỏi cần trồng mỗi loại cây trên diện tích là bao nhiêu để thu được nhiều tiền nhất khi tổng số công làm không quá 180 công. Hãy Chọn phương án đúng nhất trong các phương án sau:
A. Trồng 600m2 đậu; 200m2 cà
B. Trồng 500m2 đậu; 300m2 cà
C. Trồng 400m2 đậu; 200m2 cà
D. Trồng 200m2 đậu; 600m2 cà
Hướng dẫn giải
Giả sử diện tích trồng đậu là x (trăm m2); suy ra diện tích trồng cà là 8 − x (trăm m2)
Ta có thu nhập thu được là S(x) = [3x + 4(8 – x)]⋅10000 = 10000(–x + 32) đồng.
Tổng số công là 20x + 30(8 – x) = –10x + 240
Theo giả thiết có −10x + 240 ≤ 180 ⇒ x ≥ 6
Mà hàm số S(x) là hàm nghịch biến trên ℝ nên S(x) đạt giá trị lớn nhất khi x = 6.
Do đó trồng 600m2 đậu, 200m2 cà.
⟹ Chọn A.
Câu 3. Một công ty TNHH trong một đợt quảng cáo và bán khuyến mãi hàng hóa (1 sản phẩm mới của công ty) cần thuê xe để chở trên 140 người và trên 9 tấn hàng. Nơi thuê chỉ có hai loại xe A và B. Trong đó xe loại A có 10 chiếc, xe loại B có 9 chiếc. Một chiếc xe loại A cho thuê với giá 4 triệu, loại B giá 3 triệu. Hỏi phải thuê bao nhiêu xe mỗi loại để chi phí vận chuyển là thấp nhất. Biết rằng xe A chỉ chở tối đa 20 người và 0, 6 tấn hàng. Xe B chở tối đa 10 người và 1,5 tấn hàng.
A. 4 xe A và 5 xe B
B. 5 xe A và 6 xe B.
C. 5 xe A và 4 xe B
D. 6 xe A và 4 xe B
Hướng dẫn giải
Gọi x là số xe loại A (0 ≤ x ≤ 10; x ∈ ℕ), y là số xe loại B (0 ≤ y ≤ 9; y ∈ ℕ).
Khi đó tổng chi phí thuê xe là T = 4x + 3y (triệu đồng).
Xe A chở tối đa 20 người, xe B chở tối đa 10 người nên tổng số người 2 xe chở tối đa được là 20x + 10y (người).
Xe A chở được 0,6 tấn hàng, xe B chở được 1,5 tấn hàng nên tổng lượng hàng 2 xe chở được là 0,6x + 1,5y (tấn).
Theo giả thiết, ta có ![\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 10 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 9 \hfill \\ 20x + 10y \geqslant 140 \hfill \\ 0,6x + 1,5y \geqslant 9 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-51.svg)
Biểu diễn miền nghiệm của hệ bất phương trình (*) là tứ giác ABCD kể cả miền trong của tứ giác (như hình vẽ trên).
Biểu thức T = 4x + 3y đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD.
Tại các đỉnh A(10; 2); B(10; 9); ![\[{\text{C}}\left( {\frac{5}{2};9} \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-52.svg)
; D(5; 4), ta thấy T đạt giá trị nhỏ nhất tại ![\[\left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-53.svg)
Khi đó min Tmin = 32 (triệu đồng).
⟹ Chọn D.
Câu 4. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, 1kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn. Tính x2 + y2.
A. x2 + y2 = 1,3
B. x2 + y2 = 2,6
C. x2 + y2 = 1,09
D. x2 + y2 = 0,58
Hướng dẫn giải
Điều kiện: 0 ≤ x ≤ 1,6; 0 ≤ y ≤ 1,1
Khi đó số protein có được là 800x + 600y và số lipit có được là 200x + 400y
Vì gia đình đó cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày nên điều kiện tương ứng là:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} 800x + 600y \geqslant 900 \hfill \\ 200x + 400y \geqslant 400 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 8x + 6y \geqslant 9 \hfill \\ x + 2y \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 1,6 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 1,1 \hfill \\ 8x + 6y \geqslant 9 \hfill \\ x + 2y \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-54.svg)
Miền nghiệm của hệ trên là miền nghiệm của tứ giác ABCD (kể cả biên)
Chi phí để mua x (kg) thịt bò và y (kg) thịt lợn là T = 160x + 110y
Biết T đạt giá trị nhỏ nhất tại một trong các đỉnh của tứ giác ABCD
Tại A: T = 160⋅0,6 + 110⋅0,7 = 173 (nghìn)
Tại B: T = 160⋅1,6 + 110⋅0,2 = 278 (nghìn)
Tại C: T = 160⋅1,6 + 110⋅1,1 = 377 (nghìn)
Tại D: T = 160⋅0,3 + 110⋅1,1 = 169 (nghìn)
Vậy T đạt GTNN khi x = 0,3; y = 1,1 ⇒ x2 + y2 = 0,32 + 1,12 = 1,3
⟹ Chọn A.
Câu 5. Có hai cái giỏ đựng trứng gồm giỏ A và giỏ B, các quả trứng trong mỗi đều có hai loại là trứng lành và trứng hỏng. Tổng số trứng trong hai giỏ là 20 quả và số trứng trong giỏ A nhiều hơn số trứng trong giỏ B. Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, biết xác suất để lấy được hai quả trứng lành là ![\[\frac{{55}}{{84}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-49.svg)
. Tìm số trứng lành trong giỏ A.
A. 6
B. 14
C. 11
D. 10
Hướng dẫn giải
Gọi a là số trứng lành, b là số trứng hỏng trong giỏ A.
Gọi x là số trứng lành, y là số trứng hỏng trong giỏ B.
Lấy ngẫu nhiên mỗi giỏ 1 quả trứng, xác suất để lấy được hai quả trứng lành:
![\[\frac{a}{{a + b}} \cdot \frac{x}{{x + y}} = \frac{{55}}{{84}}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-55.svg)
Do đó:
![\[\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \left( {ax} \right){\text{ }} \vdots {\text{ }}55 \hfill \\ \left( {a + b} \right)\left( {x + y} \right){\text{ }} \vdots {\text{ }}84 \hfill \\ a + b + x + y = 20 \hfill \\ \left( {a + b} \right)\left( {x + y} \right) \leqslant {\left( {\frac{{a + b + x + y}}{2}} \right)^2} = 100 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a + b = 14 \hfill \\ x + y = 6 \hfill \\ \left( {ax} \right){\text{ }} \vdots {\text{ }}55 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 11 \hfill \\ x = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-56.svg)
Suy ra: Giỏ A có 11 quả trứng lành.
⟹ Chọn C.
Câu 6. Trong một cuộc thi pha chế, mỗi đội chơi được sử dụng tối đa 24 gam hương liệu, 9 lít nước và 210 gam đường để pha chế nước ngọt loại I và nước ngọt loại II. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại I cần 10 gam đường, 1 lít nước và 4 gam hương liệu. Để pha chế 1 lít nước ngọt loại II cần 30 gam đường, 1 lít nước và 1 gam hương liệu. Mỗi lít nước ngọt loại I được 80 điểm thưởng, mỗi lít nước ngọt loại II được 60 điểm thưởng. Hỏi số điểm thưởng cao nhất có thể của mỗi đội trong cuộc thi là bao nhiêu?
A. 540
B. 600
C. 640
D. 720.
Hướng dẫn giải
Gọi số lít nước ngọt loại I là x và số lít nước ngọt loại II là y. Khi đó ta có hệ điều kiện về vật liệu ban đầu mà mỗi đội được cung cấp:
![\[\left\{ \begin{gathered} 10x + 30y \leqslant 210 \hfill \\ 4x + y \leqslant 24 \hfill \\ x + y \leqslant 9 \hfill \\ x,y \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3y \leqslant 21 \hfill \\ 4x + y \leqslant 24 \hfill \\ x + y \leqslant 9 \hfill \\ x,y \geqslant 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( * \right)\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-57.svg)
Điểm thưởng đạt được: P = 80x + 60y
Bài toán đưa về tìm giá trị lớn nhất của biểu thức P trong miền D được cho bởi hệ điều kiện (*)
Biến đổi biểu thức P = 80x + 60y ⇔ 80x + 60y – P = 0 đây là họ đường thẳng Δ(P) trong hệ tọa độ Oxy
Miền D được xác định trong hình vẽ bên dưới:
Giá trị lớn nhất của P ứng với đường thẳng Δ(P) đi qua điểm A(5; 4), suy ra:
50⋅5 + 60⋅4 – P = 0 → P = 640 = Pmax
⟹ Chọn C.
Câu 7. Một xưởng cơ khí có hai công nhân là Chiến và Bình. Xưởng sản xuất loại sản phẩm I và II. Mỗi sản phẩm I bán lãi 500 nghìn đồng, mỗi sản phẩm II bán lãi 400 nghìn đồng. Để sản xuất được một sản phẩm I thì Chiến phải làm việc trong 3 giờ, Bình phải làm việc trong 1 giờ. Để sản xuất được một sản phẩm II thì Chiến phải làm việc trong 2 giờ, Bình phải làm việc trong 6 giờ. Một người không thể làm được đồng thời hai sản phẩm. Biết rằng trong một tháng Chiến không thể làm việc quá 180 giờ và Bình không thể làm việc quá 220 giờ. Số tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là.
A. 32 triệu đồng
B. 35 triệu đồng
C. 14 triệu đồng
D. 30 triệu đồng.
Hướng dẫn giải
Gọi x, y lần lượt là số sản phẩm loại I và loại II được sản xuất ra. Điều kiện x, y nguyên dương.
Ta có hệ bất phương trình sau:
![\[\left\{ \begin{gathered} 3x + 2y \leqslant 180 \hfill \\ x + 6y \leqslant 220 \hfill \\ x > 0 \hfill \\ y > 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-58.svg)
Miền nghiệm của hệ trên là
Tiền lãi trong một tháng của xưởng là T = 0,5x + 0,4y (triệu đồng).
Ta thấy T đạt giá trị lớn nhất chỉ có thể tại các điểm A, B, C. Vì C có tọa độ không nguyên nên loại.
Tại A(60; 0) thì T = 30 triệu đồng.
Tại B(40; 30) thì T = 32 triệu đồng.
Vậy tiền lãi lớn nhất trong một tháng của xưởng là 32 triệu đồng.
⟹ Chọn A.
Câu 8. Một gia đình cần ít nhất 900 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit trong thức ăn mỗi ngày. Mỗi kilogam thịt bò chứa 800 đơn vị protein và 200 đơn vị lipit. Mỗi kilogam thịt lợn chứa 600 đơn vị protein và 400 đơn vị lipit. Biết rằng gia đình này chỉ mua nhiều nhất 1,6kg thịt bò và 1,1kg thịt lợn. Giá tiền một kg thịt bò là 160 nghìn đồng, một kg thịt lợn là 110 nghìn đồng. Gọi x, y lần lượt là số kg thịt bò và thịt lợn mà gia đình đó cần mua. Tìm x, y để tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipid trong thức ăn?
A. x = 0,3 và y = 1,1
B. x = 0,3 và y = 0,7
C. x = 0,6 và y = 0,7
D. x = 1,6 và y = 0,2.
Hướng dẫn giải
Theo bài ra ta có số tiền gia đình cần trả là 160x + 110y với x, y thỏa mãn: ![\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 1,6 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 1,1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-59.svg)
Số đơn vị protein gia đình có là 0,8x + 0,6y ≥ 0,9 ⇔ 8x + 6y ≥ 9 (d1).
Số đơn vị lipit gia đình có là 0,2x + 0, 4y ≥ 0,4 ⇔ x + 2y ≥ 2 (d2).
Bài toán trở thành: Tìm x, y thỏa mãn hệ bất phương trình ![\[\left\{ \begin{gathered} 0 \leqslant x \leqslant 1,6 \hfill \\ 0 \leqslant y \leqslant 1,1 \hfill \\ 8x + 6y \geqslant 9 \hfill \\ x + 2y \geqslant 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/bat-phuong-trinh-bac-nhat-hai-an-60.svg)
sao cho T = 160x + 110y nhỏ nhất.
Vẽ hệ trục tọa độ ta tìm được tọa độ các điểm A(1,6; 1,1); B(1,6; 0,2) ; C(0,6; 0,7); D(0,3; 1,1).
Nhận xét: T(A) = 377 nghìn, T(B) = 278 nghìn, T(C) = 173 nghìn, T(D) = 169 nghìn.
Vậy tổng số tiền họ phải trả là ít nhất mà vẫn đảm bảo lượng protein và lipit trong thức ăn thì x = 0,6 và y = 0,7.
⟹ Chọn A.
Bạn đang xem bài viết Bất phương trình – Hệ bất phương trình bậc nhất hai ẩn [PDF] xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 10. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
