Toán lớp 11: 5 dạng bài tập đặc trưng và cách giải mới nhất 2023

Giới hạn dãy số là nền tảng giúp nghiên cứu các kiến thức về giải tích cao hơn như nguyên hàm, tích phân. Để giải quyết tốt các bài toán về giới hạn dãy số, trước tiên bạn cần hiểu được khái niệm giới hạn dãy số, giới hạn hữu hạn và giới hạn vô cực. Và đặc biệt, đây sẽ là nền tảng cho việc học bài giới hạn của hàm số.

Lý thuyết giới hạn dãy số

1. Khái niệm giới hạn dãy số

Dãy số (u_n) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực nếu |u_n| có thể nhỏ hơn một số dương bé tùy ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: hay lim u_n = 0.

Ví dụ 1:

2. Định nghĩa giới hạn dãy số

Dãy số (u_n) có giới hạn là a nếu |u_n – a| có giới hạn bằng 0.

Nghĩa là:

3. Định lý về giới hạn hữu hạn

3.1. Định lí 1

+) với k là số nguyên dương.

+) lim qⁿ = 0 nếu |q| < 1.

3.2. Định lý 2

+) Nếu lim u_n = a và lim v_n = b thì

+) Nếu u_n ≥ 0 với mọi n và lim u_n = a thì a ≥ 0 và .

4. Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn

4.1. Khái niệm cấp số nhân lùi vô hạn

Cấp số nhân vô hạn (u_n) có công bội q thỏa mãn |q| < 1 được gọi là cấp số nhân lùi vô hạn.

4.2. Tổng cấp số nhân lùi vô hạn

Cho cấp số nhân lùi vô hạn (u_n), ta có tổng của cấp số nhân lùi vô hạn đó là

5. Giới hạn vô cực

5.1. Định nghĩa giới hạn vô cực

+) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn +∞ khi n → +∞, nếu u_n có thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim u_n = +∞.

+) Ta nói dãy số (u_n) có giới hạn −∞ khi n → +∞, nếu lim (–u_n) = +∞.

Kí hiệu: lim u_n = −∞.

5.2. Định lí về giới hạn vô cực

a) Nếu lim u_n = a và lim v_n = ±∞ thì

b) Nếu lim u_n = a > 0, lim v_n = 0 và v_n > 0 với mọi n thì

c) Nếu lim u_n = +∞ và lim v_n = a > 0 thì lim (u_n.v_n) = +∞

Dạng 1: Dùng định nghĩa chứng minh giới hạn

1.1. Phương pháp giải

Để chứng minh lim u_n = L ta chứng minh lim (u_n – L) = 0.

1.2. Bài tập vận dụng

Câu 1. Chứng minh rằng

a)

b)

Lời giải

a) Ta có: 

Vì:

Mà:

Nên suy ra:

Do đó:

b) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên suy ra:

Do đó:

Câu 2. Chứng minh rằng

a)

b)

Lời giải

a) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên suy ra:

Do đó:

b) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên suy ra:

Do đó:

Câu 3. Chứng minh rằng

a)

b)

c)

d)

Lời giải

a) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên suy ra:

Do đó:

b) Ta có:

Vì

Mà nên

Do đó:

c) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên:

Do đó:

d) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên:

Do đó:

Câu 4. Chứng minh rằng

a)

b)

c)

d)

Lời giải

a) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên:

Do đó:

b) Ta có:

Vì:

Mà:

Nên:

Do đó:

c) Ta có:

Mà: nên

d) Ta có:

Mà:

Do đó:

Câu 5. Chứng minh rằng

a)

b)

Lời giải

a) Ta có:

Mà: nên

b) Ta có:

Mà nên

Dạng 2: Tính giới hạn dãy số dạng phân thức

2.1. Phương pháp giải

Tính giới hạn trong đó f(n) và g(n) là các đa thức bậc n.

+) Bước 1: Đặt n^k, nⁱ với k là số mũ cao nhất của đa thức f(n) và i là số mũ cao nhất của đa thức g(n) ra làm nhân tử chung.

+) Đơn giản: Sau đó áp dụng kết quả .

2.2. Bài tập vận dụng

Các bài tập vận dụng có áp dụng một vài kiến thức của dạng toán số 3, do đó bạn có thể lướt xuống xem phương pháp giải và ứng dụng vào để dễ hiểu hơn nhé.

Câu 1. Tính các giới hạn

a)

b)

Lời giải

a) Chia cả tử và mẫu cho n có bậc lớn nhất.

Ta có:

b) Tương tự:

Câu 2. Tính các giới hạn

a)

b)

Lời giải

a) Ta có:

b) Tương tự:

Câu 3. Tính giới hạn .

Lời giải

Ta có:

Vì

Và

Do đó:

Câu 4. Tính giới hạn của

a)

b)

Lời giải

a) Vì:

Mà

b) Vì:

Mà

Câu 5. Tính giới hạn của

a)

b)

Lời giải

a)

b)

Câu 6. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

Tìm số hạng tổng quát u_n của dãy. Tính lim u_n.

Lời giải

u_n ≠ 0, ∀n ≥ 1 nên

 

Đặt ta thu được dãy:

Từ đó ta có:

a_{n + 1} = 2 (2n + 1) + a_n

= 2 (2n + 1) + 2 [2 (n – 1) + 1] + a_{n – 1}

= a₁ + 4 (1 + 2+ …+ n) + 2n

Suy ra:

Vậy:

Câu 7. Cho dãy số (a_n) thỏa mãn:

Tính lim a_n.

Lời giải

Với mỗi n ∊ ℕ^*, đặt ta có y₁ = 1 và

Do đó:

Vậy: lim a_n = –4.

Câu 8. Cho dãy số (u_n) xác định như sau: . Tính lim u_n.

Lời giải

Trước hết ta dễ thấy –1 < u_n < 0 với mọi n ≥ 2. Ta lại có:

Lập luận tương tự như thế ta được:

Mà: nên .

Câu 9. Cho dãy số (u_n) xác định như sau: . Tính .

Lời giải

Ta có:

u₁ = u₁ + 0

u₂ = u₁ + 1

u₃ = u₂ + 2

…

u_n = u_{n – 1} + n – 1

Cộng các đẳng thức trên vế theo vế ta được:

Từ đó:

Nên:

Câu 10. Cho dãy số (x_n) xác định bởi với mọi n ≥ 1

Với mỗi số nguyên dương n đặt:

.

Chứng minh dãy số (y_n) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.

Lời giải

Ta có:

Kết hợp x₁ = 2017 ta có x_n > 2017, ∀n ≥ 2.

Ta có:

Suy ra (x_n) là dãy tăng nghiêm ngặt.

Giả sử (x_n) bị chặn trên suy ra (x_n) có giới hạn hữu hạn.

Đặt lim x_n = L suy ra L ≥ 2017. Khi đó ta có:

Vậy: lim x_n = +∞.

Ta có:

Do đó:

Suy ra:

Do:

Nên dãy (y_n) có giới hạn hữu hạn và

Dạng 3: Tính giới hạn dãy số dạng phân thức chứa aⁿ

3.1. Phương pháp giải

+) Bước 1: Đưa biểu thức về cùng một số mũ n.

+) Bước 2: Chia tử và mẫu số cho aⁿ trong đó a là số có trị tuyệt đối lớn nhất.

+) Bước 3: Áp dụng kết quả “Nếu |q| < 1 thì lim qⁿ = 1”.

3.2. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tính .

Lời giải

Câu 2. Tính .

Do

Câu 3. Tính .

Lời giải

Câu 4. Tính .

Lời giải

Câu 4. Tính các giới hạn

a)

b)

c)

Lời giải

a) Ta có:

b) Tương tự:

c)

Dạng 4: Dãy số dạng Lũy thừa – Mũ

4.1. Phương pháp giải

+) lim n^k = +∞, k > 0.

+) lim aⁿ = +∞, a > 1.

+) .

+) lim aⁿ = 0, –1 < a < 1.

+) Nếu (u_n) là CSN lùi vô hạn với công bội q, ta có

.

Chú ý:

+) lim u_n = +∞, lim v_n = a > 0 ⇒ lim u_nv_n = +∞;

+) lim u_n = +∞, lim v_n = a < 0 ⇒ lim u_nv_n = −∞;

+) lim u_n = −∞, lim v_n = a > 0 ⇒ lim u_nv_n = −∞;

+) lim u_n = −∞, lim v_n = a < 0 ⇒ lim u_nv_n = +∞.

4.2. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm các giới hạn sau

a) lim (2ⁿ + 3ⁿ);

b) lim [–4ⁿ + (–2) ⁿ].

Lời giải

a)

b)

Câu 2. Tìm các giới hạn sau

a)

b)

c)

Lời giải

a)

b)

c)

Câu 3. Tìm các giới hạn sau

a)

b)

Lời giải

a)

b)

Câu 4. Tính giới hạn sau lim (2.3ⁿ – n + 1).

Lời giải

Ta có: 3ⁿ – n > 0 với ∀n ∊ ℕ.

Do đó: lim (2.3ⁿ – n + 1) ≥ lim (3ⁿ + 1) = +∞

Vậy lim (2.3ⁿ – n + 1) = +∞.

Câu 5. Tìm giới hạn sau

Lời giải

Đặt

Ta có:

Tương tự:

Từ đó:

Vậy

Câu 6. Tìm giới hạn sau:

Lời giải

Câu 7. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

.

Tính giới hạn .

Lời giải

Đặt . Ta có:

 

Vậy, ta có

Do đó

Câu 8. Cho dãy số (u_n) xác định bởi

.

Tính giới hạn lim u_n.

Lời giải

Ta có:

Do đó:

Vậy:

Dạng 5: Giới hạn dãy số chứa căn thức

5.1. Phương pháp giải

Ta thường gặp hai dạng sau:

Dạng 1: Sử dụng các tính chất giới hạn để tính.

Dạng 2: Dạng vô định, cần nhân lượng liên hợp hoặc thêm bớt hạng tử.

5.2. Bài tập vận dụng

Câu 1. Tìm giới hạn:

Lời giải

Ta có:

Câu 2. Tính giới hạn của dãy số sau:

Lời giải

Ta có:

Câu 3. Tính giới hạn:

Lời giải

Nhận xét

+) Ở bước (*) ta đã nhân biểu thức liên hợp của để khử dạng vô định ∞ – ∞

+) Giới hạn , với a = const lại một lần nữa được sử dụng.

Câu 4. Tính các giới hạn sau

a)

b)

Lời giải

a)

b)

Câu 5. Tính giới hạn:

Lời giải

Nhận xét

+) Trong ví dụ này, ta đã rút n^k (ở cả tử và mẫu) làm nhân tử chung với k là bậc cao nhất của n ở tử số và mẫu số.

+) Cần chú ý giới hạn quan trọng , với a = const.

Câu 6. Tính giới hạn:

Lời giải

Vì

và

Nhận xét: Cần chú ý giới hạn sau:

Nếu

thì  .

Câu 7. Tính giới hạn của các dãy số sau:

a) ;

b)

Lời giải

a) Ta có:

Vì:

Vậy: lim u_n = +∞

b) Ta có:

Vì:

Vậy: lim v_n = +∞

Câu 8. Tính giới hạn:

Lời giải

Câu 9. Tìm giới hạn

Lời giải

Câu 10. Tìm giới hạn:

Lời giải

Ta có:

Mà:

Nên:

Vậy:

Câu 11.

Lời giải

Câu 12.

Lời giải

Câu 13. 

Lời giải

Câu 14.

Lời giải

Câu 15.  Tìm giới hạn của dãy (u_n), với

Lời giải

Ta chứng minh bằng quy nạp rằng:

Rõ ràng (*) đúng khi n = 1.

Giả sử (*) đúng khi n = k, k ∊ ℕ^*, tức là

Khi đó ta có:

Theo nguyên lý quy nạp, ta có điều phải chứng minh.

Trở lại bài toán. Lấy M > 0 tùy ý.

Khi đó có số m ∊ ℕ^* sao cho m > M.

Hơn nữa, từ (*) ta có:

Như vậy, các số hạng của dãy u_n kể từ số hạng thứ m² + 1 trở đi đều lớn hơn M.

Do đó lim u_n = +∞.

Câu 16. Tính

Lời giải

Câu 17. Tính giới hạn của dãy số sau:

Lời giải

Vậy

Câu 18. Tính giới hạn của dãy số (u_n) với

Lời giải

Câu 19. Tính

Lời giải

Câu 20. Tính các giới hạn sau

a)

b)

Lời giải

a)

b)

Câu 21. Tính giới hạn:

.

Lời giải

Câu 22. Tính giới hạn với a > 0.

Lời giải

Giả sử a > 1.

Khi đó

Suy ra nên

Với 0 < a < 1, thì:

Tóm lại ta luôn có: với a > 0.

Câu 23. Tính giới hạn:

Lời giải

Câu 24. Tìm lim u_n biết

Lời giải

Ta có

Suy ra

Từ đó ta có lim u_n = 1.

Câu 25. Tính giới hạn:

Lời giải

Sử dụng đánh giá:

Và:

Ta được:

Câu 26. Cho dãy số u_n thỏa:

Biết rằng u_n có duy nhất một công thức, tính:

Lời giải

Dựa vào biểu thức u_n ta tính:

u₁ = 3 = 1 + 2 = 1² + 2;

u₂ = 6 = 4 + 2 = 2² + 2;

u₃ = 11 = 9 + 2 = 3² + 2;

…

u_n = n² + 2;

…

Ta dự đoán công thức u_n = n² + 2, thật vậy:

Suy ra u_n = n² + 2, n ∊ ℕ^*, n ≥ 3;

Ta có:

Vậy

Câu 27. Tính giới hạn .

Lời giải

Với a nhỏ tùy ý, ta chọn , ta có:

Suy ra:

Câu 28. Tính giới hạn của:

Lời giải

Việc đầu tiên ta phải tính tổng của hai dãy số dưới dấu căn

Lúc này: