Bạn đang xem bài viết Phương trình lượng giác | Phân dạng phương trình & cách giải. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Tìm hiểu phương pháp giải các phương trình lượng giác đặc trưng: sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a, a.sinx + b.cosx = c,… Với mỗi phương trình khác nhau đều có những cách tiếp cận khác nhau. Bài viết sau đây sẽ giúp độc giả hiểu gần như toàn bộ các biến thể thường gặp trong chương trình toán học.
Phương trình lượng giác là gì?
Phương trình lượng giác là phương trình liên quan đến một hoặc nhiều tỉ số lượng giác của các góc chưa biết. Nó được biểu thị dưới dạng tỷ số của các góc sin, cos, tan, cot. Ví dụ cos 2 x + 5 sin x = 0 là một phương trình lượng giác. Tất cả các giá trị có thể thỏa mãn phương trình lượng giác đã cho được gọi là nghiệm phương trình lượng giác đã cho. [1]Byjus, General Solution of Trigonometric Equations, 2022
Phương trình lượng giác cơ bản
Có 4 phương trình lượng giác cơ bản thường gặp: sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a. Để giải 4 phương trình trên cần lưu ý đến tập xác định và tập giá trị của từng hàm số lượng giác.
1. Phương trình sinx = a
Trường hợp |a| > 1 ⟶ phương trình vô nghiệm, vì –1 ≤ sinx ≤ 1 với mọi x.
Trường hợp |a| ≤ 1 ⟶ phương trình có nghiệm, cụ thể:
+) 
.
Khi đó: 
.
+) 
Khi đó: 
.
2. Phương trình cosx = a
Trường hợp |a| > 1 ⟶ phương trình vô nghiệm, vì –1 ≤ cosx ≤ 1 với mọi x.
Trường hợp |a| ≤ 1 ⟶ phương trình có nghiệm, cụ thể:
+) .
Khi đó: 
.
+)
Khi đó: 
.
3. Phương trình tanx = a
Điều kiện: 
.
+) 
Khi đó tanx = a ⇔ tanx = tanα ⇔ x = α + kπ, k ∊ ℤ.
+) 
Khi đó tanx = a ⇔ x = arctana + kπ, k ∊ ℤ.
4. Phương trình cotx = a
Điều kiện: x ≠ π + kπ (k ∊ ℤ).
+)
Khi đó cotx = a ⇔ cotx = cotα ⇔ x = α + kπ, k ∊ ℤ.
+)
Khi đó cotx = a ⇔ x = arccota + kπ, k ∊ ℤ.
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
[ads]
Một số phương trình lượng giác thường gặp
1. Phương trình bậc nhất đối với một số hàm lượng giác
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at + b = 0
Trong đó: a, b là các hằng số (a ≠ 0) và t là một hàm số lượng giác.
Cách giải: Chuyển vế rồi chia hai vế phương trình cho a, ta đưa về phương trình lượng giác cơ bản.
2. Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Định nghĩa: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx là phương trình có dạng: a.sinx + b.cosx = c
Cách giải:
Điều kiện để phương trình có nghiệm a2 + b2 ≥ c2
Chia hai vế phương trình cho 
, ta được:
.
Do 
Nên đặt 
.
Khi đó phương trình trở thành
.
3. Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác là phương trình có dạng: at2 + bt + c = 0
Trong đó: a, b, c là các hằng số (a ≠ 0) và t là một hàm số lượng giác
Cách giải: Đặt biểu thức lượng giác làm ẩn phụ và đặt điều kiện cho ẩn phụ (nếu có) rồi giải phương trình theo ẩn phụ này. Cuối cùng, ta đưa về việc giải các phương trình lượng giác cơ bản.
4. Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx
Định nghĩa: Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx là phương trình có dạng: a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = 0
Cách giải
+) Kiểm tra cosx = 0 có là nghiệm của phương trình.
+) Khi cosx ≠ 0, chia hai vế phương trình cho cos2x ta thu được phương trình.
a tan2x + b tanx + c = 0.
Đây là phương trình bậc hai đối với tanx mà ta đã biết cách giải.
Đặc biệt: Phương trình dạng a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d ta làm như sau:
Phương trình ⇔ a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d. 1
⇔ a.sin2x + b.sinx.cosx + c.cos2x = d(sin2x + cos2x)
⇔ (a – d)sin2x + b.sinx.cosx + (c – d)cos2x = 0.
5. Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx.cosx
Định nghĩa: Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx.cosx
a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Cách giải: Đặt t = sinx ± cosx (điều kiện 
)
Biểu diễn sinx.cosx theo t ta được phương trình cơ bản.
Phân loại và phương pháp giải bài tập
Dạng 1: Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác
Phương pháp
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Dạng 2: Phương trình bậc nhất đối với sinx và cosx
Phương pháp
Cách 1:
Chia hai vế phương trình cho 
ta được:
Đặt: 
phương trình trở thành:
Điều kiện để phương trình có nghiệm là:
Cách 2:
Xét 
có là nghiệm hay không?
Xét 
Đặt: 
, ta được phương trình bậc hai theo t:
(b + c) t2 – 2at + c – b = 0 (3)
Vì x ≠ π + k2π ⇔ b + c ≠ 0, nên (3) có nghiệm khi:
∆’ = a2 – (c2 – b2) ≥ 0 ⇔ a2 + b2 ≥ c2.
Giải (3), với mỗi nghiệm t0, ta có phương trình: 
Ghi chú
+) Cách 2 thường dùng để giải và biện luận.
+) Cho dù cách 1 hay cách 2 thì điều kiện để phương trình có nghiệm: a2 + b2 ≥ c2.
+) Bất đẳng thức B.C.S:
Và 
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
[ads]
Ví dụ 1: Giải phương trình
a) 
b) 
c) 
Hướng dẫn giải
a) Ta thấy a2 + b2 = 5 < c2 = 25 ⇒ phương trình đã cho vô nghiệm.
b) Chia hai vế của (1) cho 
, ta được:
Vậy nghiệm của phương trình (1) là 
c) Chia hai vế của (1) cho 
, ta được:
Đặt 
Lúc đó: 
Ví dụ 2: Tìm nghiệm của phương trình 
thỏa mãn điều kiện 
.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Do
Vậy nghiệm của phương trình (*) là 
.
Ví dụ 3: Giải phương trình sin2x + 1 = 6sinx + cos2x.
Định hướng:
+) Chuyển cos2x sang vế trái, dùng công thức nhân đôi 1 – cos2x = 2 sin2x.
+) Lúc đó phương trình đưa về phương trình tích với sự xuất hiện của nhân tử chung là sinx
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là x = kπ, k∊ ℤ.
Ví dụ 4: Giải phương trình 2sin2x – cos2x = 7sinx + 2cosx – 4.
Định hướng:
+) Chuyển toàn bộ vế phải của phương trình sang vế trái
+) Nhóm 2sin2x – 2cosx = 2cosx.(2sinx – 1)
+) Sử dụng công thức cos2x = 1 – 2sin2x để nhóm:
2sin2x – 1 – 7sinx + 4 = 2sin2x – 7sinx + 3 = (sinx – 3)(2sinx – 1)
Chú ý rằng: nếu f(x) = ax2 + bx + c = a (x – x1) (x – x2) với x1, x2 là nghiệm của phương trình f(x) = 0.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy nghiệm của phương trình là: 
Ví dụ 5: Giải phương trình: 
Định hướng:
+) Khai triển cả hai vế phương trình ta thấy vế trái xuất hiện 2sin2x và vế phải xuất hiện 2cos2x
+) Như vậy nếu đã đặt 2 ra ngoài ta sẽ được công thức nhân hai:
2(cos2x – sin2x) = 2cos2x.
+) Chuyển vế, phương trình đã cho trở thành:
Hướng dẫn giải
Ta có:
Vậy phương trình có nghiệm là: 
Ví dụ 6: Giải phương trình: 
Định hướng:
Ở cả hai vế phương trình đều xuất hiện 7x, 5x. Chuyển vế ta được:
cos7x.cos5x + sin7x.sin5x = cos(7x – 5x) = cos2x
Hướng dẫn giải
Ta có:
Chia hai vế của phương trình (1) cho 
Ta được:
Vậy nghiệm của phương trình (*) là 
Ví dụ 7: Xác định m để phương trình 
có nghiệm.
Định hướng
Phương trình a.sinx + b.cosx = c có nghiệm khi a2 + b2 ≥ c2
Hướng dẫn giải
Ta có:
(*) có nghiệm 
Vậy m ≥ 0 thì phương trình đã cho có nghiệm.
Ví dụ 8: Giải và biện luận các phương trình sau theo tham số m
a) sinx + mcosx = 1 – m (1)
b) 
Hướng dẫn giải
a) Cách 1: Thay 
vào (1). Ta có:
VT (1) = 0 – m = –m, nên (1) không có nghiệm x = π + k2π, k ∊ ℤ.
Đặt 
. T
a có (1) trở thành: 
⇔ 2t + m – mt2 = 1 + t2 – m – mt2 ⇔ t2 – 2t + 1 – 2m = 0 (*)
∆’ = 1 – (1 – 2m) = 2m
+) Nếu m < 0 thì ∆’ < 0 ⇒ (*) vô nghiệm ⇒ (1) vô nghiệm
+) Nếu m = 0 thì ∆’ = 0 ⇒ (*) có nghiệm kép 
⇒ (1) có nghiệm 
.
+) Nếu m > 0 thì ∆’ > 0 ⇒ (*) có nghiệm 
hoặc 
⇒ (1) có nghiệm là 
Tóm lại:
+) Nếu m < 0 thì (1) vô nghiệm
+) Nếu m = 0 thì có nghiệm 
+) Nếu m > 0 thì (1) có nghiệm là
Cách 2:
(1) có dạng a.sinX + b.cosX = c với a = 1, b = m, c = 1, X = x
Ta có:
A = a2 + b2 – c2 = 12 + m2 – (1 – m)2 = 2m
+) Nếu m < 0 thì A < 0 ⇒ a2 + b2 < c2 ⇒ (1) vô nghiệm
+) Nếu m = 0: (1) 
+) Nếu m > 0 thì A > 0 ⇒ a2 + b2 > c2 ⇒ (1) có nghiệm
Chia hai vế của phương trình (1) cho 
Ta được: 
Đặt 
(*) ⇔ cos (x – φ) = cos α ⇔ x = φ + α + k2π hoặc x = φ – α + k2π, k ∊ ℤ.
b) (1) có dạng a.sinX + b.cosX = c với a = 2m, b = 2m – 1, 
, X = x. Ta có:
(2) có nghiệm 
Với 
Với 
Dạng 3: Phương trình bậc hai đối với một số hàm lượng giác
Phương pháp
Phương trình bậc hai đối với phương pháp lượng giác là phương trình có một trong 4 dạng sau:
+) a.sin2x + b.sinx + c = 0. Cách giải: t = sinx, –1 ≤ t ≤ 1.
+) a.cos2x + b.cosx + c = 0. Cách giải: t = cosx, –1 ≤ t ≤ 1.
+) a.tan2x + b.tanx + c = 0. Cách giải: t = tanx, 
.
+) a.cot2x + b.cotx + c = 0. Cách giải: t = cotx, x ≠ kπ, k ∊ ℤ.
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Dạng 4: Phương trình bậc hai đối với sinx và cosx
Phương pháp
Cách 1
+) Kiểm tra cosx = 0 có thỏa mãn hay không?
Lưu ý: 
+) Khi cosx ≠ 0, chia hai vế phương trình (1) cho cos2x ≠ 0 ta được:
tan2x + b. tanx + c = d (1 + tan2x)
+) Đặt t = tanx, đưa về phương trình bậc hai theo t:
(a – d)t2 + bt + c – d = 0
Cách 2
Dùng công thức hạ bậc
(đây là phương trình bậc nhất đối với sin2x và cos2x)
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
[ads]
Dạng 5: Phương trình chứa sinx ± cosx và sinx.cosx.
Phương pháp
Bài toán 1: a.(sinx ± cosx) + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: 
Thay vào phương trình đã cho, ta được phương trình bậc hai theo t. Giải phương trình này tìm t thỏa 
. Suy ra x.
Lưu ý dấu:
+) 
+) 
Bài toán 2: a.|sinx ± cosx| + b.sinx.cosx + c = 0
Đặt: 
. ĐK: 
Tương tự dạng trên. Khi tìm x cần lưu ý phương trình chứa dấu giá trị tuyệt đối.
Các ví dụ rèn luyện kỹ năng
Tài liệu phương trình lượng giác
1. Thông tin tài liệu
| Thông tin | |
| Tên tài liệu | Chuyên Đề Phương Trình Lượng Giác |
| Tác giả | Thầy Đặng Thành Nam |
| Số trang | 54 |
2. Mục lục
- Các dạng phương trình cơ bản
- Đưa về phương trình bậc nhất với sinx và cosx
- Đưa về phương trình đối xứng với sinx và cosx
- Phương trình kết hợp tanx, cotx, sinx, cosx
- Biến đổi về phương trình tích
- Nhân 2 vế của phương trình với biểu thức lượng giác
- Phương trình dạng phân thức
3. Xem tài liệu
Nguồn tham khảo
Cấp Nước Lào Cai chỉ sử dụng các nguồn tham khảo chất lượng cao, bao gồm các nghiên cứu được đánh giá cùng chuyên mục để hỗ trợ các dữ liệu trong bài viết. Từ đó luôn giữ cho nội dung trên website chính xác và đáng tin cậy nhất. Mang thêm nguồn thông tin hữu ích đến bạn đọc thông qua các nguồn được nghiên cứu.
Câu hỏi thường gặp
Phương trình lượng giác là gì?
Phương trình lượng giác là phương trình liên quan đến một hoặc nhiều tỉ số lượng giác của các góc chưa biết. Nó được biểu thị dưới dạng tỷ số của các góc sin, cos, tan, cot. Ví dụ cos 2 x + 5 sin x = 0 là một phương trình lượng giác. Tất cả các giá trị có thể thỏa mãn phương trình lượng giác đã cho được gọi là nghiệm phương trình lượng giác đã cho.
Có những phương trình lượng giác thường gặp nào?
Có 4 loại phương trình lượng giác cơ bản: sinx = a, cosx = a, tanx = a, cotx = a. Một số dạng toán thường gặp: Phương trình bậc nhất với một số hàm lượng giác, phương trình bậc hai đối với một số hàm lượng giác, phương trình lượng giác đối xứng.
Cách giải phương trình lượng giác?
Dù gặp phương trình lượng giác ở bậc nào, hàm số lượng giác nào thì cũng cần phải đưa về 1 trong 4 dạng phương trình cơ bản. Từ đó mới có thể tìm được tập nghiệm của phương trình.
Bạn đang xem bài viết Phương trình lượng giác | Phân dạng phương trình & cách giải xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 11. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
