Toán lớp 11: Dãy số | Lý thuyết & 4 dạng bài tập điển hình (Có tài liệu) mới nhất 2023

Bài tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau

1) Dãy số (u_n) với

2) Dãy số (v_n) với

Lời giải

1) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số tăng.

2) Xét tỉ số sau

Vì n ≥ 1 nên

Do đó, từ (*) suy ra < 1 với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số giảm.

Bài tập 2: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) biết

Lời giải

Ta có và (u_n) là dãy số dương. Ta chứng minh u_n < 2 với mọi n ∊ ℕ^* bằng quy nạp.

Với n = 1 thì khẳng định trên là đúng.

Giả sử khẳng định trên đúng khi n = k ≥ 1, k ∊ ℕ, tức là ta luôn có u_k < 2.

Ta cần chứng minh u_{k + 1} < 2 với mọi n ∊ ℕ^*. Thật vậy,

Vậy u_n < 2 với mọi n ∊ ℕ^*.

Từ công thức suy ra

Do (u_n) là dãy số dương và u_n < 2, ∀ n ∊ ℕ^* nên (u_{n – 1} + 1) (2 – u_{n – 1}) > 0. Suy ra

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số tăng.

Bài tập 3: Xét tính tăng giảm của các dãy số (u_n) sau, với

1) u_n = n² + 4n – 3.

2) u_n = 2n³ – 5n + 1.

3) u_n = 3ⁿ – n.

4)

5)

6)

Lời giải

1) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có

u_{n + 1} – u_n = (n + 1)² + 4 (n + 1) – 3 – (n² + 4n – 3) = n² + 2n + 1 + 4n + 4 – 3 – n² – 4n + 3

= 2n + 5 > 0, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

2) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có

u_{n + 1} – u_n = 2 (n + 1)³ – 5 (n + 1) + 1 – (2n³ – 5n + 1) = 2n³ + 6n² + 6n + 2 – 5n – 5 + 1 – 2n² + 5

= 6n² + 6n – 3 = 6n² + 3n + 3 (n – 1) > 0, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

3) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có

u_{n + 1} – u_n = 3^{n + 1} – (n + 1) – (3ⁿ – n) = 3^{n + 1} – n – 1 – 3ⁿ + n = 3. 3ⁿ – 1 – 3ⁿ

= 2. 3ⁿ – 1 > 0, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

4) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

5) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

6) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Bài tập 4: Xét tính tăng giảm của các dãy số (u_n) sau, với

1)

2)

3)

4)

Lời giải

1) Dễ thấy u_n > 0, ∀ n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số giảm.

2) Dễ thấy u_n > 0, ∀ n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

3) Dễ thấy u_n > 0, ∀ n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số giảm.

4) . Dễ thấy u_n > 0, ∀ n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Ta có

Suy ra u_{n + 1} < u_n.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số giảm.

Bài tập 5: Xét tính tăng giảm của các dãy số (u_n) sau, với

1) u_n = –n² – 2n + 1.

2)

3)

4)

5)

6)

Lời giải

1) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có

u_{n + 1} – u_n = – (n + 1)² – 2 (n + 1) + 1 – (–n² – 2n + 1) = –n² – 2n – 1 – 2n – 2 + 1 +n² + 2n – 1

= –2n – 3 < 0, ∀ n ≥ 1.

Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

2) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số tăng.

3) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vì n ≥ 1 nên

Do đó, từ (*) suy ra u_{n + 1} – u_n > 0 với mọi n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số tăng.

4) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số giảm.

5) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số giảm.

6) Với mọi n ∊ ℕ^*, ta có . Khi đó

Vậy dãy số (u_n) đã cho là dãy số giảm.

Bài tập 6: Xét tính tăng giảm của các dãy số (u_n) sau, với

1)

2)

3)

4)

Lời giải

1) . Dễ thấy u_n > 0, ∀n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

2) . Dễ thấy u_n > 0, ∀n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số giảm.

3) . Dễ thấy u_n > 0, ∀n ∊ ℕ^*.

Xét tỉ số

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số giảm.

4) Áp dụng bất đẳng thức Bernoulli

(1 + a) ⁿ ≥ 1 + na, ∀a ≥ –1, n ∊ ℤ⁺.

Xét tỉ số

với

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

Bài tập 7: Xét tính tăng giảm của các dãy số (u_n) được cho bởi hệ thức truy hồi sau:

1)

2)

3)

4)

5)

6)

Lời giải

1) Ta có

u_{n + 1} – u_n = (n + 1). 2ⁿ > 0, ∀n ≥ 1 ⇒ u_{n + 1} > u_n, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

2) Ta có u₁ = 1 > –1, giả sử u_k > –1, khi đó u_{k + 1} = 2u_k + 1 > –1. Vậy u_n > –1, ∀n ≥ 1.

Khi đó

u_{n + 1} – u_n = 2u_n + 1 – u_n = u_n + 1 > 0, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

3) Ta có u₁ = 2 > 1, giả sử u_k > 1, khi đó u_{k + 1} = 2u_k – 1 > 2 – 1 = 1. Vậy u_n > 1, ∀n ∊ ℕ^*.

Khi đó

u_{n + 1} – u_n = 2u_n – 1 – u_n = u_n – 1 > 0, ∀n ∊ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

4) Ta có

u_{n + 1} – u_n = 3n – 2 > 0, ∀n ≥ 1 ⇒ u_{n + 1} > u_n, ∀n ≥ 1.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

5) Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy u_n > 0 với mọi n ∊ ℕ^*.

Ta có

Ta dự đoán

u_{n + 1} < u_n, ∀n ∊ ℕ^*. (*)

Thật vậy, ta thấy (*) đúng khi n = 1.

Giả sử (*) đúng khi n = k ≥ 1, (k ∊ ℕ), tức là ta có u_k < u_{k – 1}.

Khi đó

Vì u_k < u_{k – 1} nên , suy ra

Vậy (*) đúng với mọi n ∊ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) là dãy số giảm.

6) Từ hệ thức truy hồi đã cho, dễ thấy u_n > 0 với mọi n ∊ ℕ^*.

Ta có

Ta dự đoán

u_{n + 1} > u_n, ∀n ∊ ℕ^*.

Thật vậy, ta thấy (*) đúng khi n = 1.

Giả sử (*) đúng khi n = k ≥ 1, (k ∊ ℕ), tức là ta có u_k > u_{k – 1}.

Khi đó

Vậy (*) đúng với mọi n ∊ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) là dãy số tăng.