Bạn đang xem bài viết Hàm số liên tục | Lý thuyết & các dạng bài tập (Có tài liệu). Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Bài tập 1. Chứng minh rằng phương trình 2x4 – 2x3 – 3 = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (−1; 0).
Lời giải
Đặt f(x) = 2x4 – 2x3 – 3.
Vì f(x) là hàm đa thức xác định trên R nên f(x) liên tục trên ℝ ⇒ f(x) liên tục trên [−1; 0]
Ta có: f(0) = −3; f(−1) = 1 ⇒ f(−1).f(0) < 0.
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng(−1; 0) (đpcm).
Bài tập 2. Chứng minh rằng phương trình 6x3 + 3x2 – 31x + 10 = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt.
Lời giải
Đặt f(x) = 6x3 + 3x2 – 31x + 10.
TXĐ: D = ℝ ⇒ f(x) liên tục trên ℝ ⇒ f(x) liên tục trên [−3; 2].
Ta có:
có nghiệm thuộc (−3; 0).
có nghiệm thuộc (0; 1).
có nghiệm thuộc (1; 2)
Mặt khác vì f(x) là một đa thức bậc 3 nên phương trình f(x) = 0 chỉ có tối đa 3 nghiệm.
Vậy phương trình f(x) = 0 có đúng 3 nghiệm phân biệt (đpcm).
Bài tập 3. Chứng minh rằng phương trình x – 1 + sinx = 0 có nghiệm
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x − 1 + sinx liên tục trên 
Ta có: 
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm 
Vậy phương trình x – 1 + sinx = 0 có nghiệm (đpcm).
Bài tập 4. Chứng minh rằng phương trình (m2 + m + 4) x2017 – 2x + 1 = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = (m2 + m + 4) x2017 – 2x + 1 liên tục trên [−1; 0].
⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0) với mọi giá trị của tham số m (đpcm)
Vậy f(x) = 0 luôn có ít nhất một nghiệm âm với mọi giá trị của tham số m (đpcm).
Bài tập 5. Chứng minh rằng phương trình acos2x + bsinx + cosx = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số a, b.
Lời giải
Đặt f(x) = acos2x + bsinx + cosx có tập xác định là ℝ ⇒ f(x) liên tục trên ℝ
Vì 
nên trong bốn số 
phải có hai số mà tích của chúng bé hơn hoặc bằng không.
Vậy phương trình f(x) = 0 luôn có nghiệm với mọi tham số a, b (đpcm).
Bài tập 6. Chứng minh phương trình x4 – x3 – 2x2 – 15x – 25 = 0 có ít nhất 1 nghiệm dương và 1 nghiệm âm.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x4 – x3 – 2x2 – 15x – 25 liên tục trên ℝ
Ta có
f(−2).f(0) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2; 0) (1)
f(0).f(4) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 4) (2)
Từ (1),(2) suy ra phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm âm và ít nhất một nghiệm dương (đpcm).
Bài tập 7. Chứng minh phương trình x4 – 2x2 + 3x – 1 = 0 có ít nhất 2 nghiệm.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x4 – 2x2 + 3x – 1 = 0 ⇒ f là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ ⇒ f liên tục trên các đoạn [−2; 0] , [0; 2].
Ta có
f(−2).f(0) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−2; 0)
f(0).f(2) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (0; 2)
Vậy phương trình đã cho có ít nhất hai nghiệm (đpcm).
Bài tập 8. Chứng minh rằng phương trình x5 – 3x4 + 5x – 2 = 0 có ít nhất ba nghiệm phân biệt
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x5 – 3x4 + 5x – 2
⇒ f là hàm đa thức nên liên tục trên ℝ
⇒ f liên tục trên các đoạn [0; 1], [1; 2], [2; 4].
Ta có:
f(0).f(1) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (0; 1).
f(1).f(2) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (1; 2).
f(2).f(4) < 0 ⇒ f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (2; 4).
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 3 nghiệm phân biệt
Bài tập 9. Chứng minh rằng phương trình x + 1 + cosx = 0 có nghiệm.
Lời giải
Xét hàm số f(x) = x + 1 + cosx liên tục trên [−π; 0]
Và có 
Suy ra phương trình f(x) = 0 có nghiệm x0 ∈ (−π; 0).
Vậy phương trình x + 1 + cosx = 0 có nghiệm.
Bài tập 10. Chứng minh rằng phương trình sau có đúng 5 nghiệm phân biệt:
Lời giải
Phương trình đã cho tương đương
x5 + 2x3 + 25x2 + 14x + 2 = (3x2 + x + 1)2
⇔ x5 – 9x4 – 4x3 + 18x2 + 12x + 1 = 0 (1)
Xét hàm số f(x) = x5 – 9x4 – 4x3 + 18x2 + 12x + 1 liên tục trên ℝ.
Ta có:
Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng
Mặt khác f(x) là đa thức bậc 5 nên có tối đa 5 nghiệm.
Vậy phương trình đã cho có đúng 5 nghiệm phân biệt.
Bài tập 11. Chứng minh rằng phương trình (1 – m2) x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của m.
Lời giải
Xét hàm số y = f(x) = (1 – m2) x5 – 3x – 1
Hàm số y = f(x) liên tục trên R nên liên tục trên [−1; 0]
f(0) = –1; f(–1) = m2 + 1 ⇒ f(0).f(–1) < 0, ∀m
⇒ Phương trình f(x) = 0 có ít nhất 1 nghiệm thuộc (−1; 0), ∀m.
Vậy phương trình (1 – m2).x5 – 3x – 1 = 0 có ít nhất một nghiệm với mọi giá trị của m.
Bài tập 12. Chứng minh rằng phương trình
có ít nhất 2 nghiệm với mọi của m > 1.
Lời giải.
Điều kiện: x ≠ −1; x ≠ 2.
Phương trình đã cho ⇔ x4 – x2 + mx – 3m + 1 = m.(x2 – x – 2)
⇔ x4 – x2 + 1 – m.(x2 – 2x + 1) = 0
Xét hàm số f(x) = x4 – x2 + 1 – m (x – 1)2 liên tục trên ℝ.
Ta có f(−1) = −1 − 4m > 0; f(0) = 1 − m < 0; f(1) = 1 > 0
Suy ra f(x) = 0 có ít nhất 2 nghiệm thỏa −1 < x1 < 0 < x2 < 1 với mọi m > 1.
Vậy phương trình đã cho có ít nhất 2 nghiệm với mọi m > 1.
Bài tập 13. Chứng minh rằng phương trình 
luôn có nghiệm với mọi giá trị của tham số m.
Lời giải.
Điều kiện: 
Xét hàm số f(x) = sinx – cosx – msinx.cosx liên tục trên 
và 
.
Do đó phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm 
Vậy phương trình đã cho có ít nhất một nghiệm.
Bài tập 14. Cho phương trình f(x) = ax2 + bx + c = 0, biết a.f(c) < 0. Chứng minh rằng phương trình a.(ax2 + bx + c)2 + b.(ax2 + bx + c) + c = x có nghiệm.
Lời giải.
Xét hàm số g(x) = a.(ax2 + bx + c)2 + b.(ax2 + bx + c) + c – x liên tục trên ℝ.
Ta có: a.f(c) < 0 ⇒ f(x) = 0 có hai nghiệm x1, x2 và x1 < c < x2.
Suy ra g(x1) = a.(f(x1))2 + b.f(x1) + c – x1 = c – x1 > 0 và tương tự g(x2) = c − x2 < 0
Do đó g(x1).g(x2) < 0 ⇒ (đpcm).
Bài tập 15. Chứng minh rằng phương trình x5 + 3x + 1 = 0 có đúng một nghiệm.
Lời giải.
Xét hàm số f(x) = x5 + 3x + 1 là hàm liên tục trên ℝ
Mặt khác: f(−1) = −1, f(0) = 1 ⇒ f(−1).f(0) = −1 < 0
Nên phương trình f(x) = 0 có ít nhất một nghiệm thuộc (−1; 0).
Giả sử phương trình có hai nghiệm x1, x2.
Khi đó:
Do:
Nên (1) ⇔ x1 = x2
Vậy phương trình luôn có đúng một nghiệm (đpcm).
Bạn đang xem bài viết Hàm số liên tục | Lý thuyết & các dạng bài tập (Có tài liệu) xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 11. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
