Toán lớp 11: Lý thuyết và các dạng bài tập đặc trưng mới nhất 2023

Phép tịnh tiến là một trong những phép dời hình quan trọng và có nhiều ứng dụng khác nhau. Bài viết sau đây Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu chi tiết lý thuyết phép tịnh tiến và một số dạng bài tập đặc trưng nhất trong chương trình toán lớp 11.

Lý thuyết cơ bản

1. Phép biến hình

Phép biến hình là một quy tắc để ứng với mỗi điểm M thuộc mặt phẳng, ta xác định được một điểm duy nhất M’ thuộc mặt phẳng ấy. Điểm M’ gọi là ảnh của điểm M qua phép biến hình đó.

Kí hiệu và thuật ngữ:

Cho phép biến hình F.

+) Nếu M’ là ảnh của điểm M qua F thì ta viết M’ = F(M). Ta nói phép biến hình F biến điểm M thành điểm M’.

+) Nếu H là một hình nào đó thì H’ = {M’|M’ = F(M), M ∈ H được gọi là ảnh của hình H qua F. Kí hiệu là H’ = F(H).

2. Phép dời hình

Phép dời hình là phép biến hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kì.

3. Phép dời hình biến

+) Ba điểm thẳng hàng thành ba điểm thẳng hàng và không làm thay đổi thứ tự ba điểm đó.

+) Đường thẳng thành đường thẳng.

+) Tia thành tia.

+) Đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng đoạn thẳng đã cho.

+) Tam giác thành tam giác bằng tam giác đã cho.

+) Đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính với đường tròn ban đầu.

+) Góc thành góc bằng góc ban đầu.

Lý thuyết phép tịnh tiến

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1: Trong mặt phẳng cho vectơ . Phép biến hình biến mỗi điểm M thành M’ sao cho được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ .

Phép tịnh tiến theo vectơ thường được kí hiệu là , được gọi là vectơ tịnh tiến.

2. Tính chất

Tính chất 1: Nếu thì và từ đó suy ra M’N’ = MN

Tính chất 2: Phép tịnh tiến biến đường thẳng thành đường thẳng song song hoặc trùng với nó, biến đoạn thẳng thành đoạn thẳng bằng nó, biến tam giác thành tam giác bằng nó, biến đường tròn thành đường tròn có cùng bán kính.

Biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến

Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho vectơ .

Với mỗi điểm M(x; y) ta có M’ (x’; y’) là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Khi đó:

Từ đó suy ra:

Biểu thức trên được gọi là biểu thức tọa độ của phép tịnh tiến .

Dạng 1: Xác định ảnh của một hình qua phép tịnh tiến

Phương pháp giải

Gọi H’ là ảnh của hình H qua phép tịnh tiến theo véc–tơ .

Với mọi điểm M(x, y) bất kì thuộc H, ta có:

Thay tọa độ điểm M vào phương trình biểu diễn hình H ta thu được phương trình biểu diễn hình H’.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho và điểm M(3; 2). Tìm tọa độ điểm A sao cho

a)

ĐS: A(5; 3)

b)

ĐS: A(1; 1)

Lời giải

Giả sử A(x; y) ta có:

Gọi A(x; y), ta có:

Câu 2. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d. Hãy tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc–tơ .

a) d: 2x – 3y + 12 = 0 và

ĐS: 2x – 3y – 5 = 0

b) d: 2x + y – 4 = 0 và , A(3; 1), B(-1; 8)

ĐS: 2x + y – 3 = 0

Lời giải

Gọi d’ là ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo véc–tơ ; M(x; y) là một điểm bất kì trên đường thẳng d và . Khi đó:

(1)

⇒ M(x’ − 4; y’ + 3)

Mà điểm M thuộc đường thẳng d nên:

2(x’ − 4) − 3(y’ + 3) + 12 = 0

⇔ 2x’ − 3y’ − 5 = 0

Suy ra phương trình đường thẳng d’ là: 2x − 3y − 5 = 0.

(2) Ta có:

Do đó:

⇒ M(x’ + 4; y’ – 7)

Mà điểm M thuộc đường thẳng d nên:

2(x’ + 4) + y’ − 7 − 4 = 0

⇔ 2x’ + y’ − 3 = 0

Suy ra phương trình đường thẳng d’ là: 2x + y − 3 = 0.

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường tròn (C). Hãy tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến , biết:

a) (C): (x – 4)² + (y + 3)² = 6

ĐS: (x – 7)² + (y + 1)² = 6

b) (C): x² + y² + 4x − 4y – 1 = 0 và với A(−1; 1), B(1; −2)

ĐS: x² + y² + 2y + 16 = 0

Lời giải

a) Gọi (C’) là ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo véc–tơ , M(x; y) là một điểm bất kì trên đường tròn (C) và . Khi đó:

⇒ M(x’ − 3; y’ − 2)

Mà điểm M thuộc đường tròn (C) nên:

(x’ − 3 − 4)² + (y’ − 2 + 3)² = 6

⇔ (x’ − 7)² + (y’ + 1)² = 6.

Hay phương trình đường tròn (C’) là (x − 7)² + (y + 1)² = 6.

b) Ta có: và

⇒ M(x’− 2; y’ + 3)

Mà điểm M thuộc đường tròn (C) nên:

(x’ − 2)² + (y’ + 3)² + 4(x’ − 2) − 4(y’ − 3) − 1 = 0

⇔ x’² + y’² + 2y’ + 16 = 0

Hay phương trình đường tròn (C’) là: x² + y² + 2y + 16 = 0.

Câu 4. Tìm phương trình ảnh của đường sau qua phép tịnh tiến theo

a) Elip (E): và

ĐS:

b) Parabol (P): y = x² – 2x, và

ĐS: y = x² – 4x + 4

Lời giải

a) Gọi (E’) là ảnh của elip (E) qua phép tịnh tiến theo véc–tơ , M(x; y) là một điểm bất kì trên elip (E) và . Khi đó:

⇒ M(x’ + 3; y’ − 4)

Mà điểm M thuộc đường elip (E) nên

Hay phương trình đường elip (E’) là

b) Gọi (P’) là ảnh của parabol (P) qua phép tịnh tiến theo véc–tơ , M(x; y) là một điểm bất kì trên parabol (P) và . Khi đó:

⇒ M(x’ – 1; y’ − 1)

Mà điểm M thuộc parabol (P) nên:

y’ − 1 = (x’ − 1)² − 2(x’ − 1)

⇔ y’ = x’² − 4x’ + 4

Hay phương trình parabol (P’) là: y = x² − 4x + 4.

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho , điểm M(−1; 4). Tìm tọa độ điểm A sao cho

a)

ĐS: A(−2; 7)

b)

ĐS: M(−2; 7)

Lời giải.

Giả sử A(x; y).

a) Ta có: . Ta có:

b) Ta có: . Ta có:

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(3; 5), B(−1; 1), , đường thẳng d và đường tròn (C) có phương trình d: x – 2y + 3 = 0; (C): (x − 2)² + (y − 3)² = 25

a) Tìm ảnh của các điểm A’, B’ theo thứ tự là ảnh của A, B qua phép tịnh tiến theo

ĐS: B’(−2; 3)

b) Tìm tọa độ điểm C sao cho A là ảnh của C qua phép tịnh tiến theo

ĐS: C(4; 3)

c) Tìm phương trình đường thẳng d’, đường tròn (C’) lần lượt là ảnh của d, (C) qua phép tịnh tiến theo

ĐS: d’: x − 2y + 8 = 0 và (C’): (x − 1)² + (y − 5)² = 25

Lời giải.

a) Ta có:

Và

b) Ta có:

c) Gọi M(x; y) là một điểm bất kì trên đường thẳng d và . Ta có:

Mà điểm M thuộc đường thẳng d nên:

x’ + 1 − 2(y’ − 2) + 3 = 0

⇔ x’ − 2y’ + 8 = 0.

Hay phương trình đường thẳng d’ là: x − 2y + 8 = 0.

Gọi N(x; y) là một điểm bất kì trên đường tròn (C) và . Ta có:

Mà điểm M thuộc đường tròn (C) nên:

(x’ + 1 − 2)² + (y’ − 2 − 3)² = 25

⇔ (x’ − 1)² + (y’ − 5)² = 25.

Hay phương trình đường tròn (C’) là: (x − 1)² + (y − 5)² = 25.

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác ABC có ảnh qua phép tịnh tiến theo là tam giác A’B’C’ và tam giác A’B’C’ có trọng tâm là G’(−3; 4), biết rằng A(−1; 6), B(3; 4). Tìm tọa độ các điểm A’, B’, C’.

ĐS: A’(1; 11), B’(5; 9), C’(−15; −8)

Lời giải.

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC. Khi đó ta có:

+)

+)

+) G’ là trọng tâm tam giác A’B’C’ nên:

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định toạ độ điểm M trên trục hoành sao cho phép tịnh tiến theo biến điểm M thành điểm M’ nằm trên trục tung.

ĐS: M(2; 0)

Lời giải

Gọi M(x; 0) và . Ta có:

Do điểm M’ thuộc trục Oy nên: x − 2 = 0 ⇒ x = 2

Do đó: M(2; 0)

Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho đường thẳng d. Hãy tìm ảnh của đường thẳng d qua phép tịnh tiến theo trong các trường hợp sau:

a) d: 2x − 3y + 5 = 0, .

ĐS: 2x − 3y + 5 = 0

b) d: 3x − y + 2 = 0,

ĐS: 3x − y + 16 = 0

c) d: 3x + 4y − 5 = 0, , A(0; 2), B(2; 3)

ĐS: 3x + 4y – 15 = 0

d) d: x + 3y − 2 = 0, , A(−2 ; 3), B(0; 2)

ĐS: x + 3y = 0

e) d cắt Ox, Oy tại A(−1; 0), B(0; 5) và

ĐS: −5x + y + 17 = 0

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C). Hãy tìm ảnh của đường tròn (C) qua phép tịnh tiến theo trong các trường hợp sau:

a) (C): (x − 2)² + (y + 4)² =16,

ĐS: (x − 4)² + (y + 7)² = 16

b) (C): (x + 1)² + (y − 3)² = 25, , A(−1; 1), B(1; −2).

ĐS: (x − 1)² + y² = 25

c) (C): (x + 2)² + (y + 4)² = 9, , B(2; −3), C(−1; 5)

ĐS: (x + 5)² + (y − 4)² = 9

d) (C): x² + y² − 4x − 6y − 8 = 0,

ĐS: (x − 7)² + (y − 1)² = 21

e) (C): x² + y² − 2x + 4y − 4 = 0,

ĐS: (x + 1)² + (y − 1)² = 9

f) (C): x² + y² + 6x − 2y + 6 = 0, , B(1; −2), C(−1; −5).

ĐS: (x + 9)² + (y + 8)² = 4

Câu 11. Trong mặt phẳng Oxy, Cho A(1; 3), B(−2; 2), C(3; −4). Gọi M là trung điểm BC và G là trọng tâm tam giác ABC. Gọi (C) là đường tròn đi qua ba điểm A, B, C. Hãy xác định:

a) và

ĐS: A’(6; −3), B’(0; −5)

b) và

ĐS: ,

c) với d là đường thẳng đi qua A, M.

ĐS:

Dạng 2: Xác định phép tịnh tiến khi biết ảnh và tạo ảnh

Phương pháp giải

Giả sử M’(x’; y’) là ảnh của M(x; y) qua phép tịnh tiến theo vectơ

Khi đó ta có: và tọa độ được xác định như sau:

Bài tập vận dụng

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho một phép tịnh tiến biến đường tròn (C): (x + 1)² + (y – 2)² = 16 thành đường tròn (C’): (x − 10)² + (y + 5)² = 16. Hãy xác định phép tịnh tiến đó.

ĐS:

Lời giải

Từ phương trình đường tròn (C) và (C’), ta suy ra tâm của hai đường tròn đó lần lượt là I(1; 2) và I’(10; −5). Ta có:

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 2x – 3y + 3 = 0 và d’: 2x – 3y – 5 = 0. Tìm tọa độ của có giá vuông góc với đường thẳng d để d’ là ảnh của d qua

ĐS:

Lời giải

Chọn điểm A(0; 1) ∈ d. Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A và vuông góc với d.

⇒ ∆: 3x + 2y − 2 = 0.

Gọi A’ = d’ ∩ ∆. Tọa độ điểm A’ thỏa mãn hệ phương trình

Vậy:

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng lần lượt có phương trình là d: 3x – 5y + 3 = 0 và d’: 3x – 5y + 24 = 0. Tìm , biết và

ĐS: hay

Lời giải

Chọn điểm A(−1; 0) ∈ d.

Gọi A’(−8 + 5t; 3t) ∈ d’ là ảnh của A qua .

Khi đó:

Ta có:

Với t = 1, ta có:

Với , ta có:

Câu 4. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: 3x − y − 9 = 0.

a) Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có phương song song với trục Ox, biến d thành đường thẳng d’ đi qua gốc tọa độ. Khi đó hãy viết phương trình đường thẳng d’.

ĐS:

b) Tìm phép tịnh tiến theo vectơ có giá song song với trục Oy, biến d thành d’’ đi qua điểm A(1; 1).

ĐS:

Lời giải.

a) Ox cắt d và d’ lần lượt tại A(3; 0) và O(0; 0).

Ta có:

b) Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A(1; 1) và song song với Oy ⇒ ∆: x = 1.

Gọi B = ∆ ∩ d ⇒

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, phép tịnh tiến theo biến điểm M(3; −1) thành một điểm trên đường thẳng d: x − y − 9 = 0. Tìm tọa độ , biết rằng .

ĐS: hay

Lời giải.

Gọi M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo .

Ta có: M’ ∈ d ⇒ M(m, m − 9).

Với m = 3, ta có:

Với m = 8, ta có:

Câu 6. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có phương trình chứa cạnh AB là 3x − 2y + 3 = 0 và chứa cạnh CD là 3x − 2y − 6 = 0. Tìm tọa độ , biết rằng và

ĐS:

Lời giải.

Chọn điểm M(−1; 0) thuộc đường thẳng chứa cạnh AB và M’ là ảnh của M qua phép tịnh tiến theo vectơ .

Gọi ∆ là đường thẳng chứa MM’ ⇒ ∆ ⊥ AB (do MM’ ⊥ AB) và đi qua M.

Suy ra phương trình đường thẳng ∆: 2x + 3y + 2 = 0.

Ta có: M’ = ∆ ∩ CD ⇒

Vậy:

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, hãy xác định phép tịnh tiến theo cùng phương với trục hoành biến đường thẳng d: x – 4y + 4 = 0 thành đường thẳng d’ qua A(1; −3).

ĐS:

Câu 8. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai đường thẳng d, d’ lần lượt có phương trình là d: 3x – y – 7 = 0, d’: 3x – y + 13 = 0 và vectơ. Tìm tọa độ của vectơ trong phép tịnh tiến biến d thành d’, biết rằng véctơ và cùng phương

ĐS:

Câu 9. Cho (P): y = x² − 4x + 7 và (P’): y = x². Tìm phép tịnh tiến biến (P) thành (P’).

ĐS:

Dạng 3: Các bài toán ứng dụng của phép tịnh tiến

Phương pháp giải

Chứng minh hoặc xác định các yếu tố hình học

+) Từ giả thiết tìm hai điểm cố định phù hợp để xây dựng một vectơ cố định. Xác định một phép tịnh tiến phù hợp theo vectơ cố định vừa tìm được.

+) Dùng tính chất của phép tịnh tiến để chứng minh các tính chất hình học hoặc xác định các yếu tố của hình.

Tìm tập hợp điểm M thỏa mãn tính chất cho trước (Toán quy tích)

+) Chỉ ra phép tịnh tiến theo vectơ biến điểm E nào đó thành M mà quỹ tích điểm E đã biết hoặc dễ tìm hơn.

+) Xác định hình (H) là quỹ tích của điểm E.

+) Khi đó: tập hợp các điểm M là hình (H’) với (H’) là ảnh của (H) qua phép tịnh tiến theo vectơ

+) Điều kiện áp dụng: Bài toán có yếu tố song song và bằng nhau, có vectơ, …

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho tứ giác ABCD có và . Tính độ dài các cạnh AD và BC.

ĐS:

Lời giải.

Xét ⇒ ABCM là hình bình hành.

⇒

Ta có:

Theo định lý cosin cho ∆MDC:

MD² = MC² + DC² − 2MC.DC.cos 30° = 36

⇒ MD = 6.

và ⇒ ∆MDC là nửa tam giác đều.

⇒ ⇒

⇒

⇒ ∆AMD cân tại M ⇒ BC = MA = MD = 6.

Theo định lý sin cho ∆AMD:

Câu 2. Cho hình bình hành ABCD, AB cố định, D di động trên đường thẳng d cố định. Tìm tập hợp điểm C.

ĐS: Tập hợp điểm C là đường thẳng D’, là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo

Lời giải.

ABCD là hình bình hành ⇔

Suy ra phép tịnh tiến theo biến D thành C, mà điểm D di động trên đường thẳng d cố định, do đó C di động trên d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo .

Câu 3. Cho hình bình hành ABCD, có đỉnh A cố định, BD có độ dài không đổi bằng 2a, ba điểm A, B, D nằm trên một đường tròn cố định (O; R). Tìm tập hợp điểm C.

ĐS: Tập hợp điểm C là đường tròn ảnh của đường tròn tâm A, bán kính qua phép tịnh tiến theo , với K là giao điểm của AO với đường tròn (O; R)

Lời giải.

Cách 1:

Gọi H là trực tâm của ∆ABD, K là giao điểm của AO với đường tròn (O; R).

Khi đó: K cố định.

Gọi I = AC ∩ BD. Ta có: OI là đường trung bình của ∆AKC

Suy ra:

Mặt khác: HBDK là hình bình hành, suy ra I là trung điểm của HK

Do đó: OI là đường trung bình của ∆AHK.

Suy ra:

Từ (1) và (2) suy ra nên AHCK là hình bình hành

Suy ra:

Xét ∆OBI vuông tại I có:

Suy ra:

Phép tịnh tiến theo biến H thành C, A thành K.

Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm K, bán kính , là ảnh của đường tròn tâm A, bán kính qua phép tịnh tiến theo

Cách 2:

Gọi K là giao điểm của AO với đường tròn (O; R). Khi đó: K cố định

Gọi I = AC ∩ BD. Ta có: OI là đường trung bình của ∆AKC

Suy ra:

Gọi E đối xứng với O qua I.

Khi đó:

Suy ra tập hợp điểm E là đường tròn tâm O, bán kính

Ta có: , suy ra OKCE là hình bình hành. Do đó:

Suy ra phép tịnh tiến theo biến điểm E thành C, O thành K. Do đó tập hợp điểm C là đường tròn tâm K, bán kính là ảnh của đường tròn tâm O, bán kính qua phép tịnh tiến theo .

Câu 4. Cho tứ giác lồi ABCD có AB = BC = CD = a, , . Tính AD.

ĐS:

Lời giải

Xét . Khi đó tứ giác ABCA’ là hình bình hành.

Suy ra: và AA’ = CA’ = BA = CD = a ⇒ ∆CA’D cân tại C.

Ta có:

⇒ ∆CA’D đều.

(∆A’AD cân tại AJ).

Áp dụng định lý cosin cho tam giác A’AD:

Câu 5. Cho hình bình hành ABCD, hai điểm A, B cố định, tâm I của hình bình hành di động trên đường tròn (C). Tìm quỹ tích trung điểm M của canh BC.

ĐS: Tập hợp điểm M là đường tròn (C’), là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo

Lời giải.

Ta có: IM là đường trung bình của ∆CAB ⇒

Suy ra: mà I di động trên đường tròn (C), do đó M di động trên đường tròn (C’), là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo

Câu 6. Cho hình bình hành ABCD và điểm M sao cho C nằm trong tam giác MBD. Giả sử . Chứng minh:

Câu 7. Cho đoạn thẳng AB và đường tròn (C) tâm O bán kính R nằm về một phía của đường thẳng AB. Lấy điểm M trên (C) rồi dựng hình bình hành ABMM’. Tìm tập hợp các điểm M’ khi M di động trên (C).

ĐS: Tập hợp điểm C là đường tròn (C’), là ảnh của (C) qua phép tịnh tiến theo .