Toán lớp 10: Bảng công thức và các dạng toán mới nhất 2023

Dạng 1. Công thức cộng

Để giải các bài toán liên quan đến các công thức cộng, ta thường sử dụng các công thức sau:

a) sin(a ± b) = sina⋅cosb ± sinb⋅cosa

b) cos(a ± b) = cosa⋅cosb ∓ sina⋅sinb

c)

Ví dụ 1. Tính giá trị của biểu thức P = cos10° + cos11°⋅cos21° + cos69°⋅cos79°

Lời giải.

Ta có:

P = cos10° + cos11°⋅cos21° + sin11°⋅cos21°

= cos10° + cos(11° − 21°) = 2 cos10°.

Ví dụ 2. Rút gọn các biểu thức:

a)

b) B = (tana − tanb)⋅cot(a − b) − tana⋅

Lời giải.

a) Ta có:

b) Ta có:

B = tan(a − b)⋅(1 + tana⋅tanb)⋅cot(a − b) − tana⋅tanb = 1.

Ví dụ 3. Chứng minh đẳng thức sau:

Lời giải.

Ta có:

Mặt khác ta cũng có:

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

tanA + tanB + tanC = tanA⋅tanB⋅tanC.

Lời giải.

Ta có:

Bài tập tự luyện

Bài 1. Không sử dụng MTCT, hãy tính giá trị sin15°, cos15°, sin75° và cos75°.

Lời giải.

sin15° = sin(45° − 30°) = sin45°⋅cos30° − sin30°⋅cos45° =

cos15° = cos(45° −30°) = cos45°⋅cos30° + sin45°⋅sin30° =

sin75° = sin(45° + 30°) = sin45°⋅cos30° + sin30°⋅cos45° =

cos75° = cos(45° + 30°) = cos45°⋅cos30° − sin45°⋅sin30° =

Bài 2. Rút gọn biểu thức

Lời giải.

Bài 3. Tính α + β biết tanα = , tanβ = với

Lời giải.

Ta có:

Do nên 0 < α + β < π.

Vậy:

Bài 4. Tính

a) , biết và

b) , biết và

c) , biết và

Lời giải.

a) Do nên cosα > 0.

Do đó:

Ta có:

b) Do nên sinα > 0.

Do đó:

Suy ra:

Ta có:

c) Có 0° < a < 90° nên , 90° < b < 180° nên

Bài 5. Chứng minh rằng

a)

b)

Lời giải.

a)

b)

Bài 6. Rút gọn các biểu thức

a)

b)

c)

Lời giải.

a) A = sina⋅cosb + sinb⋅cosa − cosasinb = sina⋅

b) Ta có:

c) Ta có:

Bài 7. Chứng minh các đẳng thức sau:

a) sin(a + b)⋅sin(a − b) = sin²a − sin²b = cos²b − cos²a

b) cos(a + b)⋅cos(a − b) = cos²a − sin²b = cos²b − sin²a

Lời giải.

a) sin(a + b)⋅sin(a − b)

= (sina⋅cosb + sinb⋅cosa)(sina⋅cosb − sinb⋅cosa)

= sin²acos²b − sin²bcos²a

= sin²a(1 − sin²b) − sin²b(1 − sin²a)

= sin²a − sin²b.

Tương tự: sin²a⋅cos²b − sin²b⋅cos²a

= (1 − cos²a)cos²b − (1 − cos²b)cos²a

= cos²b − cos²a.

b) cos(a + b) ⋅cos(a − b)

= (cosa⋅cosb − sina⋅sinb)(cosa⋅cosb + sina⋅sinb)

= cos2a⋅cos b−sin2a⋅sin2b

= cos²a(1 − sin²b) − (1 − cos²a)sin²b

= cos²a − sin²b.

Tương tự: cos²a⋅cos²b − sin²a⋅sin²b

=(1 − sin²a)cos²b − sin²a(1 − cos²b)

= cos²b − sin²a.

Bài 8. Cho , chứng minh rằng

Lời giải.

Ta có:

Do đó:

Bài 9. Cho , chứng minh rằng (1 + tana)(1 + tanb) = 2.

Lời giải.

Ta có:

Bài 10. Cho tam giác ABC, chứng minh rằng:

Lời giải.

Ta có:

Công thức nhân đôi

Định lí 1 (Công thức góc nhân đôi).

Với mọi giá trị của góc lượng giác α cho trước, ta có:

+) sin2α = 2sinα⋅cosα.

+) cos2α = cos²α − sin²α = 2cos2α − 1 = 1 − 2sin²α.

+)

Hệ quả 1 (Công thức hạ bậc).

Với mọi giá trị của góc lượng giác α cho trước, ta có:

+)

+)

+)

Hệ quả 2 (Công thức nhân ba).

Với mọi giá trị của góc lượng giác α cho trước, ta có:

+) sin3α = 3sinα − 4sin³α.

+) cos3α = 4cos³α − 3cosα.

(Chứng minh lại khi sử dụng trong bài tập tự luận)

Lời giải.

a) sin3α = sin(α + 2α)

= sinα⋅cos2α + sin2α⋅cosα

= sinα(1 − 2sin²α) + 2sinα⋅cos²α

= sinα − 2sin³α + 2sinα(1 − sin²α)

= 3sinα − 4sin³α.

b) cos3α = cos(α + 2α)

= cosα⋅cos2α − sinα⋅sin2α

= cosα(2cos²α − 1) − 2sin²α⋅cosα

= 2cos³α − cosα − 2(1 − cos²α)cosα

= 4cos³α − 3cosα.

Các dạng toán

Dạng 2. Tính các giá trị lượng giác của các góc cho trước

Sử dụng công thức nhân đôi hoặc hạ bậc để tính giá trị lượng giác theo yêu cầu.

Ví dụ 1. Tính các giá trị lượng giác của góc α = 22°30′.

Lời giải.

Ví dụ 2. Cho với . Tính giá trị của sin2α và tan 2α.

Lời giải.

Ta có: sin²α + cos²α = 1 ⇒ cos²α = 1 − sin²α =

Do nên cosα < 0 ⇒ cosα =

Dạng 3. Rút gọn biểu thức cho trước

Sử dụng công thức nhân đôi hoặc hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn giữa các cung và các bậc.

Ví dụ 1. Rút gọn các biểu thức sau

a) A = sin10°⋅cos20°⋅cos40°.

b) B = cos³x⋅sinx − sin³x⋅

Lời giải.

a) A = sin10°⋅cos20°⋅cos40°

⇒ A⋅cos10° = sin10°⋅cos10°⋅cos20°⋅cos40°

= sin20°⋅cos20°⋅cos40°

= sin40°⋅cos40°

= sin80° = cos10°

Vậy A = .

b) B = cos³x⋅sinx − sin³x⋅cosx

= cosx⋅sinx(cos²x − sin²x)

= sin2x⋅cos2x

= sin4x.

Dạng 4. Chứng minh đẳng thức lượng giác

Sử dụng công thức nhân đôi hoặc hạ bậc kết hợp việc đánh giá quan hệ bội chẵn giữa các cung và các bậc.

Ví dụ 1. Chứng minh các đẳng thức sau trong điều kiện có nghĩa của biểu thức

a)

b)

c)

Lời giải.

a)

b)

c)

Ví dụ 2. Chứng minh biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x

Lời giải.

Vậy giá trị của biểu thức P không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho biết . Hãy tính giá trị biểu thức:

Lời giải.

Ta có:

Bài 2. Cho . Chứng minh rằng y = sin2x.

Lời giải.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Bài 3. Rút gọn

Lời giải.

Bài 4. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A = sin6°⋅cos12°⋅cos24°⋅cos48°

b)

Lời giải.

a)

b)

Bài 5. Tính giá trị của sin18° và cos18°.

Lời giải.

Đặt x = 18°, có 5x = 90° ⇔ 3x = 90° −2x

⇒ cos2x = sin3x

⇔ 1 − 2sin2x = 3sinx − 4sin3x

⇔ 4sin3x − 2sin2x − 3sinx + 1 = 0

⇔ (sinx − 1)(4sin2x + 2sinx − 1) = 0

⇔ sinx = 1 (loại) ∨ sinx = (nhận) ∨ sinx = (loại)

Vậy và

Bài 6. Chứng minh các đẳng thức sau đây (trong điều kiện có nghĩa của biểu thức):

a)

b)

c) sin⁴x + cos⁴x − 6sin²x⋅cos²x = cos4x.

Lời giải.

a)

b)

c) VT = (sin²x + cos²x)² − 2sin²x⋅cos²x − 6sin²x⋅cos²x

= 1 − 8sin²x⋅cos²x

= 1 − 2sin²x = cos4x = VP

Bài 7. Cho góc α thỏa . Tính giá trị của biểu thức:

P = sin⁶α⋅cos²α + sin²α⋅cos⁶α.

Lời giải.

Mà

Vậy nên

Bài 8. Rút gọn biểu thức:

A = sin⁵α⋅cosα −cos⁵α⋅sinα.

Lời giải.

A = sinα⋅cosα(sin⁴α − cos⁴α)

= sin2α(sin²α − cos²α)(sin²α + cos²α)

= sin2α(−cos2α)

= sin4α

Bài 9. Chứng minh các biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số x.

a) A = 8sin⁴x + 4cos2x − cos4x − 3.

b)

Lời giải.

a)

Vậy A không phụ thuộc vào giá trị của x.

b)

Vậy B không phụ thuộc vào giá trị của x.

Công thức biến đổi

Dạng 5. Biến đổi một biểu thức thành một tổng hoặc thành một tích

Đây là dạng toán cơ bản chủ yếu để tập cho học sinh áp dụng được đối với các công thức biến đổi (tổng thành tích, tích thành tổng) đã học. Dưới đây là các công thức biến đổi đó.

Công thức biến đổi tích thành tổng

+) cosa⋅cosb = [cos(a − b) + cos(a + b)]

+) sina⋅sinb = [cos(a − b) − cos(a + b)]

+) sina⋅cosb = [sin(a + b) + sin(a − b)]

+) cosa⋅sinb = [sin(a + b) − sin(a − b)]

Công thức biến đổi tổng thành tích

+)

+)

+)

+)

+)

+)

Ví dụ 1. Biến đổi mỗi biểu thức sau đây thành một tổng:

a) A = 2sin(a + b)⋅sin(a − b)

b) B = sinx⋅sin2x⋅sin3x

c) C = 8cosx⋅sin2x⋅sin3x

d) D = cosx⋅cos(x + 60°)⋅cos(x − 60°)

Lời giải.

a) A = 2sin(a + b)⋅sin(a − b)

= 2⋅ [cos(a + b − a + b) − cos(a + b + a − b)]

= cos2b − cos2a.

Vậy A = 2sin(a + b)⋅sin(a − b) = cos2b − cos2a.

b) B = sinx⋅sin2x⋅sin3x

= sin3x(sin2x⋅sinx)

= sin3x[cosx − cos3x]

= sin3x⋅cosx – sin3x⋅cos3x

= [sin2x + sin4x] – sin6x.

Vậy B = sinx⋅sin2x⋅sin3x

= sin2x + sin4x – sin6x.

c) C = 8cosx⋅sin2x⋅sin3x

= 8sin3x⋅sin2x⋅cosx

= 4[cosx − cos5x]cosx

= 4cos²x − 4cos5x⋅cosx

= 2(1 + cos2x) − 2(cos4x + cos6x)

Vậy C = 8cosx⋅sin2x⋅sin3x

= 2 + 2 cos2x − 2cos4x − 2cos6x

d)

Vậy

Ví dụ 2. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tích:

a) A = sina + sin3a + sin5a

b) B = 1 + cosx + cos2x + cos3x

Lời giải.

a) sina + sin3a + sin5a

= sin5a + sina + sin3a

= 2sin3a⋅cos2a + sin3a

= sin3a(2cos2a + 1).

Vậy A = sina + sin3a + sin5a = sin3a(2cos2a + 1).

b)

Vậy

Bài tập tự luyện

Bài 1. Biến đổi các biểu thức sau đây thành một tổng:

a) cos5a⋅sin3a

b) cos(a + b)⋅cosa

c) 2cos(a + b)⋅cos(a − b)

d) 4cosx⋅cos2x⋅cos3x

e) sin(a − b)⋅cos(b − a)

f) cosa⋅cosb⋅cosc

g) 4sin2a⋅sin4a⋅sin6a

h)

Lời giải.

a) Ta có: cos5a⋅sin3a

= sin3a⋅cos5a

= [sin(3a − 5a) + sin(3a + 5a)]

= [sin(−2a) + sin8a]

Vậy cos5a⋅sin3a = sin8a – sin2a.

b) Ta có: cos(a + b) cosa

= [cosb + cos(2a + b)]

= cosb + cos(2a + b).

c) 2cos(a + b)⋅cos(a − b)

= 2⋅ [cos(a + b − a + b) + cos(a + b + a − b)]

= cos2b + cos2a.

d) Ta có: 4cosx⋅cos2x⋅cos3x

= 4(cos4x⋅cos2x)cosx

= 4⋅ [cos2x + cos6x]cosx

= 2cos2x⋅cosx + 2cos6x⋅cosx

= cosx + cos3x + cos5x + cos7x.

e) Ta có: sin(a − b)⋅cos(b − a)

= [sin(a – b – b + a) + sin(a − b + b − a)]

= sin(2a − 2b).

f) cosa⋅cosb⋅cosc

= [cos(a − b) + cos(a + b)]cosc

= cos(a − b)⋅cosc + cos(a + b)⋅cosc

= cos(a – b − c) + cos(a − b + c) + cos(a + b − c) + cos(a + b+ c).

g) Ta có: 4sin2a⋅sin4a⋅sin6a

= sin4a + sin8a − sin12a.

h) Ta có:

Bài 2. Biến đổi mỗi biểu thức dưới đây thành một tích:

a) sinx + sin2x + sin3x

b) sinx + sin3x + sin5x + sin7x

c) cosx + cos2x + cos3x + cos4x

d)

e)

f) sinx⋅cos3x + sin4x⋅cos2x

g) sina + sinb + sin(a + b)

h) cosa + cosb + cos(a + b) + 1

i) sin²a − sin²b

j) 1 + sina + cosa

k) 1 − cosa + sina

l) 1 − 2 cosx + cos2x

m) 1 + sinx − cos2x

n) sin²x − sin²2x + sin²3x

o) cos²x + cos²2x + cos²3x − 1

Lời giải.

a) sinx + sin2x + sin3x

= (sin3x + sinx) + sin2x

= 2sin2x⋅cosx + sin2x

= sin2x(2cosx + 1).

b) sinx + sin3x + sin5x + sin7x

= (sin7x + sinx) + (sin5x + sin3x)

= 2sin4x⋅cos3x + 2sin4x⋅cosx

= 2sin4x(cos3x + cosx)

= 4sin4x⋅cos2x⋅cosx.

c)

d)

e)

f) sinx⋅cos3x + sin4x⋅cos2x

= [sin(−2x) + sin4x] + [sin2x + sin6x]

= [sin6x + sin4x]

= sin5x⋅cosx.

g)

h)

i)

j)

k)

l) 1 − 2cosx + cos2x

= 1 − 2cosx + 2cos²x − 1

= 2cosx(cosx − 1).

m) 1 + sinx − cos2x

= 1 + sinx − (1 − 2sin²x)

= sinx(1 + 2 sinx).

n)

o)

Dạng 6. Chứng minh một đẳng thức lượng giác có sử dụng nhóm công thức biến đổi

+) Với dạng toán này chúng ta thường xuất phát từ một vế của đẳng thức cần chứng minh, áp dụng các công thức, kết hợp rút gọn, nhóm số hạng,… một cách hợp lý biến đổi biểu thức đó đồng nhất được với biểu thức ở vế kia.

+) Tuỳ vào bài toán cụ thể, đôi khi phương pháp biến đổi tương đương, hoặc chứng minh cả hai vế của đẳng thức cùng bằng với biểu thức trung gian,… cũng có thể được sử dụng.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng:

, với mọi x ∈ ℝ

Lời giải.

Ta có:

Vậy , với mọi x ∈ ℝ

Ví dụ 2. Chứng minh rằng:

cos³a⋅cos3a − sin³a⋅sin3a = cos4a + , với mọi x ∈ ℝ

Lời giải.

Ta có: cos³a⋅cos3a − sin³a⋅sin3a

= (cos3a⋅cosa)cos²a − (sin3a⋅sina)sin²a

= [cos2a + cos4a]cos²a − [cos2a − cos4a]sin²a

= cos2a⋅cos²a + cos4a⋅cos²a − cos2a⋅sin²a + cos4a⋅sin²a

= cos2a(cos²a − sin²a)+ cos4a(cos²a + sin²a)

= cos2a⋅cos2a + cos4a

= (cos4a + cos0) + cos4a

= cos4a + , ∀x ∈ ℝ.

Vậy cos³a⋅cos3a − sin³a⋅sin3a

= cos4a + , với mọi x ∈ ℝ

Ví dụ 3. Chứng minh rằng giá trị của biểu thức say đây không phụ thuộc vào biến số x:

Lời giải.

Ta có:

Vậy S = với mọi x ∈ ℝ (không phụ thuộc vào biến số x).

Bài tập tự luyện

Bài 1. Chứng minh các đẳng thức sau đây:

a) cos5x⋅cos3x + sin7x⋅sinx = cos2x⋅cos4x

b) sin5x − 2 sinx(cos2x + cos4x) = sinx

c) cos5x⋅cosx + sin3x⋅sinx = cos2x⋅cos4x

d) 2(sina⋅cos2a − sin2a⋅cos3a) + sin5a = sin3a

e) sin2α − sin4α + sin6α = 4sinα⋅cos2α⋅cos3α

f)

g)

h)

i)

j)

k)

l)

m)

n) cos3x⋅sin³x+ sin3x⋅cos³x = sin4x

o)

p)

q)

r)

s) sin(a − b)⋅sin(a + b) = sin²a − sin²b

t) cos(a + b)⋅cos(a − b) = cos²a − sin²b

Lời giải.

a) Ta có: cos5x⋅cos3x + sin7x⋅sinx

= (cos2x + cos8x) + (cos6x − cos8x)

= (cos6x + cos2x)

= cos4x⋅cos2x.

b) Ta có: sin5x − 2sinx(cos2x + cos4x)

= sin5x − 2sinx⋅cos2x − 2sinx⋅cos4x

= sin5x − [sin(−x) + sin3x] − [sin(−3x) + sin5x]

= sinx.

c) Ta có: cos5x⋅cosx+ sin3x⋅sinx

= [cos4x + cos6x] + [cos2x −cos4x]

= [cos6x + cos2x]

= cos2x⋅cos4x.

d) Ta có: 2(sina⋅cos2a − sin2a⋅cos3a) + sin5a

= 2sina⋅cos2a − 2sin2a⋅cos3a + sin5a

= sin(−a) + sin3a − [sin(−a) + sin5a] + sin5a

= sin3a.

e) Ta có: sin2α − sin4α + sin6α

= sin6α + sin2α − sin2(2α)

= 2sin4α⋅cos2α − 2sin2α⋅cos2α

= 2cos2α(sin4α − sin2α)

= 2cos2α(2cos3α⋅sinα)

= 4sinα⋅cos2α⋅cos3α.

f) Ta có:

g) Ta có:

h) Ta có:

i) Ta có:

j) Ta có:

k) Ta có:

l) Ta có:

m) Ta có:

n) Ta có: cos3x⋅sin³x + sin3x⋅cos³x

= (cos3x⋅sinx)sin²x + (sin3x⋅cosx) cos²x

= (sin4x − sin2x)sin²x + (sin4x + sin2x)cos²x

= sin4x⋅sin²x − sin2x⋅sin²x + sin4x⋅cos²x +  sin2x⋅cos²x

= sin4x(sin²x + cos²x) + sin2x(cos²x − sin²x)

= sin4x + sin2x⋅cos2x

= sin4x + sin4x = sin4x.

o) Ta có:

p) Ta có:

q) Ta có:

r) Ta có:

s) Ta có:

t) Ta có:

Bài 2. Chứng minh các đẳng thức sau đây:

a)

b) sin²a + sin²b + 2sina⋅sinb⋅cos(a + b) = sin²(a + b)

c)

Lời giải.

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có:

Bài 3. Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào biến số x:

Lời giải.

Vậy với mọi x ∈ ℝ (không phụ thuộc vào biến số x).

Bài 4. Chứng minh rằng các biểu thức dưới đây không phụ thuộc vào giá trị của biến số x.

a)

b)

Lời giải.

a)

b)

Dạng 7. Dùng công thức biến đổi để tính giá trị (rút gọn) của một biểu thức lượng giác

Ví dụ 1. Rút gọn biểu thức A = 2sinx(cosx + cos3x + cos5x). Từ đó tính giá trị biểu thức:

Lời giải.

Ta có: A = 2sinx(cosx + cos3x + cos5x)

= 2sinx⋅cosx + 2sinx⋅cos3x + 2sinx⋅cos5x

= sin2x + sin4x + sin(−2x) + sin6x + sin(−4x)

= sin2x + sin4x − sin2x + sin6x − sin4x

Như vậy, A = 2sinx(cosx + cos3x + cos5x) = sin6x.

Áp dụng kết quả trên, ta có:

Do

Nên

Ví dụ 2. Tính giá trị biểu thức A = sin²10° + cos70°⋅cos50°

Lời giải.

Ta có:

Vậy A = sin²10° + cos70°⋅cos50° =

Ví dụ 3. Rút gọn các biểu thức sau đây:

a)

b)

Lời giải.

a)

b)

Bài tập tự luyện

Bài 1. Tính giá trị các biểu thức sau đây:

a)

b)

c)

d) D = cos35° + cos85° – cos25°

e) E = cos130° + cos110° + sin100°

f) F = tan9° – tan27° – tan63° + tan81°

g)

h)

i)

j) J = cos36°⋅cos72°

k) K = cos36° – sin18°

l)

m)

Lời giải.

a)

b)

c)

d) D = cos35° + cos85° − cos25°

= 2cos60°⋅cos(−25°) − cos25°

= cos25° − cos25° = 0

e) E = cos130° + cos110° + sin100°

= 2cos120°⋅cos10° + cos10°

= −cos10° + cos10° = 0

f)

g)

h)

i)

j) J = cos36°⋅cos72°

⇒ J⋅sin36° = sin36°⋅cos36°⋅cos72°

⇒ J⋅sin36° = sin72°⋅cos72° = sin144° = sin36°

Vậy J =

k) K = cos36° − sin18°

= −cos144° − cos72°

⇒ K⋅(−sin36°) = sin36°⋅cos144° + sin36°⋅cos72°

= [sin180° − sin108° + sin108° − sin36°]

= (−sin36°)

⇒ K =

l)

m)

Bài 2. Cho . Hãy tính giá trị của các biếu thức sau đây

a) A = sina + sin2a + sin3a + sin4a + sin5a

b) B = cos2a + cos4a + cos6a + cos8a + cos10a

c)

Lời giải.

a) Ta có:

Với ta có:

b) Ta có:

B = cos2a + cos4a + cos6a + cos8a + cos10a

⇒ 2B⋅sina = 2sina⋅cos2a + 2sina⋅cos4a + 2sina⋅cos6a + 2sina⋅cos8a + 2 sina⋅cos10a

⇒ 2B⋅sina = −sina + sin3a − sin3a + sin5a + … − sin9a + sin11a

⇒ 2B⋅sina = −sina + sin11a.

Với ta có:

c) Ta có:

Bài 3. Rút gọn các biểu thức dưới đây:

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) I = sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

Lời giải.

a)

b)

c)

d)

e)

f)

g)

h)

i) I = sinx(1 + 2cos2x + 2cos4x + 2cos6x)

= sinx + 2sinx⋅cos2x + 2sinx⋅cos4x + 2sinx⋅cos6x

= sinx − sinx + sin3x − sin3x + sin5x − sin5x + sin7x

= sin7x

Dạng 8. Nhận dạng tam giác. Một số hệ thức trong tam giác

+) Biến đổi, dẫn đến sinA = 1 hoặc cosA = 0 sẽ có A = 90°.

+) Nếu a² + b² = c² thì C = 90°.

+) Nếu sin(A − B) = 0 hoặc cos(A − B) = 1 thì A = B, suy ra tam giác cân.

+) Tam giác cân mà có một góc bằng 60° là tam giác đều.

Một số lưu ý khi giả thiết cho A, B, C là ba góc của một tam giác

+) A + B + C = 180° ⇒ (A + B) và C bù nhau, tương tự với (B + C) và A,…

+) và phụ nhau, tương tự với và

+) Các góc A, B, C đều có số đo trong khoảng (0°; 180°)

+) Các góc đều là các góc nhọn nên có các giá trị lượng giác đều dương.

Ví dụ 1. Chứng minh rằng ∆ABC vuông khi sinA⋅sinC = cosA⋅cosC.

Lời giải.

Ta có: sinA⋅sinC = cosA⋅cosC

⇔ cosA⋅cosC − sinA⋅sinC = 0

⇔cos(A + C) = 0 ⇔ −cosB = 0

⇔ cosB = 0 ⇔ B = 90°

Vậy tam giác ABC vuông tại B.

Ví dụ 2. Chứng minh rằng ∆ABC cân khi 2sinA⋅sinB = 1 + cosC (1)

Lời giải.

Ta có (1) tương đương với:

cos(A − B) − cos(A + B) = 1 + cosC

⇔cos(A − B) + cosC = 1 + cosC

⇔cos(A − B) = 1

⇔ A − B = 0 ⇔ A = B.

Vậy tam giác ABC cân tại C.

Ví dụ 3. Cho ∆ABC với diện tích S và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Đặt: Q = sin2A + sin2B + sin2C. Khi đó:

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 4. Cho ∆ABC. Chứng minh rằng:

a⋅sin(B − C) + b⋅sin(C − A) + c⋅sin(A − B) = 0.

Lời giải.

Đẳng thức cần chứng minh tương đương với:

2R[sinA⋅sin(B − C) + sinB⋅sin(C − A) + sinC⋅sin(A − B)] = 0.

Mà ta có:

+) sinA⋅sin(B − C)

= sin(B + C)⋅sin(B − C)

= −(cos2B − cos2C)

+) sinB⋅sin(C − A)

= sin(C + A)⋅sin(C − A)

= −(cos2C − cos2A)

+) sinC⋅sin(A − B)

= sin(A + B)⋅sin(A − B)

= −(cos2A − cos2B).

Cộng lại ta được:

sinA⋅sin(B − C) + sinB⋅sin(C − A) + sinC⋅sin(A − B) = 0.

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Ta có:

Ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 6. Cho A, B, C và a, b, c là các góc và các cạnh của ∆ABC. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Ta có:

Từ đây ta có điều phải chứng minh.

Ví dụ 7. Chứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta luôn có:

Lời giải.

Ta có:

Vì nên và

Từ đó:

Vậy

Ví dụ 8. Chứng minh rằng với mọi tam giác nhọn ABC ta luôn có:

Lời giải.

Ta có:

Vậy

Ví dụ 9. Tam giác ABC là tam giác gì nếu ?

Lời giải.

Ta có:

Do 0° < < 90° nên và

Từ đó:

Vậy ABC là tam giác vuông tại A.

Bài tập tự luyện

Bài 1. Cho A, B, C là 3 đỉnh của một tam giác. Chứng minh rằng:

a)

b)

c) sin2A + sin2B + sin2C = 4sina⋅sinb⋅sinC

d) cos2A + cos2B + cos2C + 1 = −4cosa⋅cosb⋅cosC

e) sin²A + sin²B + sin²C = 2 + 2cosa⋅cosb⋅cosC

f) cos²A + cos²B + cos²C = 1 − 2cosa⋅cosb⋅cosC

g) tanA + tanB + tanC = tana⋅tanb⋅tanC

h)

Lời giải.

a) Ta có:

b) Ta có:

c) Ta có: sin2A + sin2B + sin2C

= 2sin(A + B)⋅cos(A − B) + 2 sinCcosC

= 2sinC⋅cos(A − B) − 2sinC⋅cos(A + B) (do A + B + C = 180°)

= 2sinC⋅[cos(A − B) − cos(A + B)]

= 2sinC⋅(−2)sinA⋅sin(−B)

= 4sina⋅sinb⋅sinC.

d) Ta có: cos2A + cos2B + cos2C + 1

= 2cos(A + B)⋅cos(A − B) + 2cos2C − 1 + 1

= −2cosC⋅cos(A − B) − 2cosC⋅cos(A + B) (do A + B + C = 180°)

= −2cosC⋅[cos(A − B) + cos(A + B)]

= −2cosC⋅2cosA⋅cos(−B)

= −4cosa⋅cosb⋅cosC.

e) Ta có:

f) Ta có:

g) Ta có:

h) Ta có:

Bài 2. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng

Lời giải.

Ta có:

Điều phải chứng minh.

Bài 3. Chứng minh rằng ∆ABC vuông khi

Lời giải.

Ta có:

Vậy tam giác ABC vuông tại A.

Bài 4. Cho a, b, A, B khác không và aB + bA ≠ 0 sao cho:

Chứng minh rằng:

Lời giải.

Ta có:

Như vậy: , điều phải chứng minh.

Bài 5. Cho ∆ABC không tù, thoả mãn điều kiện:

Tính ba góc của tam giác ABC.

Lời giải.

Gọi . Khi đó:

Do nên

Mặt khác, do tam giác ABC không tù nên cosA ≥ 0, cos²A ≤ cosA.

Suy ra:

Vậy M ≥ 0, hay . Theo giả thiết:

Bài tập tổng hợp

Bài 1. Chứng minh

Lời giải.

Ta có:

sin⁴a + cos⁴a − 1

= (sin²a + cos²a)² − 2sin²a⋅cos²a − 1

= −2sin²a⋅cos²a

sin⁶a + cos⁶a − 1

= (sin²a + cos²a)(sin⁴a + cos⁴a − sin²a⋅cos²a) − 1

= (1 − 2sin²a⋅cos²a) − sin²a⋅cos²a − 1

= −3sin²a⋅cos²a

Do đó:

Bài 2. Rút gọn biểu thức

Tính giá trị A nếu và

Lời giải.

Ta có:

Ta có:

Do nên sinx > 0

Vậy:

Do đó:

Bài 3. Chứng minh các biểu thức sau đây không phụ thuộc x:

a) A = 2cos⁴x − sin⁴x + sin²x⋅cos²x + 3sin²x

b)

Lời giải.

a) Ta có:

A = 2cos⁴x − (1 − cos²x)² + (1 − cos²x)cos²x + 3(1 − cos²x)

= 2cos⁴x − (1 − 2cos²x + cos⁴x) + cos²x − cos⁴x + 3 − 3cos²x

= 2 (không phụ thuộc x).

b) Điều kiện: sinx⋅cosx ≠ 0, tanx ≠ 1

Bài 4. Chứng minh:

Lời giải.

Ta có:

Mặt khác: sin⁴a + cos⁴a = 1 − sin²2a.

Do đó:

Bài 5. Chứng minh:

16sin10°⋅sin30°⋅sin50°⋅sin70° = 1

Lời giải.

Ta có:

Bài 6. Chứng minh:

Lời giải.

Ta có:

Bài 7. Chứng minh:

Lời giải.

Ta có:

Do đó:

Tương tự:

Cộng vế theo vế các đẳng thức trên ta được:

Bài 8. Chứng minh:

8sin³18° + 8sin²18° = 1

Lời giải.

Ta có: sin18° = cos72°

⇔ sin18° = 2cos²36° − 1

⇔ sin18° = 2(1 − 2sin²18°)² − 1

⇔ sin18° = 2(1 − 4sin²18° + 4sin⁴18°) − 1

⇔ 8sin⁴18° − 8sin²18° − sin18° + 1 = 0

⇔ (sin18° − 1)(8sin³18° + 8sin²18° − 1) = 0

⇔ 8sin³18° + 8sin²18° − 1 = 0 (do 0 < sin18° < 1).

Bài 9. Chứng minh:

sin3x⋅sin³x + cos3x⋅cos³x = cos³2x.

Lời giải.

Ta có:

Bài 10. Tính P = sin²50° + sin²70° − cos50°⋅cos70°

Lời giải.

Ta có:

Bài 11. Tính: P = cos12° + cos18° − 4 cos15°⋅cos21°⋅cos24°

Lời giải.

Ta có: cos12° + cos18° − 4cos15°(cos21°⋅cos24°)

= 2cos15°⋅cos3° − 2cos15°(cos45° + cos3°)

= 2cos15°⋅cos3° − 2cos15°⋅cos45° − 2 cos15°⋅cos3°

= −2cos15°⋅cos45°

= −(cos60° + cos30°)

=

Bài 12. Cho ∆ABC tùy ý với ba góc đều là nhọn. Tìm giá trị nhỏ nhất của:

P = tanA⋅tanB⋅tanC.

Lời giải.

Ta có: A + B = π − C. Nên:

Vậy P = tanA⋅tanB⋅tanC = tanA + tanB + tanC

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương tanA, tanB, tanC ta được:

Dấu “=” xảy ra ⇔ A = B = C =

Do đó: MinP = ⇔ A = B = C =

Bài 13. Chứng minh:

Lời giải.

Ta có:

Do đó:

Bài 14. Cho  . Hãy tính:

cos2x, sin2x, sin2y, cos2y, cos(x + y), sin(x − y).

Lời giải.

Ta có:

Vậy:

Bài 15. Chứng minh rằng

a) sin3x = sinx(4cos²x − 1);

b) sin4x = sinx(8cos³x − 4cosx).

Lời giải.

a) Ta có:

sin3x = sin(2x + x)

= sinx⋅cos2x + cosx⋅sin2x

= sinx(2cos²x − 1) + 2sinx⋅cos²x

= sinx(4cos²x − 1).

b) Ta có:

sin4x = 2sin2x⋅cos2x

= sinx⋅4cosx(2cos²x − 1)

= sinx(8cos³x − 4cosx).

Bài 16. Cho α là góc lượng giác tuỳ ý, , k ∈ Z. Chứng minh:

Lời giải.

Ta có:

Bài 17. Chứng minh rằng

Lời giải.

Ta có:

Do đó:

Bài 18. Chứng minh rằng với mọi x, y, z ta có:

cos²x + cos²y − cos²z − cos²(x + y + z) = 2cos(x + y)⋅sin(y + z)⋅sin(z + x).

Lời giải.

Kí hiệu Q là vế trái. Ta có:

Ta có điều phải chứng minh.

Bài 19. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Kí hiệu T là vế trái. Nhân vế trái với ta được:

Như thế:

Bài 20. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Kí hiệu T là vế trái của đẳng thức cần chứng minh. Ta có:

Ta có điều phải chứng minh.