Toán lớp 10: Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp mới nhất 2023

Tìm hiểu ý nghĩa, công thức và cách sử dụng công thức hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp và áp dụng để giải các bài tập từ cơ bản đến nâng cao. Trong quá trình học phần toán tổ hợp, việc hiểu ý nghĩa là phần cực kì quan trọng. Do đó bài viết này rất quan trọng đối với những người học nhập môn.

Nguồn gốc Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp thuộc toán học tổ hợp – một ngành toán học rời rạc. Nghiên cứu về cấu hình kết hợp các phần tử của một tập hợp hữu hạn phần tử. Phần kiến thức này liên quan đến nhiều lĩnh vực khác của toán học như đại số, xác suất,… và ứng dụng trực tiếp đến khoa học máy tính cung như vật lý thống kê. ^{[1]Wikipedia, Toán học tổ hợp, 6/01/2022}

Giai thừa

1.1. Khái niệm

Hoán vị, chỉnh hợp, tổ hợp đều được biểu diễn công thức có liên quan đến giai thừa. Do đó việc tìm hiểu lý thuyết giai thừa đầu tiên là lẽ đương nhiên.

Cho số tự nhiên n ≥ 1, ta định nghĩa n giai thừa, ký hiệu bởi n! là:

n! = n.(n – 1).(n – 2) … 2.1

Định nghĩa: Trong toán học, giai thừa là một toán tử một ngôi trên tập hợp các số tự nhiên. ^{[2]Wikipedia, Giai thừa, 10/06/2022}

1.2. Tính chất

Giai thừa có các tính chất sau đây:

+) n! = n.(n − 1)! = n.(n − 1).(n − 2)! = n.(n − 1).(n − 2)…..2.1

+) Quy ước 0! = 1.

Hoán vị

2.1. Khái niệm hoán vị

Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

+) Ta nói mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử tập hợp A là một hoán vị của n phần tử này.

+) Số các hoán vị của n phần tử tập hợp A được ký hiệu bởi P_n.

Các hoán vị khác nhau chỉ khác nhau về thứ tự sắp xếp các phần tử.

Định nghĩa: Theo lý thuyết tổ hợp truyền thống, hoán vị mô tả một bộ có thứ tự không lặp. Trong đại số trừu tượng, một hoán vị là một song ánh từ một tập hợp hữu hạn X nào đó. ^{[3]Wikipedia, Hoán vị, 24/12/2021}

2.2. Ví dụ

Hoán vị của 3 phần tử a, b, c gồm: a, b, c; a, c, b; b, a, c; …

2.3. Số các hoán vị

Số các hoán vị của n phần tử được tính theo công thức:

P_n = n! = n.(n − 1).(n − 2) … 2.1.

Chỉnh hợp

3.1. Khái niệm

Cho tập hợp S gồm n phần tử (n ≥ 1). Kết quả của việc lấy k phần tử của tập hợp S và sắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó được gọi là một chỉnh hợp chập k của n phần tử đã cho.

Định nghĩa: Trong toán học, chỉnh hợp là cách ta chọn những phần tử từ một nhóm lớn hơn có phân biệt thứ tự, trái với tổ hợp là không phân biệt thứ tự. ^{[4]Wikipedia, Chỉnh hợp, 1/1/2021}

3.2. Định lí

Số các chỉnh hợp chập k của n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là:

3.3. Phương pháp giải

Khi giải bài toán chọn trên một tập X có n phần tử, ta sẽ dùng chỉnh hợp nếu có 2 dấu hiệu sau:

+) Chỉ chọn k phần tử trong n phần tử của X (1 ≤ k ≤ n).

+) Có sắp thứ tự các phần tử đã chọn.

Tổ hợp

4.1. Khái niệm tổ hợp

Cho tập hợp A có n (n ≥ 1) phần tử và số nguyên k với 1 ≤ k ≤ n.

Mỗi tập con của A có k phần tử được gọi là một tổ hợp chập k của n phần tử của A (hay một tổ hợp chập k của A). Ký hiệu .

Định nghĩa: Như đã giới thiệu ở phần trước, tổ hợp là cách chọn phần tử từ một nhóm lớn hơn mà không phân biệt thứ tự. ^{[5]Wikipedia, Tổ hợp, 10/3/2021}

4.2. Định lý

Số tổ hợp chập k của một tập hợp có n phần tử (1 ≤ k ≤ n) là

Với quy ước thì với mọi số nguyên k thỏa 0 ≤ k ≤ n ta có

4.3. Tính chất

với 0 ≤ k ≤ n.

4.4. Công thức Pascal

với 1 ≤ k ≤ n.

Phân dạng bài tập Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

Dạng 1: Ứng dụng công thức (Thông hiểu)

[content]

Ví dụ 1: Giả sử muốn xếp 3 bạn A, B, C ngồi vào bàn dài có 3 ghế. Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho mỗi bạn ngồi một ghế? ĐS: P₃ = 3! = 6

Lời giải

Mỗi cách xếp chỗ cho 3 bạn trên được gọi là một hoán vị vị trí của 3 bạn.

Như vậy ta có số cách xếp chỗ là P₃ = 3! = 6 cách.

Ví dụ 2: Có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lý và 3 quyển sách Hóa. Hỏi có bao nhiêu cách xếp số sách đó lên một kệ dài trong mỗi trường hợp sau

a) Các quyển sách được xếp tùy ý?

ĐS: P₁₂

b) Các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau?

ĐS: P₅.P₄.P₃.P₃

Lời giải

a) Số cách xếp các quyển sách tùy ý là một hoán vị của 12 phần tử, nên ta có P₁₂ cách xếp.

b) Vì các quyển sách cùng môn được xếp cạnh nhau nên ta coi các môn là một phần tử, như vậy ta có P₃ cách xếp.

Ngoài ra trong từng môn, ta cũng có hoán vị của từng cuốn sách, do đó ta có P₅.P₄.P₃ cách xếp.

Vậy ta có P₅.P₄.P₃.P₃ cách xếp sách thỏa mãn yêu cầu đề bài.

Ví dụ 3: Giả sử muốn chọn 3 bạn trong 5 bạn A, B, C, D, E và sắp 3 bàn này vào một bàn dài. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:

Lời giải

Mỗi cách xếp 3 bận trong 5 bạn vào một bàn dài là một chỉnh hợp chập 3 của 5 phần tử, nên ta có cách.

Ví dụ 4: Chp tập X = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7} có thể lập được bao nhiêu số tự nhiên gồm bốn chữ số, sao cho.

a) Đôi một khác nhau? ĐS:

b) Số tự nhiên lẻ và đôi một khác nhau? ĐS:

Lời giải

a) Mỗi cách chọn 4 số khác nhau từ 7 số là một chỉnh hợp chập 4 của 7 phần tử. Do đó ta có số được tạo thành.

b) Để số cần lập là số tự nhiên lẻ thì chữ số tận cùng là số lẻ, khi đó ta có 4 cách chọn chữ số tận cùng.

Mỗi cách chọn 3 chữ số còn lại là một chỉnh hợp chập 3 của 6 phần tử nên ta có cách.

Vậy có số được tạo thành.

Ví dụ 5: Có bao nhiêu cách lập một ban chấp hành gồm 3 người trong một chi đoàn có 14 đoàn viên? ĐS:

Lời giải

Mỗi cách lập một ban chấp hành gồm 3 người là một tổ hợp chập 3 của 14 nên ta có cách.

Ví dụ 6: Vòng chung kết bóng đá Euro có 24 đội bóng thi đấu. Hỏi có bao nhiêu cách dự đoán 4 đội bóng vào chung kết? ĐS:

Lời giải

Mỗi cách dự đoán 4 đội vào chung kết là một tổ hợp chập 4 của 24 nên ta có cách.

Ví dụ 7: Một lớp học có 30 học sinh, cần lập ra một tổ công tác gồm 5 học sinh. Hỏi có bao nhiêu cách? ĐS:

Lời giải

Mỗi cách lập ra tổ công tác là một tổ hợp chập 5 của 30 nên ta có cách.

Ví dụ 8: Trong không gian, cho tập hợp X gồm 10 điểm, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Hỏi

a) Có bao nhiêu đường thẳng được tạo thành? ĐS:

b) Có bao nhiêu tam giác được tạo thành? ĐS:

Lời giải

a) Để tạo thành đường thẳng, ta chọn 2 điểm trong 10 điểm nên số đường thẳng được tạo thành là .

b) Để tạo thành tam giác, ta chọn 3 điểm trong 10 điểm nên số tam giác được tạo thành là .

Dạng 2: Giải phương trình, bất phương trình, hệ phương trình (Vận dụng)

2.1. Phương pháp giải

+) Bước 1: Tìm điều kiện. Ta có các điều kiện thường gặp sau:

+) Bước 2: Thu gọn dựa vào những công thức trên và đưa về phương trình đại số. Giải phương trình đại số này tìm được biến.

+) Bước 3: So với điều kiện để nhận những giá trị cần tìm.

2.2. Bài tập vận dụng

[content]

Ví dụ 1: Thu gọn biểu thức .

ĐS:

Lời giải

Ví dụ 2: Giải phương trình

ĐS: n = 8

Lời giải

Điều kiện: n ≥ 1, n ∈ ℕ

Ví dụ 3: Giải các phương trình sau:

a) P₂. x² – P₃. x = 8

ĐS: x = –1 hoặc x = 4

b)

ĐS: n = 8

c)

ĐS: x = 3

d)

ĐS: x = 3

e)

ĐS: x = 8

Lời giải

a) P₂.x² − P₃.x = 8 ⇔ 2!. x² − 3!. x − 8 = 0 ⇔ 2x² − 6x − 8 = 0 ⇔

b) Điều kiện: n ≥ 2, n ∈ ℕ

c) Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ

d) Điều kiện: x ≥ 1, x ∈ ℕ

e) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ

Ví dụ 4: Giải phương trình

ĐS: x = 3

Lời giải

Điều kiện: x ≤ 5, x ∈ ℕ

Ví dụ 5: Giải các bất phương trình sau:

a)

ĐS: n = 3 hoặc n = 4

b)

ĐS: n = 3

c)

ĐS: x = 2

Lời giải

a) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ

Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 5, n ∈ ℕ hay n = 3 hoặc n = 4.

b) Điều kiện: n ≥ 3, n ∈ ℕ

Giao với điều kiện ta được 3 ≤ n < 4, n ∈ ℕ hay n = 3.

c) Điều kiện: x ≥ 2, x ∈ ℕ

Giao với điều kiện ta được 2 ≤ x < , x ∈ ℕ hay x = 2.

Ví dụ 6: Giải hệ phương trình sau:

a)

ĐS: x = 5; y = 2

b)

ĐS: x = 8; y = 3

c)

ĐS: x = 7; y = 4

Lời giải

a) Điều kiện: x ≥ y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.

b) Điều kiện: x ≥ y + 1, y ≥ 0 và x, y ∈ ℕ.

c) Điều kiện: x ≥ y, y ≥ 2, x, y ∈ ℕ.

Dạng 3: Các bài toán sử dụng hoán vị (Vận dụng)

3.1. Phương pháp giải

Nhắc lại ý nghĩa của hoán vị: Cho tập hợp A có n phần tử (n ≥ 1).

+) Ta nói mỗi cách sắp xếp thứ tự của n phần tử tập hợp A là một hoán vị của n phần tử này.

+) Số các hoán vị của n phần tử tập hợp A được ký hiệu bởi P_n.

3.2. Bài tập vận dụng

[content]

Ví dụ 1: Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn học sinh A, B, C, D, E vào một ghế sao cho:

a) Bạn C ngồi chính giữa?

ĐS: 24

b) Hai bạn A và E ngồi ở hai đầu ghế?

ĐS: 12

Lời giải

a) Xếp bạn C ngồi chính giữa: có 1 cách.

Xếp 4 bạn còn lại vào 4 vị trí còn lai: có 4! cách.

Vậy có 1 × 4! = 24 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Xếp hai bạn A và E ở hai đầu ghế: có 2! cách.

Xếp 3 bạn còn lại vào 3 vị trí còn lại: có 3! cách.

Vậy có 2! × 3! = 12 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 2: Có bao nhiêu cách sắp xếp 12 học sinh đứng thành một hàng để chụp ảnh lưu niệm, biết rằng trong đó phải có 5 em định trước đứng kề nhau? ĐS: 4838400

Lời giải

Chưa kể thứ tự giữa 5 em trong nhóm “định trước”, để xếp 5 em này đúng kề nhau ta có 8! cách xếp;

Lại có 5! cách xếp 5 em này.

Vậy có tất cả 5! × 8! = 4838400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 3: Trên một kệ sách dài có 5 quyển sách có 5 quyển sách Toán, 4 quyển sách Lí, 3 quyển sách Văn. Các quyển sách đều khác nhau. Hỏi có bao nhiêu cách sắp xếp các quyển sách trên.

a) Một cách tùy ý.

ĐS: 479001600

b) Theo từng môn?

ĐS: 103680

c) Theo từng môn và sách Toán nằm ở giữa?

ĐS: 34560

Lời giải

a) Trên kệ có tất cả 5 + 4 + 3 = 12 quyển sách.

Mỗi cách xếp thự tự 12 quyển sách chính là một hoán vị của 12 phần tử.

Do đó có tất cả 12! = 479001600 cách xếp.

b) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 3! cách xếp 3 khối này.

Có 5! cách xếp sách toán, có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.

Vậy có tất cả 3! × 5! × 4! × 3! = 103680 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

c) Xem mỗi loại sách là một khối thống nhất, ta có 2! cách xếp hai môn còn lai ở hai bên sách Toán;

Ứng với mỗi cách, có 5! cách xếp sách Toán; có 4! cách xếp sách Lí và có 3! cách xếp sách Văn.

Do đó có 2! × 5! × 4! × 3! = 34560 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Ví dụ 4: Hỏi có bao nhiêu cách cách xếp 6 cặp vợ chồng ngồi xung quanh một chiếc bàn tròn sao cho

a) Nam và nữ ngồi xen kẽ nhau?

ĐS: 86400

b) Mỗi bà đều ngồi cạnh chồng của mình?

ĐS: 7680

Lời giải

a) Cố định một người, có 5! cách xếp 5 người cùng giới còn lại vào 5 vị trí còn lai;

Có 6! cách xếp 6 người khác giới còn lại vào các vị trí xen kẽ.

Vậy có tất cả 5! × 6! = 86400 cách xếp thỏa mãn yêu cầu bài toán.

b) Ta tiến hành theo hai công đoan:

Công đoạn 1: Xếp 6 người chồng xung quanh một bàn tròn: có 5! cách.

Vậy có tất cả 5! × 2⁶ = 7680 cách.

Công đoạn 2: Xếp và ngồi gần chồng và hai vợ chồng có thể đổi vị trí cho nhau: có 2⁶ cách.

Ví dụ 5: Cho tập hợp E = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau, biết rằng tổng của ba chữ số này bằng 9? ĐS: 18

Lời giải

Các bộ ba số khác nhau trong E có tổng bằng 9 là

Trường hợp 1: 1 + 2 + 6 = 9.

Trường hợp 2: 1 + 3 + 5 = 9.

Trường hợp 3: 2 + 3 + 4 = 9.

Mỗi bộ số đó lập được 3! số tự nhiên gồm ba chữ số khác nhau.

Vậy có 3 × 3! = 18 số.

Ví dụ 6: Từ các chữ số 1, 2, 3, 4, 5, 6 thiết lập tất cả các số có sáu chữ số khác nhau. Hỏi trong

các số đã thiết lập được, có bao nhiêu số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau? ĐS: 480

Lời giải

Có 6! = 720 số có sáu chữ số khác nhau được lập từ các chữ số đã cho.

Ta xác định các số có 6 chữ số mà 1 và 6 đứng cạnh nhau.

+) Có 5 cách chọn 2 vị trí cạnh nhau trong 6 vị trí.

+) Có 2! cách sắp xếp hai chữ số 1 và 2 vào 2 vị trí đó.

+) Có 4! cách sắp xếp 4 chữ số còn lại vào 4 vị trí còn lại.

Suy ra có 5 × 4! × 2! = 240 các số mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau.

Vậy số các số mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là 720 − 240 = 480.

Ví dụ 7: Cho các số 0, 1, 2, 3, 4, 5. Có thể lập được bao nhiêu số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại ba lần, các chữ số còn lại có mặt đúng một lần? ĐS: 5880

Lời giải

Xét dãy số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 5, 5.

Nếu coi như dãy gồm các chữ số khác nhau thì ta lập được 7 × 7! = 35280 số.

Ba chữ số 5 có số lần các số lặp lại là 3!

Vậy có số gồm tám chữ số trong đó chữ số 5 lặp lai ba lần, các chữ số còn lai có mặt đúng một lần.

Dạng 4: Các bài toán sử dụng chỉnh hợp (Vận dụng)

4.1. Phương pháp giải

Sử dụng phối hợp quy tắc nhân, quy tắc cộng và công thức tính chỉnh hợp

4.2. Bài tập vận dụng

Ví dụ 1: Trong không gian cho bốn điểmA, B, C, D. Từ các điểm trên ta lập các véc-tơ khác . Hỏi có thể có được bao nhiêu véc-tơ? ĐS:

Lời giải

Chọn một cách có thứ tự 2 trong 4 điểm A, B, C, D ta được một véc-tơ.

Do đó số cách chọn véc-tơ từ các điểm trên là cách.

Ví dụ 2: Một nhóm học sinh có 7 em nam và 3 em nữ. Hỏi có bao nhiêu cách xếp 10 em này trên một hàng ngang, sao cho hai vị trí đầu và cuối tháng là các em nam và không có 2 em nữ nào ngồi cạnh nhau? ĐS:

Lời giải

Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:

| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |

Khi đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 3 trong 6 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.

Do đó số cách sắp xếp 3 em nữ là

Số cách sắp xếp 7 em nam là 7!

Vậy số cách sắp xếp 10 em này là

Ví dụ 3: Có bao nhiêu cách sắp xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam vào 10 ghế mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu:

a) Ghế xếp thành hàng ngang?

ĐS:

b) Ghế xếp quanh một bàn tròn?

ĐS:

Lời giải

Giả sử các em nam ở vị trí | như hình sau:

| ∗ | ∗ | ∗ | ∗ | ∗ |

Khi đó ta cần sắp xếp các em nữ vào 4 trong 5 vị trí * để thỏa yêu cầu bài toán.

Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là

Số cách sắp xếp 6 em nam là 6!.

Vậy số cách sắp xếp 10 em này là

b)

Sắp xếp em nữ vào 4 trong 6 vị trí khoảng giữa hai dấu chấm để thỏa yêu cầu bài toán.

Do đó số cách sắp xếp 4 em nữ là

Số cách xếp em nam thứ nhấtt vào bàn là 1 (vì xếp em này ngồi ở ghế nào cũng như nhau).

Số cách xếp em nam thứ hai vào bàn là 5 vì còn lại 5 ghế.

Số cách xếp em nam thứ ba vào bàn là 4.

Số cách xếp em nam thứ tư vào bàn là 3.

Số cách xếp em nam thứ năm vào bàn là 2.

Số cách xếp em nam thứ sáu vào bàn là 1.

Do đó số cách xếp các em nam vào bàn tròn là 5!

Vậy số cách sắp xếp 10 em này là

Ví dụ 4: Cho tập X = {0; 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7}. Có bao nhiêu số tự nhiên gồm năm chữ số khác nhau được lập từ X mà chia hết cho 5? ĐS: 1560

Lời giải

Xét số tự nhiên gồm năm chữ số , a₁ ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.

+) Trường hợp 1: a₅ = 0.

Số cách chọn a₁ là 7 cách.

Số cách chọn bộ số còn lại là cách.

Do đó số cách chọn trong trường hợp này là cách.

+) Trường hợp 2: a₅ = 5.

Số cách chọn a₁ là 6 cách.

Số cách chọn bộ số còn lại là cách.

Do đó số cách chọn trong trường hợp này là cách.

Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 840 + 720 = 1560 cách.

Ví dụ 5: Cho tập X = {0; 1; …; 9}. Có bao nhiêu số tự nhiên có ba chữ số đôi một khác nhau được lập từ X và bé hơn 475? ĐS: 268

Lời giải

Xét số tự nhiên gồm ba chữ số , a₁ ≠ 0 thỏa yêu cầu bài toán.

+) Trường hợp 1: a1 < 4 ⇒ a₁ ∈ {1; 2; 3}

Số cách chọn 2 chữ số còn lại là

Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là cách.

Trường hợp 2: a₁ = 4, a₂ = 7.

Khi đó a₃ ∈ {0; 1; 2; 3}.

Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 1 . 4 = 4 cách.

Trường hợp 3: a₁ = 4, a₂ ∈ {0; 1; 2; 3; 5; 6}.

Số cách chọn a₃ là 8 cách.

Do đó số cách chọn các số x trong trường hợp này là 1 . 6 . 8 = 48 cách.

Vậy số cách chọn các số x thỏa yêu cầu bài toán là 216 + 4 + 48 = 268 cách.

Tài liệu Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp

1. Thông tin tài liệu

Thông tin
Tên tài liệu	Hoán vị, Chỉnh hợp, Tổ hợp
Tác giả	Thầy Nguyễn Hữu Biển
Số trang	57

2. Mục lục

• Quy tắc đếm (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
• Hoán vị (Lý thuyết & bài tập vận dụng)
• Chỉnh hợp (Lý thuyết & bài tập vận dung)
• Tổ hợp (Lý thuyết & bài tập vận dụng)

3. Xem tài liệu

[content]

[content]