Bạn đang xem bài viết Phương trình đường elip | Tổng quan lý thuyết và các dạng bài. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Tổng hợp chi tiết lý thuyết phương trình elip cần nắm và cách giải các dạng bài đặc trưng thường gặp trong chương trình toán lớp 10.
Lý thuyết phương trình Elip
1. Định nghĩa phương trình Elip
Cho hai điểm cố định F1 và F2 với F1F2 = 2c (c > 0). Tập hợp các điểm M thỏa mãn MF1 + MF2 = 2a ( a không đổi và a > c > 0 ) là một đường Elip.
+) F1 và F2 là hai tiêu điểm.
+) F1F2 = 2c là tiêu cự của Elip.
2. Phương trình chính tắc của Elip
với a2 = b2 + c2
Do đó điểm M(x0; y0) ∈ (E) ⇔ 
và |x0| ≤ a, |y0| ≤ b.
3. Tính chất và hình dạng của Elip
+) Trục đối xứng Ox (chứa trục lớn), Oy (chứa trục bé).
+) Tâm đối xứng O.
+) Tọa độ các đỉnh A1(–a; 0), A2(a; 0), B1(0; –b), B2(0; b)
+) Độ dài trục lớn 2a. Độ dài trục bé 2b.
+) Tiêu điểm F1(–c; 0), F2(c; 0)
+) Tiêu cự 2c.
Dạng 1. Xác định các yếu tố của elip khi biết phương trình chính tắc của elip.
Phương pháp giải
Từ phương trình chính tắc ta xác định các đại lượng a, b và b2 = a2 – c2 ta tìm được c từ đó ta suy ra được các yếu tố cần tìm.
Bài tập vận dụng
[content]
Câu 1. Xác định các đỉnh, độ dài trục, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai của elip có phương trình sau:
a) 
b) 4x2 + 25y2 = 100
Lời giải
a) Từ phương trình của (E) ta có:
Suy ra tọa độ các đỉnh là A1(–2; 0), A2(2; 0), B1(0; –1), B2(0; 1)
Độ dài trục lớn A1A2 = 4, độ dài trục bé B1B2 = 2
Tiêu cự F1F2 = 2c = 
, tiêu điểm là 
Tâm sai của (E) là 
b) Ta có: 
Suy ra: 
Do đó tọa độ các đỉnh là A1(–5; 0), A2(5; 0), B1(0; –2), B2(0; 2)
Độ dài trục lớn A1A2 = 10, độ dài trục bé B1B2 = 4
Tiêu cự F1F2 = 2c = 
, tiêu điểm là 
Tâm sai của (E) là 
Dạng 2. Viết phương trình chính tắc của đường elip.
Phương pháp giải
Để viết phương trình chính tắc của elip ta làm như sau:
+) Gọi phương trình chính tắc elip là 
+) Từ giả thiết của bài toán ta thiết lập các phương trình, hệ phương trình từ giả thiết của bài toán để tìm các đại lượng A, B của elip từ đó viết được phương trình chính tắc của nó.
Bài tập vận dụng
[content]
Câu 1. Viết phương trình chính tắc của elip (E) trong mỗi trường hợp sau:
a) (E) có độ dài trục lớn là 6 và tâm sai 
b) (E)có tọa độ một đỉnh là 
và đi qua điểm 
c) (E) có tiêu điểm thứ nhất 
và đi qua điểm 
d) Hình chữ nhật cơ sở của (E) có một cạnh nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 và có diện tích bằng 48.
e) (E) có tâm sai bằng 
và hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20.
Lời giải
Phương trình chính tắc của (E) có dạng:
a) (E) có độ dài trục lớn là 6 suy ra 2a = 6 ⇔ a = 3, tâm sai nên
Vậy phương trình chính tắc (E) là 
b) (E) có một đỉnh có tọa độ là nằm trên trục tung nên b = 
do đó phương trình chính tắc của (E) có dạng: 
Mặt khác (E) đi qua điểm nên 
Vậy phương trình chính tắc (E) là 
c) (E) có tiêu điểm 
nên c = 
suy ra a2 = b2 + c2 = b2 + 3 (1)
Mặt khác:
Thế (1) vào (2) ta được:
Vậy phương trình chính tắc (E) là 
d) (E) có hình chữ nhật cơ sở có một cạnh nằm trên đường thẳng y + 2 = 0 suy ra b = 2
Mặt khác hình chữ nhật cơ sở diện tích bằng 48 nên 2a⋅2b = 48 ⇒ b = 6
Vậy phương trình chính tắc (E) là: 
e) (E) có tâm sai bằng suy ra 
hay 4a2 = 9b2 (3)
Hình chữ nhật cơ sở của (E) có chu vi bằng 20 suy ra 4(a + b) = 20 (4)
Từ (3) và (4) suy ra a = 3, b = 2.
Vậy phương trình chính tắc (E) là 
Dạng 3. Xác định điểm nằm trên đường elip thỏa mãn điều kiện cho trước
Phương pháp giải
Để xác định tọa độ điểm M thuộc elip có phương trình chính tắc là 
ta làm như sau:
+) Giả sử M(xM; yM), điểm 
ta thu được phương trình thứ nhất.
+) Từ điều kiện của bài toán ta thu được phương trình thứ hai; giải phương trình, hệ phương trình ẩn xM, yM ta tìm được tọa độ của điểm M.
Bài tập vận dụng
[content]
Câu 1. Trong mặt phẳng Oxy, cho elip (E): 
có tiêu điểm F1 và F2. Tìm điểm M trên (E) sao cho:
a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ
b) MF1 = 2MF2
c) 
d) Diện tích tam giác ∆OAM lớn nhất với A(1; 1)
Lời giải
Giả sử M(xM; yM) ∈ (E) suy ra 
(*)
a) Điểm M có tung gấp ba lần hoành độ do đó yM = 3xM thay vào (*) ta được:
Vậy có hai điểm thỏa mãn là 
và 
b) Từ phương trình (E) có a2 = 25, b2 = 9 nên 
Theo công thức tính bán kính qua tiêu điểm ta có:
Theo giả thiết MF1 = 2MF2 suy ra:
Thay vào (*) ta có:
Vậy có hai điểm M thỏa mãn là 
và 
c) Ta có: F1(–4; 0), F2(4; 0)
Vì nên
Suy ra 
thế vào (*) ta được:
Vậy có bốn điểm thỏa mãn là 
d) Ta có 
nên đường thẳng đi qua hai điểm O, A nhận 
làm vectơ pháp tuyến có phương trình là –x + y = 0.
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta có:
Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi 
kết hợp với (*) ta được:
hoặc 
Vậy có hai điểm 
và 
thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Câu 2. Cho elip (E): 
và C(2; 0). Tìm A, B thuộc (E) biết A, B đối xứng nhau qua trục hoành và tam giác ABC đều.
Lời giải
Giả sử A(x0; y0). Vì A, B đối xứng nhau qua trục hoành nên B(x0; –y0) với y0 > 0.
Vì A ∈ (E) nên 
Vì tam giác ABC đều nên
Thay (1) vào (2) ta có:
+) Nếu x0 = 2 thay vào (1) ta có y0 = 0. Trường hợp này loại vì A ≡ C
+) Nếu x0 = 
thay vào (1) ta có y0 = 
Vậy 
hoặc 
Bài tập trắc nghiệm phương trình Elip
Câu 1. Elip (E): có độ dài trục lớn bằng:
A. 5.
B. 10.
C. 25.
D. 50.
Lời giải
Chọn B
Gọi phương trình của Elip là 
có độ dài trục lớn A1A2 = 2a
Xét (E):
Câu 2. Elip (E): 4x2 + 16y2 = 1 có độ dài trục lớn bằng:
A. 2.
B. 4.
C. 1.
D. 
Lời giải
Chọn C
Gọi phương trình của Elip là có độ dài trục lớn A1A2 = 2a
Xét (E): 4x2 + 16y2 = 1
Câu 3. Elip (E): x2 + 5y2 = 25 có độ dài trục lớn bằng:
A. 1.
B. 2.
C. 5.
D. 10.
Lời giải
Chọn D
Gọi phương trình của Elip là có độ dài trục lớn A1A2 = 2a
Xét (E): x2 + 5y2 = 25
Câu 4. Elip (E): 
có độ dài trục bé bằng:
A. 8.
B. 10.
C. 16.
D. 20.
Lời giải.
Chọn C
Gọi phương trình của Elip là có độ dài trục bé B1B2 = 2b
Xét (E):
Câu 5. Elip (E): 
có tổng độ dài trục lớn và trục bé bằng:
A. 5.
B. 10.
C. 20.
D. 40.
Lời giải
Chọn C
Gọi phương trình của Elip là có độ dài trục lớn A1A2 = 2a và độ dài trục bé B1B2 = 2b
Khi đó xét (E):
Câu 6. Elip (E): 
có tiêu cự bằng:
A. 3.
B. 6.
C. 9.
D. 18.
Lời giải.
Chọn B
Gọi phương trình của Elip là , có tiêu cự là 2c
Xét (E):
Câu 7. Elip (E): 
có tiêu cự bằng:
A. .
B. 5.
C. 10.
D. 
.
Lời giải.
Chọn D
Gọi phương trình của Elip là , có tiêu cự là 2c
Xét (E):
Câu 8. Elip (E): 
, với p > q > 0 có tiêu cự bằng:
A. p + q.
B. p – q.
C. p2 – q2.
D. 
.
Lời giải.
Chọn D
Gọi phương trình của Elip là , có tiêu cự là 2c
Xét (E):
Câu 9. Elip (E): 
có một đỉnh nằm trên trục lớn là:
A. (100; 0)
B. (–100; 0)
C. (0; 10)
D. (–10; 0)
Lời giải.
Chọn D
Gọi M là điểm nằm trên trục lớn của (E) ⇒ M ∈ Ox ⇒ M(m; 0)
Mặt khác M ∈ (E) suy ra:
Câu 10. Elip (E): 
có một đỉnh nằm trên trục bé là:
A. (4; 0)
B. (0; 12)
C. 
D. (0; 4)
Lời giải.
Chọn C
Gọi N là điểm nằm trên trục bé của (E) ⇒ N ∈ Oy ⇒ N(0; n)
Mặt khác N ∈ (E) suy ra:
Câu 11. Elip (E): 
có một tiêu điểm là:
A. (0; 3)
B. 
C. 
D. (3; 0)
Lời giải.
Chọn C
Gọi phương trình của (E) là , có tọa độ tiêu điểm F(±c; 0)
Xét (E):
Vậy tiêu điểm của Elip là 
Câu 12. Cặp điểm nào là các tiêu điểm của elip (E): 
?
A. F1(1; 0) và F2(–1; 0).
B. F1(–3; 0) và F2(3; 0).
C. F1(0; –1) và F2(0; 1).
D. F1(–2; 0) và F2(2; 0).
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình của (E) là , có tọa độ tiêu điểm F(±c; 0)
Xét (E):
Vậy tiêu điểm của Elip là F1(1; 0) và F2(–1; 0).
Câu 13. Elip (E): 
. Tỉ số e của tiêu cự và độ dài trục lớn của elip bằng:
A. e = 1
B. e = 
C. e = 
D. e = 
Lời giải.
Chọn B
Xét (E):
Câu 14. Elip (E): . Tỉ số f của độ dài trục lớn và tiêu cự của elip bằng:
A. f = 
B. f = 
C. f = 
D. f = 
Lời giải.
Chọn B
Xét (E):
Vậy tỉ số f cần tính là 
Câu 15. Elip (E): 
. Tỉ số k của tiêu cự và độ dài trục bé của elip bằng:
A. k = 8.
B. k = 
.
C. k = 1.
D. k = –1.
Lời giải.
Chọn C
Xét (E):
Vậy tỉ số k cần tính là 
Câu 16. Cho elip (E): . Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?
A. (E) có các tiêu điểm F1(–4; 0) và F2(4; 0).
B. (E) có tỉ số 
.
C. (E) có đỉnh A1(–5; 0).
D. (E) có độ dài trục nhỏ bằng 3.
Lời giải.
Chọn D
Ta có: (E):
Do đó, độ dài trục nhỏ của (E) là 6.
Câu 17. Cho elip (E): x2 + 4y2 = 1. Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. Elip có tiêu cự bằng 
.
B. Elip có trục nhỏ bằng 2.
C. Elip có một tiêu điểm là 
.
D. Elip có trục lớn bằng 4.
Lời giải.
Chọn A
Ta có: (E): x2 + 4y2 = 1
Do đó:
+) (E) có tiêu cự F1F2 = 2c =
+) (E) có trục nhỏ bằng 1, trục lớn bằng 2.
+) (E) có tiêu điểm là 
và 
Câu 18. Cho elip (E): 4x2 + 9y2 = 36. Tìm mệnh đề sai trong các mệnh đề sau:
A. (E) có trục lớn bằng 6.
B. (E) có trục nhỏ bằng 4.
C. (E) có tiêu cự bằng .
D. (E) có tỉ số 
.
Lời giải.
Ta có: (E): 4x2 + 9y2 = 36
Do đó, (E) có tiêu cự bằng .
Câu 19. Phương trình của elip (E) có độ dài trục lớn bằng 8, độ dài trục nhỏ bằng 6 là:
A. 9x2 + 16y2 = 144
B. 9x2 + 16y2 = 1
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Xét đáp án A. Ta có:
Do đó (E) có độ dài trục lớn là 8, độ dài trục nhỏ là 6.
Câu 20. Tìm phương trình chính tắc của elip có tiêu cự bằng 6 và trục lớn bằng 10.
A.
B. 
C. 
D.
Lời giải.
Chọn D
Elip (E) có:
Do đó, phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 21. Elip có độ dài trục lớn là 10 và có một tiêu điểm F(–3; 0). Phương trình chính tắc của elip là:
A.
B. 
C.
D.
Lời giải.
Chọn D
Elip (E) có độ dài trục lớn là 10 ⟶ 2a = 10 ⇒ a = 5
Elip (E) có một tiêu điểm F(–3; 0) ⟶ c = 3
Khi đó, 
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 22. Elip có độ dài trục nhỏ là 
và có một tiêu điểm F(5; 0). Phương trình chính tắc của elip là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn C
Elip (E) có độ dài trục nhỏ là 
Elip (E) có một tiêu điểm F(5; 0) ⟶ c = 5.
Khi đó, 
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 23. Elip có một đỉnh là A(5; 0) và có một tiêu điểm F1(–4; 0). Phương trình chính tắc của elip là:
A.
B. 
C.
D. 
Lời giải.
Chọn C
Elip (E) có một đỉnh là A(5; 0) ∈ Ox ⟶ a = 5
Elip (E) có một tiêu điểm F(–4; 0) ⟶ c = 4
Khi đó, 
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 24. Elip có hai đỉnh là (–3; 0); (3; 0) và có hai tiêu điểm là (–1; 0); (1; 0). Phương trình chính tắc của elip là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn C
Elip (E) có hai đỉnh là (–3; 0) ∈ Ox và (3; 0) ∈ Ox ⟶ a = 3
Elip (E) có hai tiêu điểm là F1(–1; 0) và F2(1; 0) ⟶ c = 1
Khi đó, 
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 25. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu trục lớn gấp đôi trục bé và có tiêu cự bằng 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Elip (E) có trục lớn gấp đôi trục bé:
⇒ A1A2 = 2B1B2 ⇔ 2a = 2⋅2b ⇔ a = 2b
Elip (E) có tiêu cự bằng:
Ta có: 
Khi đó, a = 2b = 4.
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 26. Lập phương trình chính tắc của elip biết độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị, độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị.
A. 
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn C
Elip (E) có độ dài trục lớn hơn độ dài trục nhỏ 4 đơn vị ⟶ 2a – 2b = 4
Elip (E) có độ dài trục nhỏ hơn độ dài tiêu cự 4 đơn vị ⟶ 2b – 2c = 4
Ta có:
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 27. Lập phương trình chính tắc của elip biết tỉ số giữa độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng 
, tổng bình phương độ dài trục lớn và tiêu cự bằng 64.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Elip (E) có tỉ số độ dài trục nhỏ và tiêu cự bằng:
Mặt khác, (2a)2 + (2c)2 = 64 ⇔ a2 + c2 = 16
Ta có:
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 28. Elip có một tiêu điểm F(–2; 0) và tích độ dài trục lớn với trục bé bằng 
. Phương trình chính tắc của elip là:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Elip (E) có một tiêu điểm F(–2; 0) ⟶ c = 2
Elip (E) có tích độ dài trục lớn với trục bé bằng:
Ta có:
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 29. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 26 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn B
Elip (E) có độ dài trục lớn bằng 26 ⟶ 2a = 26 ⇒ a = 13
Elip (E) có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
Do đó, 
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 30. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục lớn bằng 6 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
.
A. 
B.
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Elip (E) có độ dài trục lớn bằng 6 ⟶ 2a = 6 ⇒ a = 3
Elip (E) có tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
Do đó, 
Phương trình chính tắc của Elip là (E):
Câu 31. Lập phương trình chính tắc của elip có độ dài trục nhỏ bằng 12 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
.
A. 
B. 
C.
D.
Lời giải.
Chọn D
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Độ dài trục nhỏ của Elip là 12 suy ra 2b = 12 ⇔ b = 6.
Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số 
Mặt khác:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 32. Elip có tổng độ dài hai trục bằng 18 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
. Phương trình chính tắc của elip là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Tổng độ dài hai trục của Elip là:
2a + 2b = 18 ⇔ a + b = 9 ⇔ b = 9 – a
Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số:
Mà a2 – b2 = c2 suy ra:
(a = 45 loại vì b = 9 – 45 = –36 < 0)
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 33. Elip có tổng độ dài hai trục bằng 10 và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
. Phương trình chính tắc của elip là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn D
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Tổng độ dài hai trục của Elip là
2a + 2b = 10 ⇔ a + b = 5 ⇔ b = 5 – a
Tiêu cự của Elip là 2c, độ dài trục lớn là 2a suy ra tỉ số:
Mà a2 – b2 = c2 suy ra:
(a = 15 loại vì b = 5 – 15 = –10 < 0)
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 34. Lập phương trình chính tắc của elip, biết elip đi qua hai điểm A(7; 0) và B(0; 3).
A. 
B.
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn D
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip đi qua điểm A(7; 0) suy ra 
Elip đi qua điểm B(0; 3) suy ra 
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 35. Elip đi qua các điểm 
có phương trình chính tắc là:
A.
B.
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn B
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip đi qua điểm M(0; 3) suy ra:
Elip đi qua điểm 
suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 36. Elip đi qua các điểm A(0; 1) và 
có phương trình chính tắc là:
A.
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn C
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip đi qua điểm A(0; 1) suy ra:
Elip đi qua điểm 
suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 37. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó có trục lớn gấp đôi trục bé và đi qua điểm M(2; –2).
A. 
B.
C. 
D.
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip có độ dài trục lớn gấp đôi trục bé suy ra:
2a = 2⋅2b ⇔ a = 2b
Elip đi qua điểm M(2; –2) suy ra:
Do đó, ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 38. Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 6 và đi qua A(5; 0).
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn B
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip có tiêu cự bằng 6 suy ra:
2c = 6 ⇔ c = 3 ⇔ a2 – b2 = c2 = 9
Elip đi qua điểm A(5; 0) suy ra:
Do đó, ta có hệ phương trình:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 39. Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 
và đi qua A(2; 1).
A. 
B. 
C. 
D.
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip có tiêu cự bằng suy ra:
Elip đi qua điểm A(2; 1) suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 40. Tìm phương trình chính tắc của elip, biết elip có tiêu cự bằng 8 và đi qua điểm 
.
A. 
B.
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn D
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip có tiêu cự bằng 8 suy ra:
2c = 8 ⇔ c = 4 ⇔ a2 – b2 = c2 = 16 (1)
Elip đi qua điểm suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 41. Elip qua điểm 
và có một tiêu điểm F(–2; 0). Phương trình chính tắc của elip là:
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip có một tiêu điểm là F(–2; 0) suy ra:
c = 2 ⇔ a2 = b2 + c2 = b2 + 4 (1)
Elip đi qua điểm
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 424. Phương trình chính tắc của elip có hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0) và đi qua điểm M(2; 3) là:
A. 
B.
C.
D. 
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip có hai tiêu điểm là F1(–2; 0), F2(2; 0)
c = 2 ⇔ a2 = b2 + c2 = b2 + 4 (1)
Elip đi qua điểm M(2; 3) suy ra:
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 43. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm A(6; 0) và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng .
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip đi qua điểm A(6; 0) suy ra:
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra:
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2, ta được:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 44. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm 
và tỉ số của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng 
.
A.
B.
C.
D.
Lời giải.
Chọn B
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip đi qua điểm suy ra:
Tỉ số của tiêu cực với độ dài trục lớn bằng suy ra:
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2, ta được:
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 45. Tìm phương trình chính tắc của elip nếu nó đi qua điểm 
và tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng 
.
A.
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Gọi phương trình chính tắc của Elip là (E): .
Elip đi qua điểm suy ra:
Tỉ số của độ dài trục lớn với tiêu cự bằng suy ra:
Kết hợp với điều kiện b2 = a2 – c2, ta được:
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy phương trình cần tìm là (E):
Câu 46. Cho elip (E): . Gọi 2c là tiêu cự của (E). Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. c2 = a2 + b2
B. b2 = a2 + c2
C. a2 = b2 + c2
D. c = a + b
Lời giải.
Chọn C
Ta có: c2 = a2 – b2 ⇔ a2 = b2 + c2
Câu 47. Cho elip có hai tiêu điểm F1, F2 và có độ dài trục lớn bằng 2a. Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào đúng?
A. 2a = F1F2
B. 2a > F1F2
C. 2a < F1F2
D. 4a = F1F2
Lời giải.
Chọn B
Ta có: a > c ⇔ 2a > 2c ⇔ 2a > F1F2
Câu 50. Cho elip (E): . Hai điểm A, B là hai đỉnh của elip lần lượt nằm trên hai trục Ox, Oy. Khi đó độ dài đoạn thẳng AB bằng:
A. 34.
B. 
.
C. 5.
D. 
.
Lời giải.
Chọn B
Ta có: a2 = 25 ⇒ a = 5
Và b2 = 9 ⇒ b = 3
Tam giác OAB vuông, có:
Vậy AB =
Câu 48. Một elip (E) có trục lớn dài gấp 3 lần trục nhỏ. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn D
Ta có:
Vậy
Câu 49. Một elip (E) có khoảng cách giữa hai đỉnh kế tiếp nhau gấp 
lần tiêu cự của nó. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn A
Ta có:
Vậy
Câu 50. Cho điểm M(2; 3) nằm trên đường elip (E) có phương trình chính tắc: . Trong các điểm sau đây điểm nào không nằm trên (E):
A. M1(–2; 3)
B. M2(2; –3)
C. M3(–2; –3)
D. M4(3; 2)
Lời giải.
Chọn D
Ta có điểm M đối xứng qua Ox có tọa độ là (2; –3)
Điểm M đối xứng qua Oy có tọa độ là (–2; 3)
Điểm M đối xứng qua gốc tọa độ O có tọa độ là (–2; –3)
Câu 51. Cho elip (E): . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (E) không có trục đối xứng.
B. (E) có một trục đối xứng là trục hoành.
C. (E) có hai trục đối xứng là trục hoành và trục tung.
D. (E) có vô số trục đối xứng.
Lời giải.
Chọn C
Ta có (E) có hai trục đối xứng là trục hoành và trục tung.
Câu 52. Cho elip (E): . Khẳng định nào sau đây là đúng?
A. (E) không có tâm đối xứng.
B. (E) có đúng một tâm đối xứng.
C. (E) có hai tâm đối xứng.
D. (E) có vô số tâm đối xứng.
Lời giải.
Chọn B
Ta có (E) có đúng một tâm đối xứng là gốc tọa độ O.
Câu 53: Elip (E) có độ dài trục bé bằng tiêu cự. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:
A. e = 1.
B. e = 2.
C. e = 
.
D. e = 3.
Lời giải.
Chọn C
Ta có:
Vậy e = .
Câu 54: Elip (E) có hai đỉnh trên trục nhỏ cùng với hai tiêu điểm tạo thành một hình vuông. Tỉ số e của tiêu cự với độ dài trục lớn của (E) bằng:
A. e =1.
B. e = 2.
C. e = .
D. e = 3.
Lời giải.
Chọn C
Ta có:
Vậy e = .
Câu 55: Elip (E) có độ dài trục lớn bằng 
, các đỉnh trên trục nhỏ và các tiêu điểm của elip cùng nằm trên một đường tròn. Độ dài trục nhỏ của (E) bằng:
A. 2.
B. 4.
C. 8.
D. 16.
Lời giải.
Chọn B
Ta có: 
Và bốn điểm F1, B1, F2, B2 cùng nằm trên một đường tròn
Vậy độ dài trục nhỏ của (E) là 4.
Câu 56: Cho elip (E): và M là một điểm tùy ý trên (E). Khi đó:
A. 3 ≤ OM ≤ 4
B. 4 ≤ OM ≤ 5
C. OM ≥ 5
D. OM ≤ 3
Lời giải.
Chọn A
Ta có: a2 = 16 ⇒ a = 4
Và b2 = 9 ⇒ b = 3
Mà OB ≤ OM ≤ OA ⇔ 3 ≤ OM ≤ 4
Câu 57: Cho elip (E): 
và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng –13 thì khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:
A. 10 và 6.
B. 8 và 18.
C. 13 và 5.
D. 13 và 10.
Lời giải.
Chọn B
Ta có:
Tọa độ hai tiêu điểm F1(–5; 0), F2(5; 0)
M có hoành độ bằng –13 ⟶ y = 0, M(–13; 0)
⟶ MF1 = 8, MF2 = 18
Câu 58: Cho elip (E): 
và điểm M nằm trên (E). Nếu M có hoành độ bằng 1 thì khoảng cách từ M đến hai tiêu điểm bằng:
A. 3,5 và 4,5.
B. 3 và 5.
C. 4 và 2
D. 2 và 5
Lời giải.
Chọn A
Ta có:
Tọa độ hai tiêu điểm F1(–2; 0), F2(2; 0)
M có hoành độ bằng 1 ⟶ y = 
Do tính đối xứng của (E) nên chọn 
⟶ MF1 = 
, MF2 = 
Câu 59: Cho elip có phương trình 16x2 + 25y2 = 100. Tính tổng khoảng cách từ điểm M thuộc elip có hoành độ bằng 2 đến hai tiêu điểm.
A. 3
B. 2
C. 5
D. 4
Lời giải.
Chọn C
Ta có:
Câu 60: Cho elip (E): . Qua một tiêu điểm của (E) dựng đường thẳng song song với trục Oy và cắt (E) tại hai điểm M và N. Tính độ dài MN.
A. 
B. 
C. 25
D. 
Lời giải.
Chọn A
Xét (E):
Khi đó, Elip có tiêu điểm là F1(–8; 0) ⇒ đường thẳng d //Oy và đi qua F1 là x = –8.
Giao điểm của d và (E) là nghiệm của hệ phương trình:
Vậy tọa độ hai điểm 
Câu 61: Cho (E): 
. Một đường thẳng đi qua điểm A(2; 2) và song song với trục hoành cắt (E) tại hai điểm phân biệt M và N. Tính độ dài MN.
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn C
Phương trình đường thẳng d đi qua điểm A(2; 2) và song song trục hoành có phương trình là y = 2.
Ta có: d ∩ (E)
Vậy độ dài đoạn thẳng MN = .
Câu 62. Dây cung của elip (E): vuông góc với trục lớn tại tiêu điểm có độ dài bằng:
A. 
B. 
C. 
D. 
Lời giải.
Chọn B
Hai tiêu điểm có tọa độ lần lượt là F1(–c; 0), F2(c; 0)
Đường thẳng chứa dây cung vuông góc với trục lớn (trục hoành) tại tiêu điểm F có phương trình là ∆: x = c
Suy ra: ∆ ∩ (E)
Vậy tọa độ giao điểm của ∆ và (E) là
Câu 63. Đường thẳng d: 3x + 4y – 12 = 0 cắt elip (E): tại hai điểm phân biệt M và N. Khi đó độ dài đoạn thẳng MN bằng:
A. 3.
B. 4.
C. 5.
D. 25.
Lời giải.
Chọn C
Tọa độ giao điểm của đường thẳng d và (E) là nghiệm của hệ
Vậy tọa độ giao điểm là: 
.
[content]
Bạn đang xem bài viết Phương trình đường elip | Tổng quan lý thuyết và các dạng bài xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 10. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
