Bạn đang xem bài viết Các phương pháp giải phương trình. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Dạng 1. Tìm điều kiện xác định của phương trình
Điều kiện xác định của phương trình (gọi tắt là điều kiện của phương trình) là những điều kiện cần của ẩn x để các biểu thức trong phương trình đều có nghĩa.
Các dạng thường gặp:
+) Điều kiện để biểu thức 
có nghĩa là f(x) ≥ 0;
+) Điều kiện để biểu thức 
có nghĩa là f(x) ≠ 0;
+) Điều kiện để biểu thức 
có nghĩa là f(x) > 0.
Ví dụ 1. Tìm điều kiện của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là: x + 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ −1.
b) Điều kiện xác định của phương trình là: x − 5 ≥ 0 ⇔ x ≥ 5.
c) Điều kiện xác định của phương trình là: x + 2 > 0 ⇔ x > −2.
d) Điều kiện xác định của phương trình là: 
Ví dụ 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
Vậy không có giá trị nào của x thỏa mãn cả hai điều kiện này.
Ví dụ 3. Tìm điều kiện xác định rồi suy ra nghiệm của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
hay 
Thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là .
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
Thay x = 3 vào phương trình ta có:
3⋅3 − 0 = 0 + 2018 (vô lý)
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
Vậy không có x nào thỏa điều kiện xác định của phương trình nên phương trình vô nghiệm.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
d) Điều kiện xác định của phương trình là:
Bài 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
x2 + 2x + 4 ≥ 0 ⇔ (x + 1)2 + 3 ≥ 0 (luôn đúng).
Vậy phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ.
b) Điều kiện xác định của phương trình là: x2 + 1 ≠ 0 (luôn đúng).
Vậy phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ.
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
d) Điều kiện xác định của phương trình là:
−x2 + 4x − 5 > 0
⇔ −(x2 − 4x + 4) − 1 > 0
⇔ −(x − 2)2 − 1 > 0 (vô lý).
Vậy không tồn tại giá trị của x để phương trình xác định.
Bài 3. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
d) Điều kiện xác định của phương trình là: 
Bài 4. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
x2 − 2x + 3 ≥ 0 ⇔ (x − 1)2 + 2 ≥ 0 (luôn đúng).
Vậy phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ.
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
d) Điều kiện xác định của phương trình là:
Bài 5. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
c) Điều kiện xác định của phương trình là:
d) Điều kiện xác định của phương trình là:
(luôn đúng)
Vậy phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ.
Bài 6. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a) Vì |x2 – 1| ≥ 0 nên điều kiện xác định của phương trình là: x2 − 1 ≠ 0 ⇔ x ≠ ±1.
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
Bài 7. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
Bài 8. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là:
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
Bài 9. Tìm m để phương trình 
xác định trên [−1; 1).
Lời giải.
Phương trình xác định khi x – m + 3 ≠ 0 ⇔ x ≠ m − 3.
Để phương trình xác định trên [−1; 1) thì
Vậy không có giá trị nào của m thỏa mãn điều kiện đầu bài.
Bài 10. Tìm giá trị của m để các phương trình sau xác định với mọi x ∈ ℝ.
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện xác định của phương trình là: 2x2 + m ≥ 0.
Để phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ thì m ≥ 0.
b) Điều kiện xác định của phương trình là:
2x2 + 4x + 5 − m > 0
⇔ 2(x2 + 2x + 1) + 3 − m > 0
⇔ 2(x + 1)2 + 3 − m > 0.
Để phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ thì 3 − m > 0 ⇔ m < 3.
c) Điều kiện xác định của phương trình là: x2 − m+ 5 ≠ 0.
Để phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ thì phương trình x2 – m + 5 = 0 ⇔ x2 = m − 5 vô nghiệm, điều này xảy ra khi m − 5 < 0 ⇔ m < 5.
d) Điều kiện xác định của phương trình là: mx2 + 9 ≠ 0.
+) Nếu m = 0 thì phương trình trở thành 
xác định với mọi x ∈ ℝ.
+) Nếu m ≠ 0, để phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ thì phương trình 
vô nghiệm, điều này xảy ra khi 
.
Vậy m ≥ 0 thì phương trình xác định với mọi x ∈ ℝ.
Phương trình hệ quả
Tóm tắt lí thuyết
Khái niệm.
Nếu mọi nghiệm của phương trình f(x) = g(x) đều là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì phương trình f1(x) = g1(x) được gọi là phương trình hệ quả của phương trình f(x) = g(x). Ta viết:
f(x) = g(x) ⇒ f1(x) = g1(x)
Nhận xét:
Từ khái niệm trên, ta thấy các nghiệm của phương trình f(x) = g(x) luôn là nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x), do đó nếu ta tìm được tất cả các nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) thì bằng cách thử lại, ta sẽ tìm được tất cả các nghiệm của phương trình f(x) = g(x). Đây cũng chính là phương pháp giải một phương trình dựa vào phương trình hệ quả của nó.
Các nghiệm của phương trình f1(x) = g1(x) mà không thỏa phương trình f(x) = g(x) được gọi là các nghiệm ngoại lai.
Các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả thường gặp
Bình phương hai vế
Ví dụ:
Qua phép biến đổi bình phương hai vế, ta được phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).
Nhân hai vế của phương trình với một đa thức
Ví dụ:
Qua phép biến đổi nhân hai vế với (x + 1)(x − 3), ta được phương trình (2) là phương trình hệ quả của phương trình (1).
Phương pháp giải phương trình dựa vào phương trình hệ quả
Bước 1: Sử dụng các phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả, đưa phương trình đã cho về một phương trình đơn giản hơn (có thể giải được dễ dàng hơn).
Bước 2: Giải phương trình hệ quả để tìm tất cả các nghiệm.
Bước 3: Thử lại các nghiệm để loại nghiệm ngoại lai.
Bước 4: Kết luận.
⨂ Khi giải phương trình, ta có thể thực hiện liên tiếp các phép biến đổi. Tuy nhiên, trong các phép biến đổi liên tiếp đó, nếu có một phép biến đổi dẫn đến phương trình hệ quả thì phương trình cuối cùng vẫn chỉ là phương trình hệ quả của phương trình ban đầu.
Dạng 2. Khử mẫu (nhân hai vế với biểu thức)
Ở dạng này, ta sẽ đặt điều kiện xác định rồi nhân hai vế với mẫu của phân thức. Sau khi giải xong phương trình, kiểm tra nghiệm có thỏa mãn phương trình ban đầu hay không.
Ví dụ 1. Giải phương trình:
Lời giải.
Điều kiện xác định: x ≠ −2.
Hai nghiệm này đều thỏa mãn điều kiện xác định và thỏa phương trình ban đầu. Vậy S = {−1; 3}.
Ví dụ 2. Giải phương trình sau:
Lời giải.
Điều kiện xác định: x > 1.
Kết hợp điều kiện và thử lại phương trình đã cho ta được một nghiệm là x = 4. Vậy S = {4}.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải phương trình sau: 
Lời giải.
Điều kiện xác định: x ≠ 2.
Thử lại phương trình ban đầu ta được các nghiệm 
Vậy 
Bài 2. Giải phương trình: 
Lời giải.
Điều kiện xác định: x > −1.
(luôn đúng)
Kết hợp với điều kiện ta được tập nghiệm của phương trình là S = (−1; +∞).
Bài 3. Giải phương trình:
Lời giải.
Điều kiện xác định: x > 1
Phương trình trở thành:
Hai nghiệm này đều không thỏa mãn điều kiện xác định. Vậy S = ∅.
Bài 4. Giải phương trình sau:
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Kết hợp với điều kiện và thử lại, nghiệm của phương trình đã cho là 
.
Vậy S = {1; 6}.
Bài 5. Giải phương trình:
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Kết hợp với điều kiện và thử lại, ta được nghiệm x = 3. Vậy S = {3}.
Dạng 3. Bình phương hai vế (làm mất căn)
Sau khi đặt điều kiện ban đầu, tiến hành chuyển vế và sử dụng kỹ thuật bình phương hai vế để làm mất căn thức, đưa phương trình ban đầu về phương trình hệ quả, dưới dạng đa thức.
Ví dụ 1. Giải phương trình 
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Thử lại nghiệm ta thấy thỏa mãn phương trình.
Vậy 
Ví dụ 2. Giải phương trình
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Kết hợp với điều kiện và thử lại phương trình đã cho ta được một nghiệm là x = 1.
Vậy tập nghiệm của phương trình S = {1}.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Giải phương trình
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Phương trình trở thành:
Kết hợp với điều kiện và thử lại, ta thấy x = 1 là nghiệm của phương trình. Vậy S = {1}.
Bài 2. Giải phương trình sau
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Kết hợp với điều kiện và thử lại, phương trình đã cho có nghiệm x = 10 . Vậy S = {10}.
Bài 3. Giải phương trình sau:
Lời giải.
Điều kiện xác định:
Kết hợp với điều kiện và thử lại, phương trình đã cho có nghiệm là x = 
.
Vậy 
Bài 4. Giải phương trình 
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Thử lại ta có tập nghiệm là 
Bài 5. Giải phương trình 
Lời giải.
Điều kiện xác định 3x + 1 ≥ 0.
Thử lại ta có tập nghiệm là S = {1}.
Bài 6. Giải phương trình
Lời giải.
Điều kiện xác định 3x2 − 10x − 44 ≥ 0.
Thử lại ta có tập nghiệm là S = {−9; 6}.
Bài 7. Giải phương trình:
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Ta loại nghiệm x = 1 vì không thỏa điều kiện xác định.
Còn x = −1 không là nghiệm của phương trình ban đầu. Vậy S = ∅.
Bài 8. Giải phương trình:
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Thay x = 
vào phương trình (1) ta thấy thỏa mãn. Vậy 
Bài 9. Giải phương trình
Lời giải.
Điều kiện xác định: 
Kết hợp với điều kiện và thử lại ta thấy không có giá trị nào thỏa mãn. Vậy S = ∅.
Phương trình tương đương
Định nghĩa 1. Hai phương trình (cùng ẩn) gọi là tương đương nếu chúng có chung một tập hợp nghiệm. Nếu phương trình f1(x) = g1(x) tương đương với phương trình f2(x) = g2(x) thì ta viết:
f1(x) = g1(x) ⇔ f2(x) = g2(x)
Định lí 1. Nếu thực hiện các phép biến đổi sau đây trên một phương trình mà không làm thay đổi điều kiện của nó thì ta được một phương trình mới tương đương:
+) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức.
+) Nhân hoặc chia cả hai vế cùng với một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
Chú ý:
a) Hai phương trình bất kỳ vô nghiệm có cùng ẩn là tương đương với nhau.
b) Chuyển vế và đổi dấu một biểu thức thực chất là thực hiện phép cộng hay trừ hai vế với biểu thức đó.
c) Khi muốn nhấn mạnh hai phương trình có cùng tập xác định ???? (hay có cùng điều kiện xác định mà ta cũng kí hiệu là ????) và tương đương với nhau, ta nói:
+) Hai phương trình tương đương với nhau trên ????, hoặc
+) Với điều kiện ????, hai phương trình tương đương với nhau.
Dạng 4. Phương pháp chứng minh hai phương trình tương đương
Khi giải phương trình hoặc xét sự tương đương của hai phương trình thông thường ta sử dụng một trong những cách sau:
a) Giải từng phương trình để so sánh các tập nghiệm
b) Sử dụng các phép biến đổi tương đương: Các phép biến đổi sau mà không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình thì ta thu được phương trình mới tương đương:
+) Cộng hay trừ hai vế với cùng một số hay cùng một biểu thức.
+) Nhân hoặc chia cả hai vế cùng với một số khác 0 hoặc cùng một biểu thức luôn có giá trị khác 0.
+) Bình phương hai vế của một phương trình có hai vế luôn cùng dấu khi ẩn lấy mọi giá trị thuộc tập xác định của phương trình.
Ví dụ 1. Mỗi khẳng định sau đây đúng hay sai?
a) |x| = 2 ⇔ x = 2
b) x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0.
Lời giải.
a) |x| = 2 ⇔ x = 2 là sai vì |x| = 2 ⇒ x = 2 hoặc x = −2
b) x − 1 = 0 ⇔ (x − 1)2 = 0 là là đúng vì hai phương trình x − 1 = 0 và (x − 1)2 = 0 có chung tập nghiệm là S = {1}.
Ví dụ 2. Cặp phương trình nào sau đây là tương đương?
a) 
và 4x − 7 = 0.
b) x2 − 4x + 3 = 0 và −2x2 + 8x − 6 = 0
Lời giải.
a) Phương trình có nghiệm x = 
, phương trình 4x − 7 = 0 có nghiệm x = 
.
Vậy hai phương trình đã cho không tương đương.
b) Nhân hai vế của phương trình x2 − 4x + 3 = 0 với −2 ta được phương trình −2x2 + 8x − 6 = 0.
Vậy hai phương trình đã cho tương đương.
Ví dụ 3. Mỗi khẳng định sau đây dúng hay sai?
a) Cho phương trình 
. Chuyển 
sang vế phải thì ta thu được phương trình tương đương.
b) Cho phương trình 
. Lược bỏ cả hai vế ta được phương trình tương đương.
Lời giải.
a) Chuyển sang vế phải thì ta thu được phương trình tương đương vì tuân thủ phép biến đổi tương đương (Cộng hai vế của phương trình với 
và không làm thay đổi điều kiện). Khẳng định đã cho là đúng.
b) Điều kiện của phương trình là: x ≤ 2. Khi Lược bỏ cả hai vế ta đã thay đổi điều kiện của phương trình ban đầu nên kết quả không thu được phương trình tương đương. Khẳng định ban đầu là sai.
Ví dụ 4. Giải phương trình:
Lời giải.
(1) ⇔ x + 3 = 2|2x − 3|
+) Nếu 2x − 3 ≥ 0 ⇔ x ≥ 
thì |2x − 3| = 2x − 3.
Khi đó: (1) ⇔ x + 3 = 2(2x − 3) ⇔ x = 3 (thỏa điều kiện x ≥ )
+) Nếu 2x − 3 < 0 ⇔ x < thì |2x − 3| = 3 − 2x.
Khi đó: (1) ⇔ x + 3 = 2(3 − 2x) ⇔ x = 
(thỏa điều kiện x < )
Vậy phương trình (1) có hai nghiệm x = 3 và x = .
Ví dụ 5. Xác định m để phương trình 
và phương trình 
tương đương.
Lời giải.
Vì 
với ∀x ∈ ℝ nên ta có:
Để hai phương trình tương đương thì phương trình phải có nghiệm x = 0 và x = 
.
Thay x = 0 và x = vào phương trình ta được m = 
.
Lúc đó phương trình đó trở thành:
Vậy với m = thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài tập tự luyện
Bài 1. Các phương trình nào sau đây là tương đương?
a) 
và x = 1
b) 
và x2 = 9
Lời giải.
a) Điều kiện của phương trình là x ≥ 3 nên phương trình vô nghiệm.
Do đó không tương đương với phương trình x = 1.
b) Ta có: x2 + 1 > 0 với ∀x ∈ ℝ nên nhân hai vế của phương trình với 
ta được phương trình x2 = 9.
Vậy hai phương trình đã cho tương đương.
Bài 2. Đúng hay sai?
a) 
b) 
Lời giải.
a) Vì hai vế đều không âm nên bình phương hai vế ta được phương trình tương đương.
Hay là đúng.
b) Do vế phải của phương trình 
có thể cùng dấu hoặc trái dấu với vế trái nên bình phương hai vế chỉ nhận được phương trình hệ quả.
Khẳng định là sai.
Bài 3. Cách giải sau sai ở đâu?
Lời giải.
Cách giải trên sai ở bước cuối cùng, ta đã làm mất điều kiện của phương trình nên không thể nhận được phương trình tương đương, x = −3 không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Bài 4. Trong các phép biến đổi sau, phép biến đổi nào cho ta phương trình tương đương, phép biến đổi nào cho ta phương trình không tương đương?
a) Lược bỏ số hạng 
ở cả hai vế của phương trình 
b) Lược bỏ số hạng 
ở cả hai vế của phương trình 
Lời giải.
a) Khi ta lược bỏ số hạng ở cả hai vế của phương trình ta được phương trình x2 − 4x + 4 = 0 ⇔ x = 2, tuy nhiên nó lại không phải là nghiệm của phương trình đã cho.
Nên phép biến đổi trên không nhận được phương trình tương đương.
b) Với điều kiện x ≠ −2 thì phương trình:
nó cũng chính là nghiệm của phương trình đã cho sau khi lược bỏ đi hạng tử ở cả hai vế.
Vậy kết quả của phép biến đổi trên ta vẫn thu được một phương trình tương đương.
Bài 5. Xác định m để các cặp phương trình sau đây tương đương với nhau?
a) 2x − 3 = 0 và 
b) x2 − 4 = 0 và 3x2 + (m + 3)x + 7m + 9 = 0.
Lời giải.
a) 2x − 3 = 0 ⇔ x = .
Để hai phương trình tương đương thì x = phải là nghiệm của phương trình hay 
Vậy với m = 
thì hai phương trình tương đương.
b) Giải phương trình x2 − 4 = 0 ta được nghiệm x = ±2.
Thay vào phương trình 3x2 + (m + 3)x + 7m + 9 = 0 ta được m = −3
Khi đó phương trình 3x2 + (m + 3)x + 7m + 9 = 0 trở thành phương trình: 3x2 − 12 = 0 ⇔ x = ±2.
Vậy m = −3 thỏa mãn yêu cầu bài toán.
Bài 6. Với giá trị nào của m thì hai phương trình x2 − 1 = 0 và 2mx2 + (m2 − 4)x − m2 = 0 có chung một tập hợp nghiệm.
Lời giải.
Giải phương trình x2 − 1 = 0 ta được nghiệm x = ±1
+) Thay x = 1 vào phương trình 2mx2 + (m2 − 4)x − m2 = 0 ta được m = 2
Khi đó phương trình 2mx2 + (m2 − 4)x − m2 = 0 trở thành phương trình: 4x2 − 4 = 0 ⇔ x = ±1.
Vậy m = 2 thỏa yêu cầu bài toán.
+) Thay x = −1 vào phương trình 2mx2 + (m2 − 4)x − m2 = 0 ta được −2m2 + 2m − 4 = 0 phương trình này vô nghiệm nên không có giá trị của m.
Vậy m = 2 thì hai phương trình đã cho tương đương nhau hay là chúng có chung một tập nghiệm.
Bài 7. Giải phương trình |2x − 1| = |−5x − 2|
Lời giải.
Bài tập tổng hợp
Bài 1. Tìm điều kiện của mỗi phương trình rồi suy ra tập nghiệm:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện: 
⇒ Phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện: 
+) Với x = 3: thay vào phương trình ta thấy vô lí.
+) Với x = −3: thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {−3}.
c) Điều kiện x > 2.
Vì x > 2 > 0 nên VT > 0. Mà VP < 0
⇒ Phương trình vô nghiệm.
d) Điều kiện: 
Thay x = −1 vào phương trình ta thấy vô lí. Vậy phương trình vô nghiệm.
Bài 2. Tìm điều kiện của mỗi phương trình rồi suy ra tập nghiệm:
a) 
b) 
Lời giải.
a) Điều kiện: −x2 – (y + 1)2 ≥ 0
⇔ x = 0 ∨ y = −1
Thay x = 0, y = −1 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là {(x; y)} = {(0; −1)}.
b) Điều kiện: −x2 + 6x − y2 + 2y − 10 ≥ 0
⇔ (x − 3)2 + (y − 1)2 ≤ 0
⇔ x = 3 ∨ y = 1.
Thay x = 3, y = 1 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là {(x; y)} = {(3; 1)}.
Bài 3. Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
Lời giải.
a) Điều kiện x > 1.
Vì x > 1 ⇒ x3 > x ⇒ VT > VP
⇒ Phương trình vô nghiệm.
b) Điều kiện −1 < x < 1.
Vì −1 < x < 1 ⇒ x2 < 1 ⇒ VT > VP
⇒ Phương trình vô nghiệm.
c) Điều kiện x ≥ .
Vì x ≥ ⇒ VT ≥ 0 ⇒ VP ≥ 0
Thay x = vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy x = là nghiệm của phương trình.
Bài 4. Giải các phương trình sau:
a) 
b) 
c) 
d) 
Lời giải.
a) Điều kiện x ≥ −1.
Phương trình tương đương
b) Điều kiện x > 3.
Phương trình tương đương x = 4 (TM).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4}.
c) Điều kiện x ≠ 2.
Phương trình tương đương x − 1 = 2x − 3 ⇔ x = 2 (loại).
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = ∅.
d) Điều kiện x ≠ 1.
Phương trình tương đương 
.
Vậy tập nghiệm của phương trình là 
.
Bài 5. Tìm nghiệm nguyên của các phương trình sau:
a) 
b) 
Lời giải.
a) Điều kiện 0 ≤ x ≤ 4.
Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {0; 1; 2; 3; 4}.
+) Với x = 0 thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
+) Với x = 1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
+) Với x = 2 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
+) Với x = 3 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
+) Với x = 4 thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là S = {0; 4}.
b) Điều kiện −2 ≤ x ≤ 2.
Vì x ∈ ℤ nên x ∈ {−2; −1; 0; 1; 2}.
+) Với x = −2 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
+) Với x = −1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
+) Với x = 0 thay vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
+) Với x = 1 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
+) Với x = 2 thay vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm nguyên của phương trình là S = {0}.
Bài 6. Giải các phương trình sau bằng cách bình phương hai vế:
a) |x − 2| = x + 2
b) 
c) 
Lời giải.
a) |x − 2| = x + 2 ⇒ (x − 2)2 = (x + 2)2 ⇒ x = 0.
Thay x = 0 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {0}.
b)
⇒ x − 3 = 9 − 2x ⇒ x = 4.
Thay x = 4 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {4}.
c)
⇒ 5 − 2x = (x − 1)2 ⇒ x = ±2.
+) Thay x = 2 vào phương trình ta thấy thỏa mãn.
+) Thay x = −2 vào phương trình ta thấy không thỏa mãn.
Vậy tập nghiệm của phương trình là S = {2}.
Bài 7. Xét sự tương đương của các phương trình sau:
a) 
và 
b) |2 − x| = 2x − 1 và x2 − 1 = 0
Lời giải.
a) Xét phương trình (1)
Điều kiện x > 4.
Xét phương trình (2)
Điều kiện x > 1.
Vì S1 = S2 nên hai phương trình đã cho tương đương.
b) Xét phương trình |2 − x| = 2x − 1 (1).
Điều kiện x ∈ ℝ.
Vì |2 − x| ≥ 0 ⇒ 2x − 1 ≥ 0 ⇒ x ≥ .
+) Xét 2 − x = 2x − 1 ⇒ x = 1 (TM).
+) Xét 2 − x = −2x + 1 ⇒ x = −1 (Loại).
Vậy S1 = {1}.
Xét phương trình x2 − 1 = 0 (2).
Điều kiện x ∈ ℝ.
(2) ⇔ x = ±1 ⇒ S2 = {±1}.
Vì S1 ≠ S2 nên hai phương trình đã cho không tương đương.
Bạn đang xem bài viết Các phương pháp giải phương trình xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 10. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
