Toán lớp 10: Khái niệm, tính chất & các bài tập mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Khái niệm, tính chất & các bài tập. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Trong bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giới thiệu đến bạn đọc lý thuyết phương sai và độ lệch chuẩn trong các mẫu số liệu thuộc chương trình toán lớp 10. Ứng với mỗi bảng số liệu sẽ có các bài tập vận dụng liên quan đến hai giá trị trên. Từ đó giúp bạn đọc nắm chắc được định nghĩa và cách áp dụng trong các bài toán thường gặp cũng như trong thực tế.

Tóm tắt

Tóm tắt lý thuyết

Định nghĩa

Để đo độ phân tán (độ chênh lệch) giữa các giá trị của mẫu số liệu so với số trung bình, người ta đưa ra hai số đặc trưng là phương sai và độ lệch chuẩn.

Phương sai

Định nghĩa. Giả sử ta có một mẫu số liệu kích thước n là x₁, x₂, …, x_n.

Phương sai của mẫu số liệu này, kí hiệu là $s_x^2$ , được tính bởi công thức sau

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Trong đó: $\overline x$ là số trung bình của mẫu số liệu.

Độ lệch chuẩn

Căn bậc hai của phương sai được gọi là độ lệch chuẩn, kí hiệu là s_x.

${s_x} = \sqrt {\frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} }$

Tính chất

a) Phương sai và độ lệch chuẩn càng lớn thì độ phân tán của các số liệu thống kê càng lớn.

b) Phương sai $s_x^2$ và độ lệch chuẩn s_x đều được dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu thống kê (so với số trung bình cộng). Nhưng khi cần chú ý đến đơn vị đo thì ta dùng s_x vì s_x có cùng đơn vị đo với dấu hiệu được nghiên cứu.

c) Phương sai còn được tính theo các công thức sau đây:

– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất:

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Trong đó: n_i, f_i lần lượt là tần số, tần suất của giá trị x_i.

– Trường hợp bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp:

$s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{{\left( {{c_i} - \overline x } \right)}^2}} = \sum\limits_{i = 1}^k {{f_i}{{\left( {{c_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Trong đó: c_i, n_i, f_i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của giá trị x_i.

– Người ta còn chứng minh được công thức sau:

$s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2} = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^n {x_i^2} - \frac{1}{{{n^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^n {{x_i}} } \right)^2}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu không ghép lớp

Phương pháp giải

a) Để tính phương sai s² của một mẫu số liệu {x₁; x₂; …; x_N } ta thực hiện một trong các cách sau:

Cách 1:

– Tính số trung bình:

$\overline x = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}}$

– Tính các độ lệch:

${x_i} - \overline x ,\left( {i = \overline {1,N} } \right)$

– Tính các phương sai theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

Cách 2:

– Tính $\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}}$ và $\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2}$

– Tính phương sai theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} } \right)^2}$

Chú ý: Nếu bảng số liệu được cho bởi bảng phân phối tần số như sau:

Thì phương sai được tính theo công thức:

${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$

b) Tính độ lệch chuẩn s: Độ lệch chuẩn s bằng căn bậc hai của phương sai:

$s = \sqrt {\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}} }$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Sản lượng lúa (đơn vị là tạ) của 40 thửa ruộng thí nghiệm có cùng diện tích được trình bày trong bảng tần số dưới đây:

a) Tính sản lượng trung bình của 40 thửa ruộng?

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

a) Số trung bình của sản lượng của 40 thửa ruộng là:

$\overline x = \frac{{5 \cdot 20 + 8 \cdot 21 + 11 \cdot 22 + 10 \cdot 23 + 6 \cdot 24}}{{40}} = 22,1$

b) Tính phương sai:

Cách 1: ${s^2} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}{{\left( {{x_i} - \overline x } \right)}^2}}$ , thay số vào ta được:

s² = $\frac{1}{{40}}$ [5(20 – 22,1)² + 8(21 – 22,1)² + 11(22 – 22,1)² + 10(23 – 22,1)² + 6(24 – 22,1)²]

= $\frac{{6160}}{{4000}}$

Hay s² = 1,54

Cách 2: Ta có:

$\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}{x_i}}$ = 5⋅20 + 8⋅21 + 11⋅22 + 10⋅23 + 6⋅24 = 884

$\sum\limits_{i = 1}^5 {{n_i}x_i^2}$ = 5⋅20² + 8⋅21² + 11⋅22² + 10⋅23² + 6⋅24² = 19598

Do đó:

$\begin{gathered} {s^2}{\text{ }} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}{x_i}} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{1}{{40}} \cdot 19598 - \frac{1}{{{{40}^2}}} \cdot {884^2} = 1,54 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Tính độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} = \sqrt {1,54} \approx 1,24$

Câu 2. 100 học sinh tham gia kì thi học sinh giỏi toán (thang điểm là 20). Kết quả được cho trong bảng sau:

a) Tính sản lượng trung bình.

b) Tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

a) Tính số trung bình:

$\sum\limits_{i = 1}^{11} {{n_i}{x_i}} = 1 \cdot 9 + 1 \cdot 10 + \cdots + 10 \cdot 18 + 2 \cdot 19 = 1523$

Nên số trung bình là:

$\overline x = \frac{{1523}}{{100}} = 15,23$

b) Ta có: $\sum\limits_{i = 1}^{11} {{n_i}{x_i}} = 1523$ và $\sum\limits_{i = 1}^{11} {{n_i}x_i^2} = 23591$ nên phương sai là:

$\begin{gathered} {s^2}{\text{ }} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{n_i}{x_i}} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &\begin{gathered} = \frac{1}{{100}} \cdot 23591 - \frac{1}{{{{100}^2}}} \cdot {1523^2} \approx 3,96 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Độ lệch chuẩn: $s = \sqrt {{s^2}} \approx 1,99$

Câu 3. Số máy tính bán được trong 7 tháng liên tiếp của một cửa hàng được ghi lại trong bảng sau:

Tính số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Số trung bình là:

$\overline x = \frac{{83 + 79 + 92 + 71 + 69 + 83 + 74}}{7} \approx 78,71$

Ta có:

$\frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2} = 6251,57;{\text{ }}\frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} } \right)^2} = 6195,94$

Suy ra:

$\begin{gathered} {s^2}{\text{ }} = \frac{1}{N}\sum\limits_{i = 1}^N {x_i^2} - \frac{1}{{{N^2}}}{\left( {\sum\limits_{i = 1}^N {{x_i}} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 6251,57 - 6195,94 = 55,63} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy $s = \sqrt {55,63} \approx 7,46$

Câu 4. Kết quả thi kết thúc học kì một của bạn Hoa được ghi lại trong bảng sau:

Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

$\overline x$ = 7,5; s² ≈ 0,42; s ≈ 0,65

Câu 5. Theo dõi số áo bán ra của 9 loại áo tại một cửa hàng, người ta có dãy số liệu sau (đơn vị: chiếc)

Tìm số trung bình, phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

$\overline x$ = 41,1; s² ≈ 63,4; s ≈ 8,0

Câu 6. Trong sổ theo dõi bán hàng ở một cửa hàng bán xe máy có bảng sau:

Tìm số xe trung bình bán được trong ngày. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 48,35; phương sai s² ≈ 194,64; độ lệch chuẩn 13,95

Câu 7. Bảng số liệu sau cho ta lãi (quy tròn) hàng tháng của một cửa hàng A trong năm 2006 (đơn vị là triệu đồng).

Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 16,25; phương sai s² ≈ 5,02; độ lệch chuẩn 2,24

Câu 8. Theo dõi số bao xi măng bán ra trong 22 ngày tại một cửa hàng bán vật liệu xây dựng ta có bảng sau:

Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 47,95; phương sai s² ≈ 123,13; độ lệch chuẩn 11,09

Câu 9. Bảng sau đây ghi lại tốc độ (km/h) của 30 chiếc ôtô.

Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 70,70; phương sai s² ≈ 38,21; độ lệch chuẩn 6,18

Câu 10. Số liệu sau đây cho ta số lãi mỗi tháng của một cửa hàng năm 2004 (đơn vị: triệu đồng).

Tìm số trung bình. Tìm phương sai và độ lệch chuẩn.

Hướng dẫn giải

Trung bình cộng: 16; phương sai s² ≈ 5,9; độ lệch chuẩn 2,43

Dạng 2. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng số liệu ghép lớp

Phương pháp giải

Để tính phương sai của bảng phân bố tần số, tần suất ghép lớp ta dùng công thức:

$s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{c_1} - \overline x } \right)}^2} + {n_2}{{\left( {{c_2} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {n_k}{{\left( {{c_k} - \overline x } \right)}^2}} \right]$

Trong đó:

c_i, n_i, f_i lần lượt là giá trị đại diện, tần số, tần suất của lớp thức i;
c_i được tính bằng trung bình cộng của 2 giá trị đầu mút của lớp i;
n là số các số liệu thống kê (n = n₁ + n₂ + …+ n_k);
x là số trung bình cộng của các số trong số liệu thống kê đã cho.

⨂ Người ta còn chứng minh được công thức: $s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}$

Độ lệch chuẩn s_x được tính bởi công thức: ${s_x} = \sqrt {s_x^2}$

Bài tập vận dụng

Ví dụ sau sử dụng công thức $s_x^2 = \frac{1}{n}\left[ {{n_1}{{\left( {{x_1} - \overline x } \right)}^2} + \cdots + {n_n}{{\left( {{x_n} - \overline x } \right)}^2}} \right]$ để tính phương sai.

Câu 1. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau

Độ dài của 60 lá dương xỉ trưởng thành

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

Hướng dẫn giải

Trước hết ta có:

$\overline x = \frac{{15 \cdot 8 + 25 \cdot 18 + 35 \cdot 24 + 45 \cdot 10}}{{60}} = 31$

Khi đó phương sai:

$\begin{gathered} s_x^2{\text{ }} = \frac{{8{{\left( {15 - 31} \right)}^2} + 18{{\left( {25 - 31} \right)}^2} + 24{{\left( {35 - 31} \right)}^2} + 10{{\left( {45 - 31} \right)}^2}}}{{60}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{ = 84} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Độ lệch chuẩn;

${s_x} = \sqrt {84} \approx 9,17$

Ví dụ sau sử dụng công thức $s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}$ để tính phương sai.

Câu 2. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau

Khối lượng của 30 của khoai tây

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần số ghép lớp đã cho.

Hướng dẫn giải

Ta tính các giá trị ${n_i}{c_i},{\text{ }}{n_i}c_i^2$ và bổ sung vào bảng đã cho, ta được bảng sau:

Từ đó, ta tính được $\overline x$ = 95 và $\overline {{x^2}}$ = 9145. Áp dụng công thức $s_x^2 = \overline {{x^2}} - {\left( {\overline x } \right)^2}$ , ta tính được $s_x^2$ = 120 và ${s_x} = \sqrt {s_x^2} \approx 10,95$ .

Ví dụ sau cho bảng phân bố tần suất ghép lớp. Ta tính $\overline x$ và $s_x^2$ dựa trên tần suất.

Câu 3. Cho bảng phân bố tần suất ghép lớp sau

Chiều cao của 35 cây bạch đàn

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố tần suất ghép lớp đã cho.

Hướng dẫn giải

Trước hết ta tính ra các giá trị f_ic_i, cuối bảng sẽ có được $\overline x$ , từ đó tính ${f_i}{\left( {{c_i} - \overline x } \right)^2}$ , cuối bảng sẽ có $s_x^2$ .

Như vậy ta được phương sai $s_x^2$ = 0,411164, suy ra s_x ≈ 0,641221.

Ví dụ sau sử dụng sự hỗ trợ của máy tính fx − 570ES PLUS để tính phương sai và độ lệch chuẩn.

Câu 4. Cho bảng phân bố tần số ghép lớp sau

Khối lượng của nhóm 20 cá mè

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng trên.

Hướng dẫn giải

Trước hết, ta chọn để dùng chế độ thống kê với 1 đối tượng thống kê.

Sau đó ta vào để vào chế độ thống kê và chọn để nhập dữ liệu.

Nhập các giá trị đại diện trong cột X trên màn hình. Sau khi nhập xong, chuyển qua cột FREQ bằng phím và nhập các tần số tương ứng với các giá trị đại diện.

Nhập xong bấm . Để tính độ lệch chuẩn, ta bấm , kết quả là s_x = 0,2049390153, ta tính phương sai bằng cách bình phương giá trị trên, bấm tiếp , ta được $s_x^2$ = 0,042.

Câu 5. Nhiệt độ trung bình của tháng 2 ở một thành phố đo trong 30 năm được cho trong bảng sau:

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố đã cho.

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả: $s_x^2$ ≈ 3,93; s_x ≈ 1,98.

Câu 6. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố sau

Chiều cao của 36 học sinh

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả: $s_x^2$ ≈ 30,97; s_x = 5,57.

Câu 7. Tính phương sai và độ lệch chuẩn của bảng phân bố sau:

Tiền lãi của mỗi ngày bán báo được khảo sát trong 30 ngày

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả: $s_x^2$ ≈ 271, 71; s_x = 16,48.

Câu 8. Trong một trường THPT, cho kiểm tra toán ở 2 lớp 10A và 10B và lập được bảng tần số ghép lớp như sau:

Điểm thi toán của lớp 10A

Điểm thi toán của lớp 10B

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai bảng phân bố tần số ghép lớp trên và cho kết luận.

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả

– Lớp 10A: $s_x^2$ = 3,23; s_x = 1,8.

– Lớp 10B: $s_x^2$ = 4,65; s_x = 2,16.

Từ đó cho thấy độ phân tán của lớp 10B nhiều hơn độ phân tán của lớp 10A so với giá trị trung bình của dữ liệu.

Câu 9. Một nông dân nuôi cá có 2 ao nuôi cùng một loại cá. Ông ta bắt mỗi ao 24 con cá và cân. Sau đây là bảng phân bố khối lượng 2 nhóm cá.

Nhóm cá thứ nhất

Nhóm cá thứ hai

Tính phương sai và độ lệch chuẩn của hai bảng phân bố tần số ghép lớp trên và cho kết luận.

Hướng dẫn giải

Sử dụng một trong các phương án tính như trong ví dụ, ta được kết quả

– Nhóm cá thứ nhất: $s_x^2$ = 33,16; s_x = 5,76.

– Nhóm cá thứ hai: $s_x^2$ = 17,66; s_x = 4,2.

Từ đó cho thấy độ phân tán của nhóm cá thứ hai ít hơn độ phân tán của nhóm cá thứ nhất so với giá trị trung bình của dữ liệu.

Câu 10. Một trang trại trồng hai loại táo A và B. Chủ trang trại phải lựa chọn một loại táo có trọng lượng các quả táo ít bị phân tán để xuất khẩu. Sau vụ thu hoạch, ông đã cân trọng lượng của 100 quả táo. Các số liệu được tóm tắt trong bảng tần số sau:

Trọng lượng các quả táo loại A

Trọng lượng các quả táo loại B

Em hãy cho biết chủ trang trại sẽ chọn loại táo nào để xuất khẩu?

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overline {{x_A}} = \overline {{x_B}} = 180$

Áp dụng công thức $s_x^2 = \frac{1}{n}\sum\limits_{i = 1}^k {{n_i}{{\left( {{c_i} - \overline x } \right)}^2}}$ ta được phương sai của mỗi bảng số liệu lần lượt là: