Toán lớp 10: Lý thuyết cơ bản và các dạng bài thường gặp mới nhất 2023

Mệnh đề là một thuật ngữ thường sử dụng trong toán học. Trong chương trình toán học, theo phân bổ chương trình mới nhất thì học sinh lớp 10 sẽ tiếp cận khái niệm chi tiết này. Trong bài viết này Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc hiểu thế nào là một mệnh đề và các tính chất của nó. Từ đó giải quyết một số dạng toán cơ bản cũng như hiểu được bản chất sâu xa.

Lý thuyết mệnh đề

1. Mệnh đề logic

Định nghĩa 1. Mệnh đề logic (gọi tắt là mệnh đề) là một câu khẳng định hoặc đúng hoặc sai.

+) Một mệnh đề không thể vừa đúng vừa sai.

+) Một câu khẳng định đúng gọi là mệnh đề đúng. Một câu khẳng định sai gọi là mệnh đề sai. 4!

⨂ Những điểm cần lưu ý.

+) Các câu hỏi, câu cảm thán, câu mệnh lệnh không phải là mệnh đề.

+) Mệnh đề thường được kí hiệu bằng các chữ cái in hoa. Ví dụ: Q: “6 chia hết cho 3”.

+) Một câu mà chưa thể nói đúng hay sai nhưng chắc chắn nó chỉ đúng hoặc sai, không thể vừa đúng vừa sai cũng là một mệnh đề. Ví dụ: “Có sự sống ngoài Trái Đất” là mệnh đề.

+) Trong thực tế, có những mệnh đề mà tính đúng sai của nó luôn gắn với một thời gian và địa điểm cụ thể: đúng ở thời gian hoặc địa điểm này nhưng sai ở thời gian hoặc địa điểm khác. Nhưng ở bất kì thời điểm nào, địa điểm nào cũng luôn có giá trị chân lí đúng hoặc sai. Ví dụ: Sáng nay bạn An đi học.

2. Mệnh đề chứa biến

Định nghĩa 2. Những câu khẳng định mà tính đúng – sai của chúng tùy thuộc vào giá trị của biến gọi là những mệnh đề chứa biến.

Ví dụ: Cho P(x): x > x² với x là số thực. Khi đó P(2) là mệnh đề sai, là mệnh đề đúng.

3. Mệnh đề phủ định

Định nghĩa 3. Cho mệnh đề P. Mệnh đề “Không phải P” được gọi là mệnh đề phủ định của P và kí hiệu là .

+) Mệnh đề P và mệnh đề phủ định là hai câu khẳng định trái ngược nhau. Nếu P đúng thì sai, nếu P sai thì đúng.

+) Mệnh đề phủ định của P có thể diễn đạt theo nhiều cách khác nhau. Chẳng hạn, xét mệnh đề P: “2 là số chẵn”. Khi đó, mệnh đề phủ định của P có thể phát biểu là : “2 không phải là số chẵn” hoặc “2 là số lẻ”.

4. Mệnh đề kéo theo và mệnh đề đảo

Mệnh đề kéo theo

Định nghĩa 4. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề “Nếu P thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo.

+) Kí hiệu là P ⇒ Q.

+) Mệnh đề kéo theo chỉ sai khi P đúng Q sai.

+) P ⇒ Q còn được phát biểu là “P kéo theo Q”, “P suy ra Q” hay “Vì P nên Q”.

⨂ Chú ý:

+) Trong toán học, định lí là một mệnh đề đúng, thường có dạng: P ⇒ Q. Khi đó ta nói P là giả thiết, Q là kết luận của định lí, hoặc P là điều kiện đủ để có Q, hoặc Q là điều kiện cần để có P.

+) Trong logic toán học, khi xét giá trị chân lí của mệnh đề P ⇒ Q người ta không quan tâm đến mối quan hệ về nội dung của hai mệnh đề P, Q. Không phân biệt trường hợp P có phải là nguyên nhân để có Q hay không mà chỉ quan tâm đến tính đúng, sai của chúng.

Ví dụ: “Nếu mặt trời quay quanh trái đất thì Việt Nam nằm ở châu Âu” là một mệnh đề đúng. Vì ở đây hai mệnh đề P: “Mặt trời quay xung quanh trái đất” và Q: “Việt Nam nằm ở châu Âu” đều là mệnh đề sai.

Mệnh đề đảo

Định nghĩa 5. Cho mệnh đề kéo theo P ⇒ Q. Mệnh đề Q ⇒ P được gọi là mệnh đề đảo của mệnh đề P ⇒ Q.

⨂ Mệnh đề đảo của một mệnh đề đúng không nhất thiết là một mệnh đề đúng.

5. Mệnh đề tương đương

Định nghĩa 6. Cho hai mệnh đề P và Q. Mệnh đề có dạng “ P nếu và chỉ nếu Q” được gọi là mệnh đề tương đương.

+) Kí hiệu là P ⇔ Q

+) Mệnh đề P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P ⇒ Q và Q ⇒ P cùng đúng hoặc cùng sai. (Hay P ⇔ Q đúng khi cả hai mệnh đề P và Q cùng đúng hoặc cùng sai)

+) P ⇔ Q còn được phát biểu là “P khi và chỉ khi Q”, “P tương đương với Q”, hay “P là điều kiện cần và đủ để có Q”.

⨂ Hai mệnh đề P, Q tương đương với nhau hoàn toàn không có nghĩa là nội dung của chúng như nhau, mà nó chỉ nói lên rằng chúng có cùng giá trị chân lí (cùng đúng hoặc cùng sai).

Ví dụ: “Hình vuông có một góc tù khi và chỉ khi 100 là số nguyên tố” là một mệnh đề đúng.

6. Các kí hiệu ∀ và ∃

+) Kí hiệu ∀ (với mọi): “∀x ∈ X, P(x)” hoặc “∀x ∈ X: P(x)”.

+) Kí hiệu ∃ (tồn tại): “∃x ∈ X, P(x)” hoặc “∃x ∈ X: P(x)”.

⨂ Chú ý

+) Phủ định của mệnh đề “∀x ∈ X, P(x)” là mệnh đề “∃x ∈ X, ”.

+) Phủ định của mệnh đề “∃x ∈ X, P(x)” là mệnh đề “∀x ∈ X, ”.

Các dạng bài tập về mệnh đề

Dạng 1. Mệnh đề có nội dung đại số và số học

Câu 1. Tìm mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:

a) A: “ là số hữu tỉ”.

b) B: “n chia hết cho 3 và 5 thì n chia hết cho 15”.

c) C: “∀x ∈ ℕ: x² + x + 3 > 0”.

d) D: “∃x ∈ ℕ, ∃y ∈ ℝ: ”.

Lời giải.

a) : “ không là số hữu tỉ”.

b) : “n không chia hết cho 3 hoặc n không chia hết cho 5 thì nó không chia hết cho 15”.

c) : “∃x ∈ ℕ: x² + x + 3 ≤ 0”.

d) : “∀x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℝ: ”.

Câu 2. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của nó:

a) ∀x ∈ ℝ: x² + 6 > 0.

b) ∃x ∈ ℝ: x² + x + 1 = 0.

c) ∃x ∈ ℝ: x > x².

Lời giải.

a) Mệnh đề đúng.

Phủ định là : ∃x ∈ ℝ: x² + 6 ≤ 0.

b) Mệnh đề sai vì phương trình x² + x + 1 = 0 vô nghiệm trong ℝ.

Phủ định là : “∀x ∈ ℝ: x² + x + 1 ≠ 0.

c) Mệnh đề đúng, ví dụ x = .

Phủ định là ∀x ∈ ℝ: x ≤ x²

Câu 3. Điều chỉnh các mệnh đề sau để được các mệnh đề đúng:

a) ∀x ∈ ℝ: 3x − 1 = 0.

b) ∀x ∈ ℝ: x² − 4x = 0.

c) ∃x ∈ ℝ: x² + 1 < 0.

d) ∀x ∈ ℝ: .

Lời giải.

a) ∃x ∈ ℝ: 3x − 1 = 0.

b) ∃x ∈ ℝ: x² − 4x = 0.

c) ∃x ∈ ℝ: x² + 1 > 0 hoặc ∀x ∈ ℝ: x² + 1 > 0.

d) ∃x ∈ ℝ: .

Câu 4. Chứng minh “Nếu n² là số chẵn thì n là số chẵn.”

Lời giải.

Giả sử n là số lẻ

⇒ n = 2k + 1, k ∈ ℕ

⇒ n² = 4k² + 4k + 1 = 2(2k² + 2k) + 1

⇒ n² là số lẻ (trái giả thiết).

Vậy n là số chẵn.

Câu 5. Chứng minh rằng:

a) Với mọi số nguyên n thì n³ − n chia hết cho 3.

b) Với mọi số nguyên n thì n(n − 1)(2n − 1) chia hết cho 6.

Lời giải.

a) Ta có: n³ − n = n(n² − 1) = n(n − 1)(n + 1) = (n − 1)n(n + 1).

Do n − 1, n, n + 1 là 3 số nguyên liên tiếp nên có 1 số chia hết cho 3.

Khi đó (n − 1)n(n + 1) chia hết cho 3 hay n³ − n chia hết cho 3.

b) Ta có n − 1, n là 2 số nguyên liên tiếp nên tích n(n – 1)(2n – 1) chia hết cho 2.

Xét 3 số nguyên liên tiếp n – 1, n, n + 1, trong 3 số này có ít nhất 1 số chia hết cho 3.

+) Nếu 1 trong 2 số n – 1, n cho hết cho 3 thì tích n(n – 1)(2n – 1) chia hết cho 3.

+) Nếu n + 1 chia hết cho 3 thì 2n – 1 = 2(n + 1) − 3 cũng chia hết cho 3. Suy ra tích n(n – 1)(2n – 1) chia hết cho 3.

Vậy tích n(n – 1)(2n – 1) vừa chia hết cho 2 vừa chia hết cho 3 nên chia hết cho 6.

Câu 6. Hãy xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau đây và tìm mệnh đề phủ định của chúng:

a) A: “∀x ∈ ℝ: x² > 1”.

b) B: “∃x ∈ ℤ: 6x² − 13x + 6 = 0”.

c) C: “∀x ∈ ℕ, ∃y ∈ ℕ: y = x + 2”.

d) D: “∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ: ”.

Lời giải.

a) Mệnh đề sai, ví dụ như x = 0.

Phủ định là : “∃x ∈ ℝ: x² ≤ 1”.

b) Mệnh đề sai vì , cả hai nghiệm đều không thuộc Z.

Phủ định là : “∀x ∈ ℤ: 6x² − 13x + 6 ≠ 0”.

c) Mệnh đề đúng.

Phủ định là : “∃x ∈ ℕ, ∀y ∈ ℕ: y ≠ x + 2”.

d) Mệnh đề sai, ví dụ x = 1, y = −2.

Phủ định là : “∃x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ: ”.

Câu 7. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau. Nếu mệnh đề sai hãy sửa lại cho đúng:

a) ∀x ∈ ℝ: x > 4 ⇒ x > 16.

b) ∀x ∈ ℝ: x² > 36 ⇒ x > 6.

c) có nghiệm kép ⇔ ∆ = b² − 4ac = 0.

d)

e)

Lời giải.

a) Mệnh đề đúng.

b) Mệnh đề sai, ví dụ x = −7.

Sửa lại là ∀x ∈ ℝ: x > 6 ⇒ x² > 36 hoặc ∃x ∈ ℝ: x² > 36 ⇒ x > 6.

c) Mệnh đề đúng.

d) Mệnh đề là đúng.

Mệnh đề là sai, ví dụ như a = 3, c = 1, b = 0.

Như vậy mệnh đề có nghiệm kép ⇔ ∆ = b² − 4ac = 0 là sai.

Sửa lại mệnh đề đúng là

e) Mệnh đề là đúng.

Mệnh đề là sai, ví dụ như a = 6, b = 1.

Như vậy mệnh đề là sai.

Sửa lại mệnh đề đúng là

Câu 8. Xét tính đúng – sai các mệnh đề sau và tìm mệnh đề phủ định của chúng:

a) ∀a ∈ ℝ, ∀b ∈ ℝ: (a + b)² = a² − 2ab + b².

b) ∀a ∈ ℝ, ∀b ∈ ℝ: a² + 2 > b² + 1.

c) ∃a ∈ ℝ, ∃b ∈ ℝ: a + b > 1.

d) ∃a ∈ ℝ, ∀b ∈ ℝ: a² < b.

e) ∀a ∈ ℝ, ∃b ∈ ℝ: a² = b + 1.

f) ∀a, b, c ∈ ℝ mà a + b + c = 0 thì .

Lời giải.

a) Mệnh đề sai vì (a + b)² = a² − 2ab + b².

Phủ định là ∃a ∈ ℝ, ∃b ∈ ℝ: (a + b)² ≠ a² − 2ab + b².

b) Mệnh đề sai, ví dụ a = 0, b = 2.

Phủ định là ∃a ∈ ℝ, ∃b ∈ ℝ: a² + 2 ≤ b² + 1.

c) Mệnh đề đúng.

Phủ định là ∀a ∈ ℝ, ∀b ∈ ℝ: a + b ≤ 1.

d) Mệnh đề sai, ví dụ a = 3, b = 1.

Phủ định là ∀a ∈ ℝ, ∃b ∈ ℝ: a² ≥ b.

e) Mệnh đề đúng, số b xác định bởi b = a² − 1, ∀a ∈ ℝ.

Phủ định là ∃a ∈ ℝ, ∀b ∈ ℝ: a² ≠ b + 1.

f) Mệnh đề đúng vì

Phủ định là ∃a, b, c ∈ ℝ mà a + b + c ≠ 0 thì

Câu 9. Chứng minh rằng .

Lời giải.

Giả sử: (vô lý).

Vậy

Câu 10. 

a) Nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.

b) Nếu x ≠ −1 và y ≠ −1 thì x + y + xy ≠ −1.

c) Nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

d) Nếu x² + y² = 0 thì x = 0 và y = 0.

Lời giải.

a) Giả sử a ≥ 1 và b ≥ 1, suy ra a + b ≥ 2 (trái giả thiết).

Vậy nếu a + b < 2 thì một trong hai số a và b nhỏ hơn 1.

b) Giả sử: x + y + xy = 1

⇒ x + 1 + y + xy = 0

⇒ (x + 1)(y + 1) = 0

⇒ x = –1 ∨ y = –1 (trái giả thiết).

Vậy nếu x ≠ −1 và y ≠ −1 thì x + y + xy ≠ −1.

c) Giả sử tổng a + b là số lẻ thì một trong hai số a, b có 1 số là số lẻ còn số còn lại là số chẵn nên tích a⋅b là số chẵn (trái giả thiết).

Vậy nếu tích của hai số tự nhiên là một số lẻ thì tổng của chúng là một số chẵn.

d) Giả sử x ≠ 0 hoặc y ≠ 0.

+) Nếu x ≠ 0 ⇒ x² > 0 ⇒ x² + y² > 0 (trái giả thiết).

+) Nếu y ≠ 0 ⇒ y² > 0 ⇒ x² + y² > 0 (trái giả thiết).

Vậy nếu x² + y² = 0 thì x = 0 và y = 0.

Câu 11. Chứng minh rằng:

Lời giải.

Giả sử:

(trái giả thiết)

Vậy

Câu 12. Chứng minh

Lời giải.

Giả sử

Vậy

Câu 13. Chứng minh rằng nếu ac > 2(b + d) thì ít nhất một trong hai phương trình sau có nghiệm

x² + ax + b = 0 (1)

x² + cx + d = 0 (2)

Lời giải.

Giả sử cả hai phương trình đều vô nghiệm, khi đó ta có:

(vô lí)

Vậy ít nhất 1 trong 2 phương trình đã cho có nghiệm.

Câu 14. Chứng minh khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà.

Lời giải.

Giả sử không có lồng nào chứa nhiều hơn 1 con gà.

Khi đó số gà sẽ không nhiều hơn số lồng.

Vậy có nhiều nhất là n con gà.

Điều này mâu thuẫn với giải thiết có n + 1 con gà.

Vậy khi ta nhốt n + 1 con gà vào n cái lồng thì có ít nhất 1 lồng chứa ít nhất 2 con gà.

Câu 15. Chứng minh với mọi số tự nhiên n:

a) n² + n + 1 không chia hết cho 9.

b) n² + 11n + 39 không chia hết cho 49.

Lời giải.

a) Giả sử n² + n + 1 chia hết cho 9, khi đó n² + n + 1 = 9k, với k là số nguyên.

Như vậy phương trình n² + n + 1 − 9k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên.

Xét ∆ = 1 − 4(1 − 9k) = 36k − 3 = 3(12k − 1).

Ta thấy ∆ chia hết cho 3, 12k − 1 không chia hết cho 3 nên ∆ không chia hết cho 9, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết).

Vậy n² + n + 1 không chia hết cho 9.

b) Giả sử n² + 11n + 39 chia hết cho 49, khi đó n² + 11n + 39 = 49k, với k là số nguyên.

Như vậy phương trình n² + 11n + 39 − 49k = 0 (1) sẽ có nghiệm nguyên.

Xét ∆ = 112 − 4(39 − 49k) = 196k − 35 = 7(28k − 5).

Ta thấy ∆ chia hết cho 7, 28k − 5 không chia hết cho 7 nên ∆ không chia hết cho 49, do đó ∆ không là số chính phương nên phương trình (1) không có nghiệm nguyên (mâu thuẫn giả thiết).

Vậy n² + 11n + 39 không chia hết cho 49.

Dạng 2. Mệnh đề có nội dung hình học

Câu 1. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a) P: “Hai vectơ bằng nhau thì có độ dài bằng nhau”.

b) Q: “Hai vectơ bằng nhau nếu chúng có độ dài bằng nhau”.

Lời giải.

a) Mệnh đề P là mệnh đề đúng theo định nghĩa hai vectơ bằng nhau.

b) Mệnh đề Q là mệnh đề sai. Hai vectơ bằng nhau nếu chúng cùng hướng và có độ dài bằng nhau. Như vậy còn thiếu điều kiện về hướng của hai vectơ.

Câu 2. Cho tam giác ABC. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a) Nếu AB² + AC² = BC² thì tam giác ABC vuông tại B.

b) Nếu AB > AC thì .

c) Tam giác ABC đều khi và chỉ khi nó thỏa mãn đồng thời hai điều kiện AB = AC và .

Lời giải.

a) Mệnh đề sai. Mệnh đề đúng là: “Nếu AB² + AC² = BC² thì tam giác ABC vuông tại A”.

b) Mệnh đề đúng theo mối liên hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác.

c) Mệnh đề đúng theo dấu hiệu nhận biết tam giác đều.

Câu 3. Cho tứ giác lồi ABCD. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật khi và chỉ khi nó thỏa mãn AC = BD.

b) Tứ giác ABCD là hình chữ nhật nếu nó có ba góc vuông.

Lời giải.

a) Mệnh đề sai. Mệnh đề có cấu trúc P ⇔ Q trong đó mệnh đề P ⇒ Q: “Tứ giác ABCD là hình chữ nhật thì AC = BD” là mệnh đề đúng còn mệnh đề Q ⇒ P là mệnh đề sai.

b) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình chữ nhật.

Câu 4. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a) Hai vectơ và cùng hướng với vectơ thì cùng hướng.

b) Trong ba vectơ khác vectơ và cùng phương thì có ít nhất hai vectơ cùng hướng.

Lời giải.

a) Mệnh đề đúng theo cách hiểu về hướng của vectơ.

b) Mệnh đề đúng. Thật vậy: Xét ba vectơ khác vectơ và cùng phương. Khi đó có 2 trường hợp:

Trường hợp 1. Hai vectơ cùng hướng.

Trường hợp này phù hợp kết luận.

Trường hợp 2. Hai vectơ ngược hướng.

Khi đó nếu vectơ ngược hướng với vectơ thì và cùng hướng.

Câu 5. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a) Hai tam giác bằng nhau khi và chỉ khi chúng có diện tích bằng nhau.

b) Một tam giác là tam giác đều khi và chỉ khi nó có một góc bằng 60° và hai đường trung tuyến bằng nhau.

Lời giải.

a) Mệnh đề sai vì hai tam giác bằng nhau thì có diện tích bằng nhau nhưng ngược lại, hai tam giác có diện tích bằng nhau thì có thể không bằng nhau.

Ví dụ: Một tam giác vuông có cạnh góc vuông là 2 và 8, tam giác vuông thứ hai có cạnh góc vuông là 4 và 4 có cùng diện tích nhưng hai tam giác không bằng nhau.

b) Mệnh đề đúng. Thật vậy, xét tam giác ABC tùy ý.

+) Nếu tam giác ABC đều thì cả ba góc bằng 60° và cặp trung tuyến nào cũng bằng nhau.

+) Ngược lại, giả sử có hai trung tuyến BM và CN bằng nhau. Khi đó hình thang BCMN có hai đường chéo bằng nhau nên nó là hình thang cân. Do đó tam giác ABC có và góc một góc bằng 60° nên tam giác ABC đều.

Câu 6. Xét tính đúng – sai của các mệnh đề sau:

a) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ khi nó có một cặp cạnh đối song song và bằng nhau.

b) Một tứ giác là hình bình hành khi và chỉ nó có hai đường chéo bằng nhau.

Lời giải.

a) Mệnh đề đúng, theo dấu hiệu nhận biết hình bình hành.

b) Mệnh đề sai. Chẳng hạn hình thang cân có hai đường chéo bằng nhau nhưng không nhất thiết phải là hình bình hành.

Câu 7. Cho tứ giác ABCD. Xét hai mệnh đề:

P: “Tứ giác ABCD là hình vuông”.

Q: “Tứ giác ABCD là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.

Phát biểu mệnh đề P ⇔ Q bằng hai cách và cho biết mệnh đề đó đúng hay sai.

Lời giải.

Phát biểu mệnh đề:

Cách 1. “Tứ giác ABCD là hình vuông khi và chỉ khi nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.

Cách 2. “Tứ giác ABCD là hình vuông là điều kiện cần và đủ để nó là hình thoi có hai đường chéo bằng nhau”.

Mệnh đề này đúng theo tính chất và dấu hiệu nhận biết hình vuông.

Câu 8. Xét các tập hợp:

X: tập hợp các tứ giác.

A: Tập hợp các hình vuông.

B: Tập hợp các hình chữ nhật.

D: Tập hợp các hình thoi.

E: Tập hợp các tứ giác có trục đối xứng.

Phát biểu thành lời nội dung các mệnh đề sau và xét tính đúng sai của chúng.

a) ∀x ∈ X, x ∈ B ⇒ x ∈

b) ∀x ∈ X, x ∈ A ⇒ x ∈

c) ∀x ∈ X, x ∈ E ⇒ x ∈

d) ∀x ∈ X, x ∈ D ⇒ x ∈

e) ∃x ∈ E: x ∉

Lời giải.

a) Phát biểu: “Mọi hình chữ nhật đều là hình vuông”.

Mệnh đề này sai vì hai cạnh của hình chữ nhật không phải lúc nào cũng bằng nhau.

b) Phát biểu: “Mọi hình vuông đều là hình thoi”.

Mệnh đề này đúng vì mọi hình vuông đều là tứ giác có bốn cạnh bằng nhau.

c) Phát biểu: “Mọi tứ giác có trục đối xứng đều là hình chữ nhật”.

Mệnh đề này sai, ví dụ hình thang cân có trục đối xứng nhưng hình thang cân có các góc có số đo không nhất thiết phải bằng 90°.

d) Phát biểu: “Mọi hình thoi đều có trục đối xứng”.

Mệnh đề này đúng vì mỗi hình thoi đều có ít nhất hai trục đối xứng là hai đường chéo.

e) Phát biểu: “Tồn tại một tứ giác có trục đối xứng mà không phải là hình chữ nhật”.

Mệnh đề này đúng, chẳng hạn hình thang cân có góc ở đáy bằng 60°.

Dạng 3. Thành lập mệnh đề – Mệnh đề phủ định

Phương pháp giải

a) Phát biểu thành lời khi cho cho một mệnh đề dạng kí hiệu.

b) Dùng kí hiệu ∀, ∃ phát biểu một mệnh đề.

c) Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề.

d) Phủ định một mệnh đề.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây:

a) “∀x ∈ ℝ, x² ≠ 0”.

b) “∃x ∈ ℝ, x² < ”.

c) “∀x ∈ ℝ, ”.

d) “∃x ∈ ℝ, ”.

Lời giải.

a) Mọi số thực đều có bình phương khác không.

b) Tồn tại một số thực mà bình phương của nó nhỏ hơn .

c) Mọi số thực đều có nghịch đảo lớn hơn hoặc bằng chính nó.

d) Tồn tại một số thực sao cho căn bậc hai của nó lớn hơn nó.

Câu 2. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau:

a) Tồn tại một số tự nhiên chia hết cho 9.

b) Mọi số không âm đều lớn hơn không.

c) Tồn tại một số thực không là số dương cũng không là số âm.

Lời giải.

a) “∃n ∈ ℕ, n ⋮ 9”.

b) “∀x ≥ 0, x > 0”.

c) “∃x ∈ ℝ, x = 0”.

Câu 3. Xét tính Đúng – Sai của các mệnh đề sau:

a) “∀x ∈ ℝ, x² > 0”.

b) “∀n ∈ ℕ, n² > n”.

Lời giải.

a) ∃x = 0 ∈ ℝ, 0² = 0 ⇒ Mệnh đề sai.

b) ∃n = 1 ∈ ℕ, 1² = 1 ⇒ Mệnh đề sai.

Câu 4. Phủ định các mệnh đề sau đây:

a) Tất cả bài tập trong sách này đều dễ.

b) Có ít nhất một hình thang nội tiếp được trong đường tròn.

c) “∃x ∈ ℝ, x + 3 = 5”.

d) “∀x ∈ ℝ, x > 5”.

Lời giải.

a) Tồn tại một bài tập trong sách không dễ.

b) Mọi hình thang đều không nội tiếp được trong đường tròn.

c) “∀x ∈ ℝ, x + 3 ≠ 5”.

d) “∃x ∈ ℝ, x ≤ 5”.

Câu 5. Phát biểu thành lời các mệnh đề sau đây:

a) “∃x ∈ ℝ, ”.

b) “∃n ∈ ℕ, ∈ ℕ”.

c) “∀x ∈ ℝ, x² − 4x + 8 > 0”.

d) “∃x ∈ ℤ, x² + 5x ≤ 0”.

Lời giải.

a) Tồn tại một số thực mà nghịch đảo của nó bằng với nó.

b) Tồn tại số tự nhiên sao cho nghịch đảo của nó thuộc tập số tự nhiên.

c) Với mọi số thực ta đều có bình phương của nó hiệu bốn lần nó và cộng thêm 8 lớn hơn 0.

d) Tồn tại một số nguyên mà tổng bình phương của nó với năm lần nó bé hơn hoặc bằng 0.

Câu 6. Dùng các kí hiệu ∀, ∃ phát biểu các mệnh đề sau:

a) Có một số tự nhiên khác không mà căn bậc hai của nó thuộc tập số tự nhiên khác không.

b) Mọi số nguyên đều là số tự nhiên.

c) Có một số tự nhiên không là số nguyên.

d) Mọi số tự nhiên đều là số thực.

e) Tồn tại một số thực không có nghịch đảo.

Lời giải.

a) “∃n ∈ ℕ*, ∈ ℕ*”.

b) “∀n ∈ ℤ, n ∈ ℕ”.

c) “∃n ∈ ℕ, n ∉ ℤ”.

d) “∀n ∈ ℕ, n ∈ ℝ”.

e) “∃x ∈ ℝ, không tồn tại ”.

Câu 7. Phủ định các mệnh đề sau:

a) Mọi học sinh trong lớp em đều biết dùng máy tính.

b) Có một học sinh trong lớp em chưa được leo núi.

c) Mọi học sinh trong lớp em không biết đá bóng.

d) Có một học sinh trong lớp em thích bóng chuyền.

Lời giải.

a) Có một học sinh trong lớp em không biết dùng máy tính.

b) Mọi học sinh trong lớp em đều được leo núi.

c) Có một học sinh trong lớp em biết đá bóng.

d) Mọi học sinh trong lớp em không thích bóng chuyền.

Câu 8. Xét xem các mệnh đề sau đúng hay sai và nêu các mệnh đề phủ định của chúng.

a) “∀x ∈ ℝ, x² − 7x + 15 > 0”.

b) “∃x ∈ ℝ, x³ + 2x² + 8x + 16 = 0”.

c) “∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, 2x + 3y = 5”.

d) “∃x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, x² + y² − 2x − 4y = −1”.

Lời giải.

a) Ta có:

Vậy mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: “∃x ∈ ℝ, x² − 7x + 15 ≤ 0”.

b) ∃x = −2 ∈ ℝ, (−2)³ + 2⋅(−2)² + 8⋅(−2) + 16 = 0 ⇒ Mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ ℝ, x³ + 2x² + 8x + 16 ≠ 0”.

c) ∃x = 0 ∈ ℝ, ∃y = 0 ∈ ℝ, 2⋅0 + 3⋅0 = 0 ≠ 0 ⇒ Mệnh đề sai.

Mệnh đề phủ định: “∃x ∈ ℝ, ∃y ∈ ℝ, 2x + 3y ≠ 0”.

d) ∃x = 1 ∈ ℝ, ∃y = 0 ∈ ℝ, 1² + 0² −2⋅1 − 4⋅0 = −1 ⇒ Mệnh đề đúng.

Mệnh đề phủ định: “∀x ∈ ℝ, ∀y ∈ ℝ, x² + y² − 2x − 4y = −1”.

Câu 9. Tìm hai giá trị thực của x đề từ mỗi câu sau ta được một mệnh đề đúng và một mệnh đề sai.

a) x² < x.

b) x = 5.

c) x² > 0.

d) .

Lời giải.

a) Với x = thì mệnh đề đúng.

Với x = 1 thì mệnh đề sai.

b) Với x = 5 thì mệnh đề đúng.

Với x = 0 thì mệnh đề sai.

c) Với x = 1 thì mệnh đề đúng.

Với x = 0 thì mệnh đề sai.

d) Với x = 2 thì mệnh đề đúng.

Với x = thì mệnh đề sai.

Câu 10. Chứng minh rằng: Nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất một chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Lời giải.

Ta định nghĩa mệnh đề Q.

Q: Ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Suy ra mệnh đề : Tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Giả sử mệnh đề đúng, tức là tất cả các chuồng chứa ít hơn hoặc bằng 4 con thỏ.

Khi đó số thỏ sẽ có tối đa là 4⋅6 = 24 con, mâu thuẫn với giả thiết số thỏ là 25 con.

Suy ra mệnh đề sai, do đó mệnh đề Q đúng.

Vậy nếu nhốt 25 con thỏ vào 6 cái chuồng thì sẽ có ít nhất 1 chuồng chứa nhiều hơn 4 con thỏ.

Câu 11. Cho các mệnh đề chứa biến P(n): “n là số chẵn” và Q(n): “7n + 4 là số chẵn”.

a) Phát biểu và chứng minh mệnh đề “∀n ∈ ℕ, P(n) ⇒ Q(n)”.

b) Phát biểu và chứng minh mệnh đề đảo của mệnh đề ở câu a.

Lời giải.

a) Với mọi số tự nhiên n, nếu n là số chẵn thì 3n + 4 cũng là số chẵn.

Chứng minh

Với mọi số tự nhiên n chẵn, ta có: 3n và 4 là các số chẵn. Suy ra 3n + 4 là một số chẵn.

Vậy mệnh đề đúng.

b) Với mọi số tự nhiên n, nếu 3n + 4 là số chẵn thì n cũng là số chẵn.

Chứng minh

Với mọi số tự nhiên n mà 3n + 4 là số chẵn thì ta suy ra 3n là số chẵn (do 4 là số chẵn). Khi đó n là một số chẵn.

Vậy mệnh đề đảo đúng.