Bạn đang xem bài viết Lý thuyết & dạng toán đặc trưng. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Trong bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn đọc tìm hiểu điểm lý thuyết các phép toán trên tập hợp như: Mối quan hệ giữa các tập hợp số, các tập con thường dùng, phép giao hai tập hợp, phép hợp hai tập hợp và tổng hiệu hai tập hợp. Từ đó giúp giải quyết các dạng toán đặc trưng như thực hiện phép toán trên tập hợp số, vận dụng biểu đồ ven để giải toán, xác định phần giao – hợp của hai hay nhiều tập hợp số hoặc xác định hiệu – phần bù của các tập hợp số.
Các tập hợp số
Mối quan hệ giữa các tập hợp số
– Tập hợp các số tự nhiên ℕ = {0; 1; 2; 3; …}
– Tập hợp các số nguyên ℤ gồm các số tự nhiên và các số nguyên âm
ℤ = {…; −3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; …}
– Tập hợp các số hữu tỉ ℚ gồm các số viết được dưới dạng phân số ![\[\frac{a}{b}\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/cac-phep-toan-tren-tap-hop-1.svg)
với a, b ∈ ℤ, b ≠ 0. Số hữu tỉ còn được biểu diễn dưới dạng số thập phân hữu hạn hoặc vô hạn tuần hoàn.
– Tập hợp các số thực kí hiệu ℝ, gồm các số hữu tỷ và các số vô tỷ. Số vô tỷ là các số thập phân vô hạn không tuần hoàn.
– TMối quan hệ giữa các tập hợp số: ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ.
Các tập con thường dùng của ℝ
Kí hiệu +∞: Đọc là dương vô cực (hoặc dương vô cùng).
Kí hiệu −∞: Đọc là âm vô cực (hoặc âm vô cùng).
a, b gọi là các đầu mút của đoạn, khoảng hay nửa khoảng.
Các phép toán trên tập hợp
Giao của hai tập hợp
Định nghĩa 1
Tập hợp gồm các phần tử thuộc cả hai tập hợp S và T gọi là giao của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∩ T.
S ∩ T = {x | x ∈ S và x ∈ T}.
Hợp của hai tập hợp
Tập hợp gồm các phần tử thuộc tập hợp S hoặc thuộc tập hợp T gọi là hợp của hai tập hợp S và T, kí hiệu là S ∪ T.
S ∪ T = {x | x ∈ S hoặc x ∈ T}.
Hiệu của hai tập hợp
Hiệu của hai tập hợp S và T là tập hợp gồm các phần tử thuộc S nhưng không thuộc T, kí hiệu là S \ T.
S \ T = {x | x ∈ S và x ∉ T}.
Nếu T ⊂ S thì S \ T được gọi là phần bù của T trong S, kí hiệu là CST.
Phân dạng bài tập
Dạng 1. Thực hiện các phép toán trên tập hợp
Phương pháp giải
Dựa vào định nghĩa các phép toán trên tập hợp để tìm kết quả.
Chú ý:
– Nếu A ⊂ B thì B \ A = CBA.
– Nếu A = ∅ thì A \ B = ∅ với mọi tập hợp B.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hai tập hợp A = {1; 2; 3; 5; 7} và B = {n ∈ ℕ | n là ước số của 12}. Tìm A ∩ B, A ∪ B, A \ B, B \ A.
Hướng dẫn giải
Ta có: B = {1; 2; 3; 4; 6; 12}.
Vậy: A ∩ B = {1; 2; 3}, A ∪ B = {1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 12}
A \ B = {5; 7}, B \ A = {4; 6; 12}.
Câu 2. Chứng minh rằng
a) Nếu A ⊂ B thì A ∩ B = A.
b) Nếu A \ B = ∅ thì A ⊂ B
Hướng dẫn giải
a) x ∈ A ∩ B ⇒ x ∈ A, suy ra (A ∩ B) ⊂ A
Lại có: ![\[x \in A \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in A \hfill \\ x \in B\left( {{\text{do }}A \subset B} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/cac-phep-toan-tren-tap-hop-2.svg)
⇒ x ∈ A ∩ B, suy ra A ⊂ (A ∩ B).
Vậy A ∩ B = A.
b) Lấy x ∈ Nếu x ∉ B thì x ∈ A \ B (mâu thuẫn).
Do đó: x ∈ B. Vậy A ⊂ B.
Câu 3. Cho tập hợp B = {x ∈ ℤ | − 4 < x ≤ 4} và C = {x ∈ ℤ | x ≤ a}. Tìm số nguyên a để tập hợp B ∩ C = ∅.
Hướng dẫn giải
Ta có: B = {−3; −2; −1; 0; 1; 2; 3; 4}, C = {… , a − 1, a}.
Để B ∩ C = ∅ thì a ≤ −4, a ∈ ℤ.
Câu 4. Cho các tập hợp A = {4; 5} và B = {n ∈ ℕ | n ≤ a} với a là số tự nhiên. Tìm a sao cho A \ B = A.
Hướng dẫn giải
Ta có: B = {0; 1; …; a}.
Để A \ B = A thì các phần tử của A không thuộc B. Suy ra a ≤ 3.
Vậy a ∈ {0; 1; 2; 3}.
Câu 5. Cho hai tập hợp A, B biết A = {a; b}, B = {a; b; c; d}. Tìm tập hợp X sao cho A ∪ X = B.
Hướng dẫn giải
Ta có: X có thể là {c; d}; {b; c; d}; {a; c; d}; {a; b; c; d}.
Câu 6. Cho hai tập hợp A, B. Biết A \ B = {1; 2}, B \ A = {3} và B = {3; 4; 5}. Tìm tập hợp A.
Hướng dẫn giải
Ta có: A \ B = {1; 2} nên 1, 2 ∈ A.
Mà: B \ A = {3} nên 3 ∉ A và 4, 5 ∈ A.
Suy ra: A = {1; 2; 4; 5}.
Dạng 2. Sử dụng biểu đồ ven giải toán
Phương pháp giải
– Sử dụng các biểu đồ Ven để mô tả các đại lượng và mối quan hệ giữa chúng.
– Biểu đồ Ven cho ta cách nhìn trực quan về mối quan hệ giữa các đại lượng, từ đó tìm ra các yếu tố chưa biết.
– Công thức tính số phần tử n(A ∪ B) = n(A) + n(B) − n(A ∩ B).
Bài tập vận dụng
Câu 1. Trong năm vừa qua, trường THPT X có 25 bạn thi học sinh giỏi 2 môn Văn và Toán, trong đó có 14 bạn thi Toán và 16 bạn thi Văn. Hỏi trường có bao nhiêu bạn thi cả 2 môn Văn và Toán?
Hướng dẫn giải
Cách 1: Sử dụng biểu đồ Ven như hình vẽ
Số bạn thi toán mà không thi văn là 25 − 16 = 9 (bạn).
Số bạn thi cả 2 môn (phần giao nhau) là 14 − 9 = 5 (bạn).
Cách 2:
Gọi A, B lần lượt là tập hợp các bạn thi học sinh giỏi Toán và Văn.
Ta có: n(A) = 14, n(B) = 16, n(A ∪ B) = 25.
Theo công thức ta có:
n(A ∩ B) = n(A) + n(B) − n(A ∪ B) = 14 + 16 − 25 = 5 (bạn).
Câu 2. Lớp 10A có 15 bạn thích môn Văn, 20 bạn thích môn Toán. Trong số các bạn thích văn hoặc toán có 8 bạn thích cả 2 môn. Trong lớp vẫn còn 10 bạn không thích môn nào trong 2 môn Văn và Toán. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu bạn?
Hướng dẫn giải
Ta sử dụng biểu đồ Ven để giải bài toán. Hình tròn to thể hiện số học sinh cả lớp.
Như vậy, ta có:
– Số bạn chỉ thích Văn là 15 − 8 = 7 (bạn).
– Số bạn chỉ thích Toán là 20 − 8 = 12 (bạn).
– Số học sinh cả lớp (tổng các phần không giao nhau) là:
7 + 8 + 12 + 10 = 37.
Câu 3. Mỗi học sinh của lớp 10A đều chơi bóng đá hoặc bóng chuyền. Biết rằng có 25 bạn chơi bóng đá, 20 bạn chơi bóng chuyền và 10 bạn chơi cả 2 môn thể thao. Hỏi lớp 10A có bao nhiêu học sinh.
Hướng dẫn giải
Ngoài biểu đồ Ven ta có thể dùng công thức số phần tử.
Gọi A là tập hợp các học sinh chơi bóng đá và B là tập các học sinh chơi bóng chuyền.
⇒ A ∩ B là tập các học sinh chơi cả hai môn.
Ta có: n(A) = 25, n(B) = 20, n(A ∩ B) = 10.
⇒ Số học sinh cả lớp là số phần tử của tập A ∪ B.
Theo công thức ta có:
n(A ∪ B) = 25 + 20 − 10 = 35 (học sinh).
Dạng 3. Xác định giao – hợp của hai tập hợp
Phương pháp giải
a) Xác định giao của hai tập hợp ta làm như sau
– Biểu diễn các tập hợp lên trục số.
– Dùng định nghĩa giao để xác định các phần tử của tập hợp.
b) Cho hai tập con của tập số thực A và B. Tìm A ∪ B ta làm như sau
– Biểu diễn tập A trên trục số, gạch chéo phần không thuộc A.
– Làm tương tự đối với tập B.
– Phần không gạch chéo trên hình là A ∪ B.
c) Đối với hai tập A và B khác rỗng để tìm A ∪ B ta nhớ rằng
![\[x \in A \cup B \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x \in A \hfill \\ x \in B \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/cac-phep-toan-tren-tap-hop-3.svg)
Bài tập vận dụng
Câu 1. Xác định tập hợp (0; 3) ∪ (−3; 2) và biểu diễn trên trục số
Hướng dẫn giải
Biểu diễn tập hợp A trên trục số
Biểu diễn tập B trên trục số
Kết hợp hai trục số trên ta được tập A ∪ B = (−3; 3).
Câu 2. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R | − 2 < x < 2}. Tìm A ∩ B.
Hướng dẫn giải
⇒ A ∩ B = [−1; 2).
Câu 3. Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số.
a) (0; 3) ∩ (2; 4) .
b) R ∩ (−1; 1) .
Hướng dẫn giải
a)
⇒ (0; 3) ∩ (2; 4) = (2; 3) .
b)
⇒ R ∩ (−1; 1) = (−1; 1) .
Câu 4. Cho m > 5. Xác định tập hợp [−2; m) ∪ [0; 4).
Hướng dẫn giải
Vì m > 5 nên m > 4
⇒ [0; 4) ⊂ [−2; m)
⇒ [−2; m) ∪ [0; 4) = [−2; m).
Câu 5. Cho các tập hợp A = {x ∈ R | | x + 2 | < 2}, B = {x ∈ R | | x + 4 | ≥ 3}, C = [−5; 3). Tìm các tập hợp
a) A ∩ B.
b) B ∪
c) A ∩ B ∩ C.
d) A ∪
e) A ∩ B ∪
f) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C).
Hướng dẫn giải
| x + 2 | < 2 ⇔ −2 < x + 2 < 2 ⇔ −4 < x < 0.
Do đó A = (−4; 0).
![\[\left| {x + 4} \right| \geqslant 3 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x + 4 \leqslant - 3 \hfill \\ x + 4 \geqslant 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} x \leqslant - 7 \hfill \\ x \geqslant - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.\]](https://verbalearn.org/wp-content/uploads/2023/02/cac-phep-toan-tren-tap-hop-4.svg)
Do đó B = (−∞; −7] ∪ [−1; +∞).
Biểu diễn tập A trên trục số
Biểu diễn tập B trên trục số
Biểu diễn tập C trên trục số
a) A ∩ B = [−1; 0).
b) B ∪ C = (−∞; −7] ∪ [−5; +∞).
c) A ∩ B ∩ C = [−1; 0).
d) A ∪ B = (−∞; −7] ∪ (−4; +∞).
e) A ∩ B ∪ C = [−5; 3).
f) (A ∪ B) ∩ (B ∪ C) = (−∞; −7] ∪ (−4; +∞).
Dạng 4. Xác định hiệu và phần bù của hai tập hợp
Phương pháp giải
– Biểu diễn các tập hợp lên trục số.
– Dùng định nghĩa các phép toán hiệu, phần bù để xác định các phần tử của tập hợp.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | − 1 ≤ x ≤ 3}, B = {x ∈ R | − 2 < x < 2}. Tìm A \ B, B \ A.
Hướng dẫn giải
⇒ A \ B = [2; 3] , B \ A = (−2; −1).
Câu 2. Cho hai tập hợp A = {x ∈ R | 1 < x ≤ 4}, B = {x ∈ R | − 3 < x}. Tìm CBA.
Hướng dẫn giải
⇒ CBA = (−3; 1] ∪ (4; +∞).
Câu 3. Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số.
a) (0; 3) \ (2; 4).
b) R \ (−1; 1).
Hướng dẫn giải
a)
⇒ (0; 3) \ (2; 4) = (0; 2] .
b)
⇒ R \ (−1; 1) = (−∞; −1] ∪ [1; +∞) .
Câu 4. Xác định các tập hợp sau đây và biểu diễn chúng trên trục số.
a) R \ ((0; 1) ∪ (2; 3)).
b) R \ ((3; 5) ∩ (4; 6)).
Hướng dẫn giải
a)
⇒ R \ ((0; 1) ∪ (2; 3)) = (−∞; 0] ∪ [1; 2] ∪ [3; +∞).
b) Ta có: ((3; 5) ∩ (4; 6)) = (4; 5).
⇒ R \ ((3; 5) ∩ (4; 6)) = (−∞; 4] ∪ [5; +∞).
Bạn đang xem bài viết Lý thuyết & dạng toán đặc trưng xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 10. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
