Bạn đang xem bài viết Khái niệm và các bài tập vận dụng có lời giải. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Cấp số nhân là kiến thức nền tảng và quan trọng trong phần dãy số thuộc chương trình toán lớp 11 bên cạnh cấp số cộng. Bài viết sau đây, Cấp Nước Lào Cai sẽ trình bày đến bạn đọc cái khái niệm và định lý về cấp số nhân cũng như một số bài tập vận dụng có lời giải chi tiết.
Khái niệm cấp số nhân
Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hoặc vô hạn mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số q không đổi, nghĩa là:
(un) là cấp số nhân ⇔ n ≥ 2, un = un–1.q
Số q được gọi là công bội của cấp số nhân và 
Lưu ý:
+) Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi (tất cả các số hạng đều bằng nhau).
+) Khi q = 0 thì cấp số nhân có dạng u1, 0, 0, 0, …, 0, …
+) Khi u1 = 0 thì với mọi q, cấp số nhân có dạng 0, 0, 0, 0, …, 0, …
Số hạng tổng quát của cấp số nhân
Nếu cấp số nhân (un) có số hạng đầu u1 và công bội q thì số hạng tổng quát un được xác định bởi công thức un = u1 . qn–1, n ≥ 2.
Lưu ý: Nếu (un) là cấp số nhân với các số hạng khác 0 thì:
Tính chất các số hạng của cấp số nhân
Trong cấp số nhân (un), bình phương mỗi số hạng (trừ số hạng đầu và cuối) đều là tích hai số hạng đứng kề với nó, nghĩa là: 
Lưu ý:
+) Nếu a, b, c là ba số khác 0 thì “a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số nhân khi và chỉ khi b2 = ac”
+) Nếu (un) là cấp số nhân thì 
Tổng n số hạng đầu tiên của cấp số nhân
Cho cấp số nhân (un) với công bội q.
Đặt Sn = u1 + u2 + … + un.
+) Nếu q = 1 thì 
+) Nếu q ≠ 1 thì 
Bài tập vận dụng cấp số nhân
Câu 1. Trong các dãy số sau, dãy nào là cấp số nhân? Xác định số hạng đầu và công bội của cấp số nhân.
a) Dãy số (un) với un = (–3)2n+1.
ĐS: Là cấp số nhân có u1 = –27, q = 9.
b) Dãy số (un) với un = n.52n–1.
ĐS: Không là cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
a) Ta có: un ≠ 0 và
Do đó: (un) là cấp số nhân với số hạng đầu u1 = –27, công bội q = 9.
b) Dãy số (un) có u1 = 5, u2 = 250, u3 = 9375 và 
Nên (un) không là cấp số nhân.
Câu 2. Tìm các số dương a và b sao cho a, a + 2b, 2a + b theo thứ tự lập thành cấp số cộng và (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân.
ĐS: a = 3, b = 1.
Hướng dẫn giải
Ta có: a, a + 2b, 2a + b theo thứ tự lập thành cấp số cộng
(1)
Ta có: (b + 1)2, ab + 5, (a + 1)2 theo thứ tự lập thành cấp số nhân
(2)
Từ (1) và (2) suy ra:
Vậy: a = 3, b = 1 thỏa mãn.
Câu 3. Một cấp số nhân có tám số hạng, số hạng đầu là 4374, số hạng cuối là 2. Tìm cấp số nhân đó.
ĐS: 4374; 1458; 486; 162; 54; 18; 6; 2.
Hướng dẫn giải
Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u1, công bội q. Ta có:
Cấp số nhân cần tìm là: 4374; 1458; 486; 162; 54; 18; 6; 2
Câu 4. Tìm số hạng đầu u1, công bội q của cấp số nhân (un) biết:
a) 
ĐS: u1 = 12, q = 2
b) 
ĐS: u1 = 1, q = 3
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Câu 5. Tính tổng tất cả các số hạng của một cấp số nhân, biết rằng số hạng đầu bằng 18, số hạng thứ hai bằng 54 và số hạng cuối bằng 39366.
ĐS: S = 59040.
Hướng dẫn giải
Giả sử cấp số nhân có n số hạng, số hạng đầu u1, công bội q
Ta có: 
Ta có:
Tổng các số hạng là:
Chú ý: Có thể dụng công thức tính tổng
Câu 6. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trong các trường hợp sau:
a) 
ĐS: u1 = 3, q = 2.
b) 
ĐS: u1 = 5, q = 2 hoặc u1 = 160, q = 
.
c) 
ĐS: u1 = 
, q = 
.
d) 
ĐS: u1 = 2, q = 2 hoặc u1 = 8, q = .
e) 
ĐS: u1 = 1, 
hoặc u1 = 2, 
.
f) 
ĐS: u1 = 1, q = 2 hoặc u1 = 4, q = .
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
Xét phương trình:
Đặt: 
, với |t| ≥ 2. Ta có:
Ta có: 
+) Với q = 2 thì 
+) Với q = thì 
c) Ta có:
d) Ta có:
+) Với q = 2 thì u1 = 2
+) Với q = thì u1 = 8
e) Ta có:
+) Với u1 = 1 thì q2 + 1 = 3. Do đó:
+) Với u1 = 2 thì q2 + 1 = 
. Do đó:
f)
Suy ra: 
Khi đó:
+) Với q = 2 thì u1 = 1
+) Với q = thì u1 = 4
Câu 7. Tìm a, b biết rằng 1, a, b là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng và 1, a2, b2 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân.
ĐS: 
; 
; 
.
Hướng dẫn giải
Do 1, a, b là ba số hạng liên tiếp của cấp số cộng nên ta có phương trình:
1 + b = 2a (1)
Do 1, a2, b2 là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân nên ta có phương trình:
b2 = a4 (2)
Từ (1) ⇒ b = 2a – 1 (3). Thay vào (2), ta được:
Thay a vào (3), ta có:
+) Với 
+) Với 
+) Với 
Vậy các cặp số (a; b) thỏa mãn là: ; ;
Câu 8. Giữa các số 160 và 5 hãy chèn 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân. Tìm 4 số đó.
ĐS: (80; 40; 20 ;10).
Hướng dẫn giải
Theo bài ra, ta có cấp số nhân có u1 = 160, u6 = 5.
Do: 
Vậy 4 số cần tìm là:
u2 = u1 . q = 80,
u3 = u2 . q = 40,
u4 = u3 . q = 20,
u5 = u4 . q = 10.
Câu 9. Cho 3 số dương có tổng là 65 lập thành một cấp số nhân tăng, nếu bớt một đơn vị ở số hạng thứ nhất và 19 đơn vị ở số hạng thứ ba ta được một cấp số cộng. Tìm 3 số đó.
ĐS: (5; 15; 45).
Hướng dẫn giải
Gọi ba số cần tìm là 0 < x < y < z. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Từ (1) ⇒ x + z = 65 – y, thay vào (3) được:
65 – y – 20 = 2y ⇔ 3y = 45 ⇔ y = 15
Từ (2) và (3) suy ra 
⇒ x, z là nghiệm của phương trình:
t2 – 50t + 225 = 0 ⇒ t = 5 , t = 45.
Suy ra: x = 5, z = 45.
Vậy 3 số cần tìm là: (5; 15; 45).
Câu 10. Tính tổng:
a) 
ĐS: 
b) 
ĐS: 
Hướng dẫn giải
a) Tổng gồm n số hạng lập thành cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2, công bội q = 2. Do đó:
b) Ta có:
Câu 11. Tìm m để phương trình x3 + (5 – m)x2 + (6 – 5m)x – 6m = 0 có ba nghiệm phân biệt lập thành cấp số nhân.
ĐS: 
Hướng dẫn giải
Ta có:
Để ba nghiệm của phương trình lập thành cấp số nhân:
Câu 12. Đầu mùa thu hoạch xoài, một bác nông dân đã bán cho người thứ nhất nửa số xoài thu hoạch được và nửa quả, bán cho người thứ hai nửa số còn lại và nửa quả, bán cho người thứ ba nửa số quả còn lại và nửa quả. Đến người thứ bảy bác cũng bán nửa số xoài còn lại và nửa quả thì không còn quả nào nữa. Hỏi bác nông dân đã thu hoạch được bao nhiêu xoài ở đầu mùa?
ĐS: 127 quả.
Hướng dẫn giải
Gọi x là số xoài bác nông dân đã thu hoạch được (điều kiện 0 < x ∈ ℤ)
Số xoài bán cho người thứ nhất là:
⇒ Số xoài còn lại là:
Số xoài bán cho người thứ hai là:
⇒ Số xoài còn lại là:
Số xoài bán cho người thứ ba là:
⇒ Số xoài còn lại là:
Số xoài bán cho người thứ tư là:
⇒ Số xoài còn lại là:
Lập luận tương tự. Số xoài bán cho người thứ bảy là: 
⇒ Số xoài còn lại là:
Sau khi bán cho người thứ bảy, bác nông dân không còn quả xoài nào nữa nên ta có: x = 127 (quả).
Câu 13. Tìm số hạng đầu u1 và công bội q của cấp số nhân trong các trường hợp sau:
a) 
ĐS: q = 
, u1 = 729 hoặc q = –3 và u1 = 1
b) 
ĐS: q = 2, u1 = 5 hoặc q = –2 và u1 = 5
c) 
ĐS: q = –2, u1 = 1 hoặc q = 
và u1 = 64
d) 
ĐS: q = 2, u1 = 1 hoặc q = và u1 = 8
Hướng dẫn giải
a) Ta có:
b) Ta có:
c) Ta có:
Suy ra:
Đặt: 
với |t| ≥ 2. Ta có:
Ta có: 
+) Với q = –2 thì u2 = –2. Do đó: u1 = 1.
+) Với q = thì u2 = –32. Do đó: u1 = 64.
d) Ta có:
Ta có:
Đặt: với |t| ≥ 2. Ta có:
Ta có: 
+) Với q = 2 thì 
.
+) Với q = thì 
.
Câu 14. Cho ba số tạo thành một cấp số cộng có tổng 21. Nếu thêm 2, 3, 9 lần lượt vào số thứ nhất, số thứ hai, số thứ ba tạo thành một cấp số nhân. Tìm 3 số đó.
ĐS: (3; 7; 11) và (18; 7; –4).
Hướng dẫn giải
Gọi 3 số cần tìm là x, y, z. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Từ (1) ⇒ z = 14 – x (3). Thay vào (2) ta được phương trình:
+) Với x = 3 ⇒ z = 11
+) Với x = 18 ⇒ z = –4
Vậy bộ ba số cần tìm là: (3; 7; 11) và (18; 7; –4).
Câu 15. Giữa các số 243 và 1 hãy đặt thêm 4 số nữa để tạo thành một cấp số nhân.
ĐS: (81; 27; 9; 3).
Hướng dẫn giải
Theo bài ra, ta có cấp số nhân có u1 = 243, u6 = 1.
Do: 
Vậy 4 số cần tìm là:
u2 = u1 . q = 81,
u3 = u2 . q = 27,
u4 = u3 . q = 9,
u5 = u4 . q = 3.
Câu 16. Ba số khác nhau có tổng bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân hoặc coi là số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một cấp số cộng. Tìm các số đó.
ĐS: (2; 14; 98).
Hướng dẫn giải
Gọi 3 số cần tìm là x, y, z. Theo bài ra ta có hệ phương trình:
Lại có cấp số cộng có: u1 = x, u4 = y, u25 = z.
Gọi d là công sai của cấp số cộng ta có hệ phương trình:
Thay (3), (4) vào (1) và (2), ta có:
Từ (6) ⇒ d = 0 hoặc d = 2x. Thay vào (5)
+) Với d = 0 ⇒ x = 38 ⇒ y = z = 38, loại do điều kiện ba số khác nhau.
+) Với d = 2x ⇒ 19x = 38 ⇒ x = 2 ⇒ d = 4 ⇒ y = 14, z = 98.
Vậy các số cần tìm là: (2; 14; 98).
Câu 17. Chứng minh rằng với mọi m thì phương trình x3 – (m2 + 3)x2 + (m2 + 3)x – 1 = 0 luôn có ba nghiệm và ba nghiệm này lập thành cấp số nhân.
Hướng dẫn giải
Ta có:
Phương trình (*) có ∆ = (m2 + 2)2 – 4.1 = m2.(m2 + 4) ≥ 0 ∀m.
Vậy phương trình (*) luôn có hai nghiệm x1, x2 và x1.x2 = 1.
Suy ra phương trình đã cho luôn có ba nghiệm thỏa mãn x1.x2 = 1 và x3 = 1 ⇒ x1.x2 = x32.
Vậy phương trình đã cho luôn có 3 nghiệm lập thành cấp số nhân.
Bạn đang xem bài viết Khái niệm và các bài tập vận dụng có lời giải xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 11. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
