Bạn đang xem bài viết Bất đẳng thức cosi | Các dạng biểu diễn và kỹ thuật chứng minh. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!
Bất đẳng thức Cosi được ứng dụng phổ biến trong các bài toán chứng minh bất đẳng thức từ cơ bản đến nâng cao. Bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp bạn tìm hiểu chi tiết thông qua các dạng biểu diễn và một số kỹ thuật chứng minh thường gặp nhất. Từ đó giúp độc giả nắm rõ bản chất và áp dụng một cách thuần thục vào các bài toán.
Giới thiệu bất đẳng thức Cauchy (Côsi)
Bất đẳng thức có tên gọi chính xác là bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân. Ở nhiều nước trên thế giới, người ta gọi bất đẳng thức này theo kiểu viết tắt là bất đẳng thức AM – GM (AM là viết tắt của Arithmetic mean và GM là viết tắt của Geometric mean)
Ở nước ta, bất đẳng thức AM – GM được gọi theo tên của nhà Toán học người Pháp Augustin – Louis Cauchy (1789 – 1857), tức là bất đẳng thức Cauchy. Thật ra đây là một cách gọi tên không chính xác vì Cauchy không phải là người đề xuất ra bất đẳng thức này mà chỉ là người đưa ra một phép chứng minh đặc sắc cho nó. Tuy nhiên, để cho phù hợp với chương trình sách giáo khoa, trong tài liệu này chúng ta cũng sẽ gọi nó là Bất đẳng thức Cauchy (Côsi).
Đây là một bất đẳng thức cổ điển nổi tiếng và quen thuộc đối với phần lớn học sinh nước ta. Nó ứng dụng rất nhiều trong các câu về bất đẳng thức và cực trị.
Các dạng biểu diễn của bất đẳng thức Cauchy
Dạng tổng quát
+) Cho x1, x2, x3, …, xn là các số thực không âm ta có:
Dạng 1
Dạng 2
Dạng 3
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
Dạng 4
Cho x1, x2, x3, …, xn là các số thực dương ta có:
Dạng 5
Cho x1, x2, x3, …, xn là các số thực dương ta có:
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn
Một số dạng đặc biệt
Một số bất đẳng thức được suy ra từ bất đẳng thức Cauchy
; 
; 
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân
Đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thực chất đánh giá bất đẳng thức Cosi theo chiều từ phía trái sang phía phải. Trong chuỗi đánh giá, cái ta hay quên đó là cần phải được bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra mà ta hay gọi là bảo toàn “Điểm rơi”. Một thực tế cho thấy việc xác định điểm rơi cho một bất đẳng thức quyết định đến hơn nửa thành công cho công việc tìm lời giải.
Vậy chọn điểm rơi trong BĐT là gì? Ý tưởng chính của khái niệm chọn điểm rơi chính là việc xác định được dấu đẳng thức xảy ra khi nào để có thể sử dụng những đánh giá hợp lý.
Trong quá trình chứng minh các bất đẳng thức ta thường gặp sai lầm là áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy mà quên mất dấu đẳng thức xảy ra tại đâu và dẫn đến nhiều sai sót khi chứng minh. Dưới đây là một vài Câu cho phương pháp tìm điểm rơi được trình bày dưới dạng các sai lầm thường gặp và cả lời giải chính xác.
Phương pháp giải
Câu 1. Cho số thực a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của: 
Sai lầm thường gặp
.
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 2.
Nguyên nhân sai lầm
Giá trị nhỏ nhất của A là 2 
, điều này không xảy ra vì theo giả thiết thì a ≥ 2.
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức trên ta nhận thấy giá trị của a càng tăng thì A càng tăng, do đó ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a = 2. Khi đó ta nói A đạt giá trị nhỏ nhất tại “Điểm rơi a = 2”. Ta không thể áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số a và 
vì không thỏa mãn dấu đẳng thức xảy ra. Vì vậy ta phải tách a hoặc để khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy thì thỏa mãn dấu đẳng thức xảy ra. Giả sử ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho cặp số 
sao cho tại “Điểm rơi a = 2” thì 
, ta có sơ đồ sau:
Khi đó ta được:
và ta có lời giải như trên.
Lời giải đúng
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
Chú ý: Ngoài cách chọn cặp số ta có thể chọn các các cặp số sau: 
hoặc 
hoặc 
.
Câu 2. Cho số thực a ≥ 2. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Sơ đồ điểm rơi
Sai lầm thường gặp
Nguyên nhân sai lầm
Mặc dù giá trị nhỏ nhất của A bằng 
là đáp số đúng nhưng cách giải trên mắc sai lầm trong đánh giá mẫu số: 
là sai.
Lời giải đúng
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là .
Câu 3. Cho hai số thực dương a, b thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích
Dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = 
. Theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Khi đó ta có điểm rơi như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Do đó ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = . Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
.
Câu 4. Cho số thực a ≥ 6. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức 
.
Phân tích
Ta có: 
Dễ thấy a càng tăng thì A càng tăng.
Ta dự đoán A đạt giá trị nhỏ nhất khi a = 6. Ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 6. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 39
Câu 5. Cho 3 số thực dương a, b, c thỏa a + 2b + 3c ≥ 20. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích
Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi a + 2b + 3c = 20 và tại điểm rơi a = 2, b = 3, c = 4.
Sơ đồ điểm rơi
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 2, b = 3, c = 4. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 13.
Câu 6. Cho a, b, c là số thực dương thỏa mãn ab ≥ 12; bc ≥ 8. Chứng minh rằng:
Phân tích
Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt được khi ab = 12; bc = 8, tại điểm rơi a = 3; b = 4; c = 2. Khi đó ta được ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho từng nhóm sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3; b = 4; c = 2.
Câu 7. Cho a, b là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích
Do A là biểu thức đối xứng với a và b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b. Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là .
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
Phân tích
Do A là biểu thức đối xứng với a, b, c nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = c. Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c. Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
.
Câu 9. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích
Do A là biểu thức đối xứng với a, b nên ta dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 4.
Câu 10. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: 
Phân tích
Dự đoán giá trị nhỏ nhất của A đạt tại a = b = . Khi đó ta có sơ đồ điểm rơi:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy giá trị nhỏ nhất của A là 
.
Bình luận
Qua các Câu trên ta thấy, khi giải các Câu chứng minh bất đẳng thức thì các đánh giá trung gian phải được bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên việc xác định đúng vị trí điểm rơi xảy ra sẽ tránh cho ta sử dụng các đánh giá trung gian sai lầm.
Trong đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân, việc xác định điểm rơi đúng sẽ chỉ cho ta cách chọn các đánh giá hợp lí trong chuỗi các đánh giá mà ta cần phải sử dụng. Bây giờ ta đi tìm hiểu kỹ thuật đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân thông qua một số Câu sau.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho các số thực a, b, c bất kì. Chứng minh rằng:
(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8a2b2c2
Phân tích
Trước hết ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c.
Trong bất đẳng thức trên thì vế trái có các đại lượng a2 + b2; b2 + c2; c2 + a2 và vế phải chứa đại lượng 8a2b2c2.
Để ý ta nhận thấy 8a2b2c2 = 2ab⋅2bc⋅2ca, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân a2 + b2 ≥ 2ab; b2 + c2 ≥ 2bc; c2 + a2 ≥ 2ca.
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:
Ta có: 
Nhân vế theo vế của ba bất đẳng thức trên ta được:
(a2 + b2)(b2 + c2)(c2 + a2) ≥ 8|a2b2c2| = 8a2b2c2
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét
+) Chỉ được nhân các vế của bất đẳng thức cùng chiều (kết quả được bất đẳng thức cùng chiều) khi và chỉ khi các vế cùng không âm.
+) Để ý rằng ta sử dụng cách đánh giá khi chưa xác định được x, y âm hay dương.
+) Nói chung ta ít gặp Câu sử dụng ngay bất đẳng thức Cauchy như Câu nói trên mà phải qua một vài phép biến đổi đến tình huống thích hợp rồi mới sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Câu 2. Cho a, b là các số thực dương không âm tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b.
Trong bất đẳng thức trên, vế trái có đại lượng 
và vế phải có đại lượng 64ab(a + b)2.
Để ý ta nhận thấy khi a = b thì 
và (a + b)2 = 4ab, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến các đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho hai số a + b và 
.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng:
Ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b.
Câu 3. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn a + b ≤ 1. Chứng minh rằng: 
.
Phân tích
Do biểu thức vế trái có tính đối xứng với a, b nên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = .
Khi đó ta có: a2 + b2 = 2ab và 
.
Để ý đại lượng a2 + b2 nằm ở mẫu nên ta cần tìm cách thêm vào 2ab để tạo (a + b)2, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đến đánh giá
Như vậy lúc này bên vế trái còn lại 
, đến đây ta sử dụng cách ghép hai đại lượng nghịch đảo 
.
Như vậy lúc này ta thấy vế trái còn lại 
và ta cần chỉ ra được 
.
Điều này không thể làm khó ta được vì dễ nhận ra được 4ab ≤ (a + b)2 ≤ 1.
Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau:
Lời giải
Ta viết lại biểu thức vế trái thành:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số không âm ta có các đánh giá sau:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Hay: 
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = .
Ta tiếp tục vận dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân cho các Câu sau đây.
Câu 4. Cho số thực a bất kì. Chứng minh rằng: 
Phân tích
Ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là 
.
Để ý ta nhận thấy 
; 
, do đó ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân để chứng minh bất đẳng thức.
Ngoài ra, để ý ta cũng có thể viết 
, đến đây ghép cặp nghịch đảo để chứng minh bất đẳng thức.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 
, ta có:
Hay 
. Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a2 + 1 = 1 ⇔ a = 0.
Ta cũng có thể trình bày lời giải như sau: Biến đổi vế trái và áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 5. Cho a, b là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a > b. Chứng minh rằng: 
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế phải không chứa biến, nên khi áp dụng áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho vế trái ta cần phải khử hết các biến, như vậy ta cần phải có các đại lượng a – b; b, ngoài ra chiều bất đẳng thức gợi ý cho ta sử dụng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân. Để ý là a = b + a – b khi đó ta áp dụng đánh giá cho 3 số dương 
.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi
Câu 6. Cho các số thực dương a, b, c. Chứng minh rằng: 
Phân tích
Đây là bất đẳng thức Neibizt đã được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương. Tuy nhiên ở đây ta thử dùng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh xem sao.
+) Hướng 1:
Để ý đẳng thức xảy ra khi a = b = c nên khi đó có:
.
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số 
; 
khi đó ta được 
, áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Như vậy ta cần chứng minh được:
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá sai. Do đó ta không thể thực hiện chứng minh theo hướng thứ nhất được.
+) Hướng 2:
Để ý là 
, khi đó áp dụng tương tự được bất đẳng thức:
Hay 
.
Dễ dàng chỉ ra được:
Và chú ý ta lại thấy:
Đến đây ta có lời giải như sau:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Nhân theo vế hai bất đẳng thức trên ta được
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực không âm. Chứng minh rằng:
Phân tích
Dự đoán đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c, để đơn giản hóa bất đẳng thức ta có thể lũy thừa bậc 3 hai vế, khi đó ta được: 
hay
.
Quan sát bất đẳng thức ta chú ý đến đẳng thức:
(1 + a)(1 + b)(1 + c) = 1 + (a + b + c) + (ab + bc + ca) + abc
Như vậy bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được 
và 
, rõ ràng hai đánh giá trên đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay:
Hay:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
và 
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được điều phải chứng minh.
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 8. Cho a, b, c, d là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức được viết lại thành:
(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd
Dễ thấy đẳng thức không xảy ra tại a = b = c = d, do đó để dự đoán được dấu đẳng thức xảy ra tại đâu ta cần quan sát thật kỹ vai trò các biến trong bất đẳng thức.
Nhận thấy trong bất đẳng thức a và b, a + b và a + b + c và d có vai trò như nhau
Do đó ta dự đoán đẳng thức xảy ra khi a = b; a + b = c; a + b + c = d hay 4a = 4b = 2c = d, kiểm tra lại ta thấy kết quả đúng vậy.
Như vậy khi áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần chú ý bảo toán dấu đẳng thức. Trước hết ta có các đánh giá như sau:
; 
; 
Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được:
Tiếp tục áp dụng các đánh giá như trên ta được:
Đến đây ta thu được:
(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd
Chính là bất đẳng thức cần chứng minh.
Ngoài ra, để đơn giản hơn ta có thể thực hiện các đánh giá như:
(a + b)2 ≥ 4ab;
(a + b + c)2 ≥ 4c(a + b);
(a + b + c + d)2 ≥ 4d(a + b + c).
Đến đây ta nhân theo vế và thu gọn thì được:
(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd
Bây giờ ta trình bày lại lời giải như sau:
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd
Sử dụng liên tiếp bất đẳng thức Cauchy dạng (x + y)2 ≥ 4xy, ta có:
(a + b + c + d)2 ≥ 4d(a + b + c) ≥ 0;
(a + b + c)2 ≥ 4c(a + b) ≥ 0;
(a + b)2 ≥ 4ab ≥ 0.
Nhân ba bất đẳng thức trên lại theo vế, ta suy ra
(a + b)2(a + b + c)2(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd(a + b)(a + b + c)
Hay: (a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi d = 2c = 4b = 4a > 0.
Ngoài ra, ta cũng có thể trình bày lời giải như sau:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Nhân theo vế các bất đẳng thức ta được:
Tiếp tục áp dụng các đánh giá như trên ta được:
Đến đây ta thu được:
(a + b)(a + b + c)(a + b + c + d)2 ≥ 64abcd
Hay bất đẳng thức được chứng minh.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng cách đánh giá mẫu, ở đó ta chứng minh bất đẳng thức phụ a2 + b2 ≥ ab(a + b) bằng phép biến đổi tương đương. Trong Câu này ta sẽ chứng minh bất đẳng thức phụ trên bằng đánh giá từ trung bình cộng sang trung bình nhân.
Ta viết lại bất đẳng thức phụ trên thành a3 + b3 ≥ a2b + ab2, khi đó ta có các đánh giá là a3 + a3 + b3 ≥ 3a2b; a3 + b3 + b3 ≥ 3ab2. Đến đây cộng theo vế ta thu được bất đẳng thức trên. Đến đây ta trình bày lời giải như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
a3 + a3 + b3 ≥ 3a2b; a3 + b3 + b3 ≥ 3ab2
Cộng theo vế hai bất đẳng thức trên ta được:
a3 + b3 ≥ a2b + ab2
Suy ra: a3 + b3 + abc ≥ ab(a + b + c)
Từ đó ta được:
Chứng minh tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Nhận xét
Khi đi tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, cái làm khó ta chính là phải phát hiện ra bất đẳng thức phụ a2 + b2 ≥ ab(a + b). Trong quá trình đó đòi hỏi ta phải có sự phân tích kĩ càng và có những định hướng rõ ràng, còn trình bày chứng minh bất đẳng thức thì cách nào cũng được miễn là càng gọn càng tốt.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Vì vai trò các biến như nhau trong bất đẳng thức nên ta được dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c, khi đó ta được 
, do đó đẳng thức sẽ xảy ra tại a = b = c = 1.
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy vế trái của bất đẳng thức phức tạp hơn nên ta chọn đánh giá bên vế trái trước. Từ chiều bất đẳng thức ta cần phải thay các mẫu bởi các đại lượng bé hơn, tức là ta cần có đánh giá a6 + b4 ≥ ?, cho nên một cách tự nhiên ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy, khi đó ta có a6 + b4 ≥ 2a3b2, đánh giá này vẫn được bảo toàn dấu đẳng thức.
Lúc này ta được 
và áp dụng tương tự thì ta sẽ thu được:
Việc chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được 
, nhưng đây là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy. Do đó Câu được chứng minh.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số ta được:
Ta cần chứng minh được:
Thật vậy, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
; 
; 
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta thu được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Kỹ thuật chọn điểm rơi trong đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng
Phương pháp giải
Đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng chính là đánh giá bất đẳng thức Cauchy theo chiều từ phía phải sang phía trái. Trong chuỗi đánh giá đó ta cũng cần phải bảo toàn dấu đẳng thức xảy ra. Dưới đây là một số Câu sử dụng kỹ thuật đánh giá từ trung bình nhân sang trung bình cộng.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Sai lầm thường gặp
Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì?
Nguyên nhân sai lầm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2. Điều này trái với giả thiết.
Phân tích tìm lời giải
Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau
+) Đẳng thức xảy ra tại đâu?
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số nào?
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là a = b = c = 
, từ đó ta có a + b = b + c = c + a = 
.
Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc hai nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho hai số là a và ,…
Đến đây ta có lời giải đúng như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 
cho hai số không âm ta có:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn điều kiện a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Sai lầm thường gặp
Cách chứng minh trên hoàn toàn sai. Vậy nguyên nhân sai lầm ở đây là gì?
Nguyên nhân sai lầm
Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b = b + c = c + a = 1 ⇒ a + b + c = 2. Điều này trái với giả thiết.
Phân tích tìm lời giải
Để tìm lời giải cho bất đẳng thức trên, ta cần trả lời các câu hỏi sau
+) Đẳng thức xảy ra tại đâu?
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số, đó là những số?
Do vai trò của a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là a = b = c = , từ đó ta có a + b = b + c = c + a = .
Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là a, và ,…
Đến đây ta có lời giải đúng như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 
cho các số thực dương ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Do vai trò của các biến a, b, c trong các biểu thức là như nhau nên ta dự đoán điểm rơi của bất đẳng thức sẽ là a = b = c = 1, từ đó ta có a + 2b = b + 2c = c + 2a = 3 và 3a = 3b = 3c = 3.
Vì bất đẳng thức chứa các căn bậc ba nên để phá căn ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số là 3a, b + 2c và 3,…
Đến đây ta có lời giải như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng cho các số thực dương ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn 
. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến đánh giá 
.
Đầu tiên ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 
, khi đó ta có 2a = b + c và b = c nên ta có đánh giá như sau:
Áp dụng tương tự ta được:
Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng cho hai số dương. Ta có:
Tương tự ta có:
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trong chủ đề thứ hai ta đã chứng minh bất đẳng thức trên bằng phương pháp sử dụng tính chất của tỉ số, nhưng ở đó điều kiện của Câu cho a, b, c là các cạnh của một tam giác. Với Câu này ta không chứng minh được như vậy mà phải sử dụng các đánh giá khác. Quan sát bất đẳng thức ta thấy cần phải khử các căn bậc hai bên vế trái.
+) Cách thứ nhất là bình phương hai vế, tuy nhiên lúc đó bên vế trái vẫn còn chứa căn bậc hai, do đó ta không nên sử dụng cách này.
+) Cách thứ hai là sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 
, để ý đến chiều của bất đẳng thức nên ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các mẫu số. Từ đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến phép biến đổi 
và vì không cần quan tâm đến dấu đẳng thức xảy ra nên ta có đánh giá 
. Đến đây chỉ cần áp dụng tương tự cho hai căn thức còn lại là Câu được chứng minh.
Lời giải
Vì a là số thực dương nên ta có:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng ta được:
Chứng minh tương tự ta được:
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 0, điều này trái với giả thiết a, b, c là các số thực dương. Do vậy đẳng thức không xảy ra.
Tức là ta được:
Vậy Câu được chứng minh.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để ý đến giả thiết a + b + c = 3, ta thu được c = 3 – (a + b), khi đó ta có:
a2 + b2 + 6c = a2 + b2 + 6(3 – a – b) = (3 – a)2 + (3 – b)2
Lại cũng từ giả thiết trên ta có a + b = 3 – c. Khi đó:
Đến đây để đơn giản hóa ta đặt x = (3 – a)2 > 0; y = (3 – b)2 > 0; z = (3 – c)2 > 0, lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là 
, đây chính là bất đẳng thức ở Câu trên.
Lời giải
Từ giả thiết a + b + c = 3, ta có:
a2 + b2 + 6c = a2 + b2 + 6(3 – a – b) = (3 – a)2 + (3 – b)2
Do a, b, c là các số thực dương nên từ a + b + c = 3 ta suy ra 0 < a, b, c < 3.
Do đó ta được:
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Đặt x = (3 – a)2 > 0; y = (3 – b)2 > 0; z = (3 – c)2 > 0, lúc này bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại là:
Đến đây ta chứng minh tương tự như Câu trên.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Quan sát bất đẳng thức ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức , tuy nhiên nếu sử dụng ngay thì ta chỉ đánh giá cho các tử số được, như vậy dưới mẫu vẫn còn chứa căn thức. Cho nên để sử dụng được bất đẳng thức đó ta cần phải khử được các căn ở dưới mẫu trước, tuy nhiên việc này không thực hiện được. Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta thấy, chỉ cần đổi được chiều bất đẳng thức thì ta có thể sử dụng bất đẳng thức trên có các căn thức ở mẫu và việc khử các căn ở tử số cũng đơn giản hơn. Từ sự phân tích đó ta có thể làm như sau:
Lúc này áp dụng bất đẳng thức ta được 
, thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức cần phải chứng minh.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Áp dụng bất đẳng thức ta được:
; 
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét
Khi đánh giá một bất đẳng thức bằng bất đẳng thức Cauchy nếu bị ngược chiều thì ta có thể đổi chiều bất đẳng thức bằng cách nhân hai vế với −1 rồi cộng thêm hằng số để cả hai vế đều dương. Kỹ thuật sử dụng bất đẳng thức Cauchy như trên còn được gọi là kỹ thuật Cauchy ngược dấu, vấn đề này sẽ được bàn cụ thể hơn trong chủ đề “Kỹ thuật Cauchy ngược dấu”
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực không âm thỏa mãn ab + bc + ca > 0. Chứng minh rằng:
Phân tích
Đầu tiên ta thử với a = b = c thấy rằng dấu đẳng thức không xảy ra, nên ta dự đoán nó xảy ra tại một biến bằng 0, điều này càng có cơ sở khi Câu cho a, b, c không âm. Cho c nhận giá trị 0 và a = b thì dấu đẳng thức xảy ra. Như vậy ta chọn được điểm rơi của bất đẳng thức là a = b; c = 0 và các hoán vị. Cũng từ điều kiện ab + bc + ca > 0 ta thấy trong ba số có nhiều nhất một số bằng 0. Do đó khi đánh giá bất đẳng thức ta cần chú ý đến bảo toán dấu bằng.
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy a2 + bc + a(b + c) = (a + b)(a + c), như vậy nếu dưới mẫu có tích 
thì theo chiều bất đẳng thức cần phải chứng minh ta có ngay đánh giá:
Nhưng để có được điều này ta phải nhân cả tử và mẫu của mỗi phân số trong căn với tử số. Tuy nhiên vì cho các biến a, b, c không âm nên việc nhân thêm không thể thực hiện được. Trong tình huống này chú ý đến điểm rơi và nhận xét trong a, b, c có nhiều nhất một số bằng 0 ta có thể chia trường hợp để đánh giá bất đẳng thức.
+) Trường hợp trong ba số a, b, c có một số bằng 0 và ta giả sử là c, khi đó bất đẳng thức trở thành 
, bất đẳng thức này hiển nhiên đúng.
+) Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, lúc này thì việc nhân thêm không bị ảnh ảnh hưởng gì đến các đánh giá cả. Đến đây ta có đánh giá như sau:
Áp dụng tương tự ta được:
;
Lúc này ta được bất đẳng thức:
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:
Biến đổi tương đương bất đẳng thức trên ta thu được:
Đánh giá cuối cùng hiển nhiên đúng, ta trình bày lại lời giải như sau:
Lời giải
Vì các số a, b, c không âm và ab + bc + ca > 0 nên trong ba số a, b, c có nhiều nhất một số bằng 0. Ta xét các trường hợp sau:
+) Trường hợp trong ba số a, b, c có một số bằng không, khi đó không mất tính tổng quát ta giả sử c = 0, lúc này bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
+) Trường hợp cả ba số a, b, c đều dương, khi đó ta có:
Áp dụng tương tự ta được:
;
Lúc này ta được bất đẳng thức
Ta cần chứng minh được:
Biến đổi tương đương và thu gọn ta được:
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do 4abc > 0 và đẳng thức không xảy ra trong trường hợp này.
Vậy Câu được chứng minh xong.
Nhân xét
Trong chứng minh bất đẳng thức việc chia trường hợp để chứng minh gây ra nhiều khó khăn. Do đó nếu tìm được một cách giải mà không cần phải quan tâm đến việc xét các trường hợp thì sẽ tốt hơn nhiều. Với Câu trên ta thử tìm lời giải khác mà không phải chia trường hợp xem sao?
Cũng xuất phát từ nhận xét như trên nhưng mà khi tích nằm ở trên tử thì không ảnh hưởng gì cả. Do đó ta có đánh giá như sau:
Suy ra: 
Đến đây ta nhân cả hai vế với 
thì ta được:
Hay 
và công việc còn lại hoàn toàn như trên.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 6. Chứng minh rằng:
Phân tích
Đầu tiên ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 2, chú ý đến hằng đẳng thức b3 + 1 = (b + 1)(b2 – b + 1) và khi b = 2 thì b + 1 = b2 – b + 1 = 3 do đó ta có đánh giá sau:
Từ đây ta suy ra được 
, áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Ta cần phải chứng minh được 
, đến đây ta đánh giá trên tử số hay dưới mẫu đều được bất đẳng thức ngược chiều. Do đó một cách tự nhiên ta nghĩ đến tư tưởng Cauchy ngược dấu, tức là ta biến đổi có 
, chú ý đến đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 2 ta lại có:
Áp dụng tương tự ta được:
Mà theo một đánh giá quen thuộc ta có:
Đến lúc này ta có:
Đây chính là điều cần phải chứng minh. Ta trình bày lại lời giải như sau.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 
ta được:
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Ta cần phải chứng minh được:
Thật vậy, ta có , mà cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
Suy ra: 
Chứng minh tương tự ta được:
Mặt khác theo một đánh giá quen thuộc ta có:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 2.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để ý là:
Do đó theo bất đẳng thức Cauchy ta được. Do đó:
Lời giải
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy và kết hợp giả thiết, ta có:
Tương tự ta được:
;
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên, ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
Kỹ thuật ghép cặp trong bất đẳng thức Cauchy
Phương pháp giải
Trong nhiều Câu mà biểu thức ở hai vế tương đối phức tạp, việc chứng minh trực tiếp trở nên khó khăn thì ta có thể sử dụng kỹ thuật “Ghép cặp” để Câu trở nên đơn giản.
Ở các Câu bất đẳng thức, thông thường chúng ta hay gặp phải hai dạng toán sau:
Dạng 1: Chứng minh X + Y + Z ≥ A + B + C.
+) Ý tưởng 1: Nếu ta chứng minh được 
Sau đó tương tự hóa để chỉ ra Y + Z ≥ 2B; Z + X ≥ 2C (nhờ tính chất đối xứng của Câu).
Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có:
X + Y + Z ≥ A + B + C
+) Ý tưởng 2: Nếu ta chứng minh được 
Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ ≥ B2; ZX ≥ C2 (nhờ tính chất đối xứng của Câu).
Cộng ba bất đẳng thức trên lại theo vế rồi rút gọn cho 2, ta có ngay điều phải chứng minh.
Dạng 2: Chứng minh XYZ ≥ ABC với X, Y, Z ≥ 0
Ý tưởng: Nếu ta chứng minh được XY ≥ A2.
Sau đó tương tự hóa để chỉ ra YZ ≥ B2; ZX ≥ C2 (nhờ tính chất đối xứng của Câu). Sau đó nhân ba bất đẳng thức trên vế theo vế rồi lấy căn bậc hai, ta có:
Chú ý một số cách ghép đối xứng:
Phép cộng:
Phép nhân:
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Câu này có dạng X + Y + Z ≥ A + B + C, trong đó:
Để ý rằng hai biểu thức 
và 
là đối xứng với b (tức vai trò của a và c như nhau). Do đó sử dụng kỹ thuật ghép cặp ta sẽ thử chứng minh 
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
; 
Cộng vế với vế của 3 bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
abc ≥ (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c)
Phân tích
Nếu (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≤ 0 thì bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Ta xét trường hợp: (b + c – a)(c + a – b)(a + b – c) ≥ 0.
Để ý rằng bất đẳng thức này có dạng XYZ ≥ ABC, vì vậy sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng, ta chỉ cần chứng minh b2 ≥ (a + b – c)(b + c – a)
Lời giải
Bất đẳng thức có tính đối xứng giữa các biến, do đó không mất tính tổng quát ta giả sử a ≥ b ≥ c.
Khi đó: a + b – c ≥ 0 và a + c – b ≥ 0.
+) Nếu b + c – a < 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
+) Nếu b + c – a ≥ 0. Khi này ta có b + c – a; c + a – b; a + b – c là các số dương.
Sử dụng bất đẳng thức Côsi dạng (x + y)2 ≥ 4xy, suy ra:
Nhân theo vế các bất đẳng thức trên ta được điều cần chứng minh.
Câu được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét
Khi chưa xác định được các số không âm mà áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy thì sẽ dẫn đến sai lầm. Trong tình huống đó ta có thể chia nhỏ thành các trường hợp riêng để chứng minh Câu.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để ý là 
, áp dụng tương tự và cộng theo vế các bất đẳng thức thu được.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta được:
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Hay
Câu được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để ý là theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
và cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:
Áp dụng tương tự ta được:
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Do đó ta suy ra:
Ta cần chứng minh được:
Đánh giá cuối cùng là một đánh giá đúng theo bất đẳng thức Cauchy và giả thiết abc = 1.
Câu được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 5. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
Phân tích
Từ giả thiết ta nhận được (p – a); (p – b); (p – c) là các số dương và chú ý đến p – a + p – b = c.
Do đó ta nghĩ đến đánh giá:
Như vậy ta có thể chứng minh bất đẳng thức như sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Câu được giải quyết xong. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 6. Cho a, b, c là độ dài ba cạnh của một tam giác và p là nửa chu vi. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 1. Chứng minh rằng: 10a2 + 10b2 + c2 ≥ 4
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
10a2 + 10b2 + c2 ≥ 4(ab + bc + ca) = 4⋅1 = 4
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Nhận xét:
Đây là một lời giải ngắn gọn nhưng có vẻ hơi thiếu tự nhiên. Chúng ta sẽ thắc mắc tại sao lại tách được 10 = 8 + 2. Nếu tách cách khác, chẳng hạn 10 = 6 + 4 liệu có giải được không? Tất nhiên mọi cách tách khác đều không dẫn đến kết quả, và tách 10 = 8 + 2 cũng không phải là sự may mắn. Bây giờ ta sẽ tìm lí do việc tách 10 = 8 + 2 ở Câu trên.
Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò của a, b như nhau nên ta cần chia đều c ra thành hai phần và cũng lấy ra ka, kb để ghép cặp với 
. Tức là với 0 < k < 10. Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế 3 bất đẳng thức trên, ta có:
Lúc này ta cân bằng hệ số để làm xuất hiện giả thiết, tức là:
Ta chọn giá trị k = 8 . Khi đó ta có lời giải Câu như trên.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 5. Chứng minh rằng: 3a2 + 3b2 + c2 ≥ 10
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta có:
3a2 + 3b2 + c2 ≥ 2(ab + bc + ca) = 2⋅5 = 10
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = 1; c = 2
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab ≥ 12, bc ≥ 8. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta dự đoán được đẳng thức ra tại a = 3, b = 4, c = 2. Khi đó ta sẽ tách các đại lượng bên vế trái và áp dụng bất đẳng thức Cauchy, chú ý là quá trình ghép cặp phải đảm bảo dấu đẳng thức xảy ra. Với phân tích đó ta thực hiện ghép cặp như sau:
;
;
Cộng các kết quả trên ta được 
, khi này ta cần phải chứng minh được 
. Để ý là nếu bây giờ ta ghép cặp bốn đại lượng trên thì sẽ không bảo toàn dấu đẳng thức. Cho nên ta sẽ ghép cặp để triệt tiêu đại lượng 
trước, do đó ta có đánh giá 
. Cuối cùng bất đẳng thức sẽ được chứng minh nếu ta chỉ ra được chỉ ra được 
.
Thực hiện ghép cặp tương tự như các Câu trên ta có các đánh giá sau 
; 
, cộng theo vế hai đánh giá đó ta được điều phải chứng minh.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
; ;
;;
;
Cộng từng vế các bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3; b = 4; c = 2.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành:
Để ý bên vế phải ta viết được thành:
Do đó ta nghĩ đến bất đẳng thức Cauchy với các nhóm:
Lúc này ta được:
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được: 
hay 
Rõ ràng đánh giá cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải
Biến đổi tương đương bất đẳng thức ta được:
⇔
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta được:
;
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác, cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:
hay
Suy ra:
Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Kỹ thuật thêm bớt trong BĐT CôSi
Phương pháp giải
Nếu ở các kỹ thuật trên, ta được rèn luyện thói quen định hướng dựa vào bề ngoài của một Câu. Thì từ đây ta bắt đầu gặp những lớp bất đẳng thức phong phú hơn – những bất đẳng thức mà lời giải cho chúng luôn đòi hỏi một tầm nhìn bao quát cũng như sự đột phá ý tưởng. Kỹ thuật thêm bớt là một minh chứng rõ ràng nhất cho lối tư duy sử dụng những “yếu tố bên ngoài” trong việc giải quyết vấn đề.
Ngay từ đây chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với kỹ thuật này với những Câu mà cách đánh giá nó tương đối đa dạng.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức trên đã được chứng minh bằng phép biến đổi tương đương và cũng có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên bây giờ ta sẽ áp dụng ngay bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Câu. Dễ dàng nhận ra không thể sử dụng trực tiếp bất đẳng thức Cauchy cũng không thể sử dụng kỹ thuật ghép đối xứng để giải quyết Câu. Ta dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c. Bên vế trái xuất hiện các đại lượng 
và bên vế phải có đại lượng a + b + c, chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra ta nghĩ đến sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp sau 
Để sử dụng bất đẳng thức Cauchy cho các cặp trên, trước hết ta cần phải thêm vào vế trái một tổng a + b + c rồi mới tiến hành ghép theo cặp.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:
; 
; 
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
Câu được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Áp dụng ý tưởng như trên, tuy nhiên ở đây ta cần triệt tiêu b + c ở dưới mẫu nên ta thêm cho 
một số 
và chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c nên ta tìm được k = 4. Do đó ta có lời giải như sau.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta có:
;
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Suy ra:
Câu được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1 Chứng minh rằng:
Phân tích: Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy có thể chứng minh được Câu theo ý tưởng như trên, nhưng ta cần trả lời được các câu hỏi đặt ra là
+) Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho mấy số?
+) Các đại lượng được thêm vào có dạng như thế nào?
Để ý đến đại lượng 
ta thấy nên áp dụng bất đẳng thức cho ba số, khi đó đại lượng thêm vào cần triệt tiêu được tích (b + 1)(c + 1) ở dưới mẫu, do đó ta nghĩ đến các đại lượng kiểu 
với k là một số dương nào đó. Chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1, khi đó 
sẽ cho ta k = 4. Vì vậy ta có chứng minh sau:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Áp dụng tương tự ta được:
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức ta được:
Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy kết hợp với giả thiết abc = 1, ta lại có:
Suy ra:
Câu được chứng minh xong. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích:
Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1, khi đó ta chú ý đến đánh giá sau:
và áp dụng tương tự.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:
;
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
. Do đó:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 5. Cho a, b, c độ dài ba cạnh của một tam giác thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích:
Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1, khi đó ta chú ý đến đánh giá sau:
Và áp dụng tương tự.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương ta được:
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
Vậy Câu được chứng minh xong.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích
Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c, khi đó ta chú ý đến đánh giá:
Và áp dụng tương tự.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho ba số dương:
Từ đó suy ta:
Tương tự ta có:
;
Cộng theo vế ba bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Bất đẳng thức cần chứng minh có hình thức khác so với các Câu trên, tuy nhiên đẳng thức vẫn xảy ra tại a = b = c. Để ý hai đại lượng đầu ta sử dụng cách thêm – bớt như các Câu trên thì được:
;
Khi đó ta được:
Và ta cần phải chứng minh được:
Hay 
Đánh giá cuối cùng luôn đúng theo bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy cho các số dương ta được:
;
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích: Dự đoán đẳng thức xảy ra tại a = b = c, quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy bên trái có đại lượng 
và vế phải lại chứa 
, do đó để sử dụng bất đẳng thức Cauchy dạng 
ta cần làm xuất hiện đại lượng a2 – ab + b2, do đó ta để ý đến phép biến đổi:
Lúc này chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra ta có đánh giá:
Áp dụng hoàn toàn tương tự ta được:
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được một trong hai khả năng sau:
Để ý ta nhận thấy 
do đó khả năng thứ nhất luôn đúng.
Như vậy Câu được chứng minh.
Lời giải
Ta có:
Tương tự ta được:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
Suy ra :
Ta cần chứng minh được:
Hay
Bất đẳng thức cuối cũng chính là bất đẳng thức trong Câu 1.
Vậy Câu được chứng minh xong.
Nhận xét: Từ những Câu trên ta đã thấy được sự hiệu quả của kỹ thuật thêm – bớt trong chứng minh bất đẳng thức. Tuy nhiên không phải với bất đẳng thức nào cũng có thể làm được theo cách như trên, mà đôi khi ta cần phải thực hiện việc biến đổi tương bất đẳng thức trước rồi mới thực hiện thêm bớt. Dưới đây là một số Câu như vậy.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Nhận thấy ta chưa thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá ngay bất đẳng thức trên, do đó ta cần biến đổi bất đẳng thức thành 
, đến đây ta cũng chưa thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy. Bây giờ ta cần tìm cách loại đi các dấu trừ mới có thể áp dụng được, để ý đến 
lúc này ta có thể áp dụng được bất đẳng thức Cauchy.
Lời giải
Bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
Để ý rằng:
;
;
Vậy sau khi thêm bớt như vậy, ta đã quy Câu về chứng minh.
Mặt khác bất đẳng thức này hiển nhiên đúng vì
Phép chứng minh hoàn tất. Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Sử dụng kỹ thuật thêm bớt ta có bất đẳng thức tương đương với:
Vậy ta cần chứng minh:
Hay là:
Điều này hiển nhiên đúng vì theo bất đẳng thức Cauchy bộ ba số ta có:
Câu được giải quyết. Bất đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1
Câu 11. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≥ 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 1. Quan sát bất đẳng thức thì điều đầu tiên là sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức. Tuy nhiên ta xem có thể sử dụng bất đẳng thức Cauchy được không? Nhận thấy dưới các mẫu có chứa căn bậc hai và ta tìm cách khử căn trước.
Chú ý đến chiều bất đẳng thức ta có đánh giá 
, khi đó ta được 
, hoàn toàn tương tự ta được bất đẳng thức:
Ta cần chỉ ra được:
Để ý đến đánh giá 
, áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Đến đấy Câu được chứng minh xong.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được suy ra
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Ta cần chứng minh được:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:
;
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Câu 12. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c ≥ 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được suy ra 
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức:
Ta cần chứng minh được:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta lại có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Hay:
Chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:
Thật vậy, từ giả thiết ta có a2 + b2 + c2 ≥ 3
Và a2 + b2 + c2 ≥ ab + bc + ca
Do đó suy ra:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Câu 13. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trên sao cho vế phải là một số khác không, điều này làm ta nghĩ đến cộng vào hai vế của bất đẳng thức với một số dương nào đó?
Để ý ta thấy:
Khi đó để làm mất dấu từ ta cộng thêm 3 thì được 
, thực hiện tương tự ta được bất đẳng thức:
Đến đây ta áp dùng bất đẳng thức Cauchy thì được:
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được:
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
Đến đây ta biến đổi tương đương đổi tương đương thì được:
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
⇔ abc + a + b + c + 1 ≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + 1
⇔ abc(1 – abc) + a + b + c(1 – abc) ≥ 0
Bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng do abc ≤ 1. Đến đây ta trình bày lại lời giải như sau:
Lời giải
Để ý ta thấy:
Áp dụng tương tự ta được bất đẳng thức cần chứng minh là:
Bất đẳng thức trên tương đương với:
Hay
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
Phép chứng minh sẽ hoàn tất nếu ta chỉ ra được
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
Đến đây ta biến đổi tương đương đổi tương đương thì được
(a + 1)(b + 1)(c + 1) ≥ (ab + 1)(bc + 1)(ca + 1)
⇔ abc + a + b + c + 1 ≥ a2b2c2 + abc(a + b + c) + 1
⇔ abc(1 – abc) + a + b + c(1 – abc) ≥ 0
Theo bất đẳng thức Cauchy ta có 
suy ra abc ≤ 1.
Do vậy bất đẳng thức cuối cùng luôn đúng. Vậy Câu được chứng minh xong.
Nhận xét: Thông qua các Câu trên ta nhận thấy được hiệu quả của kỹ thuật thêm – bớt trong bất đẳng thức Cauchy.
+) Bất đẳng thức Cauchy có thể giúp ta loại bỏ các rào cản như các căn thức, các lũy thừa bậc cao,…
+) Kỹ thuật thêm – bớt có thể giúp ta đối xứng hóa bất đẳng thức cũng như các đánh giá hợp lí trong quá trình tìm lời giải.
+) Chú ý đến điểm rơi giúp ta bảo toàn dấu đẳng thức trong chuỗi đánh giá.
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu.
Phương pháp giải
Trong quá trình tìm lời giải cho một Câu bất đẳng thức, một sai lầm thường gặp đó là sau một loạt các đánh giá ta thu được một bất đẳng thức ngược chiều. Điều này làm không ít người cảm thấy nản lòng. Lúc này nếu ta bình tĩnh suy nghĩ một chút thì thấy với đánh giá ngược chiều bằng cách nào đó ta thêm vào trước một dấu âm thì lập tức đánh giá đó sẽ cùng chiều. Sử dụng ý tưởng tương tự như kỹ thuật thêm bớt, thậm chí có phần khéo léo hơn, kỹ thuật Cauchy ngược dấu đã chứng tỏ sự đột phá đơn giản nhưng đem lại hiệu quả bất ngờ đến ngạc nhiên khi giải quyết lớp bất đẳng thức hoán vị chặt và khó. Chúng ta sẽ bắt đầu làm quen với một số Câu sau.
Câu 1. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích:
Quan sát bất đẳng thức không ít bạn sẽ đánh giá a2 + 1 ≥ 2a, áp dụng tương tự khi đó ta được bất đẳng thức:
Tuy nhiên bất đẳng thức thu được lại bị ngược chiều. Đến đây chúng ta sẽ bị lúng túng trong cách giải. Ta vẫn phải đánh giá mẫu nhưng nếu có thể thêm được dấu âm trước đánh giá đó thì tốt biết mấy. Điều ta mong muốn sẽ được giải quyết bằng phép biến đổi sau đây:
Đến đây thì ta có thể đánh giá mẫu mà không sợ bị ngược chiều nữa.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Hoàn toàn tương tự ta có:
Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 2. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Phân tích
Nếu áp dụng bất đẳng thức Cauchy trực tiếp ta thu được:
Do đó ta sẽ áp dụng bất đẳng Cauchy theo ý tưởng như trên.
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Để ý là:
Do đó ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a + b + c = 1.
Nhận xét
Kỹ thuật Cauchy ngược dấu có thể hiểu là ta lấy nghịch đảo hai vế của một đánh giá theo bất đẳng thức Cauchy sau đó nhân hai vế với –1. Khi đó bất đẳng thức ban đầu sẽ không bị đổi chiều. Dưới đây là một số Câu tương tự.
Câu 3. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác theo một đánh giá quen thuộc:
Do đó ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng vế theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Câu được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mà theo một đánh giá quen thuộc ta có:
Do vậy ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Suy ra ta có:
Hoàn toàn tương tự ta có:
;
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác ta có theo một đánh giá quen thuộc ta được:
Và 
Do đó ta được:
Hay
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác ta lại có:
Do đó ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có;
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác ta có:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Suy ra ta có:
Do đó ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Do đó ta có:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 11. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4.
Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Áp dụng tương tự ta được:
Áp dụng tương tự ta được:
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Do vậy ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Câu 12. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Hoàn toàn tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Câu được giải quyết. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1
Câu 13. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn a + b + c + d = 4. Chứng minh rằng:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Hoàn toàn tương tự ta được:
; 
; 
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được
Mặt khác cũng theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Tương tự ta được:
Mà ta có:
Do đó ta được:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = d = 1.
Kỹ thuật đổi biến số
Phương pháp giải
Trong bất đẳng thức, có một quy luật chung, đó là “Trong một dạng cụ thể, thì những bất đẳng thức càng nhiều biến càng khó”. Điều này cũng đồng nghĩa với việc khẳng định “Câu sẽ trở nên đơn giản hơn nếu ta đưa được một bất đẳng thức nhiều biến về dạng ít biến hơn”. Kỹ thuật đổi biến chính là một công cụ hữu ích để thực hiện ý tưởng này.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Cho a, b là hai số thực khác 0. Chứng minh rằng:
Phân tích
Nhìn vào bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy hai hạng tử sau ở vế trái có vẻ như tạo ra được nghịch đảo của hạng tử thứ nhất. Vì vậy ta thử phân tích tổng hai hạng tử đó để xem kết quả có như dự đoán hay không.
Với kết quả như vậy ta có thể sử dụng cách đặt ẩn phụ để đưa bất đẳng thức cần chứng minh về bất đẳng thức đơn giản hơn.
Lời giải
Để ý rằng bất đẳng thức cần chứng minh có thể viết lại thành:
Đặt: 
ta có t ≥ 4.
Từ đó suy ra: 
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Bất đẳng thức cuối cùng đúng do t ≥ 4. Câu được giải quyết hoàn toàn.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = ±b.
Câu 2. Cho các số thực a, b, c > 2 thỏa mãn 
. Chứng minh rằng:
(a – 2)(b – 2)(c – 2) ≤ 1
Phân tích
Để triệt tiêu các dấu trừ trong bất đẳng thức cần chứng minh ta có thể đổi biến x = a – 2; y = b – 2; z = c – 2, khi đó giả thiết trở thành 
và ta cần chứng minh xyz ≤ 1. Đây là một bất đẳng thức có thể chứng minh bằng cách ghép cặp đối xứng. Tuy nhiên trong lời giải dưới đây ta chứng minh Câu bằng kỹ thuật đổi biến.
Lời giải
Đặt x = a – 2; y = b – 2; z = c – 2 với x, y, z là các số thực dương.
Câu quy về chứng minh xyz ≤ 1 với x, y, z > 0 thỏa mãn:
Đến đây ta đặt tiếp:
Khi đó ta có:
Tương tự ta được:
Do đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Sử dụng bất đẳng thức Cauchy, ta có:
Câu được giải quyết xong. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
m = n = p ⇔ a = b = c = 1 ⇔ x = y = z = 3.
Câu 3. Cho a, b, c là các số dương thỏa mãn abc = 1. Chứng minh rằng:
Phân tích
Giả thiết abc = 1 gợi ý cho ta cách đổi biến 
với x, y, z là các số thực dương.
Lời giải
Đặt với x, y, z là các số thực dương. Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Tương tự ta có:
Cộng ba bất đẳng thức này lại vế theo vế, ta được:
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 4. Cho a, b, c là các số thực thỏa mãn abc = 1. chứng minh rằng:
Phân tích
Ta nhận thấy sự tương tự của bất đẳng thức trên với bất đẳng thức
Do đó ý tưởng đầu tiên đó ta đặt x3 = a; y3 = b; z3 = c, khi này ta vẫn được xyz = 1 và khi đó ta viết lại được bất đẳng thức cần chứng minh:
Ngoài ra từ giả thiết abc = 1, ta có thể sử dụng các phép đổi như sau:
Lời giải
Đặt x3 = a; y3 = b; z3 = c, khi đó ta được xyz = 1.
Bất đẳng thức càn chứng minh trở thành:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
x3 + y3 = (x + y)(x2 + y2 – xy) ≥ xy(x + y)
Khi đó ta được:
Chứng minh tương tự ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 5. Cho a, b, c là các số thực dương bất kì. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta thấy vế phải chứa căn bậc ba. Do đó điều đầu tiên ta nghĩ đến là làm mất các căn bậc ba này và ta có hai ý tưởng đổi biến để làm mất căn bậc ba là
+) Đặt 
. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
+) Đặt abc = k3. Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta thử chứng minh Câu với các cách đổi biến trên như sau:
Lời giải
Đặt . Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Ta có:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta được:
Từ đó suy ra:
Mặt khác ta lại có:
Do đó ta được:
Chứng minh hoàn tất. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét
Ta cũng có thể chứng minh Câu trên theo cách sau
Với cách đặt abc = k3, khi đó tồn tại các số thực dương x, y, z sao cho:
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
Hay: 
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra khi a = b = c.
Câu 6. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn a + b + c = abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Ta viết lại giả thiết thành 
, điều này gợi ý cho ta các đặt biến phụ 
.
Khi đó giả thiết của Câu trở thành: xy + yz + zx = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Chú ý đến xy + yz + zx = 1 ta viết được:
Khi đó ta suy ra bất đẳng thức cần chứng minh là:
Đến đây ta sử dụng đánh giá Cauchy để giải quyết Câu.
Lời giải
Từ giả thiết a + b + c = abc suy ra
Đặt , Khi đó giả thiết của Câu trở thành xy + yz + zx = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành
Dễ thấy:
Tương tự ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Ta cần chứng minh:
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức ta được:
Như vậy bất đẳng thức ban đầu được chứng minh. Dấu đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 
.
Câu 7. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Để đơn giản hóa các đại lượng vế trái ta có thể đặt:
Khi đó ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh thành :
Đến đây ta áp dụng bất đẳng thức Cauchy để đánh giá tiếp.
Lời giải
Đặt x = 2a + 3b + 3c; y = 3a + 2b + 3c; z = 3a + 3b + 2c, khi đó ta được:
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Theo bất đẳng thức Cauchy ta chứng minh được:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 8. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
Khi đó bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
Hay 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Do đó ta được:
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
Câu được chứng minh xong.
Câu 9. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta chưa thấy có dấu hiệu đặt biến phụ, do đó ta cần phải biến đổi bất đẳng thức trước. Ở đây ta chọn biến đổi vế trái trước:
Quan sát biểu thức sau khi biến đổi ta thấy cần phải đánh giá 
về 
, điều này nghĩa là ta cần chứng minh được a3 + b3 ≥ k(a + b)3, chú ý đến dấu đẳng thức xảy ra ta tìm được k = 
.
Như vậy ta đi chứng minh a3 + b3 ≥ (a + b)3, đây là một đánh giá đúng và có thể chứng minh bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy.
Đến đây ta có thể đặt 
và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành 
.
Chú ý lúc này đẳng thức xảy ra tại x = y = z = 2 và ta sử dụng bất đẳng thức Cauchy để chứng minh Câu trên.
Lời giải
Bất đẳng thức được viết lại là:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Suy ra: 
Áp dụng tương tự ta có bất đẳng thức:
Ta cần chứng minh:
Đặt , bất đẳng thức trở thành:
Hay: 12 + x3 + y3 + z3 ≥ 6(x + y + z)
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
x3 + 8 + 8 ≥ 12x;
y3 + 8 + 8 ≥ 12y;
z3 + 8 + 8 ≥ 12z.
Suy ra: x3 + y3 + z3 + 48
≥ 12(x + y + z) = 6(x + y + z) + 6(x + y + z)
≥ 6(x + y + z) + 36
Hay 12 + x3 + y3 + z3 ≥ 6(x + y + z)
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 10. Cho a, b, c là các số thực dương tùy ý. Chứng minh rằng:
Phân tích
Cũng tương tự như Câu trên ta cần biến đổi bất đẳng thức trước khi đưa ra cách đổi biến. Trong Câu này ta chọn các biến đổi vế phải
Lúc này để ý ta thấy cả hai vế xuất hiện các đại lượng 
, lại để ý ta nhận thấy rằng 
.
Do đó ta có thể đặt 
, khi đó ta được xyz = 1 và bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Đến đây ta có lời giải sau
Lời giải
Đặt suy ra xyz = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được: 
Nên (x + y + z)2 ≥ 3(x + y + z)
Ta cũng có: 2(x + y + z)2 ≥ 3(xy + yz + zx)
Do đó ta được: (x + y + z)2 ≥3(xy + yz + zx) + 3(x + y + z)
Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 11. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn c = 8ab. Chứng minh rằng:
Phân tích
Quan sát bất đẳng thức ta nhận thấy sự khác biệt của giả thiết cũng như bất đẳng thức cần chứng minh so với các Câu ở trên. Từ bất đẳng thức cần chứng minh ta thấy vai trò của a, b như nhau. Do đó ta dự đoán dấu đẳng thức xảy ra tại a = b. Mặt khác ta thấy tử của biểu thức thứ hai và thứ ba có biến c, do đó nếu ta viết lại hai biểu thức đó như biểu thức thứ nhất thì dưới mẫu xuất hiện đại lượng 
, do đó rất tự nhiên ta nghĩ đẳng thức xảy ra tại 
, khi này ta viết lại giả thiết là 
. Đến đây ta thấy được cách đặt là 
và bất đẳng thức được viết lại thành:
Tuy nhiên từ hình thức của bất đẳng thức ta thấy tương tự bất đẳng thức quen thuộc:
Do đó ta chọn cách đặt 
để đưa Câu về dạng quen thuộc.
Lời giải
Đặt . Khi đó từ giả thiết ta được xyz = 1.
Bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
2x2 + y2 + 3 = x2 + y2 + x2 + 1 + 2 ≥ 2(xy + x + 1)
Do đó ta được:
Ta chứng minh:
theo các cách sau
Cách 1: Do xyz = 1, nên tồn tại các số dương x, y, z để
Khi đó ta có:
Cách 2: Do xyz = 1, nên ta được
Suy ra P ≤ 
. Vậy bất đẳng thức được chứng minh xong.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x = y = z = 1 hay a = b = ; c = 2.
Câu 13. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 2abc. Chứng minh rằng:
Phân tích
Dễ dàng dự đoán được đẳng thức xảy ra tại a = b = c = 
.
Giả thiết của Câu được viết lại thành 
Khi đó để đơn giản hóa giả thiết ta có thể đổi biến 
, khi này giả thiết mới là x + y + z = 2 với 0 < x, y, z < 2. Cũng từ cách đặt trên ta suy ra được 
, thay vào bất đẳng thức cần chứng minh thì được:
Đến đây ta có thể chứng minh bất đẳng thức bằng cách thêm bớt hoặc sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức.
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = 2abc suy ra
Đặt , khi đó ta có x + y + z = 2
Bất đẳng thức được viết lại là:
Hay 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Hay
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = .
Nhận xét
Ngoài cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy thì ta cũng có thể áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki dạng phân thức
Câu 14. Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn ab + bc + ca = 3abc. Chứng minh rằng:
Lời giải
Từ giả thiết ab + bc + ca = 3abc ta được 
Đặt . Khi đó ta được: x + y + z = 3.
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được:
Áp dụng tương tự ta được:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta được:
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta lại có:
Suy ra:
Do đó ta được:
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 1.
Câu 15. Cho a, b, c, d là các số thực dương thỏa mãn 
. Chứng minh rằng:
Phân tích
Trước hết ta đơn giản hóa giả thiết bằng cách đặt 
, khi này giả thiết được viết lại thành 
và bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Chú ý đến giả thiết ta viết lại bất đẳng thức cần chứng minh là:
Để ý theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Như vậy ta được:
Đến đây áp dụng tương tự ta được:
Lời giải
Đặt .
Khi đó ta được:
Bất đẳng thức cần chứng minh trở thành:
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta được
Áp dụng một bất đẳng thức Cauchy khác ta được
Tương tự ta có:
Cộng theo vế các bất đẳng thức trên ta có
Vậy bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c = 
.
Nhận xét:
Ta có thể sử dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki để chứng minh bất đẳng thức:
Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki ta được:
4(x2 + 3y2) = (1 + 1 + 1 + 1)(x2 + y2 + y2 + y2) ≥ (x + 3y)2
Do đó ta được:
Câu 17. Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng:
Phân tích:
Để ý là 
. Do đó ta đặt:
Lời giải
Vế trái bất đẳng thức cần chứng minh được viết lại thành:
Đặt: , suy ra xyz = 1.
Biểu thức P được viết lại thành:
Thật vậy, bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với:
(x + 2)(y + 2) + (y + 2)(z + 2) + (z + 2)(x + 2) ≤ (x + 2)(y + 2)(z + 2)
Triển khai và thu gọn ta được: xy + yz + xz ≥ 3
Đánh giá cuối cùng đúng theo bất đẳng thức Cauchy và xyz = 1.
Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Nhận xét
Ta có thể chứng minh Câu trên theo cách khác như sau
Biểu thức vế trái được viết lại là:
Đặt 
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có:
Do đó ta có:
Suy ra:
Do đó bất đẳng thức trên được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = b = c.
Câu 18. Cho a, b, c là các số thực dương không âm thỏa mãn a + b + c = 3. Chứng minh rằng:
Lời giải
Đặt 
. Từ giả thiết ta được x2 + y2 + z2 = 3
Khi này bất đẳng thức trở thành:
P = x3 + y3 + z3 – xyz ≤ 
Không mất tính tổng quát ta giả sử x ≥ y ≥ z. Khi đó ta có:
z2 ≤ xy; x2 + y2 = 3 – z2 ≤ 3
Do đó ta có:
x3 + y3 + z(z2 – xy) ≤ x3 + y3
Mặt khác theo bất đẳng thức Cauchy ta có:
Suy ra x3 + y3 ≤ nên ta được P ≤ . Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi:
x = 
; y = z = 0 và các hoán vị ⇔ a = 3; b = c = 0 và các hoán vị
Bất đẳng thức được chứng minh.
Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = 3; b = c = 0 và các hoán vị.
Nhận xét
Qua các Câu trên ta nhận thấy, đổi biến có một vai trò to lớn trong chứng minh bất đẳng thức, đổi biến có thể làm một bất đẳng thức trở nên đơn giản, đổi biến có thể đưa một bất đẳng thức hoán vị về bất đẳng thức đối xứng. Chúng ta cùng tham khảo thêm một số Câu khác sau đây để thấy được sự độc đáo của kỹ thuật đổi biến
Kỹ thuật thêm nghịch đảo
Phương pháp giải
Đây là một kỹ thuật mà nếu không nhắc và sử dụng sẽ là một thiếu sót rất lớn trong việc sử dụng và chứng minh bất đẳng thức Côsi.
Bài tập vận dụng
Câu 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của 
với x, y là các số dương thỏa mãn x + y = 1.
Lời giải
Ta đã làm bài tập này bằng Côsi nhưng ta cũng có thể làm như sau:
Dấu bằng xảy ra khi x + y = 1 và 3x2 = 2y2
Khi 
Câu 2. Cho x, y, z thoả mãn x2 + y2 + kz2 = M (k là hằng số dương; M là số không âm cho trước). Tìm GTLN của S = xy + yz + zx .
Phân tích và tìm lời giải
Do vai trò bình đẳng của x, y nên có thể dự đoán giá trị lớn nhất đạt được khi x = y và các thao tác đối với x và y là “giống nhau”.
Ta tách: x2 = mx2 + (1 – m)x2 và y2 = my2 + (1 – m)y2 (0 ≤ m ≤ 1) đồng thời “chia đều” 
cho cả x và y.
Áp dụng BĐT Côsi như sau:
Để xuất hiện biểu thức S = xy + yz + zx ta cần chọn m sao cho:
Khi đó cộng vế theo vế suy ra:
Vậy GTLN của
(x, y, z cùng dấu).
Áp dụng: Cho x, y, z thoả mãn 
. Tìm GTLN của S = xy + yz + zx.
Lời giải
Bước 1:
Chọn 
Bước 2:
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
Cộng vế theo vế các BĐT trên ta được:
Vậy Max S = 
khi
Áp dụng BĐT để giải phương trình và hệ phương trình
Câu 1. Giải phương trình
Lời giải
Điều kiện : x ≥ 0, y ≥ 1, z ≥ 2. Áp dụng bất đẳng thức Côsi cho hai số không âm ta có:
Suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi
Vậy phương trình có nghiệm (x, y, z) = (1; 2; 3)
Câu 2. Giải phương trình:
Lời giải
Điều kiện: –1 ≤ x ≤ 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi ta có:
Cộng (1), (2), (3) ta được:
Mặt khác, lại theo bất đẳng thức Côsi ta có:
Từ (4) và (5) suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi:
Vậy phương trình có nghiệm duy nhất x = 0.
Câu 3. Giải phương trình:
Lời giải
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Kết hợp (1) và (2) ta có:
x2 – x + 2 ≤ x + 1 ⇔ (x – 1)2 ≤ 0 ⇔ x = 1.
Thử lại ta có x = 1 là nghiệm duy nhất của phương trình
Câu 4. Giải hệ phương trình:
Lời giải
Điều kiện: x ≥ 1, y ≥ 1. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Tương tự: 
Cộng (1), (2) ta được:
Dấu “ = ” xảy ra khi và chỉ khi:
Thử lại thấy: x = y = 2 cũng thỏa mãn phương trình thứ nhất của hệ
Vậy hệ có nghiệm duy nhất (2;2)
Câu 5. Cho số nguyên n > 1. Giải hệ phương trình:
Lời giải
Từ hệ đã cho suy ra x1, x2, …, xn là cùng dấu. Giả sử xi > 0 với mọi i.
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
. Tương tự: xi ≥ 1 với mọi i.
Cộng n phương trình của hệ theo từng vế ta được:
Vì xi ≥ 1 nên 
với mọi i, suy ra:
Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = … = xn = 1
Câu 6. Giải hệ phương trình:
Lời giải
Rõ ràng hệ có nghiệm x = y = z = 0.
Với x, y, z ≠ 0, từ hệ đã cho suy ra x > 0, y > 0, z > 0. Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có:
Tương tự:
và 
Vậy: y ≤ x ≤ z ≤ y, suy ra x = y = z.
Thay y = x vào phương trình thứ nhất ta được:
Vậy hệ có hai nghiệm (x, y, z) = {(0; 0; 0); (1; 1; 1)}
Câu 7. Tìm số nguyên dương n và các số dương a1 = a2 = … = an thỏa các điều kiện:
Lời giải
Lấy (1) cộng (2) vế theo vế, ta được:
Áp dụng bất đẳng thức Côsi, ta có: 
với i = 1, 2, …, n
Suy ra 4 ≥ 2n hay n ≤ 2
Với n = 1 ⇒ hệ 
vô nghiệm;
Với n = 2 ⇒ hệ 
có nghiệm a1 = a2 = 1
Vậy: n = 2 và a1 = a2 = 1.
Bạn đang xem bài viết Bất đẳng thức cosi | Các dạng biểu diễn và kỹ thuật chứng minh xem thêm các bài viết khác về chủ đề Toán lớp 10. Chúc bạn 1 ngày vui vẻ!
