Toán lớp 10: Tổng hợp lý thuyết & các dạng bài tập đặc trưng mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Tổng hợp lý thuyết & các dạng bài tập đặc trưng. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Trong bài viết này Cấp Nước Lào Cai sẽ trình bày đến bạn định nghĩa, tính chất, biểu thức tọa độ và một số ứng dụng của tích vô hướng theo chương trình toán lớp 10. Từ đó vận dụng vào các dạng bài tập phổ biến như xác định biểu thức tích vô hướng, chứng minh đẳng thức vecto, tìm tập hợp điểm thỏa mãn hoặc xác định biểu thức tọa độ của điểm bất kỳ.

Tóm tắt

Lý thuyết tích vô hướng

Định nghĩa

Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ Tích vô hướng của $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là một số, kí hiệu là $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ được xác định bởi công thức sau:

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Trường hợp ít nhất một trong hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ bằng vectơ $\overrightarrow 0$ ta quy ước $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$

Chú ý

– Với $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow 0$ khác vectơ $\overrightarrow 0$ ta có $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a \bot \overrightarrow b$ .

– Khi $\overrightarrow a = \overrightarrow b$ tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow a$ được kí hiệu là $\overrightarrow {{a^2}}$ và số này được gọi là bình phương vô hướng của vectơ $\overrightarrow a$ .

Ta có:

$\overrightarrow {{a^2}} = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \cos 0^\circ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2}$

Các tính chất của tích vô hướng

Người ta chứng minh được các tính chất sau đây của tích vô hướng:

Với ba vectơ $\overrightarrow a ,\overrightarrow b ,\overrightarrow c$ bất kì và mọi số k ta có:

– $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a$ (tính chất giao hoán);

– $\overrightarrow a \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow c$ (tính chất phân phối);

– $\left( {k\overrightarrow a } \right) \cdot \overrightarrow b = k\left( {\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b } \right) = \overrightarrow a \cdot \left( {k\overrightarrow b } \right)$

– ${\overrightarrow a ^2} \geqslant 0,{\overrightarrow a ^2} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow a = 0$

Nhận xét. Từ các tính chất của tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra:

– ${\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$

– ${\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}\]\[{\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = {\overrightarrow a ^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + {\overrightarrow b ^2}$

– $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) = {\overrightarrow a ^2} - {\overrightarrow b ^2}$

Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Trên mặt phẳng tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$ , cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),{\text{ }}\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ . Khi đó tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ là:

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}$

Nhận xét. Hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),{\text{ }}\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ vuông góc với nhau khi và chỉ khi

${a_1}{b_1} + {a_2}{b_2} = 0$

Ứng dụng tích vô hướng

Độ dài của vectơ

Độ dài của vectơ $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right)$ được tính theo công thức:

$\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {a_1^2 + a_2^2}$

Góc giữa hai vectơ

Từ định nghĩa tích vô hướng của hai vectơ ta suy ra nếu $\overrightarrow a = \left( {{a_1};{a_2}} \right),{\text{ }}\overrightarrow b = \left( {{b_1};{b_2}} \right)$ đều khác $\overrightarrow 0$ thì ta có:

$\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{a_1}{b_1} + {a_2}{b_2}}}{{\sqrt {a_1^2 + a_2^2} \cdot \sqrt {b_1^2 + b_2^2} }}$

Khoảng cách giữa hai điểm

Khoảng cách giữa hai điểm A(x_A; y_A) và B(x_B; y_B) được tính theo công thức:

$AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}}$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Xác định biểu thức tích vô hướng, góc giữa hai vectơ

Phương pháp giải

– Dựa vào định nghĩa

$\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

– Sử dụng tính chất và các hằng đẳng thức của tích vô hướng của hai vectơ

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho tam giác ABC vuông tại A có AB = a, BC = 2a và G là trọng tâm.

a) Tính các tích vô hướng: $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} ;{\text{ }}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA}$

b) Tính giá trị của biểu thức: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB}$

c) Tính giá trị của biểu thức: $\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} \cdot \overrightarrow {GA}$

Hướng dẫn giải

a) Theo định nghĩa tích vô hướng ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 2{a^2}\cos \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Mặt khác: $\cos \left( {\overrightarrow {BA} ;\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \widehat {ABC} = \frac{a}{{2a}} = \frac{1}{2}$

Nên $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}$

Ta có:

$\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = - \left| {\overrightarrow {CB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \cos \widehat {ACB}$

Theo định lý Pitago ta có: $CA = \sqrt {{{\left( {2a} \right)}^2} - {a^2}} = a\sqrt 3$

Suy ra: $\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - a\sqrt 3 \cdot 2a \cdot \frac{{a\sqrt 3 }}{{2a}} = - 3{a^2}$

b) Cách 1: Vì tam giác ABC vuông tại A nên $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = 0$ và từ câu a ta có:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - {a^2};{\text{ }}\overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} = - 3{a^2}$

Suy ra: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} = - 4{a^2}$

Cách 2: Từ $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} = \overrightarrow 0$ và hằng đẳng thức

$\begin{gathered} {\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {CA} } \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ = A{B^2} + B{C^2} + C{A^2} + 2\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} } \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BC} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {AB} \hfill \\ \hfill \\ = - \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + B{C^2} + C{A^2}} \right) = - 4{a^2} \hfill \\ \end{gathered}$

c) Tương tự cách 2 của câu b) vì $\overrightarrow {GA} + \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GC} = \overrightarrow 0$ nên

$\begin{gathered} \overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} \cdot \overrightarrow {GA} \hfill \\ \hfill \\ = - \frac{1}{2}\left( {G{A^2} + G{B^2} + G{C^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CA, AB

Dễ thấy tam giác ABM đều nên $G{A^2} = {\left( {\frac{2}{3}AM} \right)^2} = \frac{{4{a^2}}}{9}$

Theo định lý Pitago ta có:

$\begin{gathered} G{B^2} = \frac{4}{9}B{N^2} = \frac{4}{9}\left( {A{B^2} + A{N^2}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{4}{9}\left( {{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \right) = \frac{{7{a^2}}}{9} \hfill \\ \hfill \\ G{C^2} = \frac{4}{9}C{P^2} = \frac{4}{9}\left( {A{C^2} + A{P^2}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{4}{9}\left( {3{a^2} + \frac{{{a^2}}}{4}} \right) = \frac{{13{a^2}}}{9} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra:

$\begin{gathered} \overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} + \overrightarrow {GB} \cdot \overrightarrow {GC} + \overrightarrow {GC} \cdot \overrightarrow {GA} \hfill \\ \hfill \\ = - \frac{1}{2}\left( {\frac{{4{a^2}}}{9} + \frac{{7{a^2}}}{9} + \frac{{13{a^2}}}{9}} \right) = - \frac{{4{a^2}}}{3} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Cho hình vuông ABCD cạnh a. M là trung điểm của AB, G là trọng tâm tam giác ADM. Tính giá trị các biểu thức sau:

a) $\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right)$

b) $\overrightarrow {CG} \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DM} } \right)$

Hướng dẫn giải

a) Theo quy tắc hình bình hành ta có:

$\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} = \overrightarrow {AC}$

Do đó:

$\begin{gathered} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = \left| {\overrightarrow {CA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {CB} } \right|\cos \widehat {ACB} \hfill \\ \end{gathered}$

Mặt khác $\widehat {ACB} = 45^\circ$ và theo định lý Pitago ta có:

$AC = \sqrt {{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 2$

Suy ra:

$\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BC} } \right) = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 45^\circ = {a^2}$

b) Vì G là trọng tâm tam giác ADM nên

$\overrightarrow {CG} = \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {CM}$

Mặt khác theo quy tắc hình bình hành và hệ thức trung điểm ta có $\overrightarrow {CA} = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)$ và

$\begin{gathered} \overrightarrow {CM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {CB} + \overrightarrow {CA} } \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = \frac{1}{2}\left[ {\overrightarrow {CB} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right)} \right] \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra:

$\begin{gathered} \overrightarrow {CG} = - \overrightarrow {AB} - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) - \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} = - \left( {\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ta lại có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DM} = - \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) + \overrightarrow {AM} - \overrightarrow {AD} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = - \left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Nên $\overrightarrow {CG} \left( {\overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DM} } \right)$

$\begin{gathered} = \left( {\frac{5}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{1}{2}\overrightarrow {AB} + 2\overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \frac{5}{4}A{B^2} + 4A{D^2} = \frac{{21{a^2}}}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 3. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. M là trung điểm của BC, D là chân đường phân giác trong góc A.

a) Tính $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ , rồi suy ra cosA.

b) Tính ${\overrightarrow {AM} ^2}$ và ${\overrightarrow {AD} ^2}$

Hướng dẫn giải

a) Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left[ {{{\overrightarrow {AB} }^2} + {{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\left( {\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} } \right)}^2}} \right] \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {A{B^2} + A{C^2} - C{B^2}} \right) \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Mặt khác:

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos A = cb\cos A$

Suy ra: $\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) = cb\cos A$ hay $\cos A = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{{2bc}}$

b) Vì M là trung điểm của BC nên $\overrightarrow {AM} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)$

Suy ra:

$\begin{gathered} {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}{\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{4}\left( {{{\overrightarrow {AB} }^2} + 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {{\overrightarrow {AC} }^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Theo câu a) ta có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right)$ nên

$\begin{gathered} {\overrightarrow {AM} ^2} = \frac{1}{4}\left[ {{c^2} + 2 \cdot \frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {b^2}} \right] \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{2\left( {{b^2} + {c^2}} \right) - {a^2}}}{4} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Theo tính chất đường phân giác thì $\frac{{BD}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{c}{b}$

Suy ra: $\overrightarrow {BD} = \frac{{BD}}{{DC}}\overrightarrow {DC} = \frac{c}{b}\overrightarrow {DC} {\text{ }}\left( * \right)$

Mặt khác: $\overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {DC} = \overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD}$ thay vào (*) ta được

$\begin{gathered} \overrightarrow {AD} - \overrightarrow {AB} = \frac{b}{c}\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {b + c} \right)\overrightarrow {AD} = b\overrightarrow {AB} + c\overrightarrow {AC} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {\left( {b\overrightarrow {AB} } \right)^2} + 2bc\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} + {\left( {c\overrightarrow {AC} } \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( {b + c} \right)^2}{\overrightarrow {AD} ^2} = {b^2}{c^2} + 2bc\frac{1}{2}\left( {{c^2} + {b^2} - {a^2}} \right) + {c^2}{b^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}\left( {b + c - a} \right)\left( {b + c + a} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Hay ${\overrightarrow {AD} ^2} = \frac{{4bc}}{{{{\left( {b + c} \right)}^2}}}p\left( {p - a} \right)$

Nhận xét: Từ câu b) suy ra độ dài đường phân giác kẻ từ đỉnh A là ${l_a} = \frac{{2\sqrt {bc} }}{{b + c}}\sqrt {p\left( {p - a} \right)}$

Dạng 2. Chứng minh các đẳng thức về tích vô hướng hoặc độ dài của đoạn thẳng

Phương pháp giải

– Nếu trong đẳng thức chứa bình phương độ dài của đoạn thẳng thì ta chuyển về vectơ nhờ đẳng thức $A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2}$

– Sử dụng các tính chất của tích vô hướng, các quy tắc phép toán vectơ

– Sử dụng hằng đẳng thức vectơ về tích vô hướng.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho I là trung điểm của đoạn thẳng AB và M là điểm tùy ý. Chứng minh rằng: $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = I{M^2} - I{A^2}$

Hướng dẫn giải

Đẳng thức cần chứng minh được viết lại là:

$\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {IM} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2}$

Để làm xuất hiện $\overrightarrow {IM} ,\overrightarrow {IA}$ ở VP, sử dụng quy tắc ba điểm để xen điểm I vào ta được:

$\begin{gathered} {\text{VT}} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = {\overrightarrow {IM} ^2} - {\overrightarrow {IA} ^2} = {\text{VP}}\left( {\rlap{--} Dpcm} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 2. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0{\text{ }}\left( * \right)$

Từ đó suy ra một cách chứng minh định lí: “Ba đường cao trong tam giác đồng qui”.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {AB} \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {DA} \left( {\overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DB} } \right) + \overrightarrow {DB} \left( {\overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DC} } \right) + \overrightarrow {DC} \left( {\overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DA} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DC} - \overrightarrow {DA} \cdot \overrightarrow {DB} + \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {DA} - \overrightarrow {DB} \cdot \overrightarrow {DC} \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DB} - \overrightarrow {DC} \cdot \overrightarrow {DA} \hfill \\ \hfill \\ = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Gọi H là giao của hai đường cao xuất phát từ đỉnh A, B.

Khi đó ta có: $\overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0,\overrightarrow {HC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

Từ đẳng thức (*) ta cho điểm D trùng với điểm H ta được:

$\overrightarrow {HA} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {HB} \cdot \overrightarrow {CA} + \overrightarrow {HC} \cdot \overrightarrow {AB} = 0{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) ta có $\overrightarrow {HB} \cdot \overrightarrow {CA} = 0$ suy ra BH vuông góc với AC

Hay ba đường cao trong tam giác đồng qui (đpcm).

Câu 3. Cho nửa đường tròn đường kính AB. Có AC và BD là hai dây thuộc nửa đường tròn cắt nhau tại E. Chứng minh rằng:

$\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BD} = A{B^2}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{VT}} = \overrightarrow {AE} \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BC} } \right) + \overrightarrow {BE} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AD} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì AB là đường kính nên $\widehat {ADB} = 90^\circ ,\widehat {ACB} = 90^\circ$

Suy ra: $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {BC} = 0,\overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {AD} = 0$

Do đó:

$\begin{gathered} {\text{VT}} = \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BE} \cdot \overrightarrow {BA} \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {EB} } \right) = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\text{VP }}\left( {\rlap{--} Dpcm} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Câu 4. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c và I là tâm đường tròn nội tiếp. Chứng minh rằng: aIA² + bIB² + cIC² = abc.

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {\left( {a\overrightarrow {IA} + b\overrightarrow {IB} + c\overrightarrow {IC} } \right)^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2} + 2ab\overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IB} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ + 2bc\overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {IC} + 2ca\overrightarrow {IC} \cdot \overrightarrow {IA} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2} + ab\left( {I{A^2} + I{B^2} - A{B^2}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ + bc\left( {I{B^2} + I{C^2} - BC} \right) + ca\left( {I{A^2} + I{C^2} - A{C^2}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left( {{a^2} + ab + ca} \right)I{A^2} + \left( {{b^2} + ba + bc} \right)I{B^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ + \left( {{c^2} + ca + cb} \right)I{C^2} - \left( {ab{c^2} + a{b^2}c + {a^2}bc} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left( {a + b + c} \right)\left( {{a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2}} \right) = \left( {a + b + c} \right)abc \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {a^2}I{A^2} + {b^2}I{B^2} + {c^2}I{C^2} = abc{\text{ }}\left( {\rlap{--} Dpcm} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Dạng 3. Tìm tập hợp điểm thoả mãn đẳng thức về tích vô hướng hoặc tích độ dài

Phương pháp giải

Ta sử dụng các kết quả cơ bản sau:

Cho A, B là các điểm cố định. M là điểm di động

– Nếu $\left| {\overrightarrow {AM} = k} \right|$ với k là số thực dương cho trước thì tập hợp các điểm M là đường tròn tâm A, bán kính R = k.

– Nếu $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0$ thì tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AB.

– Nếu $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow a = 0$ với $\overrightarrow a$ khác $\overrightarrow 0$ cho trước thì tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với giá của vectơ $\overrightarrow a$ .

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hai điểm A, B cố định có độ dài bằng a, vectơ $\overrightarrow a$ khác $\overrightarrow 0$ và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho:

a) $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4}$

b) $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = M{A^2}$

Hướng dẫn giải

a) Gọi I là trung điểm của AB ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \frac{{3{a^2}}}{4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) = \frac{{3{a^2}}}{4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow M{I^2} - I{A^2} = \frac{{3{a^2}}}{4}{\text{ }}\left( {{\text{do }}\overrightarrow {IB} = - \overrightarrow {IA} } \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{{{a^2}}}{4} + \frac{{3{a^2}}}{4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow MI = a \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính R = a.

b) Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = M{A^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = {\overrightarrow {MA} ^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \left( {\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {MB} } \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {BA} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {BA} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng vuông góc với đường thẳng AB tại A.

Câu 2. Cho tam giác ABC. Tìm tập hợp điểm M sao cho $\left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {CB} } \right)\overrightarrow {BC} = 0$

Hướng dẫn giải

Gọi I là điểm xác định bởi $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} = \overrightarrow 0$

Khi đó:

$\begin{gathered} \left( {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {CB} } \right)\overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right)} \right]\overrightarrow {BC} = 3B{C^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {BC} = B{C^2} \hfill \\ \end{gathered}$

Gọi M’, I’ lần lượt là hình chiếu của M, I lên đường thẳng BC

Theo công thức hình chiếu ta có:

$\overrightarrow {MI} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {M'I'} \cdot \overrightarrow {BC}$

Do đó: $\overrightarrow {M'I'} \cdot \overrightarrow {BC} = B{C^2}$

Vì BC² > 0 nên $\overrightarrow {M'I'} ,\overrightarrow {BC}$ cùng hướng suy ra

$\overrightarrow {M'I'} \cdot \overrightarrow {BC} = B{C^2} \Leftrightarrow M'I' \cdot BC = B{C^2} \Leftrightarrow M'I' = BC$

Do I cố định nên I’ cố định suy ra M’ cố định.

Vậy tập hợp điểm M là đường thẳng đi qua M’ và vuông góc với BC.

Câu 3. Cho hình vuông ABCD cạnh a và số thực k cho trước. Tìm tập hợp điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = k$ .

Hướng dẫn giải

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = M{I^2} + \overrightarrow {MI} \left( {\overrightarrow {IC} + \overrightarrow {IA} } \right) + \overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IC} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = M{I^2} + \overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IC} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Tương tự: $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = M{I^2} + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {ID}$

Nên $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MC} + \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MD} = k$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 2M{I^2} + \overrightarrow {IB} \cdot \overrightarrow {ID} + \overrightarrow {IA} \cdot \overrightarrow {IC} = k \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2M{I^2} + I{B^2} + I{A^2} = k \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + I{A^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{k}{2} + {a^2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow MI = \sqrt {\frac{k}{2} + {a^2}} = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}} \hfill \\ \end{gathered}$

Nếu k < –a²thì tập hợp điểm M là tập rỗng

Nếu k = –a² thì MI = 0 ⇔ M ≡ I suy ra tập hợp điểm M là điểm I

Nếu k > –a² thì $MI = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}}$

Suy ra tập hợp điểm M là đường tròn tâm I bán kính $R = \sqrt {\frac{{k + {a^2}}}{2}}$

Dạng 4. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng

Phương pháp giải

Cho $\overrightarrow a = \left( {{x_1};{y_1}} \right),\overrightarrow b = \left( {{x_2};{y_2}} \right)$ . Khi đó:

– Tích vô hướng hai vectơ là $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}$

– Góc của hai vectơ được xác định bởi công thức

$\cos \left( {\overrightarrow a ;\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{{x_1}{x_2} + {y_1}{y_2}}}{{\sqrt {x_1^2 + y_1^2} \cdot \sqrt {x_2^2 + y_2^2} }}$

Chú ý: $\overrightarrow a {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0 \Leftrightarrow {x_1}{x_2} + {y_1}{y_2} = 0$

Để xác định độ dài một vectơ đoạn thẳng ta sử dụng công thức

– Nếu $\overrightarrow a = \left( {x;y} \right)$ thì $\left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{x^2} + {y^2}}$

– Nếu A(x_A; y_A), B(x_B; y_B) thì $AB = \sqrt {{{\left( {{x_B} - {x_A}} \right)}^2} + {{\left( {{y_B} - {y_A}} \right)}^2}}$

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho tam giác ABC có A(1; 2), B(–2; 6), C(9; 8).

a) Chứng minh tam giác ABC vuông tại A.

b) Tính góc B của tam giác ABC

c) Xác định hình chiếu của A lên cạnh BC

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( { - 3;4} \right),\overrightarrow {AC} \left( {8;6} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - 3 \cdot 8 + 4 \cdot 6 = 0$

Do đó $\overrightarrow {AB} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {AC}$ hay tam giác ABC vuông tại A.

b) Ta có: $\overrightarrow {BC} \left( {11;2} \right),\overrightarrow {BA} \left( {3; - 4} \right)$

Suy ra:

$\begin{gathered} \cos B = \cos \left( {\overrightarrow {BC} ;\overrightarrow {BA} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{11 \cdot 3 + 2 \cdot \left( { - 4} \right)}}{{\sqrt {{{11}^2} + {2^2}} \cdot \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 4} \right)}^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt 5 }} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

c) Gọi H(x; y) là hình chiếu của A lên BC.

Ta có: $\overrightarrow {AH} \left( {x - 1;y - 2} \right)$ , $\overrightarrow {BH} \left( {x + 2;y - 6} \right)$ , $\overrightarrow {BC} \left( {11;2} \right)$

$\begin{gathered} AH{\text{ }} \bot {\text{ }}BC \Leftrightarrow \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 11\left( {x - 1} \right) + 2\left( {y - 2} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

Hay 11x + 2y – 15 = 0 (1)

Mặt khác: $\overrightarrow {BH} ,\overrightarrow {BC}$ cùng phương nên

$\frac{{x + 2}}{{11}} = \frac{{y - 6}}{2} \Leftrightarrow 2x - 11y + 70 = 0$ (2)

Từ (1) và (2) suy ra: $x = \frac{1}{5},y = \frac{{32}}{5}$

Vậy hình chiếu của A lên BC là $H\left( {\frac{1}{5};\frac{{32}}{5}} \right)$

Câu 2. Cho hình thoi ABCD có tâm I(1; 1), đỉnh A(3; 2) và đỉnh B nằm trên trục hoành. Tìm tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi.

Hướng dẫn giải

Vì B nằm trên trục hoành nên giả sử B(0; y)

Vì I là tâm hình thoi ABCD nên I là trung điểm của AC và BD

Suy ra: C = (2x_I – x_A; 2y_I – y_A) = (–1; 0),

D = (2x_I – x_B; 2y_I – y_B) = (2; 2 – y)

Do đó: AB = AD ⇔ AB² = AD²

⇔ 9 + (y – 2)² = 1 + y²

⇔ y = 3

Vậy B(0; 3), C(–1; 0), D(2; –1)

Câu 3. Cho ba điểm A(3; 4), B(2; 1) và C(–1; –2). Tìm điểm M trên đường thẳng BC để góc $\widehat {AMB} = 45^\circ$ .

Hướng dẫn giải

Giả sử M(x; y) suy ra $\overrightarrow {MA} \left( {3 - x;4 - y} \right)$ , $\overrightarrow {MB} \left( {2 - x;1 - y} \right)$ , $\overrightarrow {BC} \left( { - 3; - 3} \right)$

Vì $\widehat {AMB} = 45^\circ$ suy ra

$\begin{gathered} \left| {\cos \widehat {AMB}} \right| = \left| {\cos \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {BC} } \right)} \right| \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \cos 45^\circ = \frac{{\left| {\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {BC} } \right|}}{{\left| {\overrightarrow {MA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\sqrt 2 }}{2} = \frac{{\left| { - 3\left( {3 - x} \right) - 3\left( {4 - y} \right)} \right|}}{{\sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} \cdot \sqrt {9 + 9} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} = \left| {x + y - 7} \right|{\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Mặt khác M thuộc đường thẳng BC nên hai vectơ $\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {BC}$ cùng phương

Suy ra: $\frac{{2 - x}}{{ - 3}} = \frac{{1 - y}}{{ - 3}} \Leftrightarrow x = y + 1$ thế vào (*) ta được:

$\begin{gathered} \sqrt {{{\left( {2 - y} \right)}^2} + {{\left( {4 - y} \right)}^2}} = \left| {2y - 6} \right| \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {y^2} - 6y + 8 = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} y = 2 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

– Với y = 2 ⇒ x = 3, ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( {0;2} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - 1; - 1} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = \cos \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right) = - \frac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered}$

Khi đó: $\widehat {AMB} = 135^\circ$ (không thỏa mãn)

– Với y = 4 ⇒ x = 5, ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( { - 2;0} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - 3; - 3} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \cos \widehat {AMB} = \cos \left( {\overrightarrow {MA} ;\overrightarrow {MB} } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }} \hfill \\ \end{gathered}$

Khi đó: $\widehat {AMB} = 45^\circ$

Vậy M(5; 4) là điểm cần tìm.

Câu 4. Cho điểm A(2; 1). Lấy điểm B nằm trên trục hoành có hoành độ không âm sao và điểm C trên trục tung có tung độ dương sao cho tam giác ABC vuông tại A. Tìm toạ độ B, C để tam giác ABC có diện tích lớn nhất.

Hướng dẫn giải

Gọi B(b; 0), C(0; c) với b ≥ 0, c > 0.

Suy ra: $\overrightarrow {AB} \left( {b - 2; - 1} \right),\overrightarrow {AC} \left( { - 2;c - 1} \right)$

Theo giả thiết ta có tam giác ABC vuông tại A nên

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {b - 2} \right)\left( { - 2} \right) - 1\left( {c - 1} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow c = - 2b + 5 \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\begin{gathered} {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot AC \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {b - 2} \right)}^2} + 1} \cdot \sqrt {{2^2} + {{\left( {c - 1} \right)}^2}} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left( {b - 2} \right)^2} + 1 = {b^2} - 4b + 5 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì c > 0 nên –2b + 5 > 0 ⇒ 0 ≤ b < $\frac{5}{2}$

Xét hàm số y = x² – 4x + 5 với 0 ≤ x < $\frac{5}{2}$

Bảng biến thiên

Suy ra giá trị lớn nhất của hàm số y = x² – 4x + 5 với 0 ≤ x < $\frac{5}{2}$ là y = 5 khi x = 0.

Do đó diện tích tam giác ABC lớn nhất khi và chỉ khi b = 0, suy ra c = 5.

Vậy B(0; 0), C(0; 5) là điểm cần tìm.

Trắc nghiệm tích vô hướng

Câu 1. Cho $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng và đều khác vectơ $\overrightarrow 0$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$

B. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 0$

C. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1$

D. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Do $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ là hai vectơ cùng hướng nên $\left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 0^\circ \to \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 1$

Vậy $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$

⟹ Chọn A

Câu 2. Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khác $\overrightarrow 0$ . Xác định góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ khi $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$ .

A. α = 180°

B. α = 0°

C. α = 90°

D. α = 45°

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

Mà theo giả thiết $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|$ , suy ra $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - 1 \to \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$

⟹ Chọn A

Câu 3. Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thỏa mãn $\overrightarrow a = 3,\overrightarrow b = 2$ và $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 3$ . Xác định góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .

A. α = 30°

B. α = 45°

C. α = 60°

D. α = 120°

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right| \cdot \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right)$

$\begin{gathered} \to \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 3}}{{3 \cdot 2}} = - \frac{1}{2} \hfill \\ \hfill \\ \to \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 120^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 4. Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ thỏa mãn $\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1$ và hai vectơ $\overrightarrow u = \frac{2}{3}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b ,{\text{ }}\overrightarrow v = \overrightarrow a + \overrightarrow b$ vuông góc với nhau. Xác định góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .

A. α = 90°

B. α = 180°

C. α = 60°

D. α = 45°

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow u {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow v$

$\begin{gathered} \to \overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 0 \Leftrightarrow \left( {\frac{2}{3}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{2}{5}{\overrightarrow a ^2} - \frac{{13}}{5}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - 3{\overrightarrow b ^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \xrightarrow{{\left| {\overrightarrow a } \right| = \left| {\overrightarrow b } \right| = 1}}\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra:

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = - 1 \to \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 180^\circ$

⟹ Chọn B

Câu 5. Cho hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ . Đẳng thức nào sau đây sai?

A. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| - {{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$

B. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$

C. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$

D. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right)$

Hướng dẫn giải

Nhận thấy C và D chỉ khác nhau về hệ số $\frac{1}{2}$ và $\frac{1}{4}$ nên đáp án sai sẽ rơi vào C hoặc D.

Ta có:

$\begin{gathered} {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} - {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} - {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = 4\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \hfill \\ \hfill \\ \to \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{4}\left( {{{\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

– A đúng vì:

$\begin{gathered} {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} + 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \to \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right| - {{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

– B đúng vì:

$\begin{gathered} {\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|^2} = {\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)^2} = \left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right)\left( {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \overrightarrow a \cdot \overrightarrow a - \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b - \overrightarrow b \cdot \overrightarrow a + \overrightarrow b \cdot \overrightarrow b \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = {\left| {\overrightarrow a } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow b } \right|^2} - 2\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \to \overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = \frac{1}{2}\left( {{{\left| {\overrightarrow a } \right|}^2} + {{\left| {\overrightarrow b } \right|}^2} - {{\left| {\overrightarrow a - \overrightarrow b } \right|}^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 6. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ .

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2{a^2}$

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = - \frac{{{a^2}}}{2}$

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$ là góc $\widehat A$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ$

Do đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = a \cdot a \cdot \cos 60^\circ = \frac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 7. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC}$ .

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}$

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}\sqrt 3 }}{2}$

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}$

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat B$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 120^\circ$

Do đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = AB \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 8. Gọi G là trọng tâm tam giác đều ABC có cạnh bằng a. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

B. $\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = AB \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

C. $\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} = \frac{{{a^2}}}{6}$

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AG} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Dựa vào đáp án, ta có nhận xét sau:

– Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right)$ là góc $\widehat A$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = 60^\circ$

Do đó:

⟶ A đúng.

– Xác định được $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat C$ nên $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 120^\circ$

Do đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = AC \cdot CB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = a \cdot a \cdot \cos 120^\circ = - \frac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟶ B đúng.

– Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} } \right)$ là góc $\widehat {AGB}$ nên $\left( {\overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} } \right) = 120^\circ$

Do đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {GA} \cdot \overrightarrow {GB} = GA \cdot GB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {GA} ,\overrightarrow {GB} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{a}{{\sqrt 3 }} \cdot \frac{a}{{\sqrt 3 }} \cdot \cos 120^\circ = - \frac{{{a^2}}}{6} \hfill \\ \end{gathered}$

⟶ C sai.

– Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AG} } \right)$ là góc $\widehat {GAB}$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AG} } \right) = 30^\circ$

Do đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AG} = AB \cdot AG \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AG} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = a \cdot \frac{a}{{\sqrt 3 }} \cdot \cos 30^\circ = \frac{{{a^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟶ D đúng.

⟹ Chọn C

Câu 9. Cho tam giác đều ABC có cạnh bằng a và chiều cao AH. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0$

B. $\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {HA} } \right) = 150^\circ$

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

D. $\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CB} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat A$ nên $\left( {\overrightarrow {AC} ,\overrightarrow {CB} } \right) = 120^\circ$

Do đó:

⟹ Chọn D

Câu 10. Cho tam giác ABC vuông cân tại A và có AB = AC = a. Tính $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC}$ .

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - {a^2}$

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = {a^2}$

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - \frac{{{a^2}}}{2}$

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Xác định được góc $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ là góc ngoài của góc $\widehat B$ nên $\left( {\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} } \right) = 135^\circ$

Do đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = AB \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \cos 135^\circ = - {a^2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 11. Cho tam giác ABC vuông tại A và có AB = c, AC = b. Tính $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC}$ .

A. $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {b^2}$

B. $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {c^2}$

C. $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {b^2} + {c^2}$

D. $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = {b^2} - {c^2}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = BA \cdot BC \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = BA \cdot BC \cdot \cos \widehat B \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = c \cdot \sqrt {{b^2} + {c^2}} \cdot \frac{c}{{\sqrt {{b^2} + {c^2}} }} = {c^2} \hfill \\ \end{gathered}$

Cách khác.

Tam giác ABC vuông tại A suy ra $AB{\text{ }} \bot {\text{ }}AC \Rightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0$

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = \overrightarrow {BA} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = {\overrightarrow {BA} ^2} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AC} = A{B^2} = {c^2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 12. Cho tam giác ABC có AB = 2cm, BC = 3cm, CA = 5 cm. Tính $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB}$ .

A. $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB}$ = 13

B. $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB}$ = 15

C. $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB}$ = 17

D. $\overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB}$ = 19

Hướng dẫn giải

Ta có: AB + BC = CA ⇒ ba điểm A, B, C thẳng hàng và B nằm giữa A, C.

Khi đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = CA \cdot CB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CB} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = 3 \cdot 5 \cdot \cos 0^\circ = 15 \hfill \\ \end{gathered}$

Cách khác.

Ta có:

$\begin{gathered} A{B^2} = {\overrightarrow {AB} ^2} = {\left( {\overrightarrow {CB} - \overrightarrow {CA} } \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = C{B^2} - 2\overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} + C{A^2} \hfill \\ \to \overrightarrow {CB} \cdot \overrightarrow {CA} = \frac{1}{2}\left( {C{B^2} + C{A^2} - A{B^2}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{1}{2}\left( {{3^2} + {5^2} - {2^2}} \right) = 15 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 13. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Tính ${\text{P}} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC}$ .

A. ${\text{P}} = {b^2} - {c^2}$

B. ${\text{P}} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}$

C. ${\text{P}} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}$

D. ${\text{P}} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{P }} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) = {\overrightarrow {AC} ^2} - {\overrightarrow {AB} ^2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = A{C^2} - A{B^2} = {b^2} - {c^2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 14. Cho tam giác ABC có BC = a, CA = b, AB = c. Gọi M là trung điểm cạnh BC. Tính $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC}$ .

A. $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2}$

B. $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2}}}{2}$

C. $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} + {a^2}}}{3}$

D. $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{{{c^2} + {b^2} - {a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Vì M là trung điểm của BC suy ra $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AM}$

Khi đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BC} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\overrightarrow {BC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AC} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {AB} } \right)\left( {\overrightarrow {AC} - \overrightarrow {AB} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {{{\overrightarrow {AC} }^2} - {{\overrightarrow {AB} }^2}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}\left( {A{C^2} - A{B^2}} \right) = \frac{{{b^2} - {c^2}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 15. Cho ba điểm O, A, B không thẳng hàng. Điều kiện cần và đủ để tích vô hướng $\left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\overrightarrow {AB} = 0$ là

A. Tam giác OAB đều

B. Tam giác OAB cân tại O

C. Tam giác OAB vuông tại O

D. Tam giác OAB vuông cân tại O

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\overrightarrow {AB} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {\overrightarrow {OA} + \overrightarrow {OB} } \right)\left( {\overrightarrow {OB} - \overrightarrow {OA} } \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\overrightarrow {OB} ^2} - {\overrightarrow {OA} ^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow O{B^2} - O{A^2} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow OB = OA \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 16. Cho M, N, P, Q là bốn điểm tùy ý. Trong các hệ thức sau, hệ thức nào sai?

A. $\overrightarrow {MN} \left( {\overrightarrow {NP} + \overrightarrow {PQ} } \right) = \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {NP} + \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {PQ}$

B. $\overrightarrow {MP} \cdot \overrightarrow {MN} = - \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MP}$

C. $\overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {PQ} = \overrightarrow {PQ} \cdot \overrightarrow {MN}$

D. $\left( {\overrightarrow {MN} - \overrightarrow {PQ} } \right)\left( {\overrightarrow {MN} + \overrightarrow {PQ} } \right) = M{N^2} - P{Q^2}$

Hướng dẫn giải

Đáp án A đúng theo tính chất phân phối

Đáp án B sai. Sửa lại cho đúng $\overrightarrow {MP} \cdot \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {MN} \cdot \overrightarrow {MP}$

Đáp án C đúng theo tính chất giao hoán

Đáp án D đúng theo tính chất phân phối

⟹ Chọn B

Câu 17. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = {a^2}$

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = {a^2}\sqrt 2$

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}{a^2}$

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \frac{{{a^2}}}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \widehat {BAC} = 45^\circ$ nên

$\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = AB \cdot AC \cdot \cos 45^\circ = a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = {a^2}$

⟹ Chọn A

Câu 18. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính:

${\text{P}} = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right)$

A. P = –1

B. P = 3a²

C. P = –3a²

D. P = 2a²

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra $AC = a\sqrt 2$

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{P }} = \overrightarrow {AC} \left( {\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {CA} } \right) = \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CD} + \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {CA} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CD} - {\overrightarrow {AC} ^2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - CA \cdot CD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {CA} ,\overrightarrow {CD} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - a\sqrt 2 \cdot a \cdot \cos 45^\circ - {\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = - 3{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 19. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Tính:

${\text{P}} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right)\left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} } \right)$

A. P = $2\sqrt 2$ a

B. P = 2a²

C. P = a²

D. P = –2a²

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} BD = a\sqrt 2 \hfill \\ \overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BA} = \left( {\overrightarrow {BC} + \overrightarrow {BA} } \right) + \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {BD} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {BD} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Khi đó:

$\begin{gathered} {\text{P }} = \left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AC} } \right) \cdot 2\overrightarrow {BD} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = 2\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} + 2\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BD} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - 2\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BD} + 0 \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - 2BA \cdot BD \cdot \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BD} } \right) \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = - 2a \cdot a\sqrt 2 \cdot \frac{{\sqrt 2 }}{2} = - 2{a^2} \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 20. Cho hình vuông ABCD cạnh a. Gọi E là điểm đối xứng của D qua C. Tính $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB}$ .

A. $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 2{a^2}$

B. $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \sqrt 3 {a^2}$

C. $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \sqrt 5 {a^2}$

D. $\overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = 5{a^2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: C là trung điểm của DE nên DE = 2a.

Khi đó:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AE} \cdot \overrightarrow {AB} = \left( {\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DE} } \right) \cdot \overrightarrow {AB} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} = \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {DE} \cdot \overrightarrow {AB} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} = 0 + DE \cdot AB \cdot \cos \left( {\overrightarrow {DE} ,\overrightarrow {AB} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} = DE \cdot AB \cdot \cos 0^\circ = 2{a^2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 21. Cho hình vuông ABCD cạnh bằng 2. Điểm M nằm trên đoạn thẳng AC sao cho $AM = \frac{{AC}}{4}$ . Gọi N là trung điểm của đoạn thẳng DC. Tính $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN}$ .

A. $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN}$ = –4

B. $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN}$ = 0

C. $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN}$ = 4

D. $\overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN}$ = 16

Hướng dẫn giải

Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow {MB} ,\overrightarrow {MN}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

$\begin{gathered} \overrightarrow {MB} = \overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) = \frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AM} = \overrightarrow {AD} + \overrightarrow {DN} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {DC} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MN} = \left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AB} - \frac{1}{4}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\frac{3}{4}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{4}\overrightarrow {AB} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{{16}}\left( {3\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AD} + 3{{\overrightarrow {AB} }^2} - 3{{\overrightarrow {AD} }^2} - \overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{{16}}\left( {0 + 3{a^2} - 3{a^2} - 0} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 22. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = 8, AD = 5. Tích $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD}$ .

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD}$ = 62

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD}$ = 64

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD}$ = –62

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD}$ = –64

Hướng dẫn giải

Giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BD}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BD} = \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {BA} + \overrightarrow {BC} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AB} + 0 \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = - A{B^2} = - 64 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 23. Cho hình thoi ABCD có AC = 8 và BD = 6. Tính $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ .

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 24

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 26

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 28

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 32

Hướng dẫn giải

Gọi O = AC ∩ BD, giả thiết không cho góc, ta phân tích các vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ theo các vectơ có giá vuông góc với nhau.

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {AO} + \overrightarrow {OB} } \right)\overrightarrow {AC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} = \overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {AC} + \overrightarrow {OB} \cdot \overrightarrow {AC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {AC} + 0 = \frac{1}{2}A{C^2} = 32 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 24. Cho hình bình hành ABCD có AB = 8cm, AD = 12cm, góc $\widehat {ABC}$ nhọn và diện tích bằng 54cm². Tính $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right)$ .

A. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{2\sqrt 7 }}{{16}}$

B. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{{2\sqrt 7 }}{{16}}$

C. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}$

D. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = - \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: S_ABCD = 2⋅S_ABC = 54 ⇔ S_ABC = 27cm²

Diện tích tam giác ABC là:

$\begin{gathered} {S_{\Delta ABC}} = \frac{1}{2}AB \cdot BC \cdot \sin \widehat {ABC} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{\begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{1}{2}AB \cdot AD \cdot \sin \widehat {ABC} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \sin \widehat {ABC} = \frac{{2{S_{\Delta ABC}}}}{{AB \cdot AD}} = \frac{{2 \cdot 27}}{{8 \cdot 12}} = \frac{9}{{16}} \hfill \\ \hfill \\ \to \cos \widehat {ABC} = \sqrt {1 - {{\sin }^2}\widehat {ABC}} = \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}} \hfill \\ \end{gathered}$

(Vì $\widehat {ABC}$ nhọn)

Mặt khác góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ là góc ngoài của góc $\widehat {ABC}$

Suy ra:

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \cos \left( {180 - \widehat {ABC}} \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&\begin{gathered} = - \cos \widehat {ABC} = - \frac{{5\sqrt 7 }}{{16}} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 25. Cho hình chữ nhật ABCD có AB = a và AD = $a\sqrt 2$ . Gọi K là trung điểm của cạnh AD. Tính $\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC}$ .

A. $\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 0

B. $\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC}$ = $- a\sqrt 2$

C. $\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC}$ = ${a^2}\sqrt 2$

D. $\overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 2a²

Hướng dẫn giải

Ta có:

$AC = BD = \sqrt {A{B^2} + A{D^2}} = \sqrt {2{a^2} + {a^2}} = a\sqrt 3$

Ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BK} = \overrightarrow {BA} + \overrightarrow {AK} = \overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \hfill \\ \overrightarrow {AC} = \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \to \overrightarrow {BK} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( {\overrightarrow {BA} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} } \right)\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {AD} } \right) \hfill \\ \hfill \\ = \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AB} + \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AB} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} \cdot \overrightarrow {AD} \hfill \\ \hfill \\ = - {a^2} + 0 + 0 + \frac{1}{2}{\left( {a\sqrt 2 } \right)^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 26. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {MA} \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 0$ là?

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm BC

$\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 2\overrightarrow {MI}$

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \left( {\overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot 2\overrightarrow {MI} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MI} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MA} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {MI} \hfill \\ \end{gathered}$

Biểu thức (*) chứng tỏ MA ⊥ MI hay M nhìn đoạn AI dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính AI.

⟹ Chọn D

Câu 27. Tìm tập các hợp điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {MB} \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 0$ với A, B, C là ba đỉnh của tam giác.

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Hướng dẫn giải

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC

$\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG}$

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MB} \left( {\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} } \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} \cdot 3\overrightarrow {MG} = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} \cdot \overrightarrow {MG} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {MB} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {MG} {\text{ }}\left( * \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Biểu thức (*) chứng tỏ MB ⊥ MG hay M nhìn đoạn BG dưới một góc vuông nên tập hợp các điểm M là đường tròn đường kính BG.

⟹ Chọn D

Câu 28. Cho tam giác ABC. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0$ là?

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \Leftrightarrow MA{\text{ }} \bot {\text{ }}BC$

Vậy tập hợp các điểm M là đường thẳng đi qua A và vuông góc với BC.

⟹ Chọn B

Câu 29. Cho hai điểm A B, cố định có khoảng cách bằng a. Tập hợp các điểm N thỏa mãn $\overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {AB} = 2{a^2}$ là?

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Hướng dẫn giải

Gọi C là điểm đối xứng của A qua B.

Khi đó: $\overrightarrow {AC} = 2\overrightarrow {AB}$

Suy ra: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 2{\overrightarrow {AB} ^2} = 2{a^2}$

Kết hợp với giả thiết, ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AN} \cdot \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \left( {\overrightarrow {AN} - \overrightarrow {AC} } \right) = 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CN} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow CN{\text{ }} \bot {\text{ }}AB \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy tập hợp các điểm N là đường thẳng qua C và vuông góc với AB.

⟹ Chọn B

Câu 30. Cho hai điểm A, B cố định và AB = 8. Tập hợp các điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = - 16$ là?

A. Một điểm

B. Đường thẳng

C. Đoạn thẳng

D. Đường tròn

Hướng dẫn giải

Gọi I là trung điểm của đoạn thẳng AB $\to \overrightarrow {IA} = - \overrightarrow {IB}$

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&{ = \left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right)\left( {\overrightarrow {MI} - \overrightarrow {IA} } \right)} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&{ = {{\overrightarrow {MI} }^2} - {{\overrightarrow {IA} }^2} = M{I^2} - I{A^2}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&\begin{gathered} = M{I^2} - \frac{{A{B^2}}}{4} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Theo giả thiết, ta có:

$\begin{gathered} M{I^2} - \frac{{A{B^2}}}{4} = - 16 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow M{I^2} = \frac{{A{B^2}}}{4} - 16 = \frac{{{8^2}}}{4} - 16 = 0 \to M \equiv I \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 31. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(3; –1), B(2; 10), C(–4; 2). Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ .

A. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 40

B. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = –40

C. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = 26

D. $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC}$ = –26

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;11} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 7;3} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 7} \right) + 11 \cdot 3 = 40$

⟹ Chọn A

Câu 32. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(3; –1) và B(2; 10). Tính tích vô hướng $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {OB}$ .

A. $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {OB}$ = –4

B. $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {OB}$ = 0

C. $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {OB}$ = 4

D. $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {OB}$ = 16

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AO} = \left( { - 3;1} \right),\overrightarrow {OB} = \left( {2;10} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {AO} \cdot \overrightarrow {OB} = - 3 \cdot 2 + 1 \cdot 10 = 4$

⟹ Chọn C

Câu 33. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = 4\overrightarrow i + 6\overrightarrow j$ và $\overrightarrow b = 3\overrightarrow i - 7\overrightarrow j$ . Tính tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ .

A. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ = –30

B. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ = 3

C. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ = 30

D. $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b$ = 43

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra $\overrightarrow a = \left( {4;6} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {3; - 7} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b = 4 \cdot 3 + 6 \cdot \left( { - 7} \right) = - 30$

⟹ Chọn A

Câu 34. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 3;2} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( { - 1; - 7} \right)$ . Tìm tọa độ vectơ $\overrightarrow c$ biết $\overrightarrow c \cdot \overrightarrow a = 9$ và $\overrightarrow c \cdot \overrightarrow b = - 20$ .

A. $\overrightarrow c$ = (–1; –3)

B. $\overrightarrow c$ = (–1; 3)

C. $\overrightarrow c$ = (1; –3)

D. $\overrightarrow c$ = (1; 3)

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow c = \left( {x;y} \right)$

Ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow c \cdot \overrightarrow a = 9 \hfill \\ \overrightarrow c \cdot \overrightarrow b = - 20 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 3x + 2y = 9 \hfill \\ - x - 7y = - 20 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 1 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \to \overrightarrow c = \left( { - 1;3} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 35. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( {1;2} \right),\overrightarrow b = \left( {4;3} \right)$ và $\overrightarrow c = \left( {2;3} \right)$ . Tính ${\text{P}} = \overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right)$ .

A. P = 0

B. P = 18

C. P = 20

D. P = 28

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow b + \overrightarrow c = \left( {6;6} \right)$

Suy ra: ${\text{P}} = \overrightarrow a \cdot \left( {\overrightarrow b + \overrightarrow c } \right) = 1 \cdot 6 + 2 \cdot 6 = 18$

⟹ Chọn B

Câu 36. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 1;1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {2;0} \right)$ . Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .

A. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{{\sqrt 2 }}$

B. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

C. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{1}{{2\sqrt 2 }}$

D. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 1 \cdot 2 + 1 \cdot 0}}{{\sqrt {1 + 1} \cdot \sqrt {4 + 0} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

⟹ Chọn B

Câu 37. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2; - 1} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {4; - 3} \right)$ . Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .

A. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

B. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{2\sqrt 5 }}{5}$

C. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

D. $\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{ - 2 \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {4 + 1} \cdot \sqrt {16 + 9} }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

⟹ Chọn A

Câu 38. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {4;3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {1;7} \right)$ . Tính góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .

A. α = 90°

B. α = 60°

C. α = 45°

D. α = 30°

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{4 \cdot 1 + 3 \cdot 7}}{{\sqrt {16 + 9} \cdot \sqrt {1 + 49} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{\begin{gathered} 2 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \hfill \\ \to \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 45^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 39. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow x = \left( {1;2} \right)$ và $\overrightarrow y = \left( { - 3; - 1} \right)$ . Tính góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow x$ và $\overrightarrow y$ .

A. α = 45°

B. α = 60°

C. α = 90°

D. α = 135°

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y } \right) = \frac{{\overrightarrow x \cdot \overrightarrow y }}{{\left| {\overrightarrow x } \right| \cdot \left| {\overrightarrow y } \right|}} = \frac{{1 \cdot \left( { - 3} \right) + 2 \cdot \left( { - 1} \right)}}{{\sqrt {1 + 4} \cdot \sqrt {9 + 1} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{\begin{gathered} 2 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \hfill \\ \to \left( {\overrightarrow x ,\overrightarrow y } \right) = 135^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 40. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;5} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {3; - 7} \right)$ . Tính góc α giữa hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ .

A. α = 30°

B. α = 45°

C. α = 60°

D. α = 135°

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \frac{{\overrightarrow a \cdot \overrightarrow b }}{{\left| {\overrightarrow a } \right| \cdot \left| {\overrightarrow b } \right|}} = \frac{{2 \cdot 3 + 5 \cdot \left( { - 7} \right)}}{{\sqrt {4 + 25} \cdot \sqrt {9 + 49} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{\begin{gathered} 2 \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} } \hfill \\ \to \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = 135^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 41. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {9;3} \right)$ . Vectơ nào sau đây không vuông góc với vectơ $\overrightarrow a$ ?

A. $\overrightarrow {{v_1}} = \left( {1; - 3} \right)$

B. $\overrightarrow {{v_2}} = \left( {2; - 6} \right)$

C. $\overrightarrow {{v_3}} = \left( {1;3} \right)$

D. $\overrightarrow {{v_4}} = \left( { - 1;3} \right)$

Hướng dẫn giải

Kiểm tra tích vô hướng $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow v$ , nếu đáp án nào cho kết quả khác 0 thì kết luận vectơ đó không vuông góc với $\overrightarrow a$ .

⟹ Chọn C

Câu 42. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 2), B(–1; 1), C(5; –1). Tính cosin của góc giữa hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ .

A. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{1}{2}$

B. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\sqrt 3 }}{2}$

C. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{2}{5}$

D. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = - \frac{{\sqrt 5 }}{5}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 2; - 1} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {4; - 3} \right)$

Suy ra:

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} }}{{\left| {\overrightarrow {AB} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {AC} } \right|}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array}}&\begin{gathered} = \frac{{ - 2 \cdot 4 + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 3} \right)}}{{\sqrt {4 + 1} \cdot \sqrt {16 + 9} }} = - \frac{{\sqrt 5 }}{5} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 43. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(6; 0), B(3; 1) và C(–1; –1). Tính số đo góc B của tam giác đã cho.

A. 15°

B. 60°

C. 120°

D. 135°

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {BA} = \left( {3; - 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 4; - 2} \right)$

Suy ra:

$\begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = \frac{{\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} }}{{\left| {\overrightarrow {BA} } \right| \cdot \left| {\overrightarrow {BC} } \right|}} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = \frac{{3 \cdot \left( { - 4} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( { - 2} \right)}}{{\sqrt {9 + 1} \cdot \sqrt {16 + 4} }} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \to \widehat B = \left( {\overrightarrow {BA} ,\overrightarrow {BC} } \right) = 135^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 44. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(–8; 0), B(0; 4), C(2; 0), D(–3; –5). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Hai góc $\widehat {BAD}$ và $\widehat {BCD}$ phụ nhau

B. Góc $\widehat {BCD}$ là góc nhọn

C. $\cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right)$

D. Hai góc $\widehat {BAD}$ và $\widehat {BCD}$ bù nhau

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {8;4} \right),\overrightarrow {AD} = \left( {5; - 5} \right)$

$\overrightarrow {CB} = \left( { - 2;4} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 5;5} \right)$

Suy ra:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) = \frac{{8 \cdot 5 + 4 \cdot \left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{8^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {5^2}} }} = \frac{1}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \hfill \\ \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = \frac{{\left( { - 2} \right) \cdot \left( { - 5} \right) + 4 \cdot \left( { - 5} \right)}}{{\sqrt {{2^2} + {4^2}} \cdot \sqrt {{5^2} + {5^2}} }} = - \frac{1}{{\sqrt {10} }} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \to \cos \left( {\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AD} } \right) + \cos \left( {\overrightarrow {CB} ,\overrightarrow {CD} } \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \widehat {BAD} + \widehat {BCD} = 180^\circ \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 45. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j$ và $\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j$ . Tìm k để vectơ $\overrightarrow u$ vuông góc với $\overrightarrow v$ .

A. k = 20

B. k = –20

C. k = –40

D. k = 40

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra:

$\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),{\text{ }}\overrightarrow v = \left( {k; - 4} \right)$

Yêu cầu bài toán:

$\overrightarrow u {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow v \Leftrightarrow \frac{1}{2}k + \left( { - 5} \right) \cdot \left( { - 4} \right) = 0 \Leftrightarrow k = - 40$

⟹ Chọn C

Câu 46. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j$ và $\overrightarrow v = k\overrightarrow i - 4\overrightarrow j$ . Tìm k để vectơ $\overrightarrow u$ và vectơ $\overrightarrow v$ có độ dài bằng nhau.

A. $k = \frac{{37}}{4}$

B. $k = \frac{{\sqrt {37} }}{2}$

C. $k = \pm \frac{{\sqrt {37} }}{2}$

D. $k = \frac{5}{8}$

Hướng dẫn giải

Từ giả thiết suy ra:

$\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right),{\text{ }}\overrightarrow v = \left( {k; - 4} \right)$

Suy ra: $\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {\frac{1}{4} + 25} = \frac{1}{2}\sqrt {101}$ và $\left| {\overrightarrow v } \right| = \sqrt {{k^2} + 16}$ . Do đó để:

$\begin{gathered} \left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right| \Leftrightarrow \sqrt {{k^2} + 16} = \frac{1}{2}\sqrt {101} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {k^2} + 16 = \frac{{101}}{4} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {k^2} = \frac{{37}}{4} \Leftrightarrow k = \pm \frac{{37}}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 47. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {4;1} \right)$ và $\overrightarrow c = k\overrightarrow a + m\overrightarrow b$ với k, m ∈ ℝ. Biết rằng vectơ $\overrightarrow c$ vuông góc với vectơ $\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. 2k = 2m

B. 3k = 2m

C. 2k + 3m = 0

D. 3k + 2m = 0

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow c = k\overrightarrow a + m\overrightarrow b = \left( { - 2k + 4m;3k + m} \right) \hfill \\ \overrightarrow a + \overrightarrow b = \left( {2;4} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Để $\overrightarrow c {\text{ }} \bot \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) \Leftrightarrow \overrightarrow c \left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right) = 0$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow 2\left( { - 2k + 4m} \right) + 4\left( {3k + m} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2k + 3m = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 48. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow a = \left( { - 2;3} \right)$ và $\overrightarrow b = \left( {4;1} \right)$ . Tìm vectơ $\overrightarrow d$ biết $\overrightarrow a \cdot \overrightarrow d = 4$ và $\overrightarrow b \cdot \overrightarrow d = - 2$

A. $\overrightarrow d = \left( {\frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)$

B. $\overrightarrow d = \left( { - \frac{5}{7};\frac{6}{7}} \right)$

C. $\overrightarrow d = \left( {\frac{5}{7}; - \frac{6}{7}} \right)$

D. $\overrightarrow d = \left( { - \frac{5}{7}; - \frac{6}{7}} \right)$

Hướng dẫn giải

Gọi $\overrightarrow d = \left( {x;y} \right)$ . Từ giả thiết, ta có hệ:

$\left\{ \begin{gathered} - 2x + 3y = 4 \hfill \\ 4x + y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{5}{7} \hfill \\ y = \frac{6}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn B

Câu 49. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba vectơ $\overrightarrow u = \left( {4;1} \right),\overrightarrow v = \left( {1;4} \right)$ và $\overrightarrow a = \overrightarrow u + m\overrightarrow v$ với m ∈ ℝ. Tìm m để $\overrightarrow a$ vuông góc với trục hoành.

A. m = 4

B. m = –4

C. m = –2

D. m = 2

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a = \overrightarrow u + m\overrightarrow v = \left( {4 + m;1 + 4m} \right)$

Trục hoành có vectơ đơn vị là $\overrightarrow i = \left( {1;0} \right)$

Vectơ $\overrightarrow a$ vuông góc với trục hoành

$\Leftrightarrow \overrightarrow a \cdot \overrightarrow i = 0 \Leftrightarrow 4 + m = 0 \Leftrightarrow m = - 4$

⟹ Chọn B

Câu 50. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {4;1} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( {1;4} \right)$ . Tìm m để vectơ $\overrightarrow a = m\overrightarrow u + \overrightarrow v$ tạo với vectơ $\overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j$ một góc 45°.

A. m = 4

B. m = $\frac{1}{4}$

C. m = $- \frac{1}{4}$

D. m = $\frac{1}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow a = m\overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {4m + 1;m + 4} \right) \hfill \\ \overrightarrow b = \overrightarrow i + \overrightarrow j = \left( {1;1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Yêu cầu bài toán

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \cos \left( {\overrightarrow a ,\overrightarrow b } \right) = \cos 45^\circ = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{\left( {4m + 1} \right) + \left( {m + 4} \right)}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {{{\left( {4m + 1} \right)}^2} + {{\left( {m + 4} \right)}^2}} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{{5\left( {m + 1} \right)}}{{\sqrt 2 \cdot \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} }} = \frac{{\sqrt 2 }}{2} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 5\left( {m + 1} \right) = \sqrt {17{m^2} + 16m + 17} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m + 1 \geqslant 0 \hfill \\ 25{m^2} + 50m + 25 = 17{m^2} + 16m + 17 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow m = - \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 51. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tính khoảng cách giữa hai điểm M(1; –2) và N(–3; 4).

A. MN = 4

B. MN = 6

C. MN = $3\sqrt 6$

D. MN = $2\sqrt {13}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {MN} = \left( { - 4;6} \right)$

Suy ra: $MN = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {6^2}} = \sqrt {42} = 2\sqrt {13}$

⟹ Chọn D

Câu 52. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 4), B(3; 2), C(5; 4). Tính chu vi P của tam giác đã cho.

A. ${\text{P}} = 4 + 2\sqrt 2$

B. ${\text{P}} = 4 + 4\sqrt 2$

C. ${\text{P}} = 8 + 8\sqrt 2$

D. ${\text{P}} = 2 + 2\sqrt 2$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {2; - 2} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( {2;2} \right) \hfill \\ \overrightarrow {CA} = \left( { - 4;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} AB = \sqrt {{2^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = 2\sqrt 2 \hfill \\ BC = \sqrt {{2^2} + {2^2}} = 2\sqrt 2 \hfill \\ CA = \sqrt {{{\left( { - 4} \right)}^2} + {0^2}} = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy chu vi P của tam giác ABC là;

${\text{P}} = AB + BC + CA = 4 + 4\sqrt 2$

⟹ Chọn B

Câu 53. Trong hệ tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$ , cho vectơ $\overrightarrow a = - \frac{3}{5}\overrightarrow i - \frac{4}{5}\overrightarrow j$ . Độ dài của vectơ $\overrightarrow a$ bằng

A. $\frac{1}{5}$

B. 1

C. $\frac{6}{5}$

D. $\frac{7}{5}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \overrightarrow a = - \frac{3}{5}\overrightarrow i - \frac{4}{5}\overrightarrow j \to \overrightarrow a = \left( { - \frac{3}{5}; - \frac{4}{5}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow a } \right| = \sqrt {{{\left( { - \frac{3}{5}} \right)}^2} + {{\left( { - \frac{4}{5}} \right)}^2}} = 1 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 54. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai vectơ $\overrightarrow u = \left( {3;4} \right)$ và $\overrightarrow v = \left( { - 8;6} \right)$ . Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\left| {\overrightarrow u } \right| = \left| {\overrightarrow v } \right|$

B. $\overrightarrow u$ và $\overrightarrow v$ cùng phương

C. $\overrightarrow u$ vuông góc với $\overrightarrow v$

D. $\overrightarrow u = - \overrightarrow v$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow u \cdot \overrightarrow v = 3 \cdot \left( { - 8} \right) + 4 \cdot 6 = 0$ suy ra $\overrightarrow u$ vuông góc với $\overrightarrow v$

⟹ Chọn C

Câu 55. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho các điểm A(1; 2), B(–2; –4), C(0; 1) và ${\text{D}} = \left( { - 1;\frac{3}{2}} \right)$ . Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB}$ cùng phương với $\overrightarrow {CD}$

B. $\left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {CD} } \right|$

C. $\overrightarrow {AB} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {CD}$

D. $\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {CD}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 3; - 6} \right)$ và $\overrightarrow {CD} = \left( { - 1;\frac{1}{2}} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {CD} = \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 6} \right) \cdot \frac{1}{2} = 0$

Vậy $\overrightarrow {AB} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {CD}$

⟹ Chọn C

Câu 56. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(7; –3), B(8; 4), C(1; 5), D(0; –2). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AC} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {CB}$

B. Tam giác ABC đều

C. Tứ giác ABCD là hình vuông

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp đường tròn

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right) \Rightarrow AB = \sqrt {{1^2} + {7^2}} = 5\sqrt 2 \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 7;1} \right) \Rightarrow BC = 5\sqrt 2 \hfill \\ \overrightarrow {CD} = \left( { - 1; - 7} \right) \Rightarrow CD = 5\sqrt 2 \hfill \\ \overrightarrow {DA} = \left( {7; - 1} \right) \Rightarrow DA = 5\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \to AB = BC = CD = DA = 5\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered}$

Lại có: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = 1 \cdot \left( { - 7} \right) + 7 \cdot 1 = 0$ nên AB ⊥ BC

Từ đó suy ra ABCD là hình vuông.

⟹ Chọn C

Câu 57. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(–1; 1), B(0; 2), C(3; 1) và D(0; –2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tứ giác ABCD là hình bình hành

B. Tứ giác ABCD là hình thoi

C. Tứ giác ABCD là hình thang cân

D. Tứ giác ABCD không nội tiếp được đường tròn

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {DC} = \left( {3;3} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \to \overrightarrow {DC} = 3\overrightarrow {AB}$

Suy ra: DC // AB và DC = 3AB (1)

Mặt khác:

$\left\{ \begin{gathered} AD = \sqrt {{1^2} + {3^2}} = \sqrt {10} \hfill \\ BC = \sqrt {{3^2} + {1^2}} = \sqrt {10} \hfill \\ \end{gathered} \right. \to AD = BC{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1) và (2), suy ra tứ giác ABCD là hình thang cân.

⟹ Chọn C

Câu 58. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–1; 1), B(1; 3) và C(1; –1). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC có ba góc đều nhọn

C. Tam giác ABC cân tại B

D. Tam giác ABC vuông cân tại A

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {0; - 4} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {2; - 2} \right)$

Suy ra: $\left\{ \begin{gathered} AB = AC = 2\sqrt 2 \hfill \\ A{B^2} + A{C^2} = B{C^2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A.

⟹ Chọn D

Câu 59. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(10; 5), B(3; 2) và C(6; –5). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC vuông cân tại A

C. Tam giác ABC vuông cân tại B

D. Tam giác ABC có góc A tù

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 7; - 3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {3; - 7} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( { - 4; - 10} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = \left( { - 7} \right) \cdot 3 + \left( { - 3} \right) \cdot \left( { - 7} \right) = 0$ và AB = BC

Vậy tam giác ABC vuông cân tại B.

⟹ Chọn C

Câu 60. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–2; –1), B(1; –1) và C(–2; 2). Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. Tam giác ABC đều

B. Tam giác ABC vuông cân tại A

C. Tam giác ABC vuông tại B

D. Tam giác ABC vuông cân tại C

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3;0} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;3} \right)$ và $\overrightarrow {AC} = \left( {0;3} \right)$

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} AB = AC = 3 \hfill \\ BC = 3\sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow A{B^2} + A{C^2} = B{C^2}$

Vậy tam giác ABC vuông cân tại A..

⟹ Chọn B

Câu 61. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(–2; 4) và B(8; 4). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho tam giác ABC vuông tại C.

A. C(6; 0)

B. C(0; 0), C(6; 0)

C. C(0; 0)

D. C(–1; 0)

Hướng dẫn giải

Ta có: C ∈ Ox nên C(c; 0) và $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {CA} = \left( { - 2 - c;4} \right) \hfill \\ \overrightarrow {CB} = \left( {8 - c;4} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tam giác ABC vuông tại C nên

$\begin{gathered} \overrightarrow {CA} \cdot \overrightarrow {CB} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( { - 2 - c} \right)\left( {8 - c} \right) + 4 \cdot 4 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {c^2} - 6c = 0 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} c = 6 \to C\left( {6;0} \right) \hfill \\ c = 0 \to C\left( {0;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 62. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(–3; 1). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục tung sao cho tam giác ABC vuông tại A.

A. C(0; 6)

B. C(5; 0)

C. C(3; 1)

D. C(0; –6)

Hướng dẫn giải

Ta có: C ∈ Oy nên C(0; c) và $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( { - 4; - 1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {AC} = \left( { - 1;c - 2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tam giác ABC vuông tại A nên

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( { - 4} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + \left( { - 1} \right) \cdot \left( {c - 2} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow c = 6 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy C(0; 6)

⟹ Chọn A

Câu 63. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–4; 0), B(–5; 0) và C(3; 0). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ .

A. M(–2; 0)

B. M(2; 0)

C. M(–4; 0)

D. M(–5; 0)

Hướng dẫn giải

Ta có: M ∈ Ox nên M(x; 0) và

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( { - 4 - x;0} \right) \hfill \\ \overrightarrow {MB} = \left( { - 5 - x;0} \right) \hfill \\ \overrightarrow {MC} = \left( {3 - x;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \to \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( { - 6 - 3x;0} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Do $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ nên

–6 – 3x = 0 ⇔ x = –2 ⟶ M(–2; 0)

⟹ Chọn A

Câu 64. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm M(–2; 2) và N(1; 1). Tìm tọa độ điểm P thuộc trục hoành sao cho ba điểm M, N, P thẳng hàng.

A. P(0; 4)

B. P(0; –4)

C. P(–4; 0)

D. P(4; 0)

Hướng dẫn giải

Ta có: P ∈ Ox nên P(x; 0) và $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MP} = \left( {x + 2; - 2} \right) \hfill \\ \overrightarrow {MN} = \left( {3; - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do M, N, P thẳng hàng nên

$\frac{{x + 2}}{3} = \frac{{ - 2}}{{ - 1}} \Leftrightarrow x = 4 \to {\text{P}}\left( {4;0} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 65. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, tìm điểm M thuộc trục hoành để khoảng cách từ đó đến điểm N(–1; 4) bằng $2\sqrt 5$ .

A. M(1; 0)

B. M(1; 0), M(–3; 0)

C. M(3; 0)

D. M(1; 0), M(3; 0)

Hướng dẫn giải

Ta có: M ∈ Ox nên M(m; 0) và $\overrightarrow {MN} = \left( { - 1 - m;4} \right)$

Theo giả thiết:

$\begin{gathered} MN = 2\sqrt 5 \Leftrightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 2\sqrt 5 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( { - 1 - m} \right)}^2} + {4^2}} = 2\sqrt 5 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {\left( { - 1 - m} \right)^2} + {4^2} = 20 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} + 2m - 3 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 1 \to M\left( {1;0} \right) \hfill \\ m = - 3 \to M\left( { - 3;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 66. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 3) và B(4; 2). Tìm tọa độ điểm C thuộc trục hoành sao cho C cách đều hai điểm A và B.

A. ${\text{C}}\left( { - \frac{5}{3};0} \right)$

B. ${\text{C}}\left( {\frac{5}{3};0} \right)$

C. ${\text{C}}\left( { - \frac{3}{5};0} \right)$

D. ${\text{C}}\left( {\frac{3}{5};0} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: C ∈ Ox nên C(x; 0) và $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AC} = \left( {x - 1; - 3} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( {x - 4; - 2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do CA = CB ⇔ CA² = CB²

⇔ (x – 1)² + (–3)² = (x – 4)² + (–2)²

⇔ x = $\frac{5}{3}$ ⟶ ${\text{C}}\left( {\frac{5}{3};0} \right)$

⟹ Chọn B

Câu 67. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 2), B(5; –2). Tìm điểm M thuộc trục hoành sao cho $\widehat {AMB} = 90^\circ$ ?

A. M(0; 1)

B. M(6; 0)

C. M(1; 6)

D. M(0; 6)

Hướng dẫn giải

Ta có: M ∈ Ox nên M(m; 0) và $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AM} = \left( {m - 2; - 2} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BM} = \left( {m - 5;2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vì $\widehat {AMB} = 90^\circ$ suy ra $\overrightarrow {AM} \cdot \overrightarrow {BM} = 0$ nên

$\begin{gathered} \left( {m - 2} \right)\left( {m - 5} \right) + \left( { - 2} \right) \cdot 2 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {m^2} - 7m + 6 = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ m = 6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \to \left[ \begin{gathered} {\text{M}}\left( {1;0} \right) \hfill \\ {\text{M}}\left( {6;0} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 68. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA² + MB² nhỏ nhất.

A. M(0; 1)

B. M(0; –1)

C. ${\text{M}}\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$

D. ${\text{M}}\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn C

Ta có: M ∈ Oy nên M(0; m) và $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( {1; - 1 - m} \right) \hfill \\ \overrightarrow {MB} = \left( {3;2 - m} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Khi đó:

$\begin{gathered} M{A^2} + M{B^2} = {\left| {\overrightarrow {MA} } \right|^2} + {\left| {\overrightarrow {MB} } \right|^2} \hfill \\ \hfill \\ = {1^2} + {\left( { - 1 - m} \right)^2} + {3^2} + {\left( {2 - m} \right)^2} \hfill \\ \hfill \\ = 2{m^2} - 2m + 15 \hfill \\ \hfill \\ = 2{\left( {m - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{29}}{2} \geqslant \frac{{29}}{2},\forall m \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra: ${\left\{ {M{A^2} + M{B^2}} \right\}_{\min }} = \frac{{29}}{2}$

Dấu ”=” xảy ra khi và chỉ khi $m = \frac{1}{2} \to {\text{M}}\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$

Câu 69. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD biết A(–2; 0), B(2; 5), C(6; 2). Tìm tọa độ điểm D.

A. D(2; –3)

B. D(2; 3)

C. D(–2; –3)

D. D(–2; 3)

Hướng dẫn giải

Gọi D(x; y). Ta có: $\overrightarrow {AD} = \left( {x + 2;y} \right)$ và $\overrightarrow {BC} = \left( {4; - 3} \right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \to \left\{ \begin{gathered} x + 2 = 4 \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⇒ D(2; –3)

⟹ Chọn A

Câu 70. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(1; 3), B(–2; 4), C(5; 3). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác đã cho.

A. G(–2; 5)

B. ${\text{G}}\left( {\frac{8}{3}; - \frac{{10}}{3}} \right)$

C. G(2; 5)

D. ${\text{G}}\left( {\frac{4}{3};\frac{{10}}{3}} \right)$

Hướng dẫn giải

Tọa độ trọng tâm G(x_G; y_G) là

$\left\{ \begin{gathered} {x_G} = \frac{{1 - 2 + 5}}{3} = \frac{4}{3} \hfill \\ \hfill \\ {y_G} = \frac{{3 + 4 + 3}}{3} = \frac{{10}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn D

Câu 71. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–4; 1), B(2; 4), C(2; –2). Tìm tọa độ tâm I của đường tròn ngoại tiếp tam giác đã cho.

A. ${\text{I}}\left( {\frac{1}{4};1} \right)$

B. ${\text{I}}\left( { - \frac{1}{4};1} \right)$

C. ${\text{I}}\left( {1;\frac{1}{4}} \right)$

D. ${\text{I}}\left( {1; - \frac{1}{4}} \right)$

Hướng dẫn giải

Gọi I(x; y). Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AI} = \left( {x + 4;y - 1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BI} = \left( {x - 2;y - 4} \right) \hfill \\ \overrightarrow {CI} = \left( {x - 2;y + 2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC nên

$\begin{gathered} IA = IB = IC \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} I{A^2} = I{B^2} \hfill \\ I{B^2} = I{C^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {x + 4} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} \hfill \\ {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y - 4} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {y + 2} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {\left( {x + 4} \right)^2} = {\left( {x - 2} \right)^2} + 9 \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{4} \hfill \\ \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 72. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–3; 0), B(3; 0) và C(2; 6). Gọi H(a; b) là tọa độ trực tâm của tam giác đã cho. Tính a + 6b.

A. a + 6b = 5

B. a + 6b = 6

C. a + 6b = 7

D. a + 6b = 8

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AH} = \left( {a + 3;b} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 1;6} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BH} = \left( {a - 3;b} \right) \hfill \\ \overrightarrow {AC} = \left( {5;6} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Từ giả thiết, ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {BH} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {a + 3} \right) \cdot \left( { - 1} \right) + b \cdot 6 = 0 \hfill \\ \left( {a - 3} \right) \cdot 5 + b \cdot 6 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2 \hfill \\ \hfill \\ b = \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \to a + 6b = 7 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 73. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(4; 3), B(2; 7) và C(–3; –8). Tìm toạ độ chân đường cao A’ kẻ từ đỉnh A xuống cạnh BC.

A. A'(1; –4)

B. A'(–1; 4)

C. A'(1; 4)

D. A'(4; 1)

Hướng dẫn giải

Gọi A'(x; y). Ta có:

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AA'} = \left( {x - 4;y - 3} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 5; - 15} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BA'} = \left( {x - 2;y - 7} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Từ giả thiết, ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} AA'{\text{ }} \bot {\text{ }}BC \hfill \\ B,A',C{\text{ thang hang}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BC} = 0{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \overrightarrow {BA'} = k \cdot \overrightarrow {BC} {\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow - 5\left( {x - 4} \right) - 15\left( {y - 3} \right) = 0 \Leftrightarrow x + 3y = 13 \hfill \\ \hfill \\ \left( 2 \right) \Leftrightarrow \frac{{x - 2}}{{ - 5}} = \frac{{y - 7}}{{ - 15}} \Leftrightarrow 3x - y = - 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Giải hệ $\left\{ \begin{gathered} x + 3y = 13 \hfill \\ 3x - y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \to {\text{A'}}\left( {1;4} \right)$

⟹ Chọn C

Câu 74. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 4), B(–3; 1), C(3; –1). Tìm tọa độ chân đường cao A’ vẽ từ đỉnh A của tam giác đã cho.

A. ${\text{A'}}\left( {\frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)$

B. ${\text{A'}}\left( { - \frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)$

C. ${\text{A'}}\left( { - \frac{3}{5};\frac{1}{5}} \right)$

D. ${\text{A'}}\left( {\frac{3}{5}; - \frac{1}{5}} \right)$

Hướng dẫn giải

Gọi A'(x; y). Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AA'} = \left( {x - 2;y - 4} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( {6; - 2} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BA'} = \left( {x + 3;y - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vì A’ là chân đường cao vẽ từ đỉnh A của tam giác ABC nên

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} AA'{\text{ }} \bot {\text{ }}BC \hfill \\ B,A',C{\text{ thang hang}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AA'} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {BA'} = k \cdot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {x - 2} \right) \cdot 6 + \left( {y - 4} \right)\left( { - 2} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \frac{{x + 3}}{6} = \frac{{y - 1}}{{ - 2}} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 6x - 2y = 4 \hfill \\ - 2x - 6y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{3}{5} \hfill \\ \hfill \\ y = - \frac{1}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 75. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–3; –2), B(3; 6), C(11; 0). Tìm tọa độ điểm D để tứ giác ABCD là hình vuông.

A. D(5; –8)

B. D(8; 5)

C. D(–5; 8)

D. D(–8; 5)

Hướng dẫn giải

Dễ dàng kiểm tra $\overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \to \widehat {ABC} = 90^\circ$

Gọi I là tâm của hình vuông ABCD.

Suy ra I là trung điểm của AC ⟶ I(4; –1)

Gọi D(x; y), do I cũng là trung điểm của BD

$\to \left\{ \begin{gathered} \frac{{x + 3}}{2} = 4 \hfill \\ \hfill \\ \frac{{y + 6}}{2} = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\text{D}}\left( {5; - 8} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 76. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; 4) và B(1; 1). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC vuông cân tại B.

A. C(4; 0)

B. C(–2; 2)

C. C(4; 0), C(–2; 2)

D. C(2; 0)

Hướng dẫn giải

Gọi C(x; y). Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BA} = \left( {1;3} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( {x - 1;y - 1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tam giác ABC vuông cân tại B

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {BA} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ BA = BC \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1\left( {x - 1} \right) + 3\left( {y - 1} \right) = 0 \hfill \\ {1^2} + {3^2} = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 1} \right)^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4 - 3y \hfill \\ 10{y^2} - 20y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} y = 0 \hfill \\ x = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} y = 2 \hfill \\ x = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 77. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình vuông ABCD có A(1; –1) và B(3; 0). Tìm tọa độ điểm D, biết D có tung độ âm.

A. D(0; –1)

B. D(2; –3)

C. D(2; –3), D(0; 1)

D. D(–2; –3)

Hướng dẫn giải

Gọi C(x; y). Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {2;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( {x - 3;y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vì ABCD là hình vuông nên ta có

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {BC} \hfill \\ AB = BC \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {x - 3} \right) + 1 \cdot y = 0 \hfill \\ {\left( {x - 3} \right)^2} + {y^2} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2\left( {3 - x} \right) \hfill \\ 5{\left( {x - 3} \right)^2} = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y = 2\left( {3 - x} \right) \hfill \\ {\left( {x - 3} \right)^2} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} x = 4 \hfill \\ y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Với C₁(4; –2) ta tính được đỉnh D₁(2; –3) thỏa mãn.

Với C₂(2; 2) ta tính được đỉnh D₂(0; 1) không thỏa mãn.

⟹ Chọn B

Câu 78. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho bốn điểm A(1; 2), B(–1; 3), C(–2; –1) và D(0; –2). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. ABCD là hình vuông

B. ABCD là hình chữ nhật

C. ABCD là hình thoi

D. ABCD là hình bình hành

Hướng dẫn giải

$\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( { - 2;1} \right) \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 1; - 4} \right) \hfill \\ \overrightarrow {DC} = \left( { - 2;1} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \hfill \\ \overrightarrow {AB} \cdot \overrightarrow {BC} = - 2 \ne 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟶ ABCD là hình hình hành.

⟹ Chọn D

Câu 79. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác OAB với A(1; 3) và B(4; 2). Tìm tọa độ điểm E là chân đường phân giác trong góc O của tam giác OAB.

A. ${\text{E}} = \left( {\frac{5}{2};\frac{5}{2}} \right)$

B. ${\text{E}} = \left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$

C. ${\text{E}} = \left( { - 2 + 3\sqrt 2 ;4 + \sqrt 2 } \right)$

D. ${\text{E}} = \left( { - 2 + 3\sqrt 2 ;4 - \sqrt 2 } \right)$

Hướng dẫn giải

Theo tính chất đường phân giác của tam giác ta có:

$\frac{{EA}}{{EB}} = \frac{{OA}}{{OB}} = \frac{{\sqrt 2 }}{2}$

Vì E nằm giữa hai điểm A, B nên $\overrightarrow {EA} = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\overrightarrow {EB} {\text{ }}\left( * \right)$

Gọi E(x; y). Ta có: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {EA} = \left( {1 - x;3 - y} \right) \hfill \\ \overrightarrow {EB} = \left( {4 - x;2 - y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Từ (*) suy ra:

$\left\{ \begin{gathered} 1 - x = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {4 - x} \right) \hfill \\ \hfill \\ 3 - y = - \frac{{\sqrt 2 }}{2}\left( {2 - y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2 + 3\sqrt 2 \hfill \\ y = 4 - \sqrt 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn D

Câu 80. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 0), B(0; 2), C(0; 7). Tìm tọa độ đỉnh thứ tư D của hình thang cân ABCD.

A. D(7; 0)

B. D(7; 0), D(2; 9)

C. D(0; 7), D(9; 2)

D. D(9; 2)

Hướng dẫn giải

Để tứ giác ABCD là hình thang cân, ta cần có một cặp cạnh đối song song không bằng nhau và cặp cạnh còn lại có độ dài bằng nhau. Gọi D(x; y).

– Trường hợp 1: $\left\{ \begin{gathered} AB\parallel CD \hfill \\ AB \ne CD \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \overrightarrow {CD} = k \cdot \overrightarrow {AB}$ (với k ≠ –1)

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {x - 0;y - 7} \right) = \left( { - 2k;2k} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 2k \hfill \\ y = 2k + 7 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AD} = \left( {x - 2;y} \right) \Rightarrow AD = \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {y^2}} \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( {0;5} \right) \Rightarrow BC = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \to AD = BC \Leftrightarrow {\left( {x - 2} \right)^2} + {y^2} = 25{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2), ta có:

${\left( { - 2k - 2} \right)^2} + {\left( {2k + 7} \right)^2} = 25 \Leftrightarrow \left[ \begin{gathered} k = - 1\left( {lo\underset{\raise0.3em\hbox{$\smash{\scriptscriptstyle\cdot}$}}{a} i} \right) \hfill \\ k = - \frac{7}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$