Toán lớp 10: Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài đặc trưng mới nhất 2023

Bạn đang xem bài viết Tổng hợp lý thuyết và các dạng bài đặc trưng. Hi vọng sẽ là đáp án bạn ưng ý. Cùng theo dõi nhé!

Trong bài viết này, Cấp Nước Lào Cai sẽ giúp độc giả tìm hiểu các điểm lý thuyết hệ trục tọa độ như: Trục tọa độ, tọa độ điểm, độ dài đại số, định nghĩa hệ trục tọa độ, tọa độ vecto, liên hệ giữa tọa độ của điểm – vecto và các tính chất vecto quan trọng trong tam giác thuộc chương trình toán lớp 10. Từ đó giúp giải quyết các dạng toán đặc trưng như: Tìm đọa độ điểm, tìm tọa độ vecto từ các dữ kiện cho trước của bài toán.

Tóm tắt

Lý thuyết hệ trục tọa độ

Trục và độ dài đại số trên trục

Trục tọa độ

Trục tọa độ là một đường thẳng trên đó đã xác định một điểm gốc và một vectơ đơn vị $\overrightarrow e$

Tọa độ của một điểm

Ứng với mỗi điểm M trên trục tọa độ thì có một số thực k sao cho

$\overrightarrow {OM} = k\overrightarrow e$

Số k được gọi là tọa độ của điểm M đối với trục đã cho.

Độ dài đại số

Cho hai điểm A, B trên trục số, tồn tại duy nhất một số a sao cho $\overrightarrow {AB} = a\overrightarrow e$

a được gọi là độ dài đại số của vectơ $\overrightarrow {AB}$ , kí hiệu $a = \overrightarrow {AB}$ .

Chú ý:

+) Nếu vectơ $\overrightarrow {AB}$ cùng hướng với vectơ đơn vị $\overrightarrow e$ của trục thì $\overline {AB}$ > 0, còn nếu $\overrightarrow {AB}$ ngược hướng với vectơ đơn vị $\overrightarrow e$ thì $\overline {AB}$ < 0.

+) Nếu điểm A có tọa độ trên trục là a và điểm B có tọa độ là b thì $\overline {AB} = b - a$

Hệ trục tọa độ

Định nghĩa

Hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$ gồm hai trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ và $\left( {O;\overrightarrow j } \right)$ vuông góc với nhau.

Trong đó: O là gốc tọa độ, $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ là trục hoành, $\left( {O;\overrightarrow j } \right)$ là trục tung

$\left| {\overrightarrow i } \right| = \left| {\overrightarrow j } \right| = 1$

Mặt phẳng được trang bị một hệ tọa độ được gọi là mặt phẳng tọa độ

Tọa độ vectơ

$\overrightarrow u = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \Leftrightarrow u\left( {x;y} \right)$

Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi các tọa độ tương ứng bằng nhau

$\begin{gathered} \overrightarrow u \left( {x;y} \right),\overrightarrow {u'} \left( {x';y'} \right) \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow u = \overrightarrow {u'} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = x' \hfill \\ y = y' \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Tọa độ một điểm

Với mỗi điểm M trong mặt phẳng tọa độ thì tọa độ của vectơ $\overrightarrow {OM}$ được gọi là tọa độ của điểm M.

$\overrightarrow {OM} = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j \Leftrightarrow M\left( {x;y} \right)$

Liên hệ giữa tọa độ của điểm và của vectơ

Cho hai điểm A(x_A; y_A); B(x_B; y_B)

Ta có: $\overrightarrow {AB} \left( {{x_B} - {x_A};{y_B} - {y_A}} \right)$

Tọa độ của vectơ thì bằng tọa độ của điểm ngọn trừ đi tọa độ tương ứng của điểm đầu.

Tọa độ của tổng, hiệu, tích của một số với một vectơ

Cho hai vectơ $\overrightarrow u \left( {{u_1};{u_2}} \right),\overrightarrow v \left( {{v_1};{v_2}} \right)$

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow u + \overrightarrow v = \left( {{u_1} + {v_1};{u_2} + {v_2}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow u - \overrightarrow v = \left( {{u_1} - {v_1};{u_2} - {v_2}} \right) \hfill \\ \hfill \\ k\overrightarrow u = \left( {k{u_1};k{u_2}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Tọa độ của trung điểm của đoạn thẳng và tọa độ trọng tâm của tam giác

Tọa độ trung điểm

Cho hai điểm A(x_A; y_A); B(x_B; y_B) tọa độ của trung điểm I(x_I; y_I) được tính theo công thức:

$\left\{ \begin{gathered} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} \hfill \\ \hfill \\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Tọa độ trọng tâm

Tam giác ABC có 3 đỉnh A(x_A; y_A); B(x_B; y_B); C(x_C; y_C). Trọng tâm G của tam giác có tọa độ:

$\left\{ \begin{gathered} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{2} \hfill \\ \hfill \\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Phân dạng bài tập

Dạng 1. Sử dụng các kiến thức về trục, tọa độ vectơ trên trục và tọa độ của một điểm trên trục để giải một số bài toán

Câu 1. Trên trục x’Ox cho 2 điểm A, B lần lượt có tọa độ là a, b. M là điểm thỏa mãn $\overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} ,k \ne 1$ . Khi đó tọa độ của điểm M là:

A. $\frac{{ka - b}}{{k - 1}}$

B. $\frac{{kb - a}}{{k - 1}}$

C. $\frac{{a - kb}}{{k + 1}}$

D. $\frac{{kb + a}}{{k - 1}}$

Hướng dẫn giải

Gọi x là tọa độ của điểm M. Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} = k\overrightarrow {MB} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow a - x = k\left( {b - x} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {k - 1} \right)x = kb - a \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = \frac{{kb - a}}{{k - 1}},k \ne 1 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 2. Trên trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ cho ba điểm A, B, C. Nếu biết $\overline {AB} = 5,\overline {AC} = 7$ thì $\overline {CB}$ bằng:

A. –2

B. 2

C. 4

D. 3

Hướng dẫn giải

$\overline {CB} = \overline {AB} - \overline {AC} = 5 - 7 = - 2$

⟹ Chọn A

Câu 3. Tên trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ cho hai điểm A, B lần lượt có tọa độ 1 và 5. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ là:

A. 10

B. 11

C. 12

D. 13

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} 2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow 2\overrightarrow {MA} = 3\overrightarrow {MB} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\left( {{x_A} - {x_M}} \right) = 3\left( {{x_B} - {x_M}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x_M} = 13 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 4. Trên trục x’Ox cho bốn điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là 3; 5; −7; 9. Mệnh đề nào sau đây sai?

A. $\overline {AB} = 2$

B. $\overline {AC} = - 10$

C. $\overline {CD} = - 16$

D. $\overline {AB} + \overline {AC} = - 8$

Hướng dẫn giải

$\overline {CD} = {x_D} - {x_C} = 9 - \left( { - 7} \right) = 16$

⟹ Chọn C

Câu 5. Trên trục x’Ox có vectơ đơn vị $\overrightarrow i$ . Mệnh đề nào sau đây sai?

A. x_A là tọa độ điểm A ⇔ $\overrightarrow {OA} = {x_A}\overrightarrow i$

B. x_B, x_C là tọa độ của điểm B và C thì $\overline {BC} = {x_B} - {x_C}$

C. $\overline {AC} + \overline {CB} = \overline {AB}$

D. M là trung điểm của AB $\Leftrightarrow \overline {OM} = \frac{{\overline {OA} + \overline {OB} }}{2}$

Hướng dẫn giải

$\overline {BC} = {x_C} - {x_B}$

⟹ Chọn B

Câu 6. Trên trục x’Ox, cho tọa độ của A, B lần lượt là −2; 3. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn $O{M^2} = \overline {MA} \cdot \overline {MB}$ là:

A. 6

B. $\sqrt 6$

C. –6

D. 4

Hướng dẫn giải

Gọi M có tọa độ là x ⇒ x² = (–2 – x)(3 – x) ⇒ x = –6

⟹ Chọn C

Câu 7. Trên trục x’Ox cho tọa độ các điểm A, B lần lượt là a, b. Khi đó tọa độ điểm A’ đối xứng với A qua B là:

A. b – a

B. b + a

C. 2a – b

D. 2b – a

Hướng dẫn giải

A’ đối xứng với A qua B nên B là trung điểm của AA’

⇒x_A’ + x_A = 2x_B ⇔ x_A’ = 2b – a

⟹ Chọn D

Câu 8. Trên trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ tìm tọa độ x của điểm M sao cho $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ , với A, C có tọa độ tương ứng là −1 và 3:

A. $x = \frac{5}{3}$

B. $x = \frac{2}{3}$

C. $x = \frac{2}{5}$

D. $x = \frac{5}{2}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow {OA} - \overrightarrow {OM} + 2\left( {\overrightarrow {OC} - \overrightarrow {OM} } \right) = 0$

Hay –1 – x + 2(3 – x) = 0 ⇔ 3x = 5 ⇔ x = $\frac{5}{3}$

⟹ Chọn A

Câu 9. Trên trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ cho 4 điểm A, B, C, D có tọa độ lần lượt là a, b, c, d. Gọi E, F, G, H (có tọa độ lần lượt là e, f, g, h) theo thứ tự là trung điểm của AB, BC, CD, DA. Xét các mệnh đề:

I) e + f + g + h = a + b + c + d

II) $\overrightarrow {EG} = \overrightarrow {EF} + \overrightarrow {EH}$

III) $\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CF} = \overrightarrow 0$

Trong các mệnh đề trên mệnh đề nào đúng?

A. Chỉ I

B. II và III

C. I, II, III

D. Chỉ III

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức tọa độ trung điểm ⇒ I đúng.

Lấy E làm gốc trục thì x_E = e = 0 ⇒ g = f + h ⇒ II đúng.

$\overrightarrow {AE} + \overrightarrow {CE} = \frac{1}{2}\left( {\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CB} } \right)$ chỉ bằng $\overrightarrow 0$ khi B là trung điểm của AB nên III đúng.

⟹ Chọn B

Câu 10. Cho 4 điểm A, B, C, D trên trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ thỏa mãn $\frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = - \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }}$ . Khi đó mệnh đề nào sau đây là đúng?

A. $\frac{2}{{\overline {AC} }} = \frac{1}{{\overline {AB} }} + \frac{1}{{\overline {AD} }}$

B. $\frac{2}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\overline {AC} }} + \frac{1}{{\overline {DA} }}$

C. $\frac{2}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\overline {AC} }} + \frac{1}{{\overline {AD} }}$

D. $\frac{2}{{\overline {AD} }} = \frac{1}{{\overline {AB} }} + \frac{1}{{\overline {AC} }}$

Hướng dẫn giải

Gọi a, b, c, d lần lượt là tọa độ của A, B, C, D. Ta có:

$\begin{gathered} \left. + \right){\text{ }}\frac{{\overline {CA} }}{{\overline {CB} }} = - \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }} \Leftrightarrow \frac{{\overline {AC} }}{{\overline {CB} }} = \frac{{\overline {DA} }}{{\overline {DB} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {c - b} \right)\left( {b - d} \right) = \left( {b - c} \right)\left( {a - d} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow ac + bd + bc + ad = 2ab + 2cd \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) = 2\left( {ab + cd} \right) \hfill \\ \hfill \\ \left. + \right){\text{ }}\frac{2}{{\overline {AB} }} = \frac{1}{{\overline {AC} }} + \frac{1}{{\overline {AD} }} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \frac{2}{{b - c}} = \frac{1}{{c - a}} + \frac{1}{{d - a}} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {a + b} \right)\left( {c + d} \right) = 2\left( {ab + cd} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 11. Trên trục (Δ) cho bốn điểm A, B, C, D bất kì. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. $\overline {AB} \cdot \overline {CD} + \overline {AC} \cdot \overline {DB} + \overline {AD} \cdot \overline {BC} = 0$

B. $\overline {AB} \cdot \overline {DB} + \overline {AC} \cdot \overline {BC} + \overline {AD} \cdot \overline {CD} = 0$

C. $\overline {AB} \cdot \overline {AC} + \overline {AD} \cdot \overline {BC} + \overline {BC} \cdot \overline {CD} = 0$

D. $\overline {BD} \cdot \overline {BC} + \overline {AD} \cdot \overline {AC} + \overline {CB} \cdot \overline {CA} = 0$

Hướng dẫn giải

Chọn gốc tọa độ O ≡ A

$\Rightarrow {x_A} = 0,{x_B} = \overrightarrow {AB} ,{x_C} = \overrightarrow {AC} ,{x_D} = \overrightarrow {AD}$

Từ đáp án A:

VT = x_B(x_D – x_C) + x_C(x_B – x_D) + x_D(x_C – x_B) = 0

⟹ Chọn A

Câu 12. Trên trục $\left( {O;\overrightarrow i } \right)$ cho ba điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là −5; 2; 4. Khi đó tọa độ điểm M thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MC} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0$ là:

A. $\frac{{10}}{3}$

B. $\frac{{10}}{9}$

C. $\frac{5}{3}$

D. $\frac{5}{4}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} 2\overrightarrow {MA} + 3\overrightarrow {MC} + 4\overrightarrow {MB} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 2\left( { - 5 - {x_M}} \right) + 3\left( {4 - {x_M}} \right) + 4\left( {2 - {x_M}} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x_M} = \frac{{10}}{9} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 13. Trên trục x’Ox cho tọa độ các điểm B, C lần lượt là m − 2 và m² + 3m + 2. Tìm m để đoạn thẳng BC có độ dài nhỏ nhất.

A. m = 2

B. m = 1

C. m = –1

D. m = –2

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} BC = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = \left| {{m^2} + 2m + 4} \right| \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} \begin{gathered} \hfill \\ \hfill \\ \end{gathered} &{} \end{array} = {\left( {m + 1} \right)^2} + 3 \geqslant 3,\forall m \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered}$

BC nhỏ nhất khi m + 1 = 0 ⇔ m = –1

⟹ Chọn C

Câu 14. Trên trục x’Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Gọi I, J, K, L lần lượt là trung điểm của AC, DB, AD, BC. Mệnh đề nào sau đây là sai?

A. $\overrightarrow {AD} + \overrightarrow {CB} = 2\overrightarrow {IJ}$

B. $\overrightarrow {AC} + \overrightarrow {BD} = 2\overrightarrow {KL}$

C. Trung điểm các đoạn IJ và KL trùng nhau

D. $\overrightarrow {AB} + \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {IK}$

Hướng dẫn giải

Ta có: x_D – x_A + x_B – x_C

= x_B + x_D – (x_A + x_C)

= 2x_J – 2x_I = 2(x_J – x_I)

Là tọa độ của $2\overrightarrow {IJ}$ nên A đúng.

Tương tự:

(x_C – x_A) + (x_B – x_D) = 2(x_L – x_K) là tọa độ của $2\overrightarrow {KL}$ ⇒ B đúng

Gọi E, F là trung điểm của IJ và KL

$\begin{gathered} {x_E} = \frac{1}{2}\left( {{x_I} + {x_J}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{x_A} + {x_C}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{x_D} + {x_B}} \right) \hfill \\ \hfill \\ {x_F} = \frac{1}{2}\left( {{x_K} + {x_L}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{x_A} + {x_D}} \right) = \frac{1}{4}\left( {{x_C} + {x_B}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {x_E} = {x_F} \hfill \\ \end{gathered}$

⇒ C đúng

Vậy đáp án D sai.

⟹ Chọn D

Câu 15. Trên trục x’Ox cho 3 điểm A, B, C có tọa độ lần lượt là 2; 1; −2. Khi đó tọa độ điểm M nguyên dương thỏa mãn $\frac{1}{{MA}} = \frac{1}{{MB}} + \frac{1}{{MC}}$ là:

A. 0

B. 4

C. 2

D. 3

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm M là x

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{1}{{2 - x}} = \frac{1}{{1 - x}} + \frac{1}{{ - 2 - x}} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow - {x^2} - 4x = 0 \Rightarrow x = 4 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 16. Trên trục x’Ox cho 4 điểm A, B, C, D. Đẳng thức nào sau đây là đúng?

A. ${\overline {DA} ^2} \cdot \overline {BC} + {\overline {DB} ^2} \cdot \overline {CA} + {\overline {DC} ^2} \cdot \overline {AB} + \overline {BC} \cdot \overline {CA} \cdot \overline {AB} = 0$

B. ${\overline {DA} ^2} \cdot \overline {BC} + {\overline {DB} ^2} \cdot \overline {CA} + {\overline {DC} ^2} \cdot \overline {AB} = 0$

C. ${\overline {AB} ^2} \cdot \overline {BC} + {\overline {CD} ^2} \cdot \overline {DB} + {\overline {DB} ^2} \cdot \overline {CA} = 0$

D. $\overline {DA} \cdot \overline {BC} + \overline {DB} \cdot \overline {CA} + \overline {CD} \cdot \overline {AB} + \overline {BC} \cdot \overline {AB} = 0$

Hướng dẫn giải

Gọi D là gốc tọa độ và a, b, c lần lượt là tọa độ của A, B, C. Ta có:

$\begin{gathered} {\overline {DA} ^2} \cdot \overline {BC} + {\overline {DB} ^2} \cdot \overline {CA} + {\overline {DC} ^2} \cdot \overline {AB} + \overline {AB} \cdot \overline {CA} \cdot \overline {AB} = 0 \hfill \\ \hfill \\ = {a^2}\left( {c - b} \right) + {b^2}\left( {a - c} \right) + {c^2}\left( {b - a} \right) + \left( {c - b} \right)\left( {a - c} \right)\left( {b - a} \right) \hfill \\ \hfill \\ = {a^2}c - {a^2}b + {b^2}a - {b^2}c + {c^2}b - {c^2}a \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + abc - {c^2}b - {b^2}a + {b^2}c - {a^2}c + {c^2}a + {a^2}b - abc = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Dạng 2. Tọa độ vectơ

Dạng 2.1. Sử dụng các công thức tọa độ của tổng, hiệu, tích vectơ với một số để giải toán

Câu 1. Trong hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$ , tọa độ của vectơ $2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$ là:

A. (2; 3)

B. (0; 1)

C. (1; 0)

D. (3; 2)

Hướng dẫn giải

Tọa độ của vectơ $2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$ là (2; 3)

⟹ Chọn A

Câu 2. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho vectơ $\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là:

A. $\overrightarrow u$ = (3; –4)

B. $\overrightarrow u$ = (3; 4)

C. $\overrightarrow u$ = (–3; –4)

D. $\overrightarrow u$ = (–3; 4)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow u = 3\overrightarrow i - 4\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {3; - 4} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxy cho $\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j$ . Tọa độ của vectơ $\overrightarrow u$ là:

A. $\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2};5} \right)$

B. $\overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)$

C. $\overrightarrow u$ = (–1; 10)

D. $\overrightarrow u$ = (1; –10)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow u = \frac{1}{2}\overrightarrow i - 5\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow u = \left( {\frac{1}{2}; - 5} \right)$

⟹ Chọn B

Câu 4. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm M(1; 1), N(4; −1). Tính độ dài vectơ $\overrightarrow {MN}$ .

A. $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {13}$

B. $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 5$

C. $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {29}$

D. $\left| {\overrightarrow {MN} } \right| = 3$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {MN} = \left( {3; - 2} \right) \Rightarrow \left| {\overrightarrow {MN} } \right| = \sqrt {{3^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {13}$

⟹ Chọn A

Câu 5. Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho hai điểm A(2; –1), B(4; 3). Tọa độ của vectơ $\overrightarrow {AB}$ bằng.

A. $\overrightarrow {AB}$ = (8; –3)

B. $\overrightarrow {AB}$ = (–2; –4)

C. $\overrightarrow {AB}$ = (2; 4)

D. $\overrightarrow {AB}$ = (6; 2)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB}$ = (x_B – x_A; y_B – y_A) ⇒ $\overrightarrow {AB}$ = (2; 4)

⟹ Chọn C

Câu 6. Trong hệ trục toạ độ Oxy, toạ độ của vectơ $\overrightarrow a = 8\overrightarrow j - 3\overrightarrow i$ bằng.

A. $\overrightarrow a$ = (–3; 8)

B. $\overrightarrow a$ = (3; –8)

C. $\overrightarrow a$ = (8; 3)

D. $\overrightarrow a$ = (8; –3)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow a = 8\overrightarrow j - 3\overrightarrow i = - 3\overrightarrow i + 8\overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow a = \left( { - 3;8} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 7. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm B(−1; 3) và C(3; 1). Độ dài vectơ $\overrightarrow {BC}$ bằng.

A. 6

B. $2\sqrt 5$

C. 2

D. $\sqrt 5$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \overrightarrow {BC} = \left( {4; - 2} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow {BC} } \right| = BC = \sqrt {{4^2} + {{\left( { - 2} \right)}^2}} = \sqrt {20} = 2\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 8. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 3) và B(0; 6). Khẳng định nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB}$ = (5; –3)

B. $\overrightarrow {AB}$ = (1; –3)

C. $\overrightarrow {AB}$ = (3; –5)

D. $\overrightarrow {AB}$ = (–1; 3)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB}$ = (x_B – x_A; y_B – y_A) = (–1; 3)

⟹ Chọn D

Câu 9. Xác định tọa độ của vectơ $\overrightarrow c = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b$ biết $\overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow b = \left( {3;4} \right)$

A. $\overrightarrow c$ = (11; 11)

B. $\overrightarrow c$ = (11; –13)

C. $\overrightarrow c$ = (11; 13)

D. $\overrightarrow c$ = (7; 13)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow c = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b = \left( {2; - 1} \right) + \left( {9;12} \right) = \left( {11;11} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 10. Cho $\overrightarrow a = \left( {2;1} \right),\overrightarrow b = \left( {3;4} \right),\overrightarrow c = \left( { - 7;2} \right)$ . Tìm vectơ $\overrightarrow x$ sao cho $\overrightarrow x - 2\overrightarrow a = \overrightarrow b - 3\overrightarrow c$

A. $\overrightarrow x$ = (28; 2)

B. $\overrightarrow x$ = (13; 5)

C. $\overrightarrow x$ = (16; 4)

D. $\overrightarrow x$ = (28; 0)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow x - 2\overrightarrow a = \overrightarrow b - 3\overrightarrow c \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow b - 3\overrightarrow c + 2\overrightarrow a = \left( {28;0} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 11. Vectơ $\overrightarrow a = \left( {5;0} \right)$ biểu diễn dạng $\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j$ được kết quả nào sau đây?

A. $\overrightarrow a = 5\overrightarrow i - \overrightarrow j$

B. $\overrightarrow a = 5\overrightarrow i$

C. $\overrightarrow a = \overrightarrow i - 5\overrightarrow j$

D. $\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 5\overrightarrow j$

Hướng dẫn giải

⟹ Chọn B

Câu 12. Xác định tọa độ vectơ $\overrightarrow c = 5\overrightarrow a - 2\overrightarrow b$ biết $\overrightarrow a = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow b = \left( {1;4} \right)$

A. $\overrightarrow c$ = (2; –11)

B. $\overrightarrow c$ = (–2; 11)

C. $\overrightarrow c$ = (2; 11)

D. $\overrightarrow c$ = (11; 2)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow c$ = 3(3; –2) + 2(1; 4) = (11; 2)

⟹ Chọn D

Câu 13. Cho $\overrightarrow a = \left( {3; - 1} \right),\overrightarrow b = \left( {0;4} \right),\overrightarrow c = \left( {5;3} \right)$ . Tìm vectơ $\overrightarrow x$ sao cho $\overrightarrow x - \overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0$ .

A. $\overrightarrow x$ = (18; 0)

B. $\overrightarrow x$ = (–8; 18)

C. $\overrightarrow x$ = (8; 18)

D. $\overrightarrow x$ = (8; –18)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow x - \overrightarrow a + 2\overrightarrow b - 3\overrightarrow c = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \overrightarrow x = \overrightarrow a - 2\overrightarrow b + 3\overrightarrow c = \left( {18;0} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 14. Cho điểm A(−2; 3) và vectơ $\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j$ . Vectơ nào trong hình là vectơ $\overrightarrow {AM}$

A. $\overrightarrow {{V_1}}$

B. $\overrightarrow {{V_2}}$

C. $\overrightarrow {{V_3}}$

D. $\overrightarrow {{V_4}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {{V_4}} = 3\overrightarrow i - 2\overrightarrow j$

⟹ Chọn D

Dạng 2.2. Điều kiện 2 vectơ cùng phương, thẳng hàng, bằng nhau

Câu 1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $\left( {O;\overrightarrow i ;\overrightarrow j } \right)$ , cho hai vectơ $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j$ và $\overrightarrow b = \left( { - 4;2} \right)$ . Khẳng định nào sau đây là đúng?

A. $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng hướng

B. $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng

C. $\overrightarrow a$ = (–1; 2)

D. $\overrightarrow a$ = (2; 1)

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j \Rightarrow \overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right) \Rightarrow \overrightarrow b = - 2\overrightarrow a$

⇒ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ ngược hướng

⟹ Chọn B

Câu 2. Cho $\overrightarrow A = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow B = \left( { - 5;4} \right),\overrightarrow C = \left( {\frac{1}{3};0} \right)$ . Tìm $\overrightarrow x$ thỏa mãn $\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {AC}$ .

A. x = 3

B. x = –3

C. x = 2

D. x = –4

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 8;6} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - \frac{8}{3};2} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = 3\overrightarrow {AC}$

⟹ Chọn A

Câu 3. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?

A. $\overrightarrow a = \left( {2;3} \right),\overrightarrow b = \left( { - 10; - 15} \right)$

B. $\overrightarrow u = \left( {0;5} \right),\overrightarrow v = \left( {0;8} \right)$

C. $\overrightarrow m = \left( { - 2;1} \right),\overrightarrow n = \left( { - 6;3} \right)$

D. $\overrightarrow c = \left( {3;4} \right),\overrightarrow d = \left( {6;9} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{3}{6} \ne \frac{4}{9}$

⇒ $\overrightarrow c$ và $\overrightarrow d$ không cùng phương

⟹ Chọn D

Câu 4. Cho A(–1; 1), B(1; 3), C(–2; 0). Tìm x sao cho $\overrightarrow {AB} = x\overrightarrow {BC}$

A. $x = \frac{2}{3}$

B. $x = - \frac{2}{3}$

C. $x = \frac{3}{2}$

D. $x = - \frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3; - 3} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \frac{2}{3}\overrightarrow {BC} \Rightarrow x = - \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 5. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, $\overrightarrow a = \left( {5;2} \right),\overrightarrow b = \left( {10;6 - 2x} \right)$ . Tìm x để $\overrightarrow a$ ; $\overrightarrow b$ cùng phương?

A. 1

B. –1

C. 2

D. –2

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a$ ; $\overrightarrow b$ cùng phương khi và chỉ khi

$\frac{{10}}{5} = \frac{{6 - 2x}}{2} \Leftrightarrow x = 1$

⟹ Chọn A

Câu 6. Trong các cặp vectơ sau, cặp vectơ nào không cùng phương?

A. $\overrightarrow a = \left( {2;3} \right),\overrightarrow b = \left( {6;9} \right)$

B. $\overrightarrow u = \left( { - 1;5} \right),\overrightarrow v = \left( {1; - 5} \right)$

C. $\overrightarrow m = \left( { - 2;1} \right),\overrightarrow n = \left( {1;2} \right)$

D. $\overrightarrow c = \left( {3;4} \right),\overrightarrow d = \left( { - 6; - 8} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{{ - 2}}{1} \ne \frac{1}{2}$

⇒ $\overrightarrow m$ và $\overrightarrow n$ không cùng phương

⟹ Chọn C

Câu 7. Cho $\overrightarrow u = \left( {{m^2} + 3;2m} \right),\overrightarrow v = \left( {5m - 3;{m^2}} \right)$ . Vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow v$ khi và chỉ khi m thuộc tập hợp:

A. {2}

B. {0; 2}

C. {0; 2; 3}

D. {3}

Hướng dẫn giải

Theo bài ra $\overrightarrow u = \overrightarrow v \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {m^2} + 3 = 5m - 3 \hfill \\ 2m = {m^2} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow m = 2$

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho 2 vectơ $\overrightarrow u = \left( {2m - 1} \right)\overrightarrow i + \left( {3 - m} \right)\overrightarrow j$ và $\overrightarrow v = 2\overrightarrow i + 3\overrightarrow j$ . Tìm m để hai vectơ cùng phương.

A. $m = \frac{5}{{11}}$

B. $m = \frac{{11}}{5}$

C. $m = \frac{9}{8}$

D. $m = \frac{8}{9}$

Hướng dẫn giải

Để 2 vectơ cùng phương thì

$\frac{{2m - 1}}{2} = \frac{{3 - m}}{3} \Leftrightarrow m = \frac{9}{8}$

⟹ Chọn C

Câu 9. Trong mặt phẳng Oxy, cho A(m – 1; 2), B(2; 5 – 2m), C(m – 3; 4). Tìm m để A, B, C thẳng hàng.

A. m = 3

B. m = 2

C. m = –2

D. m = 1

Hướng dẫn giải

A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{{3 - m}}{{m - 5}} = \frac{{3 - 2m}}{{2m - 1}}$

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left( {3 - m} \right)\left( {2m - 1} \right) = \left( {3 - 2m} \right)\left( {m - 5} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow m = 2 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 10. Trong hệ trục Oxy, cho 4 điểm A(3; –2), B(7; 1), C(0; 1), D(–8; –5). Mệnh đề nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ đối nhau

B. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ ngược hướng

C. $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ cùng hướng

D. A, B, C, D thẳng hàng

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\overrightarrow {CD} = \left( { - 8; - 6} \right) \Rightarrow \overrightarrow {AB} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CD}$

Nên $\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {CD}$ ngược hướng

⟹ Chọn B

Câu 11. Cho $\overrightarrow a = \left( {4; - m} \right),\overrightarrow v = \left( {2m + 6;1} \right)$ . Tập giá trị của m để hai vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ cùng phương là:

A. {−1; 1}

B. {−1; 2}

C. {−2; –1}

D. {−2; 1}

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow a$ cùng phương $\overrightarrow b$

$\Leftrightarrow \overrightarrow a = k\overrightarrow b \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 4 = k\left( {2m + 6} \right) \hfill \\ - m = k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} m = - 1 \hfill \\ m = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn C

Câu 12. Cho 4 điểm A(1; –2), B(0; 3), C(–3; 4), D(−1; 8). Ba điểm nào trong bốn điểm đã cho thẳng hàng?

A. A, B, C

B. B, C, D

C. A, B, D

D. A, C, D

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;5} \right),\overrightarrow {DA} = \left( {2; - 10} \right) \Rightarrow \overrightarrow {DA} = - 2\overrightarrow {AB}$

⇒ A, B, D thẳng hàng

⟹ Chọn C

Câu 13. Cho 2 vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow b$ không cùng phương. Hai vectơ nào sau đây cùng phương?

A. $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a + \overrightarrow b ,\overrightarrow v = \frac{1}{2}\overrightarrow a - 3\overrightarrow b$

B. $\overrightarrow u = \frac{2}{3}\overrightarrow a + 3\overrightarrow b ,\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - 9\overrightarrow b$

C. $\overrightarrow u = \frac{3}{5}\overrightarrow a + 3\overrightarrow b ,\overrightarrow v = 2\overrightarrow a - \frac{3}{5}\overrightarrow b$

D. $\overrightarrow u = 2\overrightarrow a - \frac{3}{2}\overrightarrow b ,\overrightarrow v = - \frac{1}{3}\overrightarrow a - \frac{1}{4}\overrightarrow b$

Hướng dẫn giải

$2\overrightarrow u = 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow b ,12\overrightarrow v = - 4\overrightarrow a - 3\overrightarrow b \Rightarrow \overrightarrow u = - 6\overrightarrow v$

⟹ Chọn D

Câu 14. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho A(m – 1; 2), B(2; 5 – 2m) và C(m – 3; 4). Tìm giá trị m để A, B, C thẳng hàng.

A. m = −2

B. m = 2

C. m = 1

D. m = 3

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3 - m;3 - 2m} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2;2} \right)$

Do A, B, C thẳng hàng nên tồn tại số thực k sao cho

$\overrightarrow {AB} = k\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 - m = - 2k \hfill \\ 3 - 2m = 2k \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow m = 2$

⟹ Chọn B

Dạng 2.3 Biểu diễn một vectơ theo 2 vectơ không cùng phương

Câu 1. Vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right)$ biểu diễn dưới dạng $\overrightarrow a = x\overrightarrow i + y\overrightarrow j$ được kết quả nào sau đây?

A. $\overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j$

B. $\overrightarrow a = \overrightarrow i - 2\overrightarrow j$

C. $\overrightarrow a = - 2\overrightarrow i + \overrightarrow j$

D. $\overrightarrow a = - \overrightarrow i + 2\overrightarrow j$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right) \Leftrightarrow \overrightarrow a = 2\overrightarrow i - \overrightarrow j$

⟹ Chọn A

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho $\overrightarrow a = \left( {2;1} \right)$ , $\overrightarrow b = \left( {3;4} \right)$ , $\overrightarrow c = \left( {7;2} \right)$ . Cho biết $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b$ khi đó.

A. $m = \frac{{22}}{5},n = \frac{3}{5}$

B. $m = - \frac{{22}}{5},n = - \frac{3}{5}$

C. $m = \frac{1}{5},n = - \frac{3}{5}$

D. $m = \frac{{22}}{5},n = - \frac{3}{5}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \left( {2m + 3n;m + 4n} \right)$

$\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 3 = 7 \hfill \\ m + 4n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \frac{{22}}{5} \hfill \\ \hfill \\ n = - \frac{3}{5} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn D

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho các điểm A(4; 2), B(–2; 1), C(0; 3), M(–3; 7). Giả sử $\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$ . Khi đó x + y bằng:

A. $\frac{{12}}{5}$

B. 5

C. $- \frac{{12}}{5}$

D. –5

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AM} = \left( { - 7;5} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 6; - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;1} \right)$

Giả sử $\overrightarrow {AM} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} \left( {x,y \in \mathbb{R}} \right)$

Hệ phương trình $\left\{ \begin{gathered} 6x + 4y = 7 \hfill \\ x - y = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{{13}}{{10}} \hfill \\ \hfill \\ y = \frac{{37}}{{10}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn A

Câu 4. Trong mặt phẳng Oxy, cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {2; - 1} \right),\overrightarrow b = \left( {0;4} \right)$ và $\overrightarrow c = \left( {3;3} \right)$ . Gọi m và n là hai số thực sao cho $\overrightarrow c = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b$ . Tính giá trị biểu thức P = m² + n².

A. ${\text{P}} = \frac{{225}}{{64}}$

B. ${\text{P}} = \frac{{100}}{{81}}$

C. ${\text{P}} = \frac{{97}}{{64}}$

D. ${\text{P}} = \frac{{193}}{{64}}$

Hướng dẫn giải

Ta có: $m\overrightarrow a - n\overrightarrow b = \left( {2m; - m - 4n} \right)$

Khi đó:

$\overrightarrow c = m\overrightarrow a - n\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m = 3 \hfill \\ - m - 4n = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \frac{3}{2} \hfill \\ \hfill \\ n = - \frac{9}{8} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy ${\text{P}} = {m^2} + {n^2} = \frac{{225}}{{64}}$

⟹ Chọn A

Câu 5. Cho $\overrightarrow a = \left( {2;1} \right)$ , $\overrightarrow b = \left( { - 3;4} \right)$ , $\overrightarrow c = \left( { - 4;9} \right)$ . Hai số thực m, n thỏa mãn $m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow c$ . Tính m² + n²?

A. 5

B. 3

C. 4

D. 1

Hướng dẫn giải

Ta có:

$m\overrightarrow a + n\overrightarrow b = \overrightarrow c \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m - 3n = - 4 \hfill \\ m + 4n = 9 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 1 \hfill \\ n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn A

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy, cho $\overrightarrow a = \left( {2;1} \right)$ , $\overrightarrow b = \left( {3;4} \right)$ , $\overrightarrow c = \left( {7;2} \right)$ . Tìm m, n để $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b$ .

A. $m = - \frac{{22}}{5},n = - \frac{3}{5}$

B. $m = \frac{1}{5},n = - \frac{3}{5}$

C. $m = \frac{{22}}{5},n = - \frac{3}{5}$

D. $m = \frac{{22}}{5},n = \frac{3}{5}$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 3n = 7 \hfill \\ m + 4n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = \frac{{22}}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ n = - \frac{3}{5}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn C

Câu 7. Cho các vectơ $\overrightarrow a = \left( {4; - 2} \right)$ , $\overrightarrow b = \left( { - 1;1} \right)$ , $\overrightarrow c = \left( {2;5} \right)$ . Phân tích vectơ $\overrightarrow a$ và $\overrightarrow c$ ta được:

A. $\overrightarrow b = - \frac{1}{8}\overrightarrow a - \frac{1}{4}\overrightarrow c$

B. $\overrightarrow b = \frac{1}{8}\overrightarrow a - \frac{1}{4}\overrightarrow c$

C. $\overrightarrow b = - \frac{1}{8}\overrightarrow a - 4\overrightarrow c$

D. $\overrightarrow b = - \frac{1}{8}\overrightarrow a + \frac{1}{4}\overrightarrow c$

Hướng dẫn giải

Giả sử $\overrightarrow b = m\overrightarrow a + n\overrightarrow c$

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 = 4m + 2n \hfill \\ - 1 = - 2m + 5n \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = - \frac{1}{8}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ n = - \frac{1}{4}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn A

Câu 8. Cho vectơ $\overrightarrow a = \left( {2;1} \right)$ , $\overrightarrow b = \left( {3;4} \right)$ , $\overrightarrow c = \left( {7;2} \right)$ . Khi đó $\overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b$ . Tính tổng m + n bằng:

A. 5

B. 3,8

C. –5

D. –3,8

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \overrightarrow c = m\overrightarrow a + n\overrightarrow b \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2m + 3n = 7 \hfill \\ m + 4n = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} m = 4,4 \hfill \\ n = - 0,6 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow m + n = 3,8 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho 4 điểm A(1; –2), B(0; 3), C(–3; 4), D(–1; 8). Phân tích $\overrightarrow {CD}$ qua $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {AC}$ . Đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$

B. $\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC}$

C. $\overrightarrow {CD} = \overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$

D. $\overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {AB} - \frac{1}{2}\overrightarrow {AC}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \overrightarrow {CD} = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {AB} = \left( { - 1;5} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 4;6} \right) \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {CD} = x\overrightarrow {AB} + y\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - x - 4y = 2 \hfill \\ 5x + 6y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {CD} = 2\overrightarrow {AB} - \overrightarrow {AC} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Dạng 3. Tọa độ điểm

Dạng 3.1. Xác định tọa độ trung điểm, tọa độ trọng tâm, tọa độ điểm đối xứng

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho điểm M(x; y). Tìm tọa độ của điểm M₁ đối xứng với M qua trục hoành?

A. M₁(x; y)

B. M₁(x; –y)

C. M₁(–x; y)

D. M₁(–x; –y)

Hướng dẫn giải

Chọn M₁ đối xứng với M qua trục hoành có tọa độ là M₁(x; –y)

⟹ Chọn B

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ΔABC biết A(2; –3), B(4; 7), C(1; 5). Tọa độ trọng tâm G của ΔABC là:

A. (7; 15)

B. $\left( {\frac{7}{3};5} \right)$

C. (7; 9)

D. $\left( {\frac{7}{3};3} \right)$

Hướng dẫn giải

Do G là trọng tâm nên ΔABC

$\left\{ \begin{gathered} {x_G} = \frac{{{x_A} + {x_B} + {x_C}}}{3} \hfill \\ \hfill \\ {y_G} = \frac{{{y_A} + {y_B} + {y_C}}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_G} = \frac{7}{3} \hfill \\ \hfill \\ {y_G} = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow G\left( {\frac{7}{3};3} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 3. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; –3), B(4; 7). Tìm tọa độ trung điểm I của AB.

A. (3; 2)

B. (2; 10)

C. (6; 4)

D. (8; –21)

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức:

I là trung điểm của đoạn thẳng AB: $\left\{ \begin{gathered} {x_I} = \frac{{{x_A} + {x_B}}}{2} \hfill \\ \hfill \\ {y_I} = \frac{{{y_A} + {y_B}}}{2} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Do đó: $\left\{ \begin{gathered} {x_I} = \frac{{2 + 4}}{2} = 3 \hfill \\ \hfill \\ {y_I} = \frac{{ - 3 + 7}}{2} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow I\left( {3;2} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 4. Cho ΔABC có A(4; 9), B(3; 7), C(x – 1; y). Để G(x; y + 6) là trọng tâm ΔABC thì giá trị x và y là

A. x = 3; y = 1

B. x = –3; y = –1

C. x = –3; y = 1

D. x = 3; y = –1

Hướng dẫn giải

Ta có: $\left\{ \begin{gathered} 3y = 4 + 3 + x - 1 \hfill \\ 3\left( {y + 6} \right) = 9 + 7 + y \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn D

Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2; –3), B(4; 7). Tìm tọa độ trung điểm I của đoạn AB.

A. I (6; 4)

B. I (2; 10)

C. I (3; 2)

D. I (8; −21)

Hướng dẫn giải

Ta có: $I\left( {\frac{{2 + 4}}{2};\frac{{ - 3 + 7}}{2}} \right) = \left( {3;2} \right)$

⟹Chọn C

Câu 6. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(2; 1), B(–1; –2), C (−3; 2). Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là?

A. $G\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)$

B. $G\left( { - \frac{2}{3};\frac{2}{3}} \right)$

C. $G\left( { - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$

D. $G\left( {\frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)$

Hướng dẫn giải

Tọa độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

$G\left( {\frac{{2 - 1 - 3}}{3};\frac{{1 - 2 + 2}}{3}} \right) \Rightarrow G\left( { - \frac{2}{3};\frac{1}{3}} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(−1; 2), B(2; 0), C(−3; 1). Toạ độ trọng tâm G của tam giác ABC là:

A. $G\left( { - \frac{2}{3};1} \right)$

B. $G\left( {\frac{2}{3}; - 1} \right)$

C. $G\left( { - \frac{4}{3};1} \right)$

D. $G\left( {\frac{4}{3}; - 1} \right)$

Hướng dẫn giải

Giả sử G(x; y) khi đó: $\left\{ \begin{gathered} x = \frac{{ - 1 + 2 - 3}}{3} \hfill \\ \hfill \\ y = \frac{{2 + 0 + 1}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{2}{3} \hfill \\ \hfill \\ y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Suy ra: $G\left( { - \frac{2}{3};1} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(–4; 1), B(2; 4), C(2; –2). Tìm tọa độ điểm D sao cho C là trọng tâm ΔABD.

A. D(8; 11)

B. D(12; 11)

C. D(8; –11)

D. D(–8; –11)

Hướng dẫn giải

Gọi D(x; y). C là trọng tâm ΔABD khi đó:

$\left\{ \begin{gathered} 2 = \frac{{ - 4 + 2 + x}}{3} \hfill \\ \hfill \\ - 2 = \frac{{1 + 4 + y}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 8 \hfill \\ y = - 11 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow D\left( {8; - 11} \right)$

⟹ Chọn C

Câu 9. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC có A(3; 5), B(1; 2), C(5; 2). Tìm tọa độ trọng tâm G của tam giác.

A. G (−3; 4)

B. G (4; 0)

C. G (2; 3)

D. G (3; 3)

Hướng dẫn giải

Ta có: $G = \left( {\frac{{3 + 1 + 5}}{3};\frac{{5 + 2 + 2}}{3}} \right) = \left( {3;3} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 10. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho bốn điểm A(3; –5), B(–3; 3), C(–1; –2), D(5; –10). Hỏi $G\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)$ là trọng tâm của tam giác nào dưới đây?

A. ABC

B. BCD

C. ACD

D. ABD

Hướng dẫn giải

Ta thấy $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 5} \right),\overrightarrow {BD} = \left( {8; - 13} \right)$ nên chúng không cùng phương ⇒ B, C, D là 3 đỉnh của một tam giác.

Mặt khác, ta lại có: $\left\{ \begin{gathered} \frac{{{x_B} + {x_C} + {x_D}}}{3} = \frac{{ - 3 - 1 + 5}}{3} = \frac{1}{3} \hfill \\ \hfill \\ \frac{{{y_B} + {y_C} + {y_D}}}{3} = \frac{{3 - 2 - 10}}{3} = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy $G\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)$ là trọng tâm của tam giác BCD

⟹ Chọn B

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có D(3; 4), E(6; 1), F(7; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh AB, BC, CA. Tính tổng tung độ ba đỉnh của tam giác ABC.

A. $\frac{{16}}{3}$

B. $\frac{8}{3}$

C. 8

D. 16

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {y_A} + {y_B} = 2{y_D} = 2 \cdot 4 = 8 \hfill \\ {y_A} + {y_C} = 2{y_F} = 2 \cdot 3 = 6 \hfill \\ {y_B} + {y_C} = 2{y_E} = 2 \cdot 1 = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow 2\left( {{y_A} + {y_B} + {y_C}} \right) = 8 + 6 + 2 = 16 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {y_A} + {y_B} + {y_C} = 8 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ΔABC có M(2; 3), N(0; 4), P(–1; 6) lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CA, AB. Tìm tọa độ đỉnh A.

A. A(1; 5)

B. A(−3; 7)

C. A(–2; –7)

D. A(1; –10)

Hướng dẫn giải

Gọi A(x; y), ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {PA} = \overrightarrow {MN} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 1 = - 2 \hfill \\ y - 6 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = 7 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow A\left( { - 3;7} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 13. Cho tam giác ABC. Biết trung điểm của các cạnh BC, CA, AB có tọa độ lần lượt là M(1; –1), N(3; 2), P(0; –5). Khi đó tọa độ của điểm A là:

A. (2; –2)

B. (5; 1)

C. (5; 0)

D. (2; 2)

Hướng dẫn giải

Tam giác ABC và MNP có cùng trọng tâm G

Có $G\left( {\frac{4}{3}; - \frac{4}{3}} \right),\overrightarrow {GM} = \left( { - \frac{1}{3};\frac{1}{3}} \right)$ , gọi A(x; y).

$\overrightarrow {AG} = 2\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \frac{4}{3} - x = - \frac{2}{3} \hfill \\ \hfill \\ - \frac{4}{3} - y = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy A(2; –2)

⟹ Chọn A

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ΔMNP có M(1; –1), N(5; –3) và P thuộc trục Oy. Trọng tâm G của tam giác nằm trên trục Ox. Tọa độ của điểm P là:

A. P(0; 4)

B. P(2; 0)

C. P(2; 4)

D. P(0; 2)

Hướng dẫn giải

Ta có P thuộc Oy ⇒ (0; y), G thuộc trục Ox ⇒ G(x; 0)

Vì G là trọng tâm ΔMNP

$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3} \hfill \\ \hfill \\ 0 = \frac{{ - 1 - 3 + y}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn C

Câu 15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(3; –4). Gọi M₁, M₂ lần lượt là hình chiếu vuông góc của M trên Ox, Oy. Khẳng định nào đúng?

A. $\overline {O{M_1}} = - 3$

B. $\overline {O{M_2}} = 4$

C. $\overrightarrow {O{M_1}} - \overrightarrow {O{M_2}} = \left( { - 3;4} \right)$

D. $\overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = \left( {3; - 4} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: M₁(3; 0), M₂(0; –4)

$\begin{gathered} \Rightarrow \overline {O{M_1}} = 3,\overline {O{M_2}} = - 4 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \overrightarrow {O{M_1}} + \overrightarrow {O{M_2}} = 2\overrightarrow {OI} = \left( {3; - 4} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Với I là trung điểm của M₁M₂

⟹ Chọn D

Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(2; 0), N(2; 2), P(–1; 3) lần lượt là trung điểm các cạnh BC, CA, AB của ΔABC. Tọa độ điểm B là:

A. B(1; 1)

B. B(–1; –1)

C. B(–1; 1)

D. B(1; –1)

Hướng dẫn giải

Ta có: BPMN là hình bình hành nên

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} {x_B} + {x_N} = {x_P} + {x_M} \hfill \\ {y_B} + {y_N} = {y_P} + {y_M} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_B} + 2 = - 1 + 2 \hfill \\ {y_B} + 2 = 3 + 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_B} = - 1 \hfill \\ {y_B} = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 17. Trong mặt phẳng Oxy, cho tam giác MNP có M(1; –1), N(5; –3) và P là điểm thuộc trục Oy, trọng tâm G của tam giác MNP nằm trên trục Ox. Tọa độ điểm P là:

A. (2; 4)

B. (0; 4)

C. (0; 2)

D. (2; 0)

Hướng dẫn giải

P ∈ Oy ⇒ P(0; y)

G ∈ Ox ⇒ G(x; 0)

Điểm G là trọng tâm của tam giác MNP

$\Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = \frac{{1 + 5 + 0}}{3} \hfill \\ \hfill \\ 0 = \frac{{\left( { - 1} \right) + \left( { - 3} \right) + y}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn B

Dạng 3.2. Xác định tọa độ điểm thỏa mãn điều kiện cho trước

Câu 1. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(–1; 1), B(1; 3), C(5; 2). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

A. (3; 0)

B. (5; 0)

C. (7; 0)

D. (5; –2)

Hướng dẫn giải

Gọi D(x; y)

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;2} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {5 - x;2 - y} \right)$

ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5 - x = 2 \hfill \\ 2 - y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy D(3; 0)

⟹ Chọn A

Câu 2. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hình bình hành ABCD có A(–2; 3), B(0; 4), C(5; –4). Tọa độ đỉnh D là?

A. (3; 2)

B. (3; 7)

C. (7; 2)

D. (3; –5)

Hướng dẫn giải

Gọi D(x; y)

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {2;1} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {5 - x; - 4 - y} \right)$

ABCD là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5 - x = 2 \hfill \\ - 4 - y = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = - 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy D(3; –5)

⟹ Chọn D

Câu 3. Trong mặt phẳng Oxy, cho hai điểm A(1; 4), B(–4; 2). Tọa độ giao điểm của đường thẳng đi qua hai điểm A, B với trục hoành là

A. (–9; 0)

B. (0; 9)

C. (9; 0)

D. (0; –9)

Hướng dẫn giải

Gọi M(m; 0) là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành.

Khi đó: A, B, M thẳng hàng

Ta có: $\frac{{m - 1}}{{ - 5}} = \frac{{ - 4}}{{ - 2}} \Leftrightarrow m = - 9$

Vậy M(–9; 0)

⟹ Chọn A

Câu 4. Trên mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho hai điểm A(1; 1), B(2; 4)). Tìm tọa độ điểm M để tứ giác OBMA là một hình bình hành.

A. M(–3; –3)

B. M(3; –3)

C. M(3; 3)

D. M(–3; 3)

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y)

Khi đó: $\overrightarrow {OB} = \left( {2;4} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1;y + 1} \right)$

Tứ giác OBMA là một hình bình hành khi và chỉ khi

$\overrightarrow {OB} = \overrightarrow {AM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 1 = 2 \hfill \\ y + 1 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy M(3; 3)

⟹ Chọn C

Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(2; 1), B(0; –3), C(3; 1). Tìm tọa độ điểm D để ABCD là hình bình hành.

A. D(5; 5)

B. D(5; –2)

C. D(5; –4)

D. D(–1; –4)

Hướng dẫn giải

Gọi D(x; y). Ta có:

$\overrightarrow {AD} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 = 3 \hfill \\ y - 1 = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = 5 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy D(5; 5)

⟹ Chọn A

Câu 6. Trong mặt phẳng Oxy cho tam giác ABC có A(2; 1), B(–1; 2), C(3; 0). Tứ giác ABCE là hình bình hành khi tọa độ E là cặp số nào sau đây?

A. (6; –1)

B. (0; 1)

C. (1; 6)

D. (6; 1)

Hướng dẫn giải

Gọi E(x; y). Tứ giác ABCE là hình bình hành nên

$\overrightarrow {AE} = \overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 = 4 \hfill \\ y - 1 = - 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 6 \hfill \\ y = - 1 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

⟹ Chọn A

Câu 7. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3), một điểm E thỏa mãn $\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$ . Tọa độ của E là:

A. (–3; 3)

B. (–3; –3)

C. (3; –3)

D. (–2; –3)

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 4} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {1; - 2} \right)$

Gọi E(x; y). Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 = 3\left( { - 1} \right) - 2 \cdot 1 \hfill \\ y - 5 = 3\left( { - 4} \right) - 2\left( { - 2} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {\text{E}}\left( { - 3; - 3} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 8. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(–3; 1), B(1; 4), C (5; 3). Tìm tọa độ điểm D sao cho ABCD là hình bình hành.

A. D(–1; 0)

B. D(1; 0)

C. D(0; –1)

D. D(0; 1)

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;3} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {5 - x;3 - y} \right)$ với D(x; y)

$\overrightarrow {AB} = \overrightarrow {DC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 5 - x = 4 \hfill \\ 3 - y = 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\text{D}}\left( {1;0} \right)$

⟹ Chọn B

Câu 9. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho tam giác ABC có trọng tâm $G\left( {\frac{2}{3};0} \right)$ , biết M(1; –1) là trung điểm của cạnh BC. Tọa độ đỉnh A là?

A. (2; 0)

B. (–2; 0)

C. (0; –2)

D. (0; 2)

Hướng dẫn giải

Gọi A(x_A; y_A). Ta tính được:

$\overrightarrow {AM} = \left( {1 - {x_A}; - 1 - {y_A}} \right),\overrightarrow {GM} = \left( {\frac{1}{3}; - 1} \right)$

Ta có:

$\overrightarrow {AM} = 3\overrightarrow {GM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 1 - {x_A} = 1 \hfill \\ - 1 - {y_A} = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_A} = 0 \hfill \\ {y_A} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy A(0; 2)

⟹ Chọn B

Câu 10. Trên mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(2; 3), B(−2; 1). Điểm C thuộc tia Ox sao cho tam giác ABC vuông tại C có tọa độ là:

A. C(3; 0)

B. C(−3; 0)

C. C(−1; 0)

D. C(2; 0)

Hướng dẫn giải

Ta có: C ∈ Ox ⇒ C(x; 0). Khi đó:

$\overrightarrow {AC} = \left( {x - 2; - 3} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {x + 2; - 1} \right)$

Tam giác ABC vuông tại C

$\begin{gathered} \Rightarrow \overrightarrow {AC} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {BC} \Leftrightarrow \overrightarrow {AC} \cdot \overrightarrow {BC} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 3 = 0 \Leftrightarrow x = \pm 1 \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy C(–1; 0) hoặc C(1; 0)

⟹ Chọn C

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho A(3; 3), B(–1; –9), C(5; –1). Gọi I là trung điểm của AB. Tìm tọa độ M sao cho $\overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI}$ .

A. (5; 4)

B. (1; 2)

C. (–6; –1)

D. (2; 1)

Hướng dẫn giải

Giả sử M(x; y). Ta có:

$\begin{gathered} I\left( {1; - 3} \right),\overrightarrow {CI} = \left( { - 4; - 2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 3;y - 3} \right) \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {AM} = - \frac{1}{2}\overrightarrow {CI} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 3 = 2 \hfill \\ y - 3 = 1 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 5 \hfill \\ y = 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy M(5; 4)

⟹ Chọn A

Câu 12. Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, cho ΔABC có A(–3; 3), B(1; 4), C(2; –5). Tọa độ điểm M thỏa mãn $2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {CM}$ là?

A. ${\text{M}}\left( {\frac{1}{6};\frac{5}{6}} \right)$

B. ${\text{M}}\left( { - \frac{1}{6}; - \frac{5}{6}} \right)$

C. ${\text{M}}\left( {\frac{1}{6}; - \frac{5}{6}} \right)$

D. ${\text{M}}\left( {\frac{5}{6}; - \frac{1}{6}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} 2\overrightarrow {MA} - \overrightarrow {BC} = 4\overrightarrow {CM} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( { - 3 - {x_M}} \right) - \left( {2 - 1} \right) = 4\left( {{x_M} - 2} \right) \hfill \\ 2\left( {3 - {y_M}} \right) - \left( {5 - 4} \right) = 4\left( {{y_M} + 5} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_M} = \frac{1}{6} \hfill \\ \hfill \\ {y_M} = - \frac{5}{6} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\text{M}}\left( {\frac{1}{6}; - \frac{5}{6}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn C

Câu 13. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2; –3), B(3; 4). Tìm tọa độ điểm M trên trục hoành sao cho A, B, M thẳng hàng.

A. M(1; 0)

B. M(4; 0)

C. ${\text{M}}\left( { - \frac{5}{3};0} \right)$

D. ${\text{M}}\left( {\frac{{17}}{7};0} \right)$

Hướng dẫn giải

M ∈ Ox ⇒ M(x; 0). Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {1;7} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {m - 2;3} \right)$

Để A, B, M thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{{m - 2}}{1} = \frac{3}{7} \Leftrightarrow m = \frac{{17}}{7}$

⟹ Chọn D

Câu 14. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(1; –3). Tìm tọa độ giao điểm I của hai đường chéo hình bình hành OABC.

A. ${\text{I}}\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right)$

B. ${\text{I}}\left( {\frac{5}{2};\frac{1}{2}} \right)$

C. ${\text{I}}\left( {2;6} \right)$

D. ${\text{I}}\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$

Hướng dẫn giải

I là trung điểm của OB ⇒ ${\text{I}}\left( {\frac{1}{2}; - \frac{3}{2}} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 15. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(1; 3), B(4; 0). Tìm tọa độ điểm M thỏa mãn $\overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0$ .

A. M(1; 18)

B. M(–1; 18)

C. M(–18; 1)

D. M(1; –18)

Hướng dẫn giải

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} - 3\overrightarrow {MC} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left( {1 - {x_M}} \right) + \left( {4 - {x_M}} \right) - 3\left( {2 - {x_M}} \right) = 0 \hfill \\ \left( {3 - {y_M}} \right) + \left( {0 - {y_M}} \right) - 3\left( { - 5 - {y_M}} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_M} = 1 \hfill \\ {y_M} = - 18 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 16. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(2; 5), B(1; 1), C(3; 3). Tìm điểm E thuộc mặt phẳng tọa độ thỏa mãn $\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC}$ ?

A. E(3; –3)

B. E(–3; 3)

C. E(–3; –3)

D. E(–2; –3)

Hướng dẫn giải

Gọi E(x; y). Ta có:

$\overrightarrow {AE} = 3\overrightarrow {AB} - 2\overrightarrow {AC} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x - 2 = - 5 \hfill \\ y - 5 = - 8 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - 3 \hfill \\ y = - 3 \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy E(–3; –3)

⟹ Chọn C

Câu 17. Trong hệ tọa độ Oxy, cho A(2; 1), B(6; –1). Tìm điểm M trên Ox sao cho A, B, M thẳng hàng.

A. M(2; 0)

B. M(8; 0)

C. M(−4; 0)

D. M(4; 0)

Hướng dẫn giải

M ∈ Ox ⇒ M(x; 0). Ta có:

$\overrightarrow {AB} = \left( {4; - 2} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 2; - 1} \right)$

Để A, B, M thẳng hàng

$\Rightarrow \frac{{x - 2}}{4} = \frac{1}{2} \Rightarrow x = 4$

⟹ Chọn D

Câu 18. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Tìm điểm M có tung độ dương trên đường thẳng BC sao cho S_ABC= 3S_ABM

A. M(2; 2)

B. M(3; 2)

C. M(−3; 2)

D. M(3; 3)

Hướng dẫn giải

Gọi M(x; y). Ta có:

$\begin{gathered} {S_{ABC}} = 3{S_{ABM}} \Leftrightarrow BC = 3BM \Rightarrow \overrightarrow {BC} = \pm 3\overrightarrow {BM} \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {BM} = \left( {x - 2;y - 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 3;3} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

TH1: $\overrightarrow {BC} = 3\overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (loại)

TH2: $\overrightarrow {BC} = - 3\overrightarrow {BM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 3 \hfill \\ y = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ (nhận)

⇒ M(3; 2)

⟹ Chọn B

Câu 19. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(–1; –1), B(0; 1), C(3; 0). Xác định tọa độ giao điểm I của AD và BG với D thuộc BC và 2BD = 5DC, G là trọng tâm ΔABC

A. ${\text{I}}\left( {\frac{5}{9};1} \right)$

B. ${\text{I}}\left( {\frac{1}{9};1} \right)$

C. ${\text{I}}\left( {\frac{{35}}{9};2} \right)$

D. ${\text{I}}\left( {\frac{{35}}{9};1} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {4;1} \right)$

$\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương

$\begin{gathered} 2\overrightarrow {BD} = 5\overrightarrow {DC} \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2{x_D} = 5\left( {3 - {x_D}} \right) \hfill \\ 2\left( {{y_D} - 1} \right) = 5\left( { - {y_D}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_D} = \frac{{15}}{7} \hfill \\ \hfill \\ {y_D} = \frac{2}{7} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow {\text{D}}\left( {\frac{{15}}{7};\frac{2}{7}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Trọng tâm $G\left( {\frac{2}{3};0} \right)$ . Gọi I(x; y) là giao điểm của AD và BG

Ta có: $\overrightarrow {AI} = \left( {x + 1;y + 1} \right)$ , $\overrightarrow {AD} = \left( {\frac{{22}}{7};\frac{9}{7}} \right)$ cùng phương

$\Rightarrow \frac{{7\left( {x + 1} \right)}}{{22}} = \frac{{7\left( {y + 1} \right)}}{9} \Leftrightarrow 9x - 22y - 13 = 0$

Ta lại có: $\overrightarrow {BI} = \left( {x;y - 1} \right)$ , $\overrightarrow {BG} = \left( { - \frac{1}{3};0} \right)$ cùng phương ⇒ tồn tại số k ∈ ℝ

$\overrightarrow {BI} = k\overrightarrow {BG} \Rightarrow y = 1 \Rightarrow {\text{I}}\left( {\frac{{35}}{9};1} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 20. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có ba đỉnh A(−1; 2), B(2; 0), C(−3; 1). Toạ độ tâm đường tròn ngoại tiếp I của tam giác ABC là?

A. ${\text{I}}\left( {\frac{{11}}{{14}};\frac{{13}}{{14}}} \right)$

B. ${\text{I}}\left( {\frac{{11}}{{14}}; - \frac{{13}}{{14}}} \right)$

C. ${\text{I}}\left( { - \frac{{11}}{{14}};\frac{{13}}{{14}}} \right)$

D. ${\text{I}}\left( { - \frac{{11}}{{14}}; - \frac{{13}}{{14}}} \right)$

Hướng dẫn giải

Giả sử I(a; b) khi đó: $\left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {IM} \cdot \overrightarrow {AB} = 0 \hfill \\ \overrightarrow {IN} \cdot \overrightarrow {AC} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right.\left( * \right)$

$M\left( {\frac{1}{2};1} \right),N\left( { - 2;\frac{3}{2}} \right)$ lần lượt là trung điểm AB, AC.

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {3; - 2} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 2; - 1} \right)$

$\overrightarrow {IM} = \left( {\frac{1}{2} - a;1 - b} \right),\overrightarrow {IN} = \left( { - 2 - a;\frac{3}{2} - b} \right)$

Do đó:

$\left\{ \begin{gathered} 3\left( {\frac{1}{2} - a} \right) + 2\left( {1 - b} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ - 2\left( { - 2 - a} \right) - 1\left( {\frac{3}{2} - b} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = - \frac{{11}}{{14}} \hfill \\ \hfill \\ b = - \frac{{13}}{{14}} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Suy ra: ${\text{I}}\left( { - \frac{{11}}{{14}}; - \frac{{13}}{{14}}} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 21. Tam giác ABC có đỉnh A(−1; 2), trực tâm H(3; 0), trung điểm của BC là M(6; 1). Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC là

A. 5

B. 2

C. 3

D. 4

Hướng dẫn giải

Gọi O là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC.

Kẻ đường kính AA’ của đường tròn khi đó ta có $\widehat {ABA'} = \widehat {ACA'} = 90^\circ$ hay AB’ ⊥ AB và A’C ⊥ AC.

Vì H là trực tâm của tam giác ABC nên BH ⊥ AC và CH ⊥ AB ⇒ BH // A’C và CH // A’B

Do đó: A’BHC là hình bình hành.

Mà điểm M là trung điểm của đường chéo BC nên nó cũng là trung điểm của A’H.

Từ đó suy ra OM là đường trung bình của tam giác AHA’ nên:

$\begin{gathered} \overline {AH} = 2\overline {OM} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 4 = 2\left( {6 - {x_O}} \right) \hfill \\ - 2 = 2\left( {1 - {y_O}} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_O} = 4 \hfill \\ {y_O} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow O\left( {4;2} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có độ dài bằng:

$OA = \sqrt {{{\left( { - 1 - 4} \right)}^2} + {{\left( {2 - 2} \right)}^2} = 5}$

⟹ Chọn A

Câu 22. Gọi điểm M là giao điểm của đường thẳng AB và trục hoành biết A(1; 2) và B(2; 5). Biết hoành độ điểm M có dạng $\frac{m}{n}$ trong đó $\frac{m}{n}$ tối giản và m, n ∈ ℕ. Tính m² + n².

A. 34

B. 41

C. 25

D. 10

Hướng dẫn giải

Vì M ∈ Ox nên M(x; 0)

A, B, M thẳng hàng nên $\overrightarrow {AB}$ cùng phương $\overrightarrow {AM}$

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( {1;3} \right),\overrightarrow {AM} = \left( {x - 1; - 2} \right)$

$\overrightarrow {AB}$ cùng phương $\overrightarrow {AM}$

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{x - 1}}{1} = \frac{{ - 2}}{3} \Leftrightarrow x = \frac{1}{3} \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow m = 1;n = 3 \Rightarrow {m^2} + {n^2} = 0 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 23. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ΔABC biết A(2; 0), B(1; 1), C(–1; –2). Các điểm C’, A’, B’ lần lượt chia các đoạn thẳng AB, BC, CA theo tỉ số là –1; $\frac{1}{2}$ ; –2. Khi đó đẳng thức nào sau đây đúng?

A. $\overrightarrow {A'C'} = 2\overrightarrow {B'C'}$

B. $\overrightarrow {A'C'} = - 3\overrightarrow {B'C'}$

C. $\overrightarrow {A'C'} = 3\overrightarrow {B'C'}$

D. $\overrightarrow {A'C'} = - 4\overrightarrow {B'C'}$

Hướng dẫn giải

Áp dụng công thức, điểm M chia đoạn AB theo tỉ số k

${x_M} = \frac{{{x_A} - k{x_B}}}{{1 - k}};{y_M} = \frac{{{y_A} - k{y_B}}}{{1 - k}}$

⇒ Tọa độ các điểm:

$\overrightarrow {A'} = \left( {3;4} \right),\overrightarrow {B'} = \left( {1; - \frac{2}{3}} \right),\overrightarrow {C'} = \left( {\frac{3}{2};\frac{1}{2}} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {A'C'} = \left( { - \frac{3}{2}; - \frac{7}{2}} \right);\overrightarrow {B'C'} = \left( {\frac{1}{2};\frac{7}{6}} \right)$

$\Rightarrow \overrightarrow {A'C'} = - 3\overrightarrow {B'C'}$

⟹ Chọn B

Câu 24. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 4 điểm A(0; 1); B(1; 3), C(2; 7), D(0; 3). Tìm giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD.

A. $\left( { - \frac{2}{3};3} \right)$

B. $\left( {\frac{1}{3}; - 3} \right)$

C. $\left( {\frac{4}{3};13} \right)$

D. $\left( {\frac{2}{3};3} \right)$

Hướng dẫn giải

Gọi I(x; y) là giao điểm của 2 đường thẳng AC và BD

$\begin{gathered} \overrightarrow {AI} = \left( {x;y - 1} \right),\overrightarrow {AC} = \left( {2;6} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \frac{x}{2} = \frac{{y - 1}}{6} \Leftrightarrow 6x - 2y = - 2{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {BI} = \left( {x - 1;y - 3} \right),\overrightarrow {BD} = \left( { - 1;0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow y = 3{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Thế (2) vào (1) $\Rightarrow x = \frac{2}{3} \Rightarrow {\text{I}}\left( {\frac{2}{3};3} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 25. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(6; 3); B(2; 1), C(–1; –2). Biết điểm E trên cạnh BC sao cho BE = 2EC. D nằm trên đường thẳng AB và thuộc trục Ox. Tìm giao điểm của DE và AC.

A. ${\text{I}}\left( { - \frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)$

B. ${\text{I}}\left( {\frac{3}{2}; - \frac{1}{2}} \right)$

C. ${\text{I}}\left( {\frac{7}{4};\frac{1}{2}} \right)$

D. ${\text{I}}\left( {\frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)$

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {AB} = \left( { - 9;3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 5} \right)$

$\overrightarrow {AB} ,\overrightarrow {AC}$ không cùng phương

D ∈ Ox ⇒ D(x; 0) và D thuộc đường thẳng AB ⇒ A, B, D thẳng hàng

$\overrightarrow {AD} = \left( {x - 6; - 3} \right) \Rightarrow \frac{{x - 6}}{{ - 9}} = \frac{{ - 3}}{3} \Rightarrow x = 15$

⇒ D(15; 0)

Ta có: $\overrightarrow {BE} = 2\overrightarrow {EC}$ . Với $\overrightarrow {BE} = \left( {{x_E} + 3;{y_E} - 6} \right)$

$\begin{gathered} \overrightarrow {EC} \left( {1 - {x_E}; - 2 - {y_E}} \right) \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x + 3 = 2\left( {1 - x} \right) \hfill \\ y - 6 = 2\left( { - 2 - y} \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{1}{3} \hfill \\ \hfill \\ y = \frac{2}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow {\text{E}}\left( { - \frac{1}{3};\frac{2}{3}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Gọi I(x; y). Ta có:

$\overrightarrow {DI} = \left( {x - 15;y} \right),\overrightarrow {DE} = \left( { - \frac{{46}}{3};\frac{2}{3}} \right)$ cùng phương

$\Rightarrow \frac{{3\left( {x - 15} \right)}}{{ - 46}} = \frac{{3y}}{2} \Leftrightarrow x + 23y - 15 = 0{\text{ }}\left( 1 \right)$

$\overrightarrow {AI} = \left( {x - 6;y - 3} \right),\overrightarrow {AC} = \left( { - 5; - 5} \right)$ cùng phương

$\Rightarrow \frac{{x - 6}}{{ - 5}} = \frac{{y - 3}}{{ - 5}} \Leftrightarrow x - y - 3 = 0{\text{ }}\left( 2 \right)$

Từ (1), (2) ta được:

$x = \frac{7}{2};y = \frac{1}{2} \Rightarrow {\text{I}}\left( {\frac{7}{2};\frac{1}{2}} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 26. Hình vuông ABCD có A(2; 1), C(4; 3). Tọa độ của đỉnh B có thể là:

A. (2; 3)

B. (1; 4)

C. (–4; –1)

D. (3; 2)

Hướng dẫn giải

Gọi B(x; y). Khi đó:

$\overrightarrow {AB} = \left( {x - 2;y - 1} \right),\overrightarrow {BC} = \left( {4 - x;3 - y} \right)$

Để ABCD là hình vuông

$\begin{gathered} \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \left| {\overrightarrow {AB} } \right| = \left| {\overrightarrow {BC} } \right| \hfill \\ \overrightarrow {AB} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {BC} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \sqrt {{{\left( {x - 2} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2}} = \sqrt {{{\left( {4 - x} \right)}^2} + {{\left( {3 - y} \right)}^2}} {\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \left( {x - 2} \right)\left( {4 - x} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {3 - y} \right) = 0{\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \left( 1 \right) \Leftrightarrow {x^2} - 4x + 4 + {y^2} - 2y + 1 = {x^2} - 8x + 16 + {y^2} - 6y + 9 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow 4x = - 4y + 20 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow x = - y + 5 \hfill \\ \end{gathered}$

Thế x = –y + 5 vào (2) ta có:

$\begin{gathered} \left( { - y + 5 - 2} \right)\left( {4 + y - 5} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {3 - y} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( { - y + 3} \right)\left( {y - 1} \right) + \left( {y - 1} \right)\left( {3 - y} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left( {y - 1} \right)\left( {6 - 2y} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} y - 1 \Rightarrow x = 4 \hfill \\ y = 3 \Rightarrow x = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy B(4; 1) hoặc B(2; 3)

⟹ Chọn A

Câu 27. Các điểm A′, B, N thẳng hàng ⇔ $\overrightarrow {BA'} ,\overrightarrow {BN}$ cùng phương ⇔ x = 0. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC. Biết A(3; –1), B(–1; 2) và I(1; –1) là trọng tâm tam giác ABC. Trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ (a; b). Tính a + 3b.

A. a + 3b = $\frac{2}{3}$

B. a + 3b = $- \frac{4}{3}$

C. a + 3b = 1

D. a + 3b = –2

Hướng dẫn giải

Gọi tọa độ điểm C(x; y), ta có:

$\left\{ \begin{gathered} 1 = \frac{{3 - 1 + x}}{3} \hfill \\ \hfill \\ - 1 = \frac{{ - 1 + 2 + y}}{3} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 1 \hfill \\ y = - 4 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Rightarrow C\left( {1; - 4} \right)$

Ta có: $\overrightarrow {BC} = \left( {2; - 6} \right),\overrightarrow {AH} = \left( {a - 3;b + 1} \right)$

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 4;3} \right),\overrightarrow {CH} = \left( {a - 1;b + 4} \right)$

Do H là trực tâm tam giác ABC nên:

$\begin{gathered} \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AH} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {BC} \hfill \\ \overrightarrow {CH} {\text{ }} \bot {\text{ }}\overrightarrow {AB} \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} \overrightarrow {AH} \cdot \overrightarrow {BC} \hfill \\ \overrightarrow {CH} \cdot \overrightarrow {AB} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {a - 3} \right) - 6\left( {b + 1} \right) = 0 \hfill \\ - 4\left( {a - 1} \right) + 3\left( {b + 4} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 2a - 6b = 12 \hfill \\ - 4a + 3b = - 16 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = \frac{{10}}{3} \hfill \\ \hfill \\ b = - \frac{8}{9} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có: $a + 3b = \frac{{10}}{3} + 3\left( { - \frac{8}{9}} \right) = \frac{2}{3}$

⟹ Chọn A

Câu 28. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho tam giác ABC biết điểm A(2; 4), B(–3; –6), C(5; –2). Gọi D(a; b) là chân đường phân giác trong của góc A của tam giác ABC. Khi đó tổng a + b bằng:

A. 21

B. $- \frac{3}{2}$

C. 11

D. $- \frac{{11}}{2}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( { - 5; - 10} \right) \Rightarrow AB = 5\sqrt 5 \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {AC} = \left( {3; - 6} \right) \Rightarrow AC = 3\sqrt 5 \hfill \\ \end{gathered}$

$\frac{{DB}}{{DC}} = \frac{{AB}}{{AC}} = \frac{5}{3} \Leftrightarrow DB = \frac{5}{3}DC$ và $\overrightarrow {DB}$ ngược hướng với $\overrightarrow {DC}$ nên

$\overrightarrow {DB} = - \frac{5}{3}\overrightarrow {DC} \Leftrightarrow 3\overrightarrow {DB} + 5\overrightarrow {DC} = \overrightarrow 0$

Ta có: $\overrightarrow {DB} = \left( { - 3 - a; - 6 - b} \right),\overrightarrow {DC} = \left( {5 - a; - 2 - b} \right)$

Suy ra:

$\left\{ \begin{gathered} 3\left( { - 3 - a} \right) + 5\left( {5 - a} \right) = 0 \hfill \\ 3\left( { - 6 - b} \right) + 5\left( { - 2 - b} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} a = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ b = - \frac{7}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right.$

Vậy a + b = $- \frac{3}{2}$

⟹ Chọn B

Câu 29. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho tam giác ABC có A(–1; –1), B(3; 1) và C(6; 2). Xác định tọa độ điểm M thuộc trục tung sao cho M cách đều hai điểm A và B.

A. M(0; 1)

B. M(0; –2)

C. M(−1; 1)

D. M(0; 2)

Hướng dẫn giải

Gọi M(0; y). M cách đều A, B khi và chỉ khi AM = BM

⇔ AM² = BM²

⇔ (0 + 1)² + (y + 1)² = (0 – 3)² + (y – 1)²

⇔ 4y = 8

⇔ y = 2

Vậy tọa độ điểm M(0; 2)

⟹ Chọn D

Câu 30. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho tam giác ABC có A(3; 4), B(2; 1), C(–1; –2). Cho M(x; y) trên đoạn thẳng BC sao cho S_ABC = 4S_ABM. Khi đó x² – y² bằng:

A. $\frac{{13}}{8}$

B. $\frac{3}{2}$

C. $- \frac{3}{2}$

D. $\frac{5}{2}$

Hướng dẫn giải

$\begin{gathered} \frac{{{S_{ABC}}}}{{{S_{ABM}}}} = 4 \Leftrightarrow \frac{{BC}}{{BM}} = 4 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \overrightarrow {BM} = \frac{1}{4}\overrightarrow {BC} = \left( { - \frac{3}{4}; - \frac{3}{4}} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 2 - \frac{3}{4} = \frac{5}{4} \hfill \\ \hfill \\ y = 1 - \frac{3}{4} = \frac{1}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow {x^2} - {y^2} = \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 31. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ Oxy, cho các điểm A(2; 3), ${\text{I}}\left( {\frac{{11}}{2};\frac{7}{2}} \right)$ và B là điểm đối xứng với A qua I. Giả sử C là điểm có tọa độ(5; y). Giá trị của y để tam giác ABC là tam giác vuông tại C là:

A. y = 0; y = 7

B. y = 0; y = –5

C. y = –5

D. y = 5; y = 7

Hướng dẫn giải

Tọa độ điểm B(9; 4)

Ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {AB} = \left( {7;1} \right) \Rightarrow A{B^2} = 50 \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {AC} = \left( {3;y - 3} \right) \Rightarrow A{C^2} = {y^2} - 6y + 18 \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow {BC} = \left( { - 4;y - 4} \right) \Rightarrow B{C^2} = {y^2} - 8y + 32 \hfill \\ \end{gathered}$

Tam giác ABC vuông tại C nên

AC² + BC² = AB²

⇔ y² – 7y = 0

⇔ y = 0 ∨ y = 7

⟹ Chọn A

Câu 32. Trong mặt phẳng với hệ trục Oxy, cho 3 điểm A(3; 2), B(4; 3), C(−1; 3). Điểm N nằm trên tia BC. Biết M(x₀; y₀) là đỉnh thứ 4 của hình thoi ABNM. Khẳng định nào sau đây đúng?

A. x₀ ∈ (1,55; 1,56)

B. x₀ ∈ (1,56; 1,57)

C. x₀ ∈ (1,58; 1,59)

D. x₀ ∈ (1,57; 1,58)

Hướng dẫn giải

Theo giả thiết ta có:

$\overrightarrow {AM} = \left( {{x_0} - 3;{y_0} - 2} \right),\overrightarrow {BC} = \left( { - 5;0} \right),\overrightarrow {AB} = \left( {1;1} \right)$

$\overrightarrow {AM}$ cùng hướng với $\overrightarrow {BC}$ nên

$\begin{gathered} \overrightarrow {AM} = k \cdot \overrightarrow {BC} \left( {k > 0} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} - 3 = - 5k \hfill \\ {y_0} - 2 = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = - 5k + 3 \hfill \\ {y_0} = 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.{\text{ }}\left( 1 \right) \hfill \\ \hfill \\ AM = AB \Leftrightarrow \sqrt {{{\left( {{x_0} - 3} \right)}^2} + {{\left( {{y_0} - 2} \right)}^2}} = \sqrt 2 {\text{ }}\left( 2 \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Từ (1) và (2) ta có:

$25{k^2} = 2 \Leftrightarrow k = \pm \frac{{\sqrt 2 }}{5}$

Do k > 0 nên nhận k = $\frac{{\sqrt 2 }}{5}$ suy ra: ${x_0} = - \sqrt 2 + 3 \approx 1,5858$ nên x₀ ∈ (1,58; 1,59).

⟹ Chọn C

Dạng 3.3. Một số bài toán GTLN – GTNN của biểu thức chứa vectơ

Câu 1. Trong hệ tọa độ Oxy, cho ba điểm A(1; 0), B(0; 3), C(–3; –5). Tìm điểm M thuộc trục Ox sao cho ${\text{T}} = \left| {2\overrightarrow {MA} - 3\overrightarrow {MB} + 2\overrightarrow {MC} } \right|$ bé nhất.

A. M(2; 0)

B. M(4; 0)

C. M(–4; 0)

D. M(–2; 0)

Hướng dẫn giải

Gọi I(x; y) thỏa mãn:

$\begin{gathered} 2\overrightarrow {IA} - 3\overrightarrow {IB} + 2\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} 2\left( {1 - x} \right) - 3\left( { - x} \right) + 2\left( { - 3 - x} \right) = 0 \hfill \\ 2\left( { - y} \right) - 3\left( {3 - y} \right) + 2\left( { - 5 - y} \right) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = 4\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = \frac{{19}}{3}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\begin{gathered} {\text{T }} = \left| {2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) - 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right| \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left| {\overrightarrow {MI} } \right| = MI \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vì I cố định và M ∈ Ox ⇒ T nhỏ nhất khi M là hình chiếu của I trên trục Ox

⇒ M(4; 0)

⟹ Chọn B

Câu 2. Trong hệ tọa độ Oxy, cho điểm A(1; 3) và B(4; 7). Tìm điểm M trên trục Oy sao cho MA + MB là nhỏ nhất.

A. ${\text{M}}\left( {0;\frac{{19}}{5}} \right)$

B. ${\text{M}}\left( {0;\frac{1}{5}} \right)$

C. ${\text{M}}\left( {0;\frac{3}{5}} \right)$

D. ${\text{M}}\left( {0;\frac{{11}}{5}} \right)$

Hướng dẫn giải

Gọi A’ đối xứng với A qua Oy ⇒ A'(–1; 3)

Giả sử: M(0; y).

Ta có: MA + MB = MA’ + MB ≥ A’B

⇒ MA + MB nhỏ nhất khi A’, M, B thẳng hàng

$\begin{gathered} \overrightarrow {A'B} = \left( {5;4} \right),\overrightarrow {A'M} = \left( {1;y - 3} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \frac{1}{5} = \frac{{y - 3}}{4} \Leftrightarrow y = \frac{{19}}{5} \Rightarrow {\text{M}}\left( {0;\frac{{19}}{5}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn A

Câu 3. Trong hệ tọa độ Oxy, cho M(–1; 2), N(3; 2), P(4; –1). Tìm tọa độ điểm E thuộc trục Ox sao cho ${\text{T}} = \left| {\overrightarrow {EM} + \overrightarrow {EN} + \overrightarrow {EP} } \right|$ nhỏ nhất.

A. E (−4; 0)

B. E (−2; 0)

C. E (4; 0)

D. E (2; 0)

Hướng dẫn giải

Gọi I(x; y): $\overrightarrow {IM} + \overrightarrow {IN} + \overrightarrow {IP} = \overrightarrow 0$

⇒ I là trọng tâm ΔMNP (vì M, N, P không thẳng hàng) ⇒ I(2; 1)

$\begin{gathered} {\text{T }} = \left| {\left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IM} } \right) + \left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IN} } \right) + \left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IP} } \right)} \right| \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&\begin{gathered} \hfill \\ = \left| {3\overrightarrow {EI} } \right| = 3EI \hfill \\ \end{gathered} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

⇒ T nhỏ nhất khi E là hình chiếu của I trên trục Ox ⇒ E (2; 0)

⟹ Chọn D

Câu 4. Trong hệ tọa độ Oxy, cho 2 điểm A(−3; 1), B(−5; 5). Tìm điểm M trên trục yOy’ sao cho |MA – MB| lớn nhất.

A. M(0; –5)

B. M(0; 5)

C. M(0; 3)

D. M(0; 6)

Hướng dẫn giải

Gọi M(0; y) ∈ yOy’

Ta có: x_A_⋅x_B = 15 > 0 A, B nằm cùng phía trên trục yOy’

|MA – MB| ≤ AB, dấu “=” xảy ra khi A, M, B thẳng hàng

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} = \left( { - 3;1 - y} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - 5;5 - y} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \frac{3}{5} = \frac{{1 - y}}{{5 - y}} \Rightarrow y = - 5 \Rightarrow {\text{M}}\left( {0; - 5} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn D

Câu 5. Trong hệ tọa độ Oxy, tìm trên trục hoành điểm M sao cho tổng khoảng cách từ M tới các điểm A(1; 1) và B(2; –4) là nhỏ nhất.

A. ${\text{M}}\left( { - \frac{6}{5};0} \right)$

B. ${\text{M}}\left( {\frac{5}{6};0} \right)$

C. ${\text{M}}\left( { - \frac{5}{6};0} \right)$

D. ${\text{M}}\left( {\frac{6}{5};0} \right)$

Hướng dẫn giải

Dễ thấy A, B nằm ở hai phía với trục hoành.

Ta có: MA + MB ≥ AB. Dấu “=” xảy ra khi A, M, B thẳng hàng và $\overrightarrow {MA} ,\overrightarrow {AB}$ cùng phương

$\Rightarrow \frac{{{x_M} - 1}}{{2 - 1}} = \frac{{0 - 1}}{{ - 4 - 1}} \Rightarrow {x_M} = \frac{6}{5} \Rightarrow {\text{M}}\left( {\frac{6}{5};0} \right)$

⟹ Chọn D

Câu 6. Cho ba điểm A(1; –3), B(−2; 6) và C(4; –9). Tìm M trên trục Ox sao cho vectơ $\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC}$ có độ dài nhỏ nhất.

A. M(2; 0)

B. M(4; 0)

C. M(3; 0)

D. M(1; 0)

Hướng dẫn giải

+) Cách 1:

Ta có: Ba điểm A, B, C không thẳng hàng (do hai vectơ $\overrightarrow {AB}$ và $\overrightarrow {BC}$ không cùng phương).

Gọi M(m; 0) ∈ Ox và G là trọng tâm ΔABC suy ra G(1; –2). Khi đó:

$\overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = 3\overrightarrow {MG} = 3\left( {1 - m; - 2} \right)$

Do đó:

$\left| {\overrightarrow u } \right| = 3\left| {\overrightarrow {MG} } \right| = 3\sqrt {{{\left( {1 - m} \right)}^2} + 4} \geqslant 3 \cdot 2 = 6$

Suy ra $\left| {\overrightarrow u } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi và chỉ khi m = 1

Vậy M(1; 0).

+) Cách 2:

Gọi M(m; 0) ∈ Ox, ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \left( {1 - m; - 3} \right),\overrightarrow {MB} \left( { - 2 - m;6} \right),\overrightarrow {MC} \left( {4 - m; - 9} \right) \hfill \\ \hfill \\ \overrightarrow u = \overrightarrow {MA} + \overrightarrow {MB} + \overrightarrow {MC} = \left( {3 - 3m; - 6} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {3 - 3m} \right)}^2} + 36} \geqslant 6 \hfill \\ \end{gathered}$

Suy ra $\left| {\overrightarrow u } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất bằng 6 khi và chỉ khi m = 1.

⟹ Chọn D

Câu 7. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; 2) và B(3; 4). Điểm $P\left( {\frac{a}{b};0} \right)$ (với $\frac{a}{b}$ là phân số tối giản) trên trục hoành thỏa mãn tổng khoảng cách từ P tới hai điểm A và B là nhỏ nhất. Tính S = a + b.

A. S = –2

B. S = 8

C. S = 7

D. S = 4

Hướng dẫn giải

Ta có: A, B nằm cùng phía so với Ox

Điểm A'(1; –2) đối xứng với điểm A qua Ox

Ta có: PA + PB = PA’ + PB

$\overrightarrow {PA'} = \left( {\frac{{b - a}}{b}; - 2} \right),\overrightarrow {PB} = \left( {\frac{{3b - a}}{b};4} \right)$

Do đó: để PA + PB nhỏ nhất thì ba điểm P, A, B thẳng hàng

$\Rightarrow \overrightarrow {PA'} ,\overrightarrow {PB}$ cùng phương

$\begin{gathered} \Rightarrow \frac{{b - a}}{{3b - a}} = - \frac{1}{2} \Rightarrow 2b - 2a = - 3b + a \hfill \\ \hfill \\ \Rightarrow \frac{a}{b} = \frac{5}{3} \Rightarrow a = 5,b = 3 \hfill \\ \end{gathered}$

⟹ Chọn B

Câu 8. Trong mặt phẳng Oxy, cho các A(4; 2), B(–2; 1). N(x; 0) thuộc trục hoành để NA + NB nhỏ nhất. Giá trị x thuộc khoảng nào sau đây?

A. (−0,2; 0,2)

B. (−0,5; 0)

C. (0; 0,5)

D. (0,5; 1).

Hướng dẫn giải

A(4; 2), B(–2; 1)

Điểm A, B nằm phía trên trục hoành vì có tung độ dương.

Gọi A’ là điểm đối xứng với A qua trục hoành ⇒ A'(4; –2).

Tổng NA + NB = NA’ + NB ≥ A’B.

Đẳng thức xảy ra khi 3 điểm A’, B, N thẳng hàng

Giả sử N(x; 0) ta có:

$\overrightarrow {BA'} = \left( {6; - 3} \right),\overrightarrow {BN} = \left( {x + 2; - 1} \right)$

⟹ Chọn A

Câu 9. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm A(–3; 5), B(–4; –3), C(1; 1). Tìm tọa độ điểm K thuộc trục hoành sao cho KA + KB nhỏ nhất.

A. ${\text{K}}\left( {\frac{{29}}{8};0} \right)$

B. ${\text{K}}\left( { - \frac{{29}}{8};0} \right)$

C. ${\text{K}}\left( {\frac{{29}}{8};1} \right)$

D. ${\text{K}}\left( { - \frac{{29}}{8};1} \right)$

Hướng dẫn giải

Gọi K(k; 0) ∈ Ox

Ta có: A, B nằm về hai phía đối với Ox nên KA + KB nhỏ nhất khi 3 điểm A, K, B thẳng hàng

$\overrightarrow {AB} = \left( { - 1; - 8} \right),\overrightarrow {AK} = \left( {x + 3; - 5} \right)$

A, B, C thẳng hàng $\Leftrightarrow \frac{{x + 3}}{{ - 1}} = \frac{{ - 5}}{{ - 8}} \Leftrightarrow x = - \frac{{29}}{8}$

Vậy ${\text{K}}\left( { - \frac{{29}}{8};0} \right)$

⟹ Chọn B

Câu 10. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy cho các điểm A(1; 3), B(–2; 3), C(–2; 1). Điểm M(a; b) thuộc trục Oy sao cho: $\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất, khi đó a + b bằng?

A. 3

B. 2

C. 1

D. 12

Hướng dẫn giải

Cách 1:

Gọi I(x; y) sao cho $\overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$ , ta có:

$\begin{gathered} \overrightarrow {IA} + 2\overrightarrow {IB} + 3\overrightarrow {IC} = \left( { - 9 - 6x;12 - 6y} \right) \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} - 9 - 6x = 0 \hfill \\ 12 - 6y = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} x = - \frac{3}{2}\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ y = 2\begin{array}{*{20}{c}} {} \\ {} \end{array} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy ${\text{I}}\left( { - \frac{3}{2};2} \right)$

Ta có:

$\begin{gathered} \left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| \hfill \\ \hfill \\ = \left| {\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 2\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IB} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {MI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right| \hfill \\ \hfill \\ = 6\left| {\overrightarrow {MI} } \right| \hfill \\ \end{gathered}$

Với M(a; b) thuộc trục tung nên M(0; b)

$\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right|$ nhỏ nhất khi và chỉ khi $\left| {\overrightarrow {MI} } \right|$ nhỏ nhất, suy ra M là hình chiếu của I lên trục Oy. Hay M(0; 2)

Vậy a + b = 2.

Cách 2:

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {1 - a;3 - b} \right)$ , $\overrightarrow {MB} = \left( { - 2 - a;3 - b} \right)$ , $\overrightarrow {MC} = \left( { - 2 - a;1 - b} \right)$

Suy ra: $\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} = \left( { - 9 - 6a;12 - 6b} \right)$ nên ta có:

$\left| {\overrightarrow {MA} + 2\overrightarrow {MB} + 3\overrightarrow {MC} } \right| = \sqrt {{9^2} + {{\left( {12 - 6b} \right)}^2}} \geqslant 9$

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi b = 2

Vậy a + b = 2

⟹ Chọn B

Câu 11. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho hai điểm A(1; –1) và B(3; 2). Tìm M thuộc trục tung sao cho MA² + MB² nhỏ nhất.

A. M(0; –1)

B. ${\text{M}}\left( {0; - \frac{1}{2}} \right)$

C. M(0; –1)

D. ${\text{M}}\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$

Hướng dẫn giải

Giả sử điểm M(0; y) (y ∈ ℝ) (vì M thuộc trục tung)

Ta có:

$\begin{gathered} M{A^2} + M{B^2} = {1^2} + {\left( {y + 1} \right)^2} + {3^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = 2{y^2} - 2y + 15 \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{}&{}&{\begin{array}{*{20}{c}} {\begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array}}&\begin{gathered} \hfill \\ = 2{\left( {y - \frac{1}{2}} \right)^2} + \frac{{29}}{2} \geqslant \frac{{29}}{2},\forall y \in \mathbb{R} \hfill \\ \end{gathered} \end{array}} \end{array} \hfill \\ \end{gathered}$

Vậy MA² + MB² nhỏ nhất bằng $\frac{{29}}{2}$ khi $y = \frac{1}{2}$ .

Từ đó ta có tọa độ điểm ${\text{M}}\left( {0;\frac{1}{2}} \right)$ .

⟹ Chọn D

Câu 12. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho $\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a² – b².

A. a² – b² = 2

B. a² – b² = 2

C. a² – b² = $\frac{5}{2}$

D. a² – b² = $\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right),\overrightarrow {AE} = \left( {a + 1;b + 2} \right)$ mà E di động trên đường thẳng AB nên A, B, E thẳng hàng tương đương với $\frac{{a + 1}}{4} = \frac{{b + 2}}{4} \Leftrightarrow a = b + 1$

Vậy E(b + 1; b)

$\overrightarrow {EA} = \left( { - 2 - b; - 2 - b} \right)$ , $\overrightarrow {EB} = \left( {2 - b;2 - b} \right)$ , $\overrightarrow {EC} = \left( {3 - b; - 1 - b} \right)$

Đặt $\overrightarrow u = 2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC}$

$\Rightarrow \overrightarrow u = \left( { - 1 - 4b;3 - 4b} \right)$

Ta có:

$\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| = \left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( { - 1 - 4b} \right)}^2} + {{\left( {3 - 4b} \right)}^2}}$

Đặt $1 - 4b = t \Rightarrow \left\{ \begin{gathered} - 1 - 4b = t - 2 \hfill \\ 3 - 4b = t + 2 \hfill \\ \end{gathered} \right.$ . Khi đó:

$\left| {\overrightarrow u } \right| = \sqrt {{{\left( {t - 2} \right)}^2} + {{\left( {t + 2} \right)}^2}} = \sqrt {2{t^2} + 8} = 2\sqrt 2$

$\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi t = 0 ⇔ b = $\frac{1}{4}$ , tính được a = $\frac{5}{4}$

Vậy ${a^2} - {b^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{3}{2}$

⟹ Chọn D

Câu 13. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm M(3; 1). Giả sử A(a; 0), B(0; b) (với a, b là các số thực không âm) là hai điểm sao cho tam giác MAB vuông tại M và có diện tích nhỏ nhất. Tính giá trị biểu thức T = a² + b².

A. T= 10

B. T = 9

C. T = 5

D. T = 17

Hướng dẫn giải

Ta có: $\overrightarrow {MA} = \left( {a - 3; - 1} \right),\overrightarrow {MB} = \left( { - 3;b - 1} \right)$

Theo giả thiết tam giác MAB vuông tại M nên

$\begin{gathered} \overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow - 3\left( {a - 3} \right) - 1\left( {b - 1} \right) = 0 \hfill \\ \hfill \\ \Leftrightarrow b = 10 - 3a \hfill \\ \end{gathered}$

Diện tích tam giác MAB là

$\begin{gathered} S = \frac{1}{2}\overrightarrow {MA} \cdot \overrightarrow {MB} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {{\left( { - 1} \right)}^2}} \cdot \sqrt {{{\left( { - 3} \right)}^2} + {{\left( {b - 1} \right)}^2}} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{1}{2}\sqrt {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {1^2}} \cdot \sqrt {3 + {{\left( {9 - 3a} \right)}^2}} \hfill \\ \hfill \\ = \frac{3}{2}\left[ {{{\left( {a - 3} \right)}^2} + {1^2}} \right] \geqslant \frac{3}{2} \hfill \\ \end{gathered}$

$\min S = \frac{3}{2}$ khi a = 3, ta được b = 1.

Do vậy: T = 3² + 1² = 10

⟹ Chọn A

Câu 14. Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho ba điểm A(–1; –2), B(3; 2), C(4; –1). Biết điểm E(a; b) di động trên đường thẳng AB sao cho $\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất. Tính a² – b².

A. a² – b² = 2

B. a² – b² = 2

C. a² – b² = $\frac{5}{2}$

D. a² – b² = $\frac{3}{2}$

Hướng dẫn giải

Gọi I(x₀; y₀) là điểm thỏa mãn $2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0$

$\begin{gathered} 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} \hfill \\ \hfill \\ = \left( { - 2 - 2{x_0} + 9 - 3{x_0} - 4 + {x_0}; - 4 - 2{y_0} + 6 - 3{y_0} + 1 + {y_0}} \right) \hfill \\ \hfill \\ = \left( {3 - 4{x_0};3 - 4{y_0}} \right) \hfill \\ 2\overrightarrow {IA} + 3\overrightarrow {IB} - \overrightarrow {IC} = \overrightarrow 0 \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} 3 - 4{x_0} = 0 \hfill \\ 3 - 4{y_0} = 0 \hfill \\ \end{gathered} \right. \Leftrightarrow \left\{ \begin{gathered} {x_0} = \frac{3}{4} \hfill \\ \hfill \\ {y_0} = \frac{3}{4} \hfill \\ \end{gathered} \right. \hfill \\ \Rightarrow I\left( {\frac{3}{4};\frac{3}{4}} \right) \hfill \\ \end{gathered}$

Ta có:

$\begin{gathered} \left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right| \hfill \\ \hfill \\ = \left| {2\left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IA} } \right) + 3\left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IB} } \right) - \left( {\overrightarrow {EI} + \overrightarrow {IC} } \right)} \right| \hfill \\ \hfill \\ = 4\left| {\overrightarrow {EI} } \right| = 4EI \hfill \\ \end{gathered}$

Do đó: $\left| {2\overrightarrow {EA} + 3\overrightarrow {EB} - \overrightarrow {EC} } \right|$ đạt giá trị nhỏ nhất khi và chỉ khi E là hình chiếu của I trên đường thẳng AB.

$\overrightarrow {AB} = \left( {4;4} \right)$ nên phương trình của đường thẳng AB: x – y – 1 = 0.

Gọi d là đường thẳng đi qua I và vuông góc với đường thẳng AB.

Phương trình của đường thẳng d: $x + y - \frac{3}{2} = 0$

Dễ thấy $E = d \cap AB \Rightarrow E\left( {\frac{5}{4};\frac{1}{4}} \right)$

Vậy ${a^2} - {b^2} = {\left( {\frac{5}{4}} \right)^2} - {\left( {\frac{1}{4}} \right)^2} = \frac{3}{2}$

⟹ Chọn D

Câu 15. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ Oxy, cho 3 điểm A(2; 3), B(3; 4) và C(3; –1). Tọa độ điểm M trên đường phân giác góc phần tư thứ nhất sao cho biểu thức P = MA² + MB² + MC² đạt giá trị nhỏ nhất.

A. $\left( {\frac{7}{3};\frac{7}{3}} \right)$

B. (1; 1)

C. $\left( { - \frac{7}{3}; - \frac{7}{3}} \right)$

D. (–1; –1)

Hướng dẫn giải

M thuộc đường phân giác góc phần tư thứ nhất M(x; x).

$\begin{gathered} {\text{P}} = M{A^2} + M{B^2} + M{C^2} \hfill \\ \hfill \\ = \left[ {{{\left( {2 - x} \right)}^2} + {{\left( {3 - x} \right)}^2}} \right] + \left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( {4 - x} \right)}^2}} \right] \hfill \\ \hfill \\ \begin{array}{*{20}{c}} {}&{} \end{array} + \left[ {{{\left( {3 - x} \right)}^2} + {{\left( { - 1 - x} \right)}^2}} \right] \hfill \\ \hfill \\ = 6{x^2} - 28x + 48 \hfill \\ \hfill \\ = 6\left( {{x^2} - \frac{{14}}{3}x + 8} \right) \hfill \\ \hfill \\ = 6\left[ {\left( {{x^2} - 2 \cdot \frac{7}{3}x + \frac{{49}}{9}} \right) + \frac{{23}}{9}} \right] \hfill \\ \hfill \\ = 6\left[ {{{\left( {x - \frac{7}{3}} \right)}^2} + \frac{{23}}{9}} \right] \geqslant \frac{{46}}{3} \hfill \\ \end{gathered}$