Toán lớp 11: Lý thuyết và 7 dạng bài tập chọn lọc mới nhất 2023

Tổng hợp lý thuyết và 7 dạng bài tập về vecto trong không gian chi tiết và đầy đủ nhất.

Lý thuyết vectơ trong không gian

+) Vectơ là một đoạn thẳng có hướng (có phân biệt điểm đầu và điểm cuối).

+) Vectơ – không là vectơ có điểm đầu và điểm cuối trùng nhau.

+) Ký hiệu vectơ: (điểm đầu là A, điểm cuối là B) hay

+) Độ dài của vectơ là khoảng cách giữa điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó. Kí hiệu:

+) Giá của vectơ là đường thẳng đi qua điểm đầu và điểm cuối của vectơ đó.

+) Hai vectơ được gọi là cùng phương nếu giá của chúng song song hoặc trùng nhau.

+) Hai vectơ cùng phương thì cùng hướng hoặc ngược hướng.

+) Hai vectơ bằng nhau là hai vectơ cùng hướng và có cùng độ dài. Tức là:

+) Hai vectơ đối nhau là hai vectơ ngược hướng nhưng vẫn có cùng độ dài.

+) Các phép toán cộng, trừ, nhân vectơ với một số được định nghĩa tương tự trong mặt phẳng.

Các quy tắc tính toán với vectơ

+) Quy tắc ba điểm (với phép cộng):

+) Quy tắc ba điểm (với phép trừ):

+) Quy tắc ba điểm (mở rộng):

+) Quy tắc hình bình hành:

(a)

(b)

Trong đó ABCD là hình bình hành và E là trung điểm của BD.

+) Quy tắc hình hộp:

Trong đó ABCD.A’B’C’D’ là một hình hộp.

Hệ thức vectơ trọng tâm

+) I là trung điểm của đoạn thẳng AB

(với O là một điểm bất kỳ).

+) G là trọng tâm của tam giác ABC

(với O là một điểm bất kỳ, M là trung điểm cạnh BC).

+) G là trọng tâm của tứ diện ABCD

(với điểm O bất kỳ, A’ là trọng tâm của ∆BCD)

(với M, N là trung điểm 1 cặp cạnh đối diện).

+) và cùng phương

+) và cùng hướng

+) và ngược hướng

+) Ba điểm A, B, C thẳng hàng

Điều kiện đồng phẳng của ba vectơ

Định nghĩa 1. Trong không gian, ba vectơ được gọi là đồng phẳng nếu giá của chúng cùng song song với một mặt phẳng nào đó.

Hệ quả 1. Nếu có một mặt phẳng chứa vectơ này đồng thời song song với giá của hai vectơ kia thì ba vectơ đó đồng phẳng.

Định lí 1. (Điều kiện để ba vectơ đồng phẳng)

Trong không gian cho hai vectơ và không cùng phương và vectơ . Khi đó , và đồng phẳng khi và chỉ khi tồn tại cặp số (m; n) sao cho (cặp số (m; n) nêu trên là duy nhất).

Lưu ý: Bốn điểm phân biệt A, B, C, D đồng phẳng đồng phẳng

Phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng

Định lí 2.

Cho ba vectơ , và không đồng phẳng. Với mọi vectơ , ta đều tìm được duy nhất một bộ số (m; n; p) sao cho

Tích vô hướng của hai vectơ

Định nghĩa 2.

+) Nếu và thì

+) Nếu và thì

+) Bình phương vô hướng của một vectơ:

Lưu ý: Một số ứng dụng của tích vô hướng

+) Nếu và ta có

+) Công thức tính cosin của góc hợp bởi hai vectơ khác :

+) Công thức tính độ dài của một đoạn thẳng:

Dạng 1. Xác định vectơ và các khái niệm có liên quan

Phương pháp giải

+) Dựa vào định nghĩa của các khái niệm liên quan đến vectơ (xem mục 1)

+) Dựa vào tính chất hình học của các hình hình học cụ thể.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Hãy xác định các vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp ABCD.A’B’C’D’ và

a) cùng phương với

b) cùng phương

Lời giải

a) Các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với là:

b) Các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình hộp cùng phương với là:

Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi O,O’ lần lượt là các giao điểm của hai đường chéo của hai đáy. Hãy xác định các vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ sao cho:

a) bằng

b) bằng

Lời giải

a) Ta có:

b) Ta có các vectơ thỏa mãn là:

Câu 3. Cho hình lăng trụ ABC.A’B’C’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD. Hãy xác định các vectơ (khác ) có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ ABC.A’B’C’ và

a) cùng hướng

b) ngược hướng

Lời giải

a) Các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ cùng hướng với là:

b) Các vectơ có điểm đầu, điểm cuối là các đỉnh của hình lăng trụ ngược hướng với là:

Câu 4. Cho bốn điểm A, B, C, D. Hãy xác định các vectơ trong các trường hợp sau:

a) Có điểm đầu hoặc cuối là A, B;

b) Có điểm đầu hoặc cuối là A, B, C;

c) Có điểm đầu hoặc cuối là A, B, C, D.

Lời giải

a) Các vectơ thỏa mãn là:

b) Các vectơ thỏa mãn là:

c) Các vectơ thỏa mãn là:

Câu 5. Cho hình lăng trụ tứ giác ABCD.A’B’C’D’. Mặt phẳng (P) cắt các cạnh bên AA’, BB’, CC’, DD’ lần lượt tại I, K, L, M. Xét các vectơ có các điểm đầu là các điểm I, K, L, M và có điểm cuối là các đỉnh của hình trụ. Hãy chỉ ra các vectơ:

a) Cùng phương với .

b) Cùng hướng với .

c) Ngược hướng với .

Lời giải

a) Các vectơ cùng phương với bao gồm:

b) Các vectơ cùng hướng với bao gồm:

c) Các vectơ ngược hướng với bao gồm:

Dạng 2. Chứng minh đẳng thức vectơ

Phương pháp giải

Để chứng minh đẳng thức vectơ ta thường sử dụng:

+) Quy tắc cộng, quy tắc trừ ba điểm, quy tắc hình bình hành, quy tắc hình hộp.

+) Tính chất trung điểm, trọng tâm tam giác, tích một số với một vectơ… Để biến đổi vế này thành vế kia.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho bốn điểm A, B, C, D bất kì trong không gian. Chứng minh rằng:

Lời giải

Câu 2. Cho tứ diện A, B, C, D. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của AB, CD.

a) Chứng minh rằng:

b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng: , với mọi điểm M trong không gian.

Lời giải

a) Chứng minh rằng:

Ta có: và

Suy ra:

b) Cho G là trung điểm của I, J. Chứng minh rằng: , với mọi điểm M trong không gian.

Ta có:

(Vì I là trung điểm của AB, J là trung điểm của CD, G là trung điểm của IJ)

Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng:

Lời giải

Vì N là trung điểm của CD nên ta có:

Vì M là trung điểm của AB nên ta có:

Suy ra:

Câu 4. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh AB và CD. Gọi P, Q là các điểm lần lượt nằm trên các cạnh AD và BC sao cho: , . Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có: và

(*)

Ta lại có theo giả thiết:

(**)

Thay (**) vào (*) ta được:

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Chứng minh rằng:

a)

b)

Lời giải

a)

Gọi O là tâm của hình chữ nhật ABCD. Ta có, O là trung điểm của AC và BD nên:

(*)

(**)

Từ (*) và (**) suy ra:

b)

Ta có:

Và

Suy ra:

Tương tự:

Vì ABCD là hình chữ nhật nên ta có:

Từ đó suy ra, .

Dạng 3. Tìm điểm thỏa mãn đẳng thức vectơ

Phương pháp giải

Dựa vào các yếu tố cố định như điểm và vectơ.

Các bước thực hành giải toán:

+) Biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng:

Trong đó: Điểm O và vectơ đã biết.

+) Nếu muốn dựng điểm M, ta lấy O làm gốc dựng một vectơ bằng vectơ , khi đó điểm ngọn của vectơ này chính là M.

Ứng dụng tính chất tâm tỉ cự của hệ điểm

+) Với các điểm A₁, A₂, …, A_n và các số α₁, α₂, …, α_n thỏa mãn điều kiện

+) Tồn tại duy nhất điểm M sao cho:

+) Điểm M như vậy gọi là tâm tỉ cự của hệ điểm {A₁, A₂, …, A_n} với các hệ số tương ứng là {α₁, α₂, …, α_n}.

+) Trong trường hợp α_i = α_j ∀i, j điểm M gọi là trọng tâm của hệ điểm {A₁, A₂, …, A_n}.

Một số kết quả thường sử dụng

Với A, B, C là các điểm cố định, là vectơ đã biết.

+) ⇒ M là trung điểm AB.

+) Nếu A, B, C không thẳng hàng thì ⇒ M là trọng tâm tam giác ABC.

+) Tập hợp điểm M thỏa mãn là mặt phẳng trung trực của AB.

+) Tập hợp điểm M thỏa mãn là mặt cầu tâm C bán kính bằng k.AB.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.A₁B₁C₁D₁. Xác định vị trí của điểm O sao cho:

Lời giải

Gọi G, G’ là giao điểm các đường chéo của ABCD và A₁B₁C₁D₁.

Khi đó ta có:

Suy ra O là trung điểm GG’.

Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Xác định các điểm I, H, G thỏa mãn

a)

b)

c)

Lời giải

a) Ta có: .

Mà: với G là đỉnh còn lại của hình bình hành ABGC vì .

Vậy: với I là đỉnh còn lại của hình bình hành AGID.

Do đó: AI là đường chéo của hình hộp có ba cạnh là AB, AC, AD.

b) Ta có:

Mà:

Vậy: nên F là đỉnh còn lại của hình bình hành ADGH.

c) Ta có:

với P là trọng tâm tam giác ABC

⇒ G là điểm nằm trên đoạn thẳng DP sao cho PD = 4PG.

Điểm G thỏa mãn đẳng thức trên gọi là trọng tâm tứ diện.

Câu 3. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng, tìm tập hợp các điểm M sao cho:

Lời giải

Gọi G là trọng tâm ∆ABC, ta biến đổi đẳng thức về dạng:

⇒ M thuộc mặt cầu tâm G, bán kính GA cố định.

Câu 4. Cho tứ giác ABCD. Tìm điểm G thỏa mãn:

Lời giải

Gọi I là trọng tâm của tam giác ABC ⇒ I cố định. Khi đó ta có:

Điểm G được xác định nhờ đẳng thức trên.

Câu 5.. Cho hình chóp S.ABCD. Tìm điểm O thỏa mãn:

Lời giải

Gọi G là trọng tâm của tứ giác ABCD ⇒ G cố định. Khi đó ta có:

Điểm O được xác định nhờ đẳng thức trên.

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC. Tìm điểm G thỏa mãn:

Lời giải

Ta có:

Điểm G là trọng tâm tam giác ABC.

Câu 7. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm I thỏa mãn đẳng thức:

Lời giải

Gọi G là trọng tâm tứ diện.

Khi đó:

⇒ G là điểm nằm trên AG thỏa mãn 4G I = AI.

Câu 8. Trong không gian cho ba điểm A, B, C cố định không thẳng hàng. Tìm tập hợp các điểm N sao cho:

Lời giải

Gọi G là điểm thỏa mãn đẳng thức ⇒ G cố định.

Ta có:

⇒ Tập hợp N là mặt phẳng trung trực của AG.

Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD có cạnh AB = 5. Xác định vị trí của M để có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi I là điểm thỏa mãn hệ thức:

(1)

⇒ I cố định (do A, B, C, D cố định). Ta có:

Do đó: P nhỏ nhất ⇔ M trùng I.

Gọi G là trọng tâm tam giác BCD ta có:

Kết hợp với (1) ⇒ ⇒ I là trung điểm GA.

Khi đó:

Dạng 4. Tích vô hướng của hai vectơ

Phương pháp giải

Dựa vào định nghĩa và tính chất của tích vô hướng (xem mục 6), các quy tắc tính toán vectơ (xem mục 2) và các hệ thức vectơ trọng tâm (xem mục 3) để giải toán.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hai vectơ và . Chứng minh rằng:

Lời giải

Ta có:

Câu 2. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh bằng a. Tính .

Lời giải

Ta có:

Câu 3. Cho . Tính và .

Lời giải

Ta có:

Ta có:

Câu 4. Cho . Tính góc hợp bởi hai vectơ và .

Lời giải

Ta có:

Vậy góc hợp bởi hai vectơ và là 120°

Câu 5. Cho hình chóp S.ABCD có mặt đáy ABCD là hình chữ nhật. Tính .

Lời giải

Ta có:

Vậy

Câu 6. Cho hình chóp S.ABC có SA = SB = SC = AB = AC = a và BC = .

a) Tính tích vô hướng ;

b) Tính tích vô hướng .

Lời giải

a) Ta có:

a) Ta có:

Câu 7. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a. Gọi M, N lần lượt là trung điểm các cạnh BC và CD. Tính tích vô hướng .

Lời giải

Do các mặt của tứ diện ABCD đều là tam giác đều, nên ta dễ dàng tính được độ dài các đoạn thẳng trong ∆AMN:

Xét ∆AMN, ta có:

Ta có:

Câu 8. Cho tứ diện ABCD có hai mặt ABC và ABD là các tam giác đều có cạnh bằng a, CD = . Gọi G là trọng tâm tam giác BCA. Tính tích vô hướng .

Lời giải

Ta có:

Vậy:

Câu 9. Cho tứ diện đều ABCD có các cạnh bằng a, M là trung điểm cạnh BC. Tính .

Lời giải

Do các mặt của tứ diện ABCD đều là tam giác đều, nên ta dễ dàng tính được độ dài các đoạn thẳng trong ∆AMD:

Xét ∆AMD, ta có:

Ta có:

Câu 10. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a, M là trung điểm cạnh AB. Tính .

Lời giải

Do các mặt của tứ diện ABCD đều là tam giác đều, nên ta dễ dàng tính được độ dài các đoạn thẳng trong ∆MCD:

Ta có:

Xét ∆CMD, ta có:

Khi đó:

Câu 11. Cho tứ diện đều ABCD cạnh a; I, J lần lượt là trung điểm AB và CD. Tính .

Lời giải

Gọi H là tâm đường tròn ngoại tiếp ∆BCD ⇒ AH ⊥ (BCD). Ta có:

Ta có:

Ta có:

Tương tự:

Do đó:

Dạng 5. Chứng minh ba vectơ đồng phẳng

Phương pháp giải

Để chứng minh ba vectơ đồng phẳng, ta có thể chứng minh bằng một trong hai cách:

+) Chứng minh các giá của ba vectơ cùng song song với một mặt phẳng.

+) Dựa vào điều kiện để ba vectơ đồng phẳng: Nếu có m, n ∈ ℝ: thì đồng phẳng.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng 3 vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Gọi P, Q lần lượt là trung điểm của AC, BD.

Ta có:

⇒ MNPQ là hình bình hành.

Mặt khác (MNPQ) chứa đường thẳng MN và song song với các đường thẳng AD và BC.

⇒ Ba đường thẳng MN, AD, BC cùng song song với một mặt phẳng.

Do đó: 3 vectơ đồng phẳng.

Câu 2. Cho tam giác ABC. Lấy điểm S nằm ngoài mặt phẳng (ABC). Trên đoạn SA lấy điểm M sao cho và trên đoạn BC lấy điểm N sao cho . Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Ta có:

Mặt khác:

Cộng vế theo vế, ta được: hay

Vậy: đồng phẳng.

Dạng 6. Phân tích một vectơ theo 3 vectơ không đồng phẳng cho trước

Phương pháp giải

Để phân tích một vectơ theo ba vectơ không đồng phẳng, ta tìm các số m, n, p sao cho

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình hộp ABCD.EFGH có . Gọi I là trung điểm của BG. hãy biểu thị vectơ theo 3 vectơ .

Lời giải

Vì I là trung điểm của BG nên:

Theo quy tắc hình hộp, nên:

Câu 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M là trung điểm của CD, I là trung điểm của BM. Đặt . Hãy phân tích vectơ theo 3 vectơ .

Lời giải

Ta có:

Vậy:

Câu 3. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Trên các cạnh AD, BC lần lượt lấy các điểm P, Q sao cho và . Chứng minh rằng 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Lời giải

Ta có:

hay

Mặt khác vì: nên và nên

Từ (1) ta suy ra:

Vì nên

Suy ra: đồng phẳng .

Do đó 4 điểm M, N, P, Q cùng thuộc một mặt phẳng.

Câu 4. Cho 3 vectơ khác và 3 số thực m, n, p ≠ 0. Chứng minh rằng ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Ta có:

Cộng vế theo vế, ta được:

Vì m, n, p ≠ 0 nên đồng phẳng.

Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD. Gọi P, Q lần lượt là các điểm thỏa mãn . Chứng minh M, N, P, Q đồng phẳng.

Lời giải

Ta có:

Tương tự:

Suy ra:

Mặt khác N là trung điểm của CD nên:

Suy ra ba vectơ đồng phẳng hay bốn điểm M, N, P, Q đồng phẳng.

Câu 6. Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N được xác định bởi , với x, y ≠ 1. Tìm điều kiện giữa x và y để ba vectơ đồng phẳng.

Lời giải

Đặt thì không đồng phẳng.

Ta có:

Mặt khác:

Từ (1) và (2) suy ra:

Ta có: , ; và là hai vectơ cùng phương nên đồng phẳng khi và chỉ khi , tức là :

Vậy ba vectơ đồng phẳng khi và chỉ khi x = y.

Dạng 7. Ứng dụng vectơ chứng minh bài toán hình học

Phương pháp giải

+) Chọn 3 vectơ không đồng phẳng làm cơ sở.

+) Biểu diễn các vectơ cần tính toán về hệ 3 vectơ cơ sở.

+) Dựa vào hệ thức biểu diễn ở trên ta tìm mối quan hệ giữa các vectơ cần xét.

Bài tập vận dụng

Câu 1. Cho hình hộp chữ nhật ABCD.A’B’C’D’. Gọi G là trọng tâm tam giác A’BD. Chứng minh rằng A, G, C’ thẳng hàng.

Lời giải

Đặt: .

Khi đó:

Suy ra: hay A, G, C’ thẳng hàng.

Câu 2. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’. Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác ABC và ABC.A’B’C’, I là giao điểm của hai đường thẳng AB’ và A’B. Chứng minh rằng các đường thẳng GI và CG’ song song với nhau.

Lời giải

+) Phương pháp vectơ.

Lấy trung điểm E, F (như hình vẽ).

Ta có:

Và:

Suy ra: và cùng phương ⇒ GI // CG’.

+) Phương pháp cổ điển.

Lấy các trung điểm E, F, K.

Chứng minh EG’CK là hình bình hành ⇒ CG’ // FK (1).

Chứng minh GI là đường trung bình của ∆EFK: suy ra GI // FK (2).

Kết hợp (1) và (2) suy ra: GI // CG’.

Câu 3. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’; các điểm M, N lần lượt thuộc các đường thẳng CA và DC’ sao cho . Xác định m để các đường thẳng MN và BD’ song song với nhau. Khi ấy, tính MN biết và BA = a, BB’ = b, BC = c.

Lời giải

Đặt:

Ta có:

Ngoài ra nên để MN // BD’ thì cần có:

Giải hệ phương trình trên ta tìm được m = −0,5.

Với ta có:

Do nên

Vậy:

Câu 4. Cho tứ diện S.ABC có G là trọng tâm tam giác ABC. Một mặt phẳng (α) cắt các tia SA, SB, SC, SG lần lượt tại A’, B’, C’, G’. Chứng minh rằng:

Lời giải

Đặt: .

Khi đó:

Trong mặt phẳng (α) xét điểm I sao cho . Khi đó:

Nên cùng phương với hay I là giao điểm của SG và (α) nghĩa là I ≡ G’. Suy ra:

Hay a + b + c = 3t.

Câu 5. Cho tứ diện ABCD. Tìm điểm M sao cho biểu thức T = MA² + MB² + MC² + MD² đạt giá trị nhỏ nhất.

Lời giải

Gọi E, F, G lần lượt là trung điểm AB, CD, EF. Ta có:

Từ đó ta được:

Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi M trùng với G.

Vậy T đạt giá trị nhỏ nhất bằng GA² + GB² + GC² + GD², khi M trùng với trọng tâm G của tứ diện ABCD.

Câu 6. Cho ba tia Ax, By, Cz đôi một chéo nhau trong không gian. Ba điểm M, N, P lần lượt thay đổi trên các tia đó sao cho AM = 2BN = 3CP. Chứng minh rằng trọng tâm I của tam giác MNP luôn thuộc một đường thẳng cố định.

Lời giải

Trên ba tia Ax, By, Cz lần lượt lấy các vectơ đơn vị cùng chiều với các tia chứa nó.

Giả sử . Khi đó:

Gọi G là trọng tâm tam giác ABC,O là điểm tùy ý. Ta có:

Suy ra:

Nên I thuộc tia Gt có gốc G, cùng chiều với vectơ .

Câu 7. Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A’B’C’ có cạnh bên bằng a. Trên các cạnh bên AA’, BB’, CC’ ta lấy tương ứng các điểm M, N, P sao cho AM + BN + CP = a. Chứng minh rằng mặt phẳng (MNP) luôn đi qua 1 điểm cố định.

Lời giải

Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của ∆ABC và ∆MNP thì:

Trừ vế theo vế ta được:

Do A, A’, G cố định nên từ (*) ta suy ra G’ cố định.

Vậy (MNP) luôn đi qua điểm G’ cố định xác định bởi hệ thức .

Câu 8. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’ có P và R lần lượt là trung điểm các cạnh AB và A’D’. Gọi P’, Q, Q’, R’ lần lượt là tâm đối xứng của các hình bình hành ABCD, CDD’C’, A’B’C’D’, ADD’A’.

a) Chứng minh rằng

b) Chứng minh hai tam giác PQR và P’Q’R’ có cùng trọng tâm.

Lời giải

a) Theo tính chất đường trung bình trong tam giác ta có:

Theo quy tắc hình bình hành: . Từ đó,

b) Gọi G, G’ lần lượt là trọng tâm của tam giác PQR và P’Q’R’. Khi đó:

Trừ vế theo vế ta được:

Câu 9. Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh CD, DD’ và G, G’ lần lượt là trọng tâm của các tứ diện A’D’MN và BCC’D’. Chứng minh rằng đường thẳng GG’ và mặt phẳng (ABB’A’) song song với nhau.

Lời giải

Do G, G’ lần lượt là trọng tâm của A’D’MN và BCC’D’ nên:

Trừ vế theo vế ta được:

⇒ đồng phẳng

⇒ GG’ // (ABB’A’).

Câu 10. Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’. Gọi M, N lần lượt là các điểm thuộc AD’ và DB sao cho với (k ≠ 0, k ≠ 1).

a) Chứng minh rằng MN luôn song song với mặt phẳng (BCA’).

b) Khi đường thẳng MN song song với đường thẳng A’C, chứng tỏ rằng MN vuông góc với AD’ và DB.

Lời giải

a) Đặt: thì

Do nên

Tương tự:

Từ đó:

Hay

Vậy đồng phẳng suy ra MN // (BCA’) do M ∉ (BCA’).

b) Do MN // A’C nên , do đó:

Suy ra:

Giải hệ này ta được: . Khi đó:

Mặt khác:

Nên ta có ngay: và .

Như thế là MN vuông góc với AD’ và DB.